Discriminante

Función de los coeficientes de un polinomio que da información sobre sus raíces

En matemáticas , el discriminante de un polinomio es una cantidad que depende de los coeficientes y permite deducir algunas propiedades de las raíces sin calcularlas. Más precisamente, es una función polinómica de los coeficientes del polinomio original. El discriminante se utiliza ampliamente en factorización de polinomios , teoría de números y geometría algebraica .

El discriminante del polinomio cuadrático es ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$

${\displaystyle b^{2}-4ac,}$

la cantidad que aparece bajo la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática . Si este discriminante es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz doble . En el caso de coeficientes reales , es positivo si el polinomio tiene dos raíces reales distintas, y negativo si tiene dos raíces conjugadas complejas distintas. ^[1] De manera similar, el discriminante de un polinomio cúbico es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz múltiple . En el caso de un polinomio cúbico con coeficientes reales, el discriminante es positivo si el polinomio tiene tres raíces reales distintas, y negativo si tiene una raíz real y dos raíces conjugadas complejas distintas. ${\displaystyle a\neq 0,}$

En términos más generales, el discriminante de un polinomio univariado de grado positivo es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz múltiple. Para coeficientes reales y sin raíces múltiples, el discriminante es positivo si el número de raíces no reales es múltiplo de 4 (incluida ninguna), y negativo en caso contrario.

Varias generalizaciones también se denominan discriminantes: el discriminante de un cuerpo de números algebraicos , el discriminante de una forma cuadrática y, de manera más general, el discriminante de una forma , de un polinomio homogéneo o de una hipersuperficie proyectiva (estos tres conceptos son esencialmente equivalentes).

Origen

El término "discriminante" fue acuñado en 1851 por el matemático británico James Joseph Sylvester . ^[2]

Definición

Dejar

${\displaystyle A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

sea ​​un polinomio de grado n (esto significa ), tal que los coeficientes pertenecen a un cuerpo , o, más generalmente, a un anillo conmutativo . La resultante de A y su derivada , ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1},}$

es un polinomio en con coeficientes enteros , que es el determinante de la matriz de Sylvester de A y A ′ . Las entradas distintas de cero de la primera columna de la matriz de Sylvester son y y la resultante es, por tanto, un múltiplo de Por tanto, el discriminante, hasta su signo, se define como el cociente de la resultante de A y A' por : ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle na_{n},}$ ${\displaystyle a_{n}.}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')}$

Históricamente, este signo se ha elegido de modo que, sobre los números reales, el discriminante sea positivo cuando todas las raíces del polinomio sean reales. La división por puede no estar bien definida si el anillo de coeficientes contiene divisores de cero . Este problema se puede evitar reemplazando por 1 en la primera columna de la matriz de Sylvester— antes de calcular el determinante. En cualquier caso, el discriminante es un polinomio en con coeficientes enteros. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$

Expresión en términos de las raíces

Cuando el polinomio anterior se define sobre un cuerpo , tiene n raíces, , no necesariamente todas distintas, en cualquier extensión algebraicamente cerrada del cuerpo. (Si los coeficientes son números reales, las raíces pueden tomarse en el cuerpo de números complejos , donde se aplica el teorema fundamental del álgebra ). ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$

En términos de las raíces, el discriminante es igual a

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(r_{i}-r_{j}).}$

Es entonces el cuadrado del polinomio de Vandermonde por . ${\displaystyle a_{n}^{2n-2}}$

Esta expresión para el discriminante se toma a menudo como una definición. Deja claro que si el polinomio tiene una raíz múltiple , entonces su discriminante es cero, y que, en el caso de coeficientes reales, si todas las raíces son reales y simples , entonces el discriminante es positivo. A diferencia de la definición anterior, esta expresión no es obviamente un polinomio en los coeficientes, pero esto se deduce ya sea del teorema fundamental de la teoría de Galois , o del teorema fundamental de polinomios simétricos y las fórmulas de Vieta al notar que esta expresión es un polinomio simétrico en las raíces de A .

Grados bajos

El discriminante de un polinomio lineal (grado 1) rara vez se considera. Si es necesario, se define comúnmente como igual a 1 (utilizando las convenciones habituales para el producto vacío y considerando que uno de los dos bloques de la matriz de Sylvester está vacío ). No existe una convención común para el discriminante de un polinomio constante (es decir, polinomio de grado 0).

