Fórmula del número de clase

Fórmula matemática

En teoría de números , la fórmula del número de clase relaciona muchos invariantes importantes de un campo de números algebraicos con un valor especial de su función zeta de Dedekind .

Enunciado general de la fórmula del número de clase

Comenzamos con los siguientes datos:

• K es un campo numérico.
• [ K  : Q ] = n = r ₁ + 2 r ₂ , donde r ₁ denota el número de incrustaciones reales de K , y 2 r ₂ es el número de incrustaciones complejas de K .
• ζ _K ( s ) es la función zeta de Dedekind de K .
• h _K es el número de clase ,el número de elementos en el grupo de clase ideal de K.
• Reg _K es el regulador de K.
• w _K es el número de raíces de la unidad contenidas en K .
• D _K es el discriminante de la extensión K / Q .

Entonces:

Teorema (Fórmula del Número de Clase). ζ _K ( s ) converge absolutamente para Re( s ) > 1 y se extiende a una función meromórfica definida para todos los complejos s con un solo polo simple en s = 1 , con residuo

${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot \operatorname {Reg} _{K}\cdot h_{K}}{w_{K}\cdot {\sqrt {|D_{K}|}}}}}$

Esta es la "fórmula de número de clase" más general. En casos particulares, por ejemplo cuando K es una extensión ciclotómica de Q , existen fórmulas de número de clase particulares y más refinadas.

Prueba

La idea de la prueba de la fórmula del número de clase se ve más fácilmente cuando K = Q (i). En este caso, el anillo de números enteros en K son los números enteros gaussianos .

Una manipulación elemental muestra que el residuo de la función zeta de Dedekind en s = 1 es el promedio de los coeficientes de la representación de la función zeta de Dedekind en la serie de Dirichlet . El n -ésimo coeficiente de la serie de Dirichlet es esencialmente el número de representaciones de n como suma de dos cuadrados de números enteros no negativos. Por lo tanto, se puede calcular el residuo de la función zeta de Dedekind en s = 1 calculando el número promedio de representaciones. Como en el artículo sobre el problema del círculo de Gauss , se puede calcular esto aproximando el número de puntos de la red dentro de un cuarto de círculo centrado en el origen, concluyendo que el residuo es un cuarto de pi.

La prueba cuando K es un campo de números cuadráticos imaginarios arbitrarios es muy similar. ^[1]

En el caso general, por el teorema de unidad de Dirichlet , el grupo de unidades en el anillo de números enteros de K es infinito. No obstante, se puede reducir el cálculo del residuo a un problema de conteo de puntos reticulares utilizando la teoría clásica de incrustaciones reales y complejas y aproximar el número de puntos reticulares en una región por el volumen de la región, para completar la prueba.

Fórmula del número de clase de Dirichlet

Peter Gustav Lejeune Dirichlet publicó una demostración de la fórmula del número de clase para cuerpos cuadráticos en 1839, pero se expresó en el lenguaje de las formas cuadráticas en lugar de las clases de ideales . Parece que Gauss ya conocía esta fórmula en 1801. ^[2]

Esta exposición sigue a Davenport . ^[3]

Sea d un discriminante fundamental y escriba h(d) para el número de clases de equivalencia de formas cuadráticas con discriminante d . Sea el símbolo de Kronecker . Entonces es un carácter de Dirichlet . Escriba para la serie L de Dirichlet basada en . Para d > 0 , sea t > 0 , u > 0 la solución de la ecuación de Pell para la que u es la más pequeña, y escriba ${\displaystyle \chi =\left(\!{\frac {d}{m}}\!\right)}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle t^{2}-du^{2}=4}$

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}(t+u{\sqrt {d}}).}$

(Entonces es una unidad fundamental del campo cuadrático real o el cuadrado de una unidad fundamental.) Para d < 0, escriba w para el número de automorfismos de formas cuadráticas del discriminante d ; es decir, ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$

