estereorradián

Unidad derivada del SI de ángulo sólido

El estereorradián (símbolo: sr ) o radian cuadrado ^{[1] [2]} es la unidad de ángulo sólido en el Sistema Internacional de Unidades (SI). Se utiliza en geometría tridimensional y es análogo al radian , que cuantifica ángulos planos . Mientras que un ángulo en radianes, proyectado sobre un círculo, da la longitud de un arco circular sobre la circunferencia, un ángulo sólido en estereorradianes, proyectado sobre una esfera, da el área de un casquete esférico sobre la superficie. El nombre se deriva del griego στερεός estéreos 'sólido' + radianes.

El estereorradián es una unidad adimensional , el cociente del área subtendida y el cuadrado de su distancia al centro. Tanto el numerador como el denominador de esta relación tienen una dimensión de longitud al cuadrado (es decir, L ² /L ² = 1 , adimensional). Es útil, sin embargo, distinguir entre cantidades adimensionales de diferente tipo , como el radian (una relación de cantidades de longitud dimensional), por lo que el símbolo "sr" se utiliza para indicar un ángulo sólido. Por ejemplo, la intensidad radiante se puede medir en vatios por estereorradián (W⋅sr ⁻¹ ). El estereorradián era anteriormente una unidad suplementaria del SI , pero esta categoría fue abolida en 1995 y ahora se considera una unidad derivada del SI .

Ángulo sólido de países y otras entidades en relación con la Tierra.

Definición

Un estereorradián se puede definir como el ángulo sólido subtendido en el centro de una esfera unitaria por una unidad de área en su superficie. Para una esfera general de radio r , cualquier porción de su superficie con área A = r ² subtiende un estereorradián en su centro. ^[3]

El ángulo sólido está relacionado con el área que corta de una esfera:

$${\displaystyle \Omega ={\frac {A}{r^{2}}}\ {\text{sr}}\,={\frac {2\pi h}{r}}\ {\text{sr}},}$$

• Ω es el ángulo sólido
• A es el área de la superficie del casquete esférico , , ${\displaystyle 2\pi rh}$
• r es el radio de la esfera,
• h es la altura de la tapa, y
• sr es la unidad, estereorradián.

Debido a que el área de superficie A de una esfera es 4 πr ² , la definición implica que una esfera subtiende 4 π estereorradián (≈ 12,56637 sr) en su centro, o que un estereorradián subtiende 1/4 π ≈ 0,07958 de una esfera. Por el mismo argumento, el ángulo sólido máximo que se puede subtender en cualquier punto es 4 π sr .

Otras propiedades

Sección de cono (1) y casquete esférico (2) que subtienden un ángulo sólido de un estereorradián dentro de una esfera

Si A = r ² , corresponde al área de un casquete esférico ( A = 2 πrh , donde h es la "altura" del casquete) y la relación se mantiene. Por lo tanto, en este caso, un estereorradián corresponde al ángulo plano (es decir, radianes) de la sección transversal de un cono simple que subtiende el ángulo plano 2 θ , con θ dado por: ${\displaystyle {\tfrac {h}{r}}={\tfrac {1}{2\pi }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)\\&=\arccos \left(1-{\frac {h}{r}}\right)\\&=\arccos \left(1-{\frac {1}{2\pi }}\right)\approx 0.572{\text{ rad, or }}32.77^{\circ }.\end{aligned}}}$$

Este ángulo corresponde al ángulo de apertura plano de 2 θ ≈  1,144 rad o 65,54°.

Un estereorradián también es igual al área esférica de un polígono que tiene un ángulo superior a 1 radian, al de una esfera completa , o a 3282,80635 grados cuadrados . ${\displaystyle {\tfrac {1}{4\pi }}}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {180^{\circ }}{\pi }}\right)^{2}\approx }$

El ángulo sólido de un cono cuya sección transversal subtiende el ángulo 2 θ es:

$${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos \theta \right){\text{ sr}}=4\pi \sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right){\text{ sr}}.}$$

múltiplos del SI

Ocasionalmente se utilizan milisterradianos (msr) y microesteradianos (μsr) para describir haces de luz y partículas . ^{[4] [5]} Rara vez se utilizan otros múltiplos.

Ver también

• n -esfera
• Spat (unidad angular)
• Constelaciones designadas por la IAU por área

Referencias

1. Stutzman, Warren L; Thiele, Gary A (22 de mayo de 2012). Teoría y diseño de antenas. ISBN 978-0-470-57664-9.
2. Woolard, Edgar (2 de diciembre de 2012). Astronomía esférica. ISBN 978-0-323-14912-9.
3. "Steradian", Diccionario McGraw-Hill de términos científicos y técnicos , quinta edición, Sybil P. Parker, editora en jefe. McGraw-Hill, 1997. ISBN 0-07-052433-5 . 
4. Stephen M. Shafroth, James Christopher Austin, Física atómica basada en aceleradores: técnicas y aplicaciones , 1997, ISBN 1563964848 , p. 333 
5. R. Bracewell, Govind Swarup, "La antena de espectroheliógrafo de microondas de Stanford, un interferómetro de haz de lápiz microesteradiano" IRE Transactions on Antennas and Propagation 9 :1:22-30 (1961)

enlaces externos

• Medios relacionados con Steradian en Wikimedia Commons