Para grados pequeños, el discriminante es bastante simple (ver abajo), pero para grados más altos, puede volverse difícil de manejar. Por ejemplo, el discriminante de una cuártica general tiene 16 términos, ^[3] el de una quíntica tiene 59 términos, ^[4] y el de una séxtica tiene 246 términos. ^[5] Esta es la secuencia OEIS A007878.

Grado 2

El polinomio cuadrático tiene discriminante ${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,}$

${\displaystyle b^{2}-4ac\,.}$

La raíz cuadrada del discriminante aparece en la fórmula cuadrática para las raíces del polinomio cuadrático:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

donde el discriminante es cero si y solo si las dos raíces son iguales. Si a , b , c son números reales, el polinomio tiene dos raíces reales distintas si el discriminante es positivo, y dos raíces conjugadas complejas si es negativo. ^[6]

El discriminante es el producto de un ² por el cuadrado de la diferencia de las raíces.

Si a , b , c son números racionales , entonces el discriminante es el cuadrado de un número racional si y solo si las dos raíces son números racionales.

Grado 3

El conjunto cero del discriminante de la ecuación cúbica x ³ + bx ² + cx + d , es decir, los puntos que satisfacen b ² c ² – 4 c ³ – 4 b ³ d – 27 d ² + 18 bcd = 0 .

El polinomio cúbico tiene discriminante ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}$

${\displaystyle b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,.}$^{[7] [8]}

En el caso especial de un polinomio cúbico deprimido , el discriminante se simplifica a ${\displaystyle x^{3}+px+q}$

${\displaystyle -4p^{3}-27q^{2}\,.}$

El discriminante es cero si y solo si al menos dos raíces son iguales. Si los coeficientes son números reales y el discriminante no es cero, el discriminante es positivo si las raíces son tres números reales distintos y negativo si hay una raíz real y dos raíces conjugadas complejas. ^[9]

La raíz cuadrada de una cantidad fuertemente relacionada con el discriminante aparece en las fórmulas para las raíces de un polinomio cúbico . En concreto, esta cantidad puede ser −3 veces el discriminante, o su producto por el cuadrado de un número racional; por ejemplo, el cuadrado de 1/18 en el caso de la fórmula de Cardano .

Si el polinomio es irreducible y sus coeficientes son números racionales (o pertenecen a un cuerpo de números ), entonces el discriminante es un cuadrado de un número racional (o un número del cuerpo de números) si y sólo si el grupo de Galois de la ecuación cúbica es el grupo cíclico de orden tres.

Grado 4

Discriminante del polinomio de cuarto grado x ⁴ + cx ² + dx + e . La superficie representa los puntos ( c , d , e ) donde el polinomio tiene una raíz repetida. La arista cuspidal corresponde a los polinomios con triple raíz y la autointersección corresponde a los polinomios con dos raíces repetidas diferentes.

El polinomio cuártico tiene discriminante ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e\\[4pt]&{}-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de\\[4pt]&{}+18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde\\[4pt]&{}-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\,.\end{aligned}}}$

El polinomio cuártico deprimido tiene discriminante ${\displaystyle x^{4}+cx^{2}+dx+e\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&16c^{4}e-4c^{3}d^{2}-128c^{2}e^{2}+144cd^{2}e-27d^{4}+256e^{3}\,.\end{aligned}}}$

El discriminante es cero si y solo si al menos dos raíces son iguales. Si los coeficientes son números reales y el discriminante es negativo, entonces hay dos raíces reales y dos raíces conjugadas complejas. Por el contrario, si el discriminante es positivo, entonces las raíces son todas reales o todas no reales.

Propiedades

Discriminante cero

El discriminante de un polinomio sobre un cuerpo es cero si y sólo si el polinomio tiene una raíz múltiple en alguna extensión del cuerpo .

El discriminante de un polinomio sobre un dominio integral es cero si y sólo si el polinomio y su derivada tienen un divisor común no constante.

En la característica 0, esto equivale a decir que el polinomio no es libre de cuadrados (es decir, es divisible por el cuadrado de un polinomio no constante).