${\displaystyle w={\begin{cases}2,&d<-4;\\4,&d=-4;\\6,&d=-3.\end{cases}}}$

Luego Dirichlet demostró que

${\displaystyle h(d)={\begin{cases}{\dfrac {w{\sqrt {|d|}}}{2\pi }}L(1,\chi ),&d<0;\\{\dfrac {\sqrt {d}}{2\ln \varepsilon }}L(1,\chi ),&d>0.\end{cases}}}$

Este es un caso especial del Teorema 1 anterior: para un cuerpo cuadrático K , la función zeta de Dedekind es simplemente , y el residuo es . Dirichlet también demostró que la serie L se puede escribir en una forma finita, lo que da una forma finita para el número de clase. Supongamos que es primitivo con conductor primo . Entonces ${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\zeta (s)L(s,\chi )}$ ${\displaystyle L(1,\chi )}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle L(1,\chi )={\begin{cases}-{\dfrac {\pi }{q^{3/2}}}\sum _{m=1}^{q-1}m\left({\dfrac {m}{q}}\right),&q\equiv 3\mod 4;\\-{\dfrac {1}{2q^{1/2}}}\sum _{m=1}^{q-1}\left({\dfrac {m}{q}}\right)\ln \left(\sin {\dfrac {m\pi }{q}}\right),&q\equiv 1\mod 4.\end{cases}}}$

Extensiones de Galois de los racionales

Si K es una extensión de Galois de Q , la teoría de las funciones L de Artin se aplica a . Tiene un factor de la función zeta de Riemann , que tiene un polo de residuo uno, y el cociente es regular en s = 1. Esto significa que el lado derecho de la fórmula del número de clase se puede equiparar a un lado izquierdo ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$

Π L (1,ρ) ^{ρ diminuto}

con ρ recorriendo las clases de representaciones lineales complejas no triviales irreducibles de Gal( K / Q ) de dimensión dim(ρ). Esto es de acuerdo con la descomposición estándar de la representación regular .

Extensiones abelianas de los racionales

Este es el caso de lo anterior, con Gal( K / Q ) un grupo abeliano , en el que todos los ρ pueden reemplazarse por caracteres de Dirichlet (a través de la teoría de campos de clases ) para algún módulo f llamado conductor . Por lo tanto, todos los valores L (1) ocurren para funciones L de Dirichlet , para las cuales existe una fórmula clásica, que involucra logaritmos.

Según el teorema de Kronecker-Weber , todos los valores necesarios para una fórmula analítica de número de clase se dan ya cuando se consideran los campos ciclotómicos. En ese caso, existe otra formulación posible, como lo demuestra Kummer . El regulador , un cálculo del volumen en el "espacio logarítmico" dividido por los logaritmos de las unidades del campo ciclotómico, se puede establecer frente a las cantidades de L (1) reconocibles como logaritmos de las unidades ciclotómicas . De ahí resultan fórmulas que establecen que el número de clase está determinado por el índice de las unidades ciclotómicas en todo el grupo de unidades.

En la teoría de Iwasawa , estas ideas se combinan además con el teorema de Stickelberger .

Véase también

• Conjetura de Brumer-Stark
• Fórmula de masa de Smith-Minkowski-Siegel

Notas

1. Conferencias sobre la fórmula del número de clase de Dirichlet para campos cuadráticos imaginarios, Tom Weston, 2004.
2. "¿Conocía Gauss la fórmula del número de clase de Dirichlet en 1801?". MathOverflow . 10 de octubre de 2012.
3. Davenport, Harold (2000). Montgomery, Hugh L. (ed.). Teoría de números multiplicativos. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 74 (3.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. págs. 43-53. ISBN. 978-0-387-95097-6. Consultado el 26 de mayo de 2009 .

Referencias

• W. Narkiewicz (1990). Teoría elemental y analítica de los números algebraicos (2.ª ed.). Springer-Verlag / Editorial científica polaca PWN . pp. 324–355. ISBN 3-540-51250-0.

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