Grado de un polinomio

Concepto matemático

En matemáticas , el grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios (términos individuales) del polinomio con coeficientes distintos de cero. El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables que aparecen en él y, por lo tanto, es un entero no negativo . Para un polinomio univariante , el grado del polinomio es simplemente el exponente más alto que aparece en el polinomio. ^[1] El término orden se ha utilizado como sinónimo de grado pero, hoy en día, puede referirse a varios otros conceptos (véase Orden de un polinomio (desambiguación) ).

Por ejemplo, el polinomio que también se puede escribir como tiene tres términos. El primer término tiene un grado de 5 (la suma de las potencias 2 y 3), el segundo término tiene un grado de 1 y el último término tiene un grado de 0. Por lo tanto, el polinomio tiene un grado de 5, que es el grado más alto de cualquier término. ${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x-9,}$ ${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},}$

Para determinar el grado de un polinomio que no está en forma estándar, como , se puede poner en forma estándar desarrollando los productos (por distributividad ) y combinando los términos semejantes; por ejemplo, es de grado 1, aunque cada sumando tiene grado 2. Sin embargo, esto no es necesario cuando el polinomio se escribe como un producto de polinomios en forma estándar, porque el grado de un producto es la suma de los grados de los factores. ${\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}}$ ${\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x}$

Nombres de polinomios por grado

Los siguientes nombres se asignan a los polinomios según su grado: ^{[2] [3] [4]}

• Caso especial: cero (ver § Grado del polinomio cero, a continuación)
• Grado 0 – constante distinta de cero ^[5]
• Grado 1 – lineal
• Grado 2 – cuadrático
• Grado 3 – cúbico
• Grado 4 – cuártico (o, si todos los términos tienen grado par, bicuadrático )
• Grado 5 – quintico
• Grado 6 – séxtico (o, con menos frecuencia, héxico)
• Grado 7 – séptico (o, con menor frecuencia, heptico)
• Grado 8 – octóctono
• Grado 9 – nonic
• Grado 10 – decic

Los nombres para el grado superior a tres se basan en números ordinales latinos y terminan en -ic . Esto debe distinguirse de los nombres utilizados para el número de variables, la aridad , que se basan en números distributivos latinos y terminan en -ario . Por ejemplo, un polinomio de grado dos en dos variables, como , se llama "binario cuadrático": binario debido a dos variables, cuadrático debido al grado dos. ^[a] También hay nombres para el número de términos, que también se basan en números distributivos latinos, que terminan en -nomial ; los comunes son monomio , binomio y (menos comúnmente) trinomio ; por lo tanto, es un "binomio cuadrático binario". ${\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$

Ejemplos

El polinomio es un polinomio cúbico: después de multiplicar y agrupar los términos del mismo grado, se convierte en , con mayor exponente 3. ${\displaystyle (y-3)(2y+6)(-4y-21)}$ ${\displaystyle -8y^{3}-42y^{2}+72y+378}$

El polinomio es un polinomio de quinto grado: al combinar términos iguales, los dos términos de grado 8 se cancelan, quedando , con mayor exponente 5. ${\displaystyle (3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)}$ ${\displaystyle z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6}$

Comportamiento bajo operaciones polinómicas

El grado de la suma, el producto o la composición de dos polinomios está fuertemente relacionado con el grado de los polinomios de entrada. ^[6]

Suma

El grado de la suma (o diferencia) de dos polinomios es menor o igual al mayor de sus grados; es decir,

${\displaystyle \deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}$y . ${\displaystyle \deg(P-Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}$

Por ejemplo, el grado de es 2, y 2 ≤ max{3, 3}. ${\displaystyle (x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x}$

La igualdad siempre se cumple cuando los grados de los polinomios son diferentes. Por ejemplo, el grado de es 3 y 3 = máx{3, 2}. ${\displaystyle (x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1}$

Multiplicación

El grado del producto de un polinomio por un escalar distinto de cero es igual al grado del polinomio; es decir,

${\displaystyle \deg(cP)=\deg(P)}$.

Por ejemplo, el grado de es 2, que es igual al grado de . ${\displaystyle 2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4}$ ${\displaystyle x^{2}+3x-2}$

Así, el conjunto de polinomios (con coeficientes de un cuerpo dado F ) cuyos grados son menores o iguales a un número dado n forma un espacio vectorial ; para más información, véase Ejemplos de espacios vectoriales .

De manera más general, el grado del producto de dos polinomios sobre un campo o un dominio integral es la suma de sus grados:

${\displaystyle \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)}$.