En la característica distinta de cero p , el discriminante es cero si y solo si el polinomio no es libre de cuadrados o tiene un factor irreducible que no es separable (es decir, el factor irreducible es un polinomio en ). ${\displaystyle x^{p}}$

Invariancia ante cambios de la variable

El discriminante de un polinomio es, hasta una escala, invariante bajo cualquier transformación proyectiva de la variable. Como una transformación proyectiva puede descomponerse en un producto de traslaciones, homotecias e inversiones, esto da como resultado las siguientes fórmulas para transformaciones más simples, donde P ( x ) denota un polinomio de grado n , con como coeficiente principal. ${\displaystyle a_{n}}$

• Invariancia por traducción :

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P(x+\alpha ))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))}$

Esto resulta de la expresión del discriminante en términos de las raíces.

• Invariancia por homotecia :

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P(\alpha x))=\alpha ^{n(n-1)}\operatorname {Disc} _{x}(P(x))}$

Esto resulta de la expresión en términos de las raíces, o de la cuasi-homogeneidad del discriminante.

• Invariancia por inversión :

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))}$

cuando Aquí, denota el polinomio recíproco de P ; es decir, si y entonces ${\displaystyle P(0)\neq 0.}$ ${\displaystyle P^{\mathrm {r} }\!\!\;}$ ${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0},}$ ${\displaystyle a_{0}\neq 0,}$

${\displaystyle P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x)=x^{n}P(1/x)=a_{0}x^{n}+\cdots +a_{n}.}$

Invariancia bajo homomorfismos de anillos

Sea un homomorfismo de anillos conmutativos . Dado un polinomio ${\displaystyle \varphi \colon R\to S}$

${\displaystyle A=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}}$

En R [ x ] , el homomorfismo actúa sobre A para producir el polinomio ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle A^{\varphi }=\varphi (a_{n})x^{n}+\varphi (a_{n-1})x^{n-1}+\cdots +\varphi (a_{0})}$

en S [ x ] .

El discriminante es invariante en el sentido siguiente. Si entonces ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (a_{n})\neq 0,}$

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A)).}$

Como el discriminante se define en términos de un determinante, esta propiedad resulta inmediatamente de la propiedad similar de los determinantes.

Si entonces puede ser cero o no. Se tiene, cuando ${\displaystyle \varphi (a_{n})=0,}$ ${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))}$ ${\displaystyle \varphi (a_{n})=0,}$

${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=\varphi (a_{n-1})^{2}\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi }).}$

Cuando a uno sólo le interesa saber si un discriminante es cero (como suele ser el caso en geometría algebraica ), estas propiedades se pueden resumir como:

${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0}$si y sólo si o ${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=0}$ ${\displaystyle \deg(A)-\deg(A^{\varphi })\geq 2.}$

Esto a menudo se interpreta como que si y sólo si tiene una raíz múltiple (posiblemente en el infinito ). ${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0}$ ${\displaystyle A^{\varphi }}$

Producto de polinomios

Si R = PQ es un producto de polinomios en x , entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {disc} _{x}(R)&=\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)^{2}\operatorname {disc} _{x}(Q)\\[5pt]{}&=(-1)^{pq}\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)\operatorname {Res} _{x}(Q,P)\operatorname {disc} _{x}(Q),\end{aligned}}}$

donde denota la resultante con respecto a la variable x , y p y q son los grados respectivos de P y Q . ${\displaystyle \operatorname {Res} _{x}}$

Esta propiedad se deduce inmediatamente al sustituir la expresión por la resultante y el discriminante, en términos de las raíces de los respectivos polinomios.

Homogeneidad

El discriminante es un polinomio homogéneo en los coeficientes; también es un polinomio homogéneo en las raíces y, por tanto, cuasi homogéneo en los coeficientes.

El discriminante de un polinomio de grado n es homogéneo de grado 2 n − 2 en los coeficientes. Esto se puede ver de dos maneras. En términos de la fórmula de raíces y término principal, multiplicar todos los coeficientes por λ no cambia las raíces, pero multiplica el término principal por λ . En términos de su expresión como determinante de una matriz (2 n − 1) × (2 n − 1) (la matriz de Sylvester ) dividida por a _n , el determinante es homogéneo de grado 2 n − 1 en las entradas, y dividir por a _n hace que el grado sea 2 n − 2 .

