Línea proyectiva

En matemáticas , una línea proyectiva es, en términos generales, la prolongación de una línea habitual por un punto llamado punto en el infinito . El enunciado y la demostración de muchos teoremas de geometría se simplifican mediante la eliminación resultante de casos especiales; por ejemplo, dos líneas proyectivas distintas en un plano proyectivo se encuentran exactamente en un punto (no existe ningún caso "paralelo").

Existen muchas formas equivalentes de definir formalmente una línea proyectiva; una de las más comunes es definir una línea proyectiva sobre un cuerpo K , comúnmente denotado P ¹ ( K ), como el conjunto de subespacios unidimensionales de un espacio vectorial K bidimensional . Esta definición es una instancia especial de la definición general de un espacio proyectivo .

La línea proyectiva sobre los números reales es una variedad ; consulte Línea proyectiva real para más detalles.

Coordenadas homogéneas

Un punto arbitrario en la línea proyectiva P ¹ ( K ) puede representarse mediante una clase de equivalencia de coordenadas homogéneas , que toman la forma de un par

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]}$

de elementos de K que no son ambos cero. Dos pares de estos son equivalentes si difieren en un factor total distinto de cero λ :

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]\sim [\lambda x_{1}:\lambda x_{2}].}$

Línea prolongada por un punto en el infinito

La línea proyectiva puede identificarse con la línea K prolongada por un punto en el infinito . Más precisamente, la línea K puede identificarse con el subconjunto de P ¹ ( K ) dado por

${\displaystyle \left\{[x:1]\in \mathbf {P} ^{1}(K)\mid x\in K\right\}.}$

Este subconjunto cubre todos los puntos en P ¹ ( K ) excepto uno, que se llama punto en el infinito :

${\displaystyle \infty =[1:0].}$

Esto permite extender la aritmética de K a P ¹ ( K ) mediante las fórmulas

${\displaystyle {\frac {1}{0}}=\infty ,\qquad {\frac {1}{\infty }}=0,}$

${\displaystyle x\cdot \infty =\infty \quad {\text{if}}\quad x\not =0}$

${\displaystyle x+\infty =\infty \quad {\text{if}}\quad x\not =\infty }$

Traduciendo esta aritmética en términos de coordenadas homogéneas obtenemos, cuando [0 : 0] no ocurre:

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]+[y_{1}:y_{2}]=[(x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}):x_{2}y_{2}],}$

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]\cdot [y_{1}:y_{2}]=[x_{1}y_{1}:x_{2}y_{2}],}$

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]^{-1}=[x_{2}:x_{1}].}$

Ejemplos

Línea proyectiva real

La línea proyectiva sobre los números reales se denomina línea proyectiva real . También se la puede considerar como la línea K junto con un punto idealizado en el infinito ∞; el punto se conecta a ambos extremos de K creando un bucle cerrado o círculo topológico.

Un ejemplo se obtiene proyectando puntos en R ² sobre el círculo unitario y luego identificando puntos diametralmente opuestos . En términos de teoría de grupos podemos tomar el cociente por el subgrupo {1, −1} .

Compare la recta numérica real extendida , que distingue ∞ y −∞.

Recta proyectiva compleja: la esfera de Riemann

La adición de un punto en el infinito al plano complejo da como resultado un espacio que topológicamente es una esfera . Por lo tanto, la línea proyectiva compleja también se conoce como esfera de Riemann (o, a veces, esfera de Gauss ). Se utiliza constantemente en análisis complejo , geometría algebraica y teoría de variedades complejas , como el ejemplo más simple de una superficie compacta de Riemann .

Para un campo finito

La línea proyectiva sobre un cuerpo finito F _q de q elementos tiene q + 1 puntos. En todos los demás aspectos no es diferente de las líneas proyectivas definidas sobre otros tipos de cuerpos. En términos de coordenadas homogéneas [ x  : y ] , q de estos puntos tienen la forma:

[ a  : 1] para cada a en F _q ,

y el punto restante en el infinito puede representarse como [1: 0] .

Grupo de simetría

De manera bastante general, el grupo de homografías con coeficientes en K actúa sobre la línea proyectiva P ¹ ( K ). Esta acción de grupo es transitiva , de modo que P ¹ ( K ) es un espacio homogéneo para el grupo, a menudo escrito PGL ₂ ( K ) para enfatizar la naturaleza proyectiva de estas transformaciones. La transitividad dice que existe una homografía que transformará cualquier punto Q en cualquier otro punto R . El punto en el infinito en P ¹ ( K ) es, por lo tanto, un artefacto de elección de coordenadas: coordenadas homogéneas

${\displaystyle [X:Y]\sim [\lambda X:\lambda Y]}$

expresar un subespacio unidimensional mediante un único punto distinto de cero ( X , Y ) que se encuentra en él, pero las simetrías de la línea proyectiva pueden mover el punto ∞ = [1 : 0] a cualquier otro, y no se distingue de ninguna manera.