Por ejemplo, el grado de es 5 = 3 + 2. ${\displaystyle (x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x}$

Para polinomios sobre un anillo arbitrario , las reglas anteriores pueden no ser válidas debido a la cancelación que puede ocurrir al multiplicar dos constantes distintas de cero. Por ejemplo, en el anillo de números enteros módulo 4 , se tiene que , pero , que no es igual a la suma de los grados de los factores. ${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \deg(2x)=\deg(1+2x)=1}$ ${\displaystyle \deg(2x(1+2x))=\deg(2x)=1}$

Composición

El grado de la composición de dos polinomios no constantes y sobre un cuerpo o dominio integral es el producto de sus grados: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle \deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q).}$$

Por ejemplo, si tiene grado 3 y tiene grado 2, entonces su composición es que tiene grado 6. ${\displaystyle P=x^{3}+x}$ ${\displaystyle Q=x^{2}-1}$ ${\displaystyle P\circ Q=P\circ (x^{2}-1)=(x^{2}-1)^{3}+(x^{2}-1)=x^{6}-3x^{4}+4x^{2}-2,}$

Obsérvese que, en el caso de polinomios sobre un anillo arbitrario, el grado de la composición puede ser menor que el producto de los grados. Por ejemplo, en la composición de los polinomios y (ambos de grado 1) es el polinomio constante de grado 0. ${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} ,}$ ${\displaystyle 2x}$ ${\displaystyle 1+2x}$ ${\displaystyle 2x\circ (1+2x)=2+4x=2,}$

Grado del polinomio cero

El grado del polinomio cero se deja sin definir o se define como negativo (normalmente −1 o ). ^[7] ${\displaystyle -\infty }$

Como cualquier valor constante, el valor 0 puede considerarse como un polinomio (constante), llamado polinomio cero . No tiene términos distintos de cero y, por lo tanto, estrictamente hablando, tampoco tiene grado. Como tal, su grado suele estar indefinido. Las proposiciones para el grado de sumas y productos de polinomios en la sección anterior no se aplican si alguno de los polinomios involucrados es el polinomio cero. ^[8]

Es conveniente, sin embargo, definir el grado del polinomio cero como infinito negativo e introducir las reglas aritméticas ^[9] ${\displaystyle -\infty ,}$

${\displaystyle \max(a,-\infty )=a,}$

y

${\displaystyle a+(-\infty )=-\infty .}$

Estos ejemplos ilustran cómo esta extensión satisface las reglas de comportamiento anteriores:

• El grado de la suma es 3. Esto satisface el comportamiento esperado, que es que . ${\displaystyle (x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x}$ ${\displaystyle 3\leq \max(3,-\infty )}$
• El grado de la diferencia es . Esto satisface el comportamiento esperado, que es que . ${\displaystyle (x)-(x)=0}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty \leq \max(1,1)}$
• El grado del producto es . Esto satisface el comportamiento esperado, que es que . ${\displaystyle (0)(x^{2}+1)=0}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty =-\infty +2}$

Calculado a partir de los valores de la función

Existen varias fórmulas que evalúan el grado de una función polinómica f . Una basada en el análisis asintótico es

${\displaystyle \deg f=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log x}}}$;

Esta es la contraparte exacta del método de estimación de la pendiente en un gráfico logarítmico-logarítmico .

Esta fórmula generaliza el concepto de grado a algunas funciones que no son polinomios. Por ejemplo:

• El grado del inverso multiplicativo , , es −1. ${\displaystyle \ 1/x}$
• El grado de la raíz cuadrada , , es 1/2. ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$
• El grado del logaritmo , , es 0. ${\displaystyle \ \log x}$
• El grado de la función exponencial , , es ${\displaystyle \exp x}$ ${\displaystyle \infty .}$

La fórmula también da resultados razonables para muchas combinaciones de tales funciones, por ejemplo, el grado de es . ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {x}}}{x}}}$ ${\displaystyle -1/2}$

Otra fórmula para calcular el grado de f a partir de sus valores es

${\displaystyle \deg f=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}}$;

Esta segunda fórmula se deduce de la aplicación de la regla de L'Hôpital a la primera fórmula. Sin embargo, intuitivamente, se trata más bien de mostrar el grado d como el factor constante adicional en la derivada de . ${\displaystyle dx^{d-1}}$ ${\displaystyle x^{d}}$

Se puede obtener una descripción más detallada (que un simple grado numérico) de la asintótica de una función utilizando la notación O mayúscula . En el análisis de algoritmos , por ejemplo, a menudo es relevante distinguir entre las tasas de crecimiento de y , que tendrían el mismo grado según las fórmulas anteriores. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\log x}$

Extensión a polinomios con dos o más variables

En el caso de polinomios con dos o más variables, el grado de un término es la suma de los exponentes de las variables que lo componen; el grado (a veces llamado grado total ) del polinomio es nuevamente el máximo de los grados de todos los términos del polinomio. Por ejemplo, el polinomio x ² y ² + 3 x ³ + 4 y tiene grado 4, el mismo grado que el término x ² y ² .

Sin embargo, un polinomio en las variables x e y , es un polinomio en x con coeficientes que son polinomios en y , y también un polinomio en y con coeficientes que son polinomios en x . El polinomio

${\displaystyle x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y=(3)x^{3}+(y^{2})x^{2}+(4y)=(x^{2})y^{2}+(4)y+(3x^{3})}$

tiene grado 3 en x y grado 2 en y .

Función de grado en álgebra abstracta

Dado un anillo R , el anillo polinomial R [ x ] es el conjunto de todos los polinomios en x que tienen coeficientes en R . En el caso especial de que R sea también un cuerpo , el anillo polinomial R [ x ] es un dominio ideal principal y, más importante para nuestra discusión aquí, un dominio euclidiano .