El discriminante de un polinomio de grado n es homogéneo de grado n ( n − 1) en las raíces. Esto se deduce de la expresión del discriminante en términos de las raíces, que es el producto de una constante por el cuadrado de las diferencias de raíces. ${\displaystyle {\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}}$

El discriminante de un polinomio de grado n es cuasi-homogéneo de grado n ( n − 1) en los coeficientes, si, para cada i , el coeficiente de tiene el peso n − i . También es cuasi-homogéneo del mismo grado, si, para cada i , el coeficiente de tiene el peso i . Esto es una consecuencia del hecho general de que todo polinomio que es homogéneo y simétrico en las raíces puede expresarse como un polinomio cuasi-homogéneo en las funciones simétricas elementales de las raíces. ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle x^{i}}$

Considere el polinomio

${\displaystyle P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}.}$

De lo que precede se deduce que los exponentes de cada monomio que aparece en el discriminante satisfacen las dos ecuaciones. ${\displaystyle a_{0}^{i_{0}},\dots ,a_{n}^{i_{n}}}$

${\displaystyle i_{0}+i_{1}+\cdots +i_{n}=2n-2}$

y

${\displaystyle i_{1}+2i_{2}+\cdots +ni_{n}=n(n-1),}$

y también la ecuación

${\displaystyle ni_{0}+(n-1)i_{1}+\cdots +i_{n-1}=n(n-1),}$

que se obtiene restando la segunda ecuación de la primera multiplicada por n .

Esto restringe los términos posibles en el discriminante. Para el polinomio cuadrático general, el discriminante es un polinomio homogéneo de grado 2 que tiene solo dos términos, mientras que el polinomio homogéneo general de grado dos en tres variables tiene 6 términos. El discriminante del polinomio cúbico general es un polinomio homogéneo de grado 4 en cuatro variables; tiene cinco términos, que es el máximo permitido por las reglas anteriores, mientras que el polinomio homogéneo general de grado 4 en 4 variables tiene 35 términos. ${\displaystyle b^{2}-4ac}$

Para grados superiores, puede haber monomios que satisfacen las reglas anteriores y no aparecen en el discriminante. El primer ejemplo es para el polinomio de cuarto grado , en cuyo caso el monomio satisface las reglas sin aparecer en el discriminante. ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}$ ${\displaystyle bc^{4}d}$

Raíces reales

En esta sección, todos los polinomios tienen coeficientes reales .

Se ha visto en § Grados bajos que el signo del discriminante proporciona información útil sobre la naturaleza de las raíces para polinomios de grado 2 y 3. Para grados superiores, la información proporcionada por el discriminante es menos completa, pero aún útil. Más precisamente, para un polinomio de grado n , se tiene:

• El polinomio tiene raíz múltiple si y sólo si su discriminante es cero.
• Si el discriminante es positivo, el número de raíces no reales es múltiplo de 4. Es decir, existe un entero no negativo k ≤ n /4 tal que hay 2 k pares de raíces conjugadas complejas y n − 4 k raíces reales.
• Si el discriminante es negativo, el número de raíces no reales no es múltiplo de 4. Es decir, existe un entero no negativo k ≤ ( n − 2)/4 tal que hay 2 k + 1 pares de raíces conjugadas complejas y n − 4 k + 2 raíces reales.

Polinomio homogéneo bivariado

Dejar

${\displaystyle A(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}y^{i}}$

sea ​​un polinomio homogéneo de grado n en dos indeterminados.

Suponiendo, por el momento, que y son ambos distintos de cero, se tiene ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A(x,1))=\operatorname {Disc} _{y}(A(1,y)).}$

Denotando esta cantidad por uno tenemos ${\displaystyle \operatorname {Disc} ^{h}(A),}$

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)=y^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A),}$

y

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{y}(A)=x^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A).}$

Debido a estas propiedades, la cantidad se llama discriminante o discriminante homogéneo de A. ${\displaystyle \operatorname {Disc} ^{h}(A)}$

Si se permite que y sean cero, los polinomios A ( x , 1) y A (1, y ) pueden tener un grado menor que n . En este caso, las fórmulas y la definición anteriores siguen siendo válidas, si los discriminantes se calculan como si todos los polinomios tuvieran el grado n . Esto significa que los discriminantes deben calcularse con y indeterminados, y la sustitución de sus valores reales se realiza después de este cálculo. De manera equivalente, deben usarse las fórmulas de § Invariancia bajo homomorfismos de anillo. ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

Uso en geometría algebraica

El uso típico de los discriminantes en geometría algebraica es para estudiar curvas algebraicas planas y, de manera más general, hipersuperficies algebraicas . Sea V una de estas curvas o hipersuperficies; V se define como el conjunto cero de un polinomio multivariado . Este polinomio puede considerarse como un polinomio univariante en una de las indeterminadas, con polinomios en las otras indeterminadas como coeficientes. El discriminante con respecto a la indeterminada seleccionada define una hipersuperficie W en el espacio de las otras indeterminadas. Los puntos de W son exactamente la proyección de los puntos de V (incluidos los puntos en el infinito ), que son singulares o tienen un hiperplano tangente que es paralelo al eje de la indeterminada seleccionada.

