En matemáticas , la geometría proyectiva es el estudio de las propiedades geométricas que son invariantes con respecto a las transformaciones proyectivas . Esto significa que, en comparación con la geometría euclidiana elemental , la geometría proyectiva tiene un entorno diferente, el espacio proyectivo , y un conjunto selectivo de conceptos geométricos básicos. Las intuiciones básicas son que el espacio proyectivo tiene más puntos que el espacio euclidiano , para una dimensión dada, y que se permiten transformaciones geométricas que transforman los puntos adicionales (llamados " puntos en el infinito ") en puntos euclidianos, y viceversa.
Las propiedades significativas para la geometría proyectiva son respetadas por esta nueva idea de transformación, que es más radical en sus efectos que lo que se puede expresar mediante una matriz de transformación y traslaciones (las transformaciones afines ). La primera cuestión para los geómetras es qué tipo de geometría es adecuada para una situación nueva. A diferencia de la geometría euclidiana , el concepto de ángulo no se aplica en la geometría proyectiva, porque ninguna medida de ángulos es invariante con respecto a las transformaciones proyectivas, como se ve en el dibujo en perspectiva desde una perspectiva cambiante. Una fuente de la geometría proyectiva fue de hecho la teoría de la perspectiva. Otra diferencia con la geometría elemental es la forma en que se puede decir que las líneas paralelas se encuentran en un punto en el infinito , una vez que el concepto se traduce a los términos de la geometría proyectiva. Nuevamente, esta noción tiene una base intuitiva, como las vías del tren que se encuentran en el horizonte en un dibujo en perspectiva. Consulte Plano proyectivo para conocer los conceptos básicos de la geometría proyectiva en dos dimensiones.
Aunque las ideas ya existían antes, la geometría proyectiva fue principalmente un desarrollo del siglo XIX. Esto incluía la teoría del espacio proyectivo complejo , en la que las coordenadas utilizadas ( coordenadas homogéneas ) eran números complejos. Varios tipos importantes de matemáticas más abstractas (incluida la teoría de invariantes , la escuela italiana de geometría algebraica y el programa Erlangen de Felix Klein que dio lugar al estudio de los grupos clásicos ) fueron motivados por la geometría proyectiva. También fue una materia con muchos practicantes por sí misma, como geometría sintética . Otro tema que se desarrolló a partir de los estudios axiomáticos de la geometría proyectiva es la geometría finita .
El tema de la geometría proyectiva se divide actualmente en muchos subtemas de investigación, dos ejemplos de los cuales son la geometría algebraica proyectiva (el estudio de las variedades proyectivas ) y la geometría diferencial proyectiva (el estudio de los invariantes diferenciales de las transformaciones proyectivas).
La geometría proyectiva es una forma elemental no métrica de geometría, lo que significa que no admite ningún concepto de distancia. En dos dimensiones comienza con el estudio de configuraciones de puntos y líneas . Que de hecho existe cierto interés geométrico en este entorno disperso fue establecido por primera vez por Desargues y otros en su exploración de los principios del arte de la perspectiva . [1] En espacios de dimensiones superiores se consideran hiperplanos (que siempre se encuentran) y otros subespacios lineales, que exhiben el principio de dualidad. La ilustración más simple de dualidad está en el plano proyectivo, donde las afirmaciones "dos puntos distintos determinan una línea única" (es decir, la línea que los atraviesa) y "dos líneas distintas determinan un punto único" (es decir, su punto de intersección) muestran la misma estructura que las proposiciones. La geometría proyectiva también puede verse como una geometría de construcciones con un solo borde recto . [2] Dado que la geometría proyectiva excluye las construcciones con compás , no hay círculos, ángulos, medidas, paralelos y ningún concepto de intermediación (o "intermediación"). [3] Se observó que los teoremas que se aplican a la geometría proyectiva son enunciados más simples. Por ejemplo, las diferentes secciones cónicas son todas equivalentes en la geometría proyectiva (compleja), y algunos teoremas sobre círculos pueden considerarse casos especiales de estos teoremas generales.
A principios del siglo XIX, el trabajo de Jean-Victor Poncelet , Lazare Carnot y otros estableció la geometría proyectiva como un campo independiente de las matemáticas . [3] Sus fundamentos rigurosos fueron abordados por Karl von Staudt y perfeccionados por los italianos Giuseppe Peano , Mario Pieri , Alessandro Padoa y Gino Fano durante finales del siglo XIX. [4] La geometría proyectiva, como la geometría afín y la euclidiana , también se puede desarrollar a partir del programa de Erlangen de Felix Klein; la geometría proyectiva se caracteriza por invariantes bajo transformaciones del grupo proyectivo .