Mucho más es cierto, en el sentido de que alguna transformación puede llevar cualquier punto distinto dado Q _i para i = 1, 2, 3 a cualquier otra 3-tupla R _i de puntos distintos ( triple transitividad ). Esta cantidad de especificación 'agota' las tres dimensiones de PGL ₂ ( K ); en otras palabras, la acción de grupo es marcadamente 3-transitiva . El aspecto computacional de esto es la razón cruzada . De hecho, una recíproca generalizada es verdadera: una acción de grupo marcadamente 3-transitiva es siempre (isomorfa a) una forma generalizada de una acción PGL ₂ ( K ) en una línea proyectiva, reemplazando "campo" por "KT-campo" (generalizando el inverso a un tipo más débil de involución), y "PGL" por una generalización correspondiente de aplicaciones lineales proyectivas. ^[1]

Como curva algebraica

La línea proyectiva es un ejemplo fundamental de una curva algebraica . Desde el punto de vista de la geometría algebraica, P ¹ ( K ) es una curva no singular de género 0. Si K es algebraicamente cerrada , es la única curva de este tipo sobre K , salvo equivalencia racional . En general, una curva (no singular) de género 0 es racionalmente equivalente sobre K a una cónica C , que es a su vez biracionalmente equivalente a una línea proyectiva si y solo si C tiene un punto definido sobre K ; geométricamente, dicho punto P puede usarse como origen para hacer explícita la equivalencia biracional.

El campo de funciones de la recta proyectiva es el campo K ( T ) de funciones racionales sobre K , en una única indeterminada T . Los automorfismos de campo de K ( T ) sobre K son precisamente el grupo PGL ₂ ( K ) discutido anteriormente.

Cualquier campo de funciones K ( V ) de una variedad algebraica V sobre K , que no sea un único punto, tiene un subcuerpo isomorfo con K ( T ). Desde el punto de vista de la geometría biracional , esto significa que habrá una función racional de V a P ¹ ( K ), que no es constante. La imagen omitirá solo un número finito de puntos de P ¹ ( K ), y la imagen inversa de un punto típico P será de dimensión dim V − 1 . Este es el comienzo de los métodos en geometría algebraica que son inductivos sobre la dimensión. Las funciones racionales juegan un papel análogo a las funciones meromórficas del análisis complejo y, de hecho, en el caso de superficies compactas de Riemann los dos conceptos coinciden.

Si ahora tomamos V como de dimensión 1, obtenemos una imagen de una curva algebraica típica C presentada 'sobre' P ¹ ( K ). Suponiendo que C no es singular (lo que no es una pérdida de generalidad a partir de K ( C )), se puede demostrar que una función racional de este tipo desde C hasta P ¹ ( K ) estará de hecho definida en todas partes. (Ese no es el caso si hay singularidades, ya que, por ejemplo, un punto doble donde una curva se cruza consigo misma puede dar un resultado indeterminado después de una función racional). Esto da una imagen en la que la característica geométrica principal es la ramificación .

Muchas curvas, por ejemplo las hiperelípticas , pueden presentarse de forma abstracta como ramificaciones de la línea proyectiva. Según la fórmula de Riemann-Hurwitz , el género depende entonces únicamente del tipo de ramificación.

Una curva racional es una curva que es biracionalmente equivalente a una línea proyectiva (ver variedad racional ); su género es 0. Una curva normal racional en el espacio proyectivo P ⁿ es una curva racional que no se encuentra en ningún subespacio lineal propio; se sabe que solo hay un ejemplo (hasta la equivalencia proyectiva), ^[2] dado paramétricamente en coordenadas homogéneas como

[1 : t  : t ²  : ... : t ⁿ ].

Véase Cúbico retorcido para el primer caso interesante.

Véase también

• Curva algebraica
• Relación cruzada
• Transformación de Möbius
• Línea proyectiva sobre un anillo
• Línea real extendida proyectivamente
• Rango proyectivo
• Teoría de la rueda

Referencias

1. Acción de PGL(2) en el espacio proyectivo – ver comentario y artículo citado.
2. Harris, Joe (1992), Geometría algebraica: un primer curso, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 133, Springer, ISBN 9780387977164.