Problema de dos cuerpos en la relatividad general

Interacción de dos cuerpos en la relatividad general.

El problema de los dos cuerpos en la relatividad general (o problema relativista de los dos cuerpos ) es la determinación del movimiento y el campo gravitacional de dos cuerpos como lo describen las ecuaciones de campo de la relatividad general . Resolver el problema de Kepler es esencial para calcular la curvatura de la luz por la gravedad y el movimiento de un planeta que orbita alrededor de su sol. Las soluciones también se utilizan para describir el movimiento de estrellas binarias entre sí y estimar su pérdida gradual de energía a través de la radiación gravitacional .

La relatividad general describe el campo gravitacional mediante un espacio-tiempo curvo; las ecuaciones de campo que gobiernan esta curvatura no son lineales y, por tanto, difíciles de resolver en forma cerrada . No se han encontrado soluciones exactas al problema de Kepler, pero sí una solución aproximada: la solución de Schwarzschild . Esta solución se aplica cuando la masa M de un cuerpo es abrumadoramente mayor que la masa m del otro. Si es así, la masa mayor puede considerarse estacionaria y la única que contribuye al campo gravitacional. Esta es una buena aproximación para un fotón que pasa por una estrella y para un planeta que orbita alrededor de su sol. El movimiento del cuerpo más ligero (llamado "partícula" a continuación) se puede determinar a partir de la solución de Schwarzschild; el movimiento es geodésico ("camino más corto entre dos puntos") en el espacio-tiempo curvo. Estas soluciones geodésicas explican la precesión anómala del planeta Mercurio , que es una prueba clave que respalda la teoría de la relatividad general. También describen la curvatura de la luz en un campo gravitacional, otra predicción famosamente utilizada como evidencia de la relatividad general.

Si se considera que ambas masas contribuyen al campo gravitacional, como en el caso de las estrellas binarias, el problema de Kepler sólo puede resolverse de forma aproximada. El primer método de aproximación que se desarrolló fue la expansión posnewtoniana , un método iterativo en el que una solución inicial se corrige gradualmente. Más recientemente, ha sido posible resolver la ecuación de campo de Einstein usando una computadora ^{[1] [2] [3]} en lugar de fórmulas matemáticas. A medida que los dos cuerpos orbitan entre sí, emitirán radiación gravitacional ; esto hace que pierdan energía y momento angular gradualmente, como lo ilustra el púlsar binario PSR B1913+16 .

Para los agujeros negros binarios , la solución numérica del problema de los dos cuerpos se logró después de cuatro décadas de investigación en 2005, cuando tres grupos idearon técnicas innovadoras. ^{[1] [2] [3]}

Contexto histórico

Problema clásico de Kepler

Figura 1. Trayectoria elíptica típica de una masa m más pequeña que orbita una masa M mucho mayor . La masa más grande también se mueve en una órbita elíptica, pero es demasiado pequeña para ser vista porque M es mucho mayor que m . Los extremos del diámetro indican los ábsides , los puntos de mayor y menor distancia.

El problema de Kepler debe su nombre a Johannes Kepler , que trabajó como asistente del astrónomo danés Tycho Brahe . Brahe tomó medidas extraordinariamente precisas del movimiento de los planetas del Sistema Solar. A partir de estas mediciones, Kepler pudo formular las leyes de Kepler , la primera descripción moderna del movimiento planetario:

1. La órbita de cada planeta es una elipse con el Sol en uno de los dos focos .
2. Una línea que une un planeta y el Sol barre áreas iguales durante intervalos de tiempo iguales.
3. El cuadrado del período orbital de un planeta es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita.

Kepler publicó las dos primeras leyes en 1609 y la tercera ley en 1619. Suplantaron modelos anteriores del Sistema Solar, como los de Ptolomeo y Copérnico . Las leyes de Kepler se aplican sólo en el caso limitado del problema de los dos cuerpos. Voltaire y Émilie du Châtelet fueron los primeros en llamarlas "leyes de Kepler".

Casi un siglo después, Isaac Newton formuló sus tres leyes del movimiento . En particular, la segunda ley de Newton establece que una fuerza F aplicada a una masa m produce una aceleración a dada por la ecuación F = ma . Newton entonces planteó la pregunta: ¿cuál debe ser la fuerza que produce las órbitas elípticas vistas por Kepler? Su respuesta vino en su ley de gravitación universal , que establece que la fuerza entre una masa M y otra masa m viene dada por la fórmula

${\displaystyle F=G{\frac {Mm}{r^{2}}},}$

donde r es la distancia entre las masas y G es la constante gravitacional . Dada esta ley de fuerza y ​​sus ecuaciones de movimiento, Newton pudo demostrar que dos masas puntuales que se atraen seguirían órbitas perfectamente elípticas. La relación de tamaños de estas elipses es m / M , y la masa más grande se mueve en una elipse más pequeña. Si M es mucho mayor que m , entonces la masa más grande parecerá estacionaria en el foco de la órbita elíptica de la masa más ligera m . Este modelo se puede aplicar aproximadamente al Sistema Solar. Dado que la masa del Sol es mucho mayor que la de los planetas, la fuerza que actúa sobre cada planeta se debe principalmente al Sol; la gravedad de los planetas entre sí se puede despreciar en una primera aproximación.