Después de mucho trabajo sobre el gran número de teoremas en la materia, por lo tanto, se entendieron los conceptos básicos de la geometría proyectiva. La estructura de incidencia y la razón cruzada son invariantes fundamentales bajo transformaciones proyectivas. La geometría proyectiva puede ser modelada por el plano afín (o espacio afín) más una línea (hiperplano) "en el infinito" y luego tratando esa línea (o hiperplano) como "ordinaria". [5] Un modelo algebraico para hacer geometría proyectiva al estilo de la geometría analítica está dado por coordenadas homogéneas. [6] [7] Por otro lado, los estudios axiomáticos revelaron la existencia de planos no desarguesianos , ejemplos para mostrar que los axiomas de incidencia pueden ser modelados (en dos dimensiones solamente) por estructuras no accesibles al razonamiento a través de sistemas de coordenadas homogéneos.
En un sentido fundamental, la geometría proyectiva y la geometría ordenada son elementales ya que cada una implica un conjunto mínimo de axiomas y cualquiera de ellas puede usarse como base para la geometría afín y euclidiana . [8] [9] La geometría proyectiva no está "ordenada" [3] y, por lo tanto, es una base distinta para la geometría.
Las primeras propiedades geométricas de naturaleza proyectiva fueron descubiertas durante el siglo III por Pappus de Alejandría . [3] Filippo Brunelleschi (1404-1472) comenzó a investigar la geometría de la perspectiva durante 1425 [10] (ver Perspectiva (gráfica) § Historia para una discusión más completa del trabajo en las bellas artes que motivó gran parte del desarrollo de la geometría proyectiva). Johannes Kepler (1571-1630) y Girard Desargues (1591-1661) desarrollaron independientemente el concepto de "punto en el infinito". [11] Desargues desarrolló una forma alternativa de construir dibujos en perspectiva al generalizar el uso de puntos de fuga para incluir el caso en que estos están infinitamente lejos. Hizo de la geometría euclidiana , donde las líneas paralelas son verdaderamente paralelas, un caso especial de un sistema geométrico que lo abarca todo. El estudio de Desargues sobre las secciones cónicas atrajo la atención de Blaise Pascal, de 16 años , y lo ayudó a formular el teorema de Pascal . Los trabajos de Gaspard Monge a fines del siglo XVIII y principios del XIX fueron importantes para el desarrollo posterior de la geometría proyectiva. El trabajo de Desargues fue ignorado hasta que Michel Chasles encontró una copia manuscrita durante 1845. Mientras tanto, Jean-Victor Poncelet había publicado el tratado fundacional sobre geometría proyectiva durante 1822. Poncelet examinó las propiedades proyectivas de los objetos (aquellos invariantes bajo proyección central) y, al basar su teoría en el polo concreto y la relación polar con respecto a un círculo, estableció una relación entre las propiedades métricas y proyectivas. Las geometrías no euclidianas descubiertas poco después finalmente demostraron tener modelos, como el modelo de Klein del espacio hiperbólico , relacionados con la geometría proyectiva.
En 1855 AF Möbius escribió un artículo sobre permutaciones, ahora llamadas transformaciones de Möbius , de círculos generalizados en el plano complejo . Estas transformaciones representan proyectividades de la línea proyectiva compleja . En el estudio de las líneas en el espacio, Julius Plücker utilizó coordenadas homogéneas en su descripción, y el conjunto de líneas se vio en la cuadrática de Klein , una de las primeras contribuciones de la geometría proyectiva a un nuevo campo llamado geometría algebraica , una rama de la geometría analítica con ideas proyectivas.
La geometría proyectiva fue instrumental en la validación de las especulaciones de Lobachevski y Bolyai sobre la geometría hiperbólica al proporcionar modelos para el plano hiperbólico : [12] por ejemplo, el modelo del disco de Poincaré donde los círculos generalizados perpendiculares al círculo unitario corresponden a "líneas hiperbólicas" ( geodésicas ), y las "traslaciones" de este modelo se describen mediante transformaciones de Möbius que asignan el disco unitario a sí mismo. La distancia entre los puntos está dada por una métrica de Cayley-Klein , conocida por ser invariante bajo las traslaciones ya que depende de la razón cruzada , un invariante proyectivo clave. Las traslaciones se describen de diversas formas como isometrías en la teoría del espacio métrico , como transformaciones fraccionarias lineales formalmente y como transformaciones lineales proyectivas del grupo lineal proyectivo , en este caso SU(1, 1) .