Por ejemplo, sea f un polinomio bivariado en X e Y con coeficientes reales, de modo que  f  = 0 es la ecuación implícita de una curva algebraica plana real . Considerando f como un polinomio univariante en Y con coeficientes que dependen de X , entonces el discriminante es un polinomio en X cuyas raíces son las coordenadas X de los puntos singulares, de los puntos con una tangente paralela al eje Y y de algunas de las asíntotas paralelas al eje Y. En otras palabras, el cálculo de las raíces del discriminante Y y del discriminante X permite calcular todos los puntos notables de la curva, excepto los puntos de inflexión .

Generalizaciones

Existen dos clases del concepto de discriminante. La primera clase es el discriminante de un cuerpo de números algebraicos , que, en algunos casos incluidos los cuerpos cuadráticos , es el discriminante de un polinomio que define el cuerpo.

Los discriminantes de la segunda clase surgen para problemas que dependen de coeficientes, cuando las instancias degeneradas o singularidades del problema se caracterizan por la desaparición de un único polinomio en los coeficientes. Este es el caso del discriminante de un polinomio, que es cero cuando dos raíces colapsan. La mayoría de los casos en los que se define un discriminante generalizado de este tipo son instancias de lo siguiente.

Sea A un polinomio homogéneo en n indeterminados sobre un cuerpo de característica 0, o de una característica prima que no divide el grado del polinomio. El polinomio A define una hipersuperficie proyectiva , que tiene puntos singulares si y solo si las n derivadas parciales de A tienen un cero común no trivial . Este es el caso si y solo si la resultante multivariada de estas derivadas parciales es cero, y esta resultante puede considerarse como el discriminante de A . Sin embargo, debido a los coeficientes enteros resultantes de la derivación, esta resultante multivariada puede ser divisible por una potencia de n , y es mejor tomar, como discriminante, la parte primitiva de la resultante, calculada con coeficientes genéricos. La restricción en la característica es necesaria porque de lo contrario un cero común de la derivada parcial no es necesariamente un cero del polinomio (véase la identidad de Euler para polinomios homogéneos ).

En el caso de un polinomio homogéneo bivariado de grado d , este discriminante general es multiplicado por el discriminante definido en el § Polinomio homogéneo bivariado. En las siguientes secciones se describen otros tipos clásicos de discriminantes que son ejemplos de la definición general. ${\displaystyle d^{d-2}}$

Formas cuadráticas

Una forma cuadrática es una función sobre un espacio vectorial , que está definida sobre alguna base por un polinomio homogéneo de grado 2:

${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})\ =\ \sum _{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j},}$

o, en forma matricial,

${\displaystyle Q(X)=XAX^{\mathrm {T} },}$

para la matriz simétrica , el vector fila y el vector columna . En característica distinta de 2, ^[10] el discriminante o determinante de Q es el determinante de A . ^[11] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle X=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle X^{\mathrm {T} }}$

El determinante hessiano de Q es multiplicado por su discriminante. La resultante multivariante de las derivadas parciales de Q es igual a su determinante hessiano. Por lo tanto, el discriminante de una forma cuadrática es un caso especial de la definición general anterior de discriminante. ${\displaystyle 2^{n}}$

El discriminante de una forma cuadrática es invariante ante cambios lineales de variables (es decir, un cambio de base del espacio vectorial en el que se define la forma cuadrática) en el siguiente sentido: un cambio lineal de variables se define por una matriz no singular S , cambia la matriz A en y, por tanto, multiplica el discriminante por el cuadrado del determinante de S . Por tanto, el discriminante está bien definido solo hasta la multiplicación por un cuadrado. En otras palabras, el discriminante de una forma cuadrática sobre un cuerpo K es un elemento de K /( K ^× ) ² , el cociente del monoide multiplicativo de K por el subgrupo de los cuadrados distintos de cero (es decir, dos elementos de K están en la misma clase de equivalencia si uno es el producto del otro por un cuadrado distinto de cero). De ello se deduce que, sobre los números complejos , un discriminante equivale a 0 o 1. Sobre los números reales , un discriminante equivale a −1, 0 o 1. Sobre los números racionales , un discriminante equivale a un único entero libre de cuadrados . ${\displaystyle S^{\mathrm {T} }A\,S,}$