Precesión absidal

En ausencia de otras fuerzas, una partícula que orbita alrededor de otra bajo la influencia de la gravedad newtoniana sigue eternamente la misma elipse perfecta. La presencia de otras fuerzas (como la gravitación de otros planetas), hace que esta elipse gire gradualmente. La velocidad de esta rotación (llamada precesión orbital) se puede medir con mucha precisión. La velocidad también se puede predecir conociendo las magnitudes y direcciones de las otras fuerzas. Sin embargo, las predicciones de la gravedad newtoniana no coinciden con las observaciones, como se descubrió en 1859 a partir de observaciones de Mercurio.

Si la energía potencial entre los dos cuerpos no es exactamente el potencial 1/ r de la ley gravitacional de Newton, sino que difiere sólo ligeramente, entonces la elipse de la órbita gira gradualmente (entre otros posibles efectos). Esta precesión absidal se observa en todos los planetas que orbitan alrededor del Sol, principalmente debido al achatamiento del Sol (no es perfectamente esférico) y las atracciones de los otros planetas entre sí. Los ábsides son los dos puntos de mayor y menor distancia de la órbita (la periapsis y la apoapsis, respectivamente); La precesión absidal corresponde a la rotación de la línea que une los ábsides. También corresponde a la rotación del vector de Laplace-Runge-Lenz , que apunta a lo largo de la línea de ábsides.

La ley de gravitación de Newton pronto fue aceptada porque ofrecía predicciones muy precisas del movimiento de todos los planetas. ^{[ dudoso ]} Estos cálculos fueron realizados inicialmente por Pierre-Simon Laplace a finales del siglo XVIII y perfeccionados por Félix Tisserand a finales del siglo XIX. Por el contrario, si la ley de gravitación de Newton no predijera con precisión las precesiones absidales de los planetas, habría que descartarla como teoría de la gravitación. Una precesión tan anómala se observó en la segunda mitad del siglo XIX.

Precesión anómala de Mercurio

En 1859, Urbain Le Verrier descubrió que la precesión orbital del planeta Mercurio no era exactamente la que debería ser; la elipse de su órbita estaba rotando (precediendo) ligeramente más rápido de lo predicho por la teoría tradicional de la gravedad newtoniana, incluso después de haber tenido en cuenta todos los efectos de los otros planetas. ^[4] El efecto es pequeño (aproximadamente 43 segundos de arco de rotación por siglo), pero muy por encima del error de medición (aproximadamente 0,1 segundos de arco por siglo). Le Verrier se dio cuenta inmediatamente de la importancia de su descubrimiento y desafió a astrónomos y físicos a explicarlo. Se propusieron varias explicaciones clásicas, como el polvo interplanetario, el achatamiento no observado del Sol , una luna de Mercurio no detectada o un nuevo planeta llamado Vulcano . ^[5] Después de descartar estas explicaciones, algunos físicos se vieron llevados a la hipótesis más radical de que la ley de gravitación del cuadrado inverso de Newton era incorrecta. Por ejemplo, algunos físicos propusieron una ley de potencia con un exponente ligeramente diferente de 2. ^[6]

Otros argumentaron que la ley de Newton debería complementarse con un potencial dependiente de la velocidad. Sin embargo, esto implicaba un conflicto con la dinámica celeste newtoniana. En su tratado sobre mecánica celeste, Laplace había demostrado que si la influencia gravitacional no actúa instantáneamente, entonces los movimientos de los planetas mismos no conservarán exactamente el impulso (y en consecuencia, parte del impulso tendría que atribuirse al mediador de la fuerza gravitacional). interacción, análogo a atribuir impulso al mediador de la interacción electromagnética.) Como se ve desde un punto de vista newtoniano, si la influencia gravitacional se propaga a una velocidad finita, entonces en todo momento un planeta es atraído hacia un punto donde el Sol Fue algún tiempo antes, y no hacia la posición instantánea del Sol. Partiendo del supuesto de los fundamentos clásicos, Laplace había demostrado que si la gravedad se propagara a una velocidad del orden de la velocidad de la luz, entonces el sistema solar sería inestable y no existiría durante mucho tiempo. La observación de que el sistema solar tiene la edad suficiente le permitió poner un límite inferior a la velocidad de la gravedad , que resultó ser muchos órdenes de magnitud más rápida que la velocidad de la luz. ^{[5] [7]}