El trabajo de Poncelet , Jakob Steiner y otros no tenía como objetivo ampliar la geometría analítica. Se suponía que las técnicas debían ser sintéticas : en efecto, el espacio proyectivo tal como se entiende ahora debía introducirse de manera axiomática. Como resultado, reformular el trabajo temprano en geometría proyectiva para que satisfaga los estándares actuales de rigor puede ser algo difícil. Incluso en el caso del plano proyectivo solo, el enfoque axiomático puede dar como resultado modelos no descriptibles mediante álgebra lineal .
Este período de la geometría fue superado por la investigación sobre la curva algebraica general por parte de Clebsch , Riemann , Max Noether y otros, que ampliaron las técnicas existentes, y luego por la teoría de invariantes . Hacia finales del siglo, la escuela italiana de geometría algebraica ( Enriques , Segre , Severi ) se apartó de la temática tradicional para entrar en un área que exigía técnicas más profundas.
Durante la última parte del siglo XIX, el estudio detallado de la geometría proyectiva perdió popularidad, aunque la literatura es abundante. Se realizaron algunos trabajos importantes en geometría enumerativa , en particular por Schubert, que ahora se considera que anticipó la teoría de las clases de Chern , tomadas como representación de la topología algebraica de los Grassmannianos .
La geometría proyectiva resultó más tarde clave para la invención de la mecánica cuántica por parte de Paul Dirac . En un nivel fundamental, el descubrimiento de que las mediciones cuánticas podían no conmutar había perturbado y disuadido a Heisenberg , pero el estudio anterior de planos proyectivos sobre anillos no conmutativos probablemente había desensibilizado a Dirac. En trabajos más avanzados, Dirac utilizó dibujos extensos en geometría proyectiva para comprender el significado intuitivo de sus ecuaciones, antes de escribir su trabajo en un formalismo exclusivamente algebraico. [13]
La geometría proyectiva es menos restrictiva que la geometría euclidiana o la geometría afín . Es una geometría intrínsecamente no métrica , lo que significa que los hechos son independientes de cualquier estructura métrica. Bajo las transformaciones proyectivas, se conservan la estructura de incidencia y la relación de conjugados armónicos proyectivos . Un rango proyectivo es la base unidimensional. La geometría proyectiva formaliza uno de los principios centrales del arte de la perspectiva: que las líneas paralelas se encuentran en el infinito y, por lo tanto, se dibujan de esa manera. En esencia, una geometría proyectiva puede considerarse como una extensión de la geometría euclidiana en la que la "dirección" de cada línea se subsume dentro de la línea como un "punto" adicional, y en la que un "horizonte" de direcciones correspondientes a líneas coplanares se considera una "línea". Por lo tanto, dos líneas paralelas se encuentran en una línea de horizonte en virtud de que incorporan la misma dirección.
Las direcciones idealizadas se denominan puntos en el infinito, mientras que los horizontes idealizados se denominan líneas en el infinito. A su vez, todas estas líneas se encuentran en el plano en el infinito. Sin embargo, el infinito es un concepto métrico, por lo que una geometría puramente proyectiva no distingue ningún punto, línea o plano en este sentido; los que están en el infinito se tratan como cualquier otro.
Debido a que la geometría euclidiana está contenida dentro de una geometría proyectiva (la cual tiene una base más simple), los resultados generales de la geometría euclidiana se pueden derivar de una manera más transparente, donde los teoremas separados pero similares de la geometría euclidiana se pueden manejar colectivamente dentro del marco de la geometría proyectiva. Por ejemplo, las líneas paralelas y no paralelas no necesitan ser tratadas como casos separados; en lugar de eso, un plano proyectivo arbitrario se distingue como el plano ideal y se ubica "en el infinito" utilizando coordenadas homogéneas .
Otras propiedades de importancia fundamental son el teorema de Desargues y el teorema de Pappus . En espacios proyectivos de dimensión 3 o mayor existe una construcción que permite demostrar el teorema de Desargues . Pero para la dimensión 2, debe postularse por separado.