Por un teorema de Jacobi , una forma cuadrática sobre un cuerpo de característica distinta de 2 puede expresarse, después de un cambio lineal de variables, en forma diagonal como

${\displaystyle a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.}$

Más precisamente, una forma cuadrática puede expresarse como una suma

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}L_{i}^{2}}$

donde L _i son formas lineales independientes y n es el número de variables (algunas de las a _i pueden ser cero). De manera equivalente, para cualquier matriz simétrica A , existe una matriz elemental S tal que es una matriz diagonal . Entonces el discriminante es el producto de las a _i , que está bien definida como una clase en K /( K ^× ) ² . ${\displaystyle S^{\mathrm {T} }A\,S}$

Geométricamente, el discriminante de una forma cuadrática en tres variables es la ecuación de una curva proyectiva cuadrática . El discriminante es cero si y solo si la curva se descompone en líneas (posiblemente sobre una extensión algebraicamente cerrada del campo).

Una forma cuadrática en cuatro variables es la ecuación de una superficie proyectiva . La superficie tiene un punto singular si y solo su discriminante es cero. En este caso, la superficie puede descomponerse en planos, o tiene un único punto singular y es un cono o un cilindro . Sobre los números reales, si el discriminante es positivo, entonces la superficie no tiene ningún punto real o tiene en todas partes una curvatura gaussiana negativa . Si el discriminante es negativo, la superficie tiene puntos reales y tiene una curvatura gaussiana negativa.

Secciones cónicas

Una sección cónica es una curva plana definida por una ecuación implícita de la forma

${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0,}$

donde a , b , c , d , e , f son números reales.

Dos formas cuadráticas , y por tanto dos discriminantes, pueden asociarse a una sección cónica.

La primera forma cuadrática es

${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dxz+2eyz+fz^{2}=0.}$

Su discriminante es el determinante

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{vmatrix}}.}$

Es cero si la sección cónica degenera en dos rectas, una recta doble o un solo punto.

El segundo discriminante, que es el único que se considera en muchos libros de texto de primaria, es el discriminante de la parte homogénea de grado dos de la ecuación. Es igual a ^[12]

${\displaystyle b^{2}-ac,}$

y determina la forma de la sección cónica. Si este discriminante es negativo, la curva no tiene puntos reales, o es una elipse o un círculo , o, si está degenerada, se reduce a un solo punto. Si el discriminante es cero, la curva es una parábola , o, si está degenerada, una línea doble o dos líneas paralelas. Si el discriminante es positivo, la curva es una hipérbola , o, si está degenerada, un par de líneas que se cortan.

Superficies cuadráticas reales

Una superficie cuadrática real en el espacio euclidiano de dimensión tres es una superficie que puede definirse como los ceros de un polinomio de grado dos en tres variables. En cuanto a las secciones cónicas, hay dos discriminantes que pueden definirse de forma natural. Ambos son útiles para obtener información sobre la naturaleza de una superficie cuadrática.

Sea un polinomio de grado dos en tres variables que define una superficie cuadrática real. La primera forma cuadrática asociada, depende de cuatro variables, y se obtiene homogeneizando P ; es decir ${\displaystyle P(x,y,z)}$ ${\displaystyle Q_{4},}$

${\displaystyle Q_{4}(x,y,z,t)=t^{2}P(x/t,y/t,z/t).}$

Denotemos su discriminante por ${\displaystyle \Delta _{4}.}$

La segunda forma cuadrática, depende de tres variables, y consta de los términos de grado dos de P ; es decir ${\displaystyle Q_{3},}$

${\displaystyle Q_{3}(x,y,z)=Q_{4}(x,y,z,0).}$

Denotemos su discriminante por ${\displaystyle \Delta _{3}.}$

Si y la superficie tiene puntos reales, se trata de un paraboloide hiperbólico o de un hiperboloide de una sola hoja . En ambos casos, se trata de una superficie reglada que tiene una curvatura gaussiana negativa en cada punto. ${\displaystyle \Delta _{4}>0,}$