Se puede demostrar que el grado de un polinomio sobre un cuerpo satisface todos los requisitos de la función norma en el dominio euclidiano. Es decir, dados dos polinomios f ( x ) y g ( x ), el grado del producto f ( x ) g ( x ) debe ser mayor que los grados de f y g individualmente. De hecho, se cumple algo más fuerte:

${\displaystyle \deg(f(x)g(x))=\deg(f(x))+\deg(g(x))}$

Para un ejemplo de por qué la función de grado puede fallar en un anillo que no es un cuerpo, tome el siguiente ejemplo. Sea R = , el anillo de números enteros módulo 4. Este anillo no es un cuerpo (y ni siquiera es un dominio integral ) porque 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4). Por lo tanto, sea f ( x ) = g ( x ) = 2 x + 1. Luego, f ( x ) g ( x ) = 4 x ² + 4 x + 1 = 1. Por lo tanto, deg( f ⋅ g ) = 0 que no es mayor que los grados de f y g (que cada uno tenía grado 1). ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$

Como la función norma no está definida para el elemento cero del anillo, consideramos que el grado del polinomio f ( x ) = 0 también está indefinido, de modo que sigue las reglas de una norma en un dominio euclidiano.

Véase también

• Teorema de Abel-Ruffini
• Teorema fundamental del álgebra

Notas

1. Para simplificar, este es un polinomio homogéneo , con igual grado en ambas variables por separado.

1. Gullberg, Jan (1997), Matemáticas desde el nacimiento de los números, WW Norton & Company, pág. 128, ISBN 9780393040029
2. Mac Lane y Birkhoff (1999) definen "lineal", "cuadrático", "cúbico", "cuártico" y "quíntico". (p. 107)
3. King (2009) define "cuadrático", "cúbico", "cuártico", "quíntico", "séxtico", "séptico" y "óctico".
4. James Cockle propuso los nombres "sexic", "septic", "octic", "nonic" y "decic" en 1851. (Mechanics Magazine, vol. LV, p. 171)
5. Shafarevich (2003) dice de un polinomio de grado cero: "Un polinomio de este tipo se llama constante porque si sustituimos en él diferentes valores de x , siempre obtenemos el mismo valor ". (p. 23) ${\displaystyle f(x)=a_{0}}$ ${\displaystyle a_{0}}$
6. Lang, Serge (2005), Álgebra (3ª ed.), Springer, pág. 100, ISBN 978-0-387-95385-4
7. Shafarevich (2003) dice del polinomio cero: "En este caso, consideramos que el grado del polinomio no está definido". (p. 27)
   Childs (1995) usa −1. (p. 233)
   Childs (2009) usa −∞ (p. 287), sin embargo excluye los polinomios cero en su Proposición 1 (p. 288) y luego explica que la proposición se cumple para los polinomios cero "con la suposición razonable de que + m = para m cualquier entero o m = ". Axler (1997) usa −∞. (p. 64) Grillet (2007) dice: "El grado del polinomio cero 0 a veces se deja sin definir o se define de diversas formas como −1 ∈ o como , siempre que deg 0 < deg A para todo A ≠ 0". ( A es un polinomio). Sin embargo, excluye los polinomios cero en su Proposición 5.3. (p. 121) ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$
   
   ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle -\infty }$
8. Caldwell, William (2009), "Aplicación de mapas conceptuales al álgebra I", en Afamasaga-Fuata'i, Karoline (ed.), Mapas conceptuales en matemáticas: investigación en la práctica , Springer, págs. 217-234, doi :10.1007/978-0-387-89194-1_11, ISBN 9780387891941; ver sección "Grado de un polinomio", págs. 225-226: "El producto del polinomio cero [con] cualquier otro polinomio es siempre el polinomio cero, por lo que tal propiedad de grados (el grado del producto es la suma de los grados de los dos factores) no se cumpliría si uno de los dos polinomios fuera el polinomio 0. Es por eso que no asignamos un grado al polinomio cero".
9. Axler (1997) da estas reglas y dice: "Se declara que el polinomio 0 tiene grado , de modo que no se necesitan excepciones para varios resultados razonables". (p. 64) ${\displaystyle -\infty }$

Referencias

• Axler, Sheldon (1997), Álgebra lineal bien hecha (2.ª ed.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387982595
• Childs, Lindsay N. (1995), Una introducción concreta al álgebra superior (2.ª ed.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387989990
• Childs, Lindsay N. (2009), Una introducción concreta al álgebra superior (3.ª ed.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387745275
• Grillet, Pierre Antoine (2007), Álgebra abstracta (2.ª ed.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387715681
• King, R. Bruce (2009), Más allá de la ecuación cuártica, Springer Science & Business Media, ISBN 9780817648497
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999), Álgebra (3.ª ed.), American Mathematical Society, ISBN 9780821816462
• Shafarevich, Igor R. (2003), Discursos sobre álgebra, Springer Science & Business Media, ISBN 9783540422532