Utilizando el teorema de Desargues , combinado con los demás axiomas, es posible definir geométricamente las operaciones básicas de la aritmética. Las operaciones resultantes satisfacen los axiomas de un cuerpo, excepto que la conmutatividad de la multiplicación requiere el teorema del hexágono de Pappus . Como resultado, los puntos de cada línea están en correspondencia biunívoca con un campo dado, F , suplementado por un elemento adicional, ∞, tal que r ⋅ ∞ = ∞ , −∞ = ∞ , r + ∞ = ∞ , r / 0 = ∞ , r / ∞ = 0 , ∞ − r = r − ∞ = ∞ , excepto que 0 / 0 , ∞ / ∞ , ∞ + ∞ , ∞ − ∞ , 0 ⋅ ∞ y ∞ ⋅ 0 permanecen sin definir.
La geometría proyectiva también incluye una teoría completa de las secciones cónicas , un tema también ampliamente desarrollado en la geometría euclidiana. Hay ventajas en poder pensar en una hipérbola y una elipse como distinguidas solo por la forma en que la hipérbola se encuentra transversalmente a la línea en el infinito ; y que una parábola se distingue solo por ser tangente a la misma línea. Toda la familia de círculos puede considerarse como cónicas que pasan por dos puntos dados en la línea en el infinito , a costa de requerir coordenadas complejas . Como las coordenadas no son "sintéticas", uno las reemplaza fijando una línea y dos puntos en ella, y considerando el sistema lineal de todas las cónicas que pasan por esos puntos como el objeto básico de estudio. Este método resultó muy atractivo para los geómetras talentosos, y el tema fue estudiado a fondo. Un ejemplo de este método es el tratado de varios volúmenes de HF Baker .
Existen muchas geometrías proyectivas, que pueden dividirse en discretas y continuas: una geometría discreta comprende un conjunto de puntos, que pueden ser o no finitos en número, mientras que una geometría continua tiene infinitos puntos sin espacios entre ellos.
La única geometría proyectiva de dimensión 0 es un único punto. Una geometría proyectiva de dimensión 1 consiste en una única línea que contiene al menos 3 puntos. La construcción geométrica de operaciones aritméticas no se puede realizar en ninguno de estos casos. Para la dimensión 2, existe una estructura rica en virtud de la ausencia del teorema de Desargues .
La geometría proyectiva bidimensional más pequeña (aquella con menos puntos) es el plano de Fano , que tiene 3 puntos en cada recta, con 7 puntos y 7 rectas en total, teniendo las siguientes colineales:
con coordenadas homogéneas A = (0,0,1) , B = (0,1,1) , C = (0,1,0) , D = (1,0,1) , E = (1,0,0) , F = (1,1,1) , G = (1,1,0) , o, en coordenadas afines, A = (0,0) , B = (0,1) , C = (∞) , D = (1,0) , E = (0) , F = (1,1) y G = (1) . Las coordenadas afines en un plano desarguesiano para los puntos designados como puntos en el infinito (en este ejemplo: C, E y G) se pueden definir de varias otras maneras.
En notación estándar, una geometría proyectiva finita se escribe PG( a , b ) donde:
Así, el ejemplo que tiene sólo 7 puntos se escribe PG(2, 2) .
El término "geometría proyectiva" se utiliza a veces para indicar la geometría abstracta subyacente generalizada, y a veces para indicar una geometría particular de amplio interés, como la geometría métrica del espacio plano que analizamos mediante el uso de coordenadas homogéneas , y en la que puede estar incrustada la geometría euclidiana (de ahí su nombre, plano euclidiano extendido ).
La propiedad fundamental que distingue a todas las geometrías proyectivas es la propiedad de incidencia elíptica , según la cual dos líneas distintas cualesquiera L y M en el plano proyectivo se intersecan exactamente en un punto P. El caso especial de la geometría analítica de las líneas paralelas se resume en la forma más suave de una línea en el infinito sobre la que se encuentra P. La línea en el infinito es, por tanto, una línea como cualquier otra en la teoría: no es en modo alguno especial ni distinguible. (En el espíritu posterior del programa de Erlangen se podría señalar la forma en que el grupo de transformaciones puede mover cualquier línea hasta la línea en el infinito ).