Si la superficie es un elipsoide , un hiperboloide de dos láminas o un paraboloide elíptico , en todos los casos tiene una curvatura gaussiana positiva en cada punto. ${\displaystyle \Delta _{4}<0,}$

Si la superficie tiene un punto singular , posiblemente en el infinito . Si solo hay un punto singular, la superficie es un cilindro o un cono . Si hay varios puntos singulares, la superficie consta de dos planos, un doble plano o una sola línea. ${\displaystyle \Delta _{4}=0,}$

Cuando el signo de si no es 0, no proporciona ninguna información útil, ya que cambiar P en − P no cambia la superficie, pero cambia el signo de Sin embargo, si y la superficie es un paraboloide , que es elíptico o hiperbólico, dependiendo del signo de ${\displaystyle \Delta _{4}\neq 0,}$ ${\displaystyle \Delta _{3},}$ ${\displaystyle \Delta _{3}.}$ ${\displaystyle \Delta _{4}\neq 0}$ ${\displaystyle \Delta _{3}=0,}$ ${\displaystyle \Delta _{4}.}$

Discriminante de un cuerpo de números algebraicos

El discriminante de un campo de números algebraicos mide el tamaño del ( anillo de números enteros del) campo de números algebraicos.

Más específicamente, es proporcional al cuadrado del volumen del dominio fundamental del anillo de números enteros , y regula qué primos están ramificados .

El discriminante es uno de los invariantes más básicos de un cuerpo numérico y aparece en varias fórmulas analíticas importantes , como la ecuación funcional de la función zeta de Dedekind de K y la fórmula analítica del número de clase para K. Un teorema de Hermite afirma que solo hay un número finito de cuerpos numéricos de discriminante acotado, sin embargo, determinar esta cantidad sigue siendo un problema abierto y el tema de la investigación actual. ^[13]

Sea K un cuerpo de números algebraicos y sea O _K su anillo de enteros . Sea b ₁ , ..., b _n una base integral de O _K (es decir, una base como un Z -módulo ), y sea {σ ₁ , ..., σ _n } el conjunto de incrustaciones de K en los números complejos (es decir, homomorfismos de anillo inyectivos K  →  C ). El discriminante de K es el cuadrado del determinante de la matriz n por n B cuya ( i , j )-entrada es σ _i ( b _j ). Simbólicamente,

${\displaystyle \Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.}$

El discriminante de K puede denominarse discriminante absoluto de K para distinguirlo del de una extensión K / L de cuerpos de números. Este último es un ideal en el anillo de números enteros de L y, al igual que el discriminante absoluto, indica qué primos se ramifican en K / L. Es una generalización del discriminante absoluto que permite que L sea mayor que Q ; de hecho, cuando L  =  Q , el discriminante relativo de K / Q es el ideal principal de Z generado por el discriminante absoluto de K.

Discriminantes fundamentales

Un tipo específico de discriminante útil en el estudio de cuerpos cuadráticos es el discriminante fundamental. Surge en la teoría de las formas cuadráticas binarias integrales , que son expresiones de la forma: $${\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$$

donde , , y son números enteros. El discriminante de está dado por: No todo número entero puede surgir como discriminante de una forma cuadrática binaria integral. Un número entero es un discriminante fundamental si y solo si cumple uno de los siguientes criterios: ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$ ${\textstyle c}$ ${\textstyle Q(x,y)}$ $${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$$ ${\textstyle D}$

• Caso 1: es congruente con 1 módulo 4 ( ) y no tiene cuadrados, lo que significa que no es divisible por el cuadrado de ningún número primo. ${\textstyle D}$ ${\textstyle D\equiv 1{\pmod {4}}}$
• Caso 2: es igual a cuatro veces un entero ( ) donde es congruente con 2 o 3 módulo 4 ( ) y no tiene cuadrados. ${\textstyle D}$ ${\textstyle m}$ ${\textstyle D=4m}$ ${\textstyle m}$ ${\textstyle m\equiv 2,3{\pmod {4}}}$

Estas condiciones garantizan que cada discriminante fundamental corresponda únicamente a un tipo específico de forma cuadrática.

Los primeros once discriminantes fundamentales positivos son:

1 , 5 , 8 , 12 , 13 , 17 , 21 , 24 , 28 , 29 , 33 (secuencia A003658 en la OEIS ).

Los primeros once discriminantes fundamentales negativos son:

−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31 (secuencia A003657 en la OEIS ).

Campos de números cuadráticos

Un campo cuadrático es una extensión de campo de los números racionales que tiene grado 2. El discriminante de un campo cuadrático juega un papel análogo al discriminante de una forma cuadrática. ${\textstyle \mathbb {Q} }$

Existe una conexión fundamental: un número entero es un discriminante fundamental si y sólo si: ${\textstyle D_{0}}$

• ${\textstyle D_{0}=1}$, o
• ${\textstyle D_{0}}$es el discriminante de un campo cuadrático.

Para cada discriminante fundamental existe un único cuerpo cuadrático (salvo isomorfismo) con como discriminante. Esto conecta la teoría de formas cuadráticas y el estudio de cuerpos cuadráticos. ${\textstyle D_{0}\neq 1}$ ${\textstyle D_{0}}$

Factorización prima

Los discriminantes fundamentales también se pueden caracterizar por su factorización prima. Consideremos el conjunto formado por los números primos congruentes con 1 módulo 4 y los inversos aditivos de los números primos congruentes con 3 módulo 4: Un número entero es un discriminante fundamental si y solo si es un producto de elementos de que son coprimos por pares . ^{[ cita requerida ]} ${\textstyle S}$ ${\displaystyle -8,8,-4,}$ $${\displaystyle S=\{-8,-4,8,-3,5,-7,-11,13,17,-19,...\}}$$ ${\textstyle D\neq 1}$ ${\displaystyle S}$

Referencias

1. "Discriminante | matemáticas". Enciclopedia Británica . Consultado el 9 de agosto de 2020 .
2. Sylvester, JJ (1851). "Sobre un descubrimiento notable en la teoría de las formas canónicas y de los hiperdeterminantes". Philosophical Magazine . 4.ª serie. 2 : 391–410.
   Sylvester acuña la palabra "discriminante" en la página 406.
3. Wang, Dongming (2004). Práctica de eliminación: herramientas y aplicaciones de software. Imperial College Press . Cap. 10, pág. 180. ISBN. 1-86094-438-8.
4. Gelfand, Israel M .; Kapranov, Mikhail M .; Zelevinsky, Andrei V. (1994). Discriminantes, resultantes y determinantes multidimensionales. Birkhäuser . pag. 1.ISBN​ 3-7643-3660-9. Archivado desde el original el 13 de enero de 2013.
5. Dickenstein, Alicia ; Emiris, Ioannis Z. (2005). Resolución de ecuaciones polinómicas: fundamentos, algoritmos y aplicaciones. Springer . cap. 1 p. 26. ISBN 3-540-24326-7.
6. Irving, Ronald S. (2004). Enteros, polinomios y anillos. Springer-Verlag New York, Inc. cap. 10.3 págs. 153-154. ISBN 0-387-40397-3.
7. "Discriminante cúbico | Wiki de matemáticas y ciencias brillante" . Consultado el 21 de marzo de 2023 .
8. "Discriminante de una ecuación cúbica" . Consultado el 21 de marzo de 2023 .
9. Irving, Ronald S. (2004). Enteros, polinomios y anillos. Springer-Verlag New York, Inc. cap. 10 ej. 10.14.4 y 10.17.4, págs. 154-156. ISBN 0-387-40397-3.
10. En la característica 2, el discriminante de una forma cuadrática no está definido y se reemplaza por el invariante Arf .
11. Cassels, JWS (1978). Formas cuadráticas racionales . Monografías de la London Mathematical Society. Vol. 13. Academic Press . pág. 6. ISBN. 0-12-163260-1.Zbl 0395.10029  .
12. Fanchi, John R. (2006). Actualización de matemáticas para científicos e ingenieros. John Wiley and Sons. Sec. 3.2, p. 45. ISBN 0-471-75715-2.
13. Cohen, Henri ; Diaz y Diaz, Francisco; Olivier, Michel (2002), "A Survey of Discriminant Counting", en Fieker, Claus; Kohel, David R. (eds.), Algorithmic Number Theory, Proceedings, 5th International Symposium, ANTS-V, University of Sydney, julio de 2002 , Lecture Notes in Computer Science, vol. 2369, Berlín: Springer-Verlag, pp. 80–94, doi :10.1007/3-540-45455-1_7, ISBN 978-3-540-43863-2, ISSN  0302-9743  , MR2041075

Enlaces externos

• Wolfram Mathworld: Discriminante polinomial
• Planetmath: Discriminante