Las propiedades paralelas de las geometrías elíptica, euclidiana e hiperbólica contrastan de la siguiente manera:
La propiedad paralela de la geometría elíptica es la idea clave que conduce al principio de dualidad proyectiva, posiblemente la propiedad más importante que todas las geometrías proyectivas tienen en común.
En 1825, Joseph Gergonne señaló el principio de dualidad que caracteriza la geometría del plano proyectivo: dado cualquier teorema o definición de esa geometría, sustituyendo punto por línea , recostarse en por pasar por , colineal por concurrente , intersección por unirse , o viceversa, da como resultado otro teorema o definición válida, el "dual" del primero. De manera similar, en 3 dimensiones, la relación de dualidad se cumple entre puntos y planos, lo que permite transformar cualquier teorema intercambiando punto y plano , está contenido por y contiene . De manera más general, para espacios proyectivos de dimensión N, existe una dualidad entre los subespacios de dimensión R y dimensión N − R − 1 . Para N = 2 , esto se especializa en la forma más conocida de dualidad: la que existe entre puntos y líneas. El principio de dualidad también fue descubierto de forma independiente por Jean-Victor Poncelet .
Para establecer la dualidad sólo es necesario establecer teoremas que son las versiones duales de los axiomas para la dimensión en cuestión. Así, para espacios tridimensionales, es necesario demostrar que (1*) cada punto se encuentra en 3 planos distintos, (2*) cada dos planos se cortan en una única línea y una versión dual de (3*) al efecto: si la intersección del plano P y Q es coplanar con la intersección del plano R y S, entonces también lo son las intersecciones respectivas de los planos P y R, Q y S (suponiendo que los planos P y S son distintos de Q y R).
En la práctica, el principio de dualidad permite establecer una correspondencia dual entre dos construcciones geométricas. La más famosa de ellas es la polaridad o reciprocidad de dos figuras en una curva cónica (en 2 dimensiones) o en una superficie cuadrática (en 3 dimensiones). Un ejemplo común lo encontramos en la reciprocidad de un poliedro simétrico en una esfera concéntrica para obtener el poliedro dual.
Otro ejemplo es el teorema de Brianchon , dual del ya mencionado teorema de Pascal , y una de cuyas demostraciones consiste simplemente en aplicar el principio de dualidad al de Pascal. He aquí enunciados comparativos de estos dos teoremas (en ambos casos en el marco del plano proyectivo):
Cualquier geometría dada puede deducirse a partir de un conjunto apropiado de axiomas . Las geometrías proyectivas se caracterizan por el axioma de las "paralelismos elípticos", según el cual dos planos cualesquiera siempre se encuentran en una sola línea , o en el plano, dos líneas cualesquiera siempre se encuentran en un solo punto . En otras palabras, no existen líneas o planos paralelos en la geometría proyectiva.
Se han propuesto muchos conjuntos alternativos de axiomas para la geometría proyectiva (véase, por ejemplo, Coxeter 2003, Hilbert & Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980).
Estos axiomas se basan en "Los axiomas de la geometría proyectiva" de Whitehead . Hay dos tipos, puntos y líneas, y una relación de "incidencia" entre puntos y líneas. Los tres axiomas son:
La razón por la que se supone que cada línea contiene al menos 3 puntos es para eliminar algunos casos degenerados. Los espacios que satisfacen estos tres axiomas tienen como máximo una línea, o son espacios proyectivos de alguna dimensión sobre un anillo de división , o son planos no desarguesianos .
Se pueden añadir más axiomas que restrinjan la dimensión o el anillo de coordenadas. Por ejemplo, Projective Geometry de Coxeter [ 14 ] hace referencia a Veblen [15] en los tres axiomas anteriores, junto con otros cinco axiomas que hacen que la dimensión sea 3 y que el anillo de coordenadas sea un cuerpo conmutativo de característica distinta de 2.
Se puede realizar una axiomatización postulando una relación ternaria, [ABC], para indicar cuándo tres puntos (no necesariamente todos distintos) son colineales. Una axiomatización también se puede escribir en términos de esta relación:
Para dos puntos distintos, A y B, la línea AB se define como formada por todos los puntos C para los cuales [ABC]. Los axiomas C0 y C1 proporcionan entonces una formalización de G2; C2 para G1 y C3 para G3.
El concepto de línea se generaliza a planos y subespacios de dimensiones superiores. Un subespacio, AB...XY, puede definirse recursivamente en términos del subespacio AB...X como aquel que contiene todos los puntos de todas las líneas YZ, a medida que Z se extiende sobre AB...X. La colinealidad se generaliza entonces a la relación de "independencia". Un conjunto {A, B, ..., Z} de puntos es independiente, [AB...Z] si {A, B, ..., Z} es un subconjunto generador mínimo para el subespacio AB...Z.
Los axiomas proyectivos pueden complementarse con otros axiomas que postulan límites a la dimensión del espacio. La dimensión mínima está determinada por la existencia de un conjunto independiente del tamaño requerido. Para las dimensiones más bajas, las condiciones relevantes pueden enunciarse en forma equivalente de la siguiente manera. Un espacio proyectivo es:
La dimensión máxima también se puede determinar de manera similar. Para las dimensiones más bajas, adoptan las siguientes formas. Un espacio proyectivo es:
y así sucesivamente. Es un teorema general (una consecuencia del axioma (3)) que todas las líneas coplanares se intersecan, el mismo principio que la geometría proyectiva originalmente pretendía incorporar. Por lo tanto, la propiedad (M3) puede enunciarse de manera equivalente que todas las líneas se intersecan entre sí.
En general, se supone que los espacios proyectivos tienen al menos una dimensión 2. En algunos casos, si el enfoque se centra en los planos proyectivos, se puede postular una variante de M3. Los axiomas de (Eves 1997: 111), por ejemplo, incluyen (1), (2), (L3) y (M3). El axioma (3) se vuelve vacuamente verdadero bajo (M3) y, por lo tanto, no es necesario en este contexto.
En geometría de incidencia , la mayoría de los autores [16] dan un tratamiento que abarca el plano de Fano PG(2, 2) como el plano proyectivo finito más pequeño. Un sistema axiomático que logra esto es el siguiente:
La Introducción a la geometría de Coxeter [17] da una lista de cinco axiomas para un concepto más restrictivo de plano proyectivo que se atribuye a Bachmann, añadiendo el teorema de Pappus a la lista de axiomas anterior (que elimina los planos no desarguesianos ) y excluyendo los planos proyectivos sobre cuerpos de característica 2 (aquellos que no satisfacen el axioma de Fano ). Los planos restringidos dados de esta manera se asemejan más al plano proyectivo real .
Dados tres puntos no colineales , hay tres líneas que los conectan, pero con cuatro puntos, no tres colineales, hay seis líneas de conexión y tres "puntos diagonales" adicionales determinados por sus intersecciones. La ciencia de la geometría proyectiva captura este excedente determinado por cuatro puntos a través de una relación cuaternaria y las proyectividades que preservan la configuración completa del cuadrángulo .
Un cuadrúpedo armónico de puntos sobre una línea ocurre cuando hay un cuadrángulo completo dos de cuyos puntos diagonales están en la primera y tercera posición del cuadrúpedo, y las otras dos posiciones son puntos sobre las líneas que unen dos puntos del cuadrángulo a través del tercer punto diagonal. [18]
La perspectividad espacial de una configuración proyectiva en un plano produce una configuración similar en otro, y esto se aplica a la configuración del cuadrángulo completo. Por lo tanto, los cuadrúpedos armónicos se conservan mediante la perspectividad. Si una perspectividad sigue a otra, las configuraciones se suceden. La composición de dos perspectividades ya no es una perspectividad, sino una proyectividad .
Si bien todos los puntos correspondientes de una perspectividad convergen en un punto, esta convergencia no es cierta para una proyectividad que no sea una perspectividad. En geometría proyectiva, la intersección de líneas formadas por puntos correspondientes de una proyectividad en un plano es de particular interés. El conjunto de tales intersecciones se denomina cónica proyectiva y, en reconocimiento al trabajo de Jakob Steiner , se la denomina cónica de Steiner .
Supongamos que una proyectividad está formada por dos perspectividades centradas en los puntos A y B , relacionando x con X mediante un intermediario p :
La proyectividad es entonces Entonces, dada la proyectividad, la cónica inducida es
Dada una cónica C y un punto P que no está sobre ella, dos rectas secantes distintas que pasan por P intersecan a C en cuatro puntos. Estos cuatro puntos determinan un cuadrángulo del que P es un punto diagonal. La recta que pasa por los otros dos puntos diagonales se denomina polar de P y P es el polo de esta recta. [19] Alternativamente, la recta polar de P es el conjunto de conjugados armónicos proyectivos de P sobre una recta secante variable que pasa por P y C.