La estimación de Laplace de la velocidad de la gravedad no es correcta en una teoría de campos que respeta el principio de relatividad. Dado que los campos eléctrico y magnético se combinan, la atracción de una carga puntual que se mueve a velocidad constante es hacia la posición instantánea extrapolada, no hacia la posición aparente que parece ocupar cuando se mira. ^{[nota 1]} Para evitar esos problemas, entre 1870 y 1900 muchos científicos utilizaron las leyes electrodinámicas de Wilhelm Eduard Weber , Carl Friedrich Gauss y Bernhard Riemann para producir órbitas estables y explicar el desplazamiento del perihelio de la órbita de Mercurio. En 1890, Maurice Lévy lo consiguió combinando las leyes de Weber y Riemann, según las cuales en su teoría la velocidad de la gravedad es igual a la velocidad de la luz . Y en otro intento, Paul Gerber (1898) incluso logró derivar la fórmula correcta para el desplazamiento del perihelio (que era idéntica a la fórmula utilizada más tarde por Einstein). Sin embargo, debido a que las leyes básicas de Weber y otros eran erróneas (por ejemplo, la ley de Weber fue reemplazada por la teoría de Maxwell), esas hipótesis fueron rechazadas. ^[8] Otro intento de Hendrik Lorentz (1900), que ya utilizaba la teoría de Maxwell, produjo un desplazamiento del perihelio demasiado bajo. ^[5]

La teoría de la relatividad general de Einstein

Las mediciones que Eddington realizó en 1919 sobre la curvatura de la luz de las estrellas debido a la gravedad del Sol condujeron a la aceptación de la relatividad general en todo el mundo.

Alrededor de 1904-1905, los trabajos de Hendrik Lorentz , Henri Poincaré y finalmente la teoría especial de la relatividad de Albert Einstein excluyen la posibilidad de propagación de cualquier efecto más rápido que la velocidad de la luz . De ello se deducía que la ley de gravitación de Newton tendría que ser reemplazada por otra ley, compatible con el principio de relatividad, manteniendo al mismo tiempo el límite newtoniano para circunstancias en las que los efectos relativistas son insignificantes. Henri Poincaré (1905), Hermann Minkowski (1907) y Arnold Sommerfeld (1910) hicieron intentos similares . ^[9] En 1907, Einstein llegó a la conclusión de que para lograrlo se necesitaba un sucesor de la relatividad especial. De 1907 a 1915, Einstein trabajó en una nueva teoría, utilizando su principio de equivalencia como concepto clave para guiar su camino. Según este principio, un campo gravitacional uniforme actúa por igual sobre todo lo que se encuentra dentro de él y, por lo tanto, no puede ser detectado por un observador en caída libre. Por el contrario, todos los efectos gravitacionales locales deberían ser reproducibles en un sistema de referencia que se acelera linealmente, y viceversa. Así, la gravedad actúa como una fuerza ficticia como la fuerza centrífuga o la fuerza de Coriolis , que resultan de estar en un sistema de referencia acelerado; todas las fuerzas ficticias son proporcionales a la masa inercial , tal como lo es la gravedad. Para lograr la reconciliación de la gravedad y la relatividad especial e incorporar el principio de equivalencia, había que sacrificar algo; ese algo fue la suposición clásica mantenida durante mucho tiempo de que nuestro espacio obedece las leyes de la geometría euclidiana , por ejemplo, que el teorema de Pitágoras es cierto experimentalmente. Einstein utilizó una geometría más general, la geometría pseudoriemanniana , para permitir la curvatura del espacio y el tiempo que era necesaria para la reconciliación; después de ocho años de trabajo (1907-1915), logró descubrir la forma precisa en que debía curvarse el espacio-tiempo para reproducir las leyes físicas observadas en la naturaleza, en particular la gravitación. La gravedad se diferencia de las fuerzas ficticias, la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis, en el sentido de que la curvatura del espacio-tiempo se considera físicamente real, mientras que las fuerzas ficticias no se consideran fuerzas. Las primeras soluciones de sus ecuaciones de campo explicaron la precesión anómala de Mercurio y predijeron una curvatura inusual de la luz, lo que se confirmó después de la publicación de su teoría. Estas soluciones se explican a continuación.

Relatividad general, relatividad especial y geometría.

En la geometría euclidiana normal , los triángulos obedecen al teorema de Pitágoras , que establece que la distancia cuadrada ds ² entre dos puntos en el espacio es la suma de los cuadrados de sus componentes perpendiculares.

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\,\!}$

donde dx , dy y dz representan las diferencias infinitesimales entre las coordenadas x , y y z de dos puntos en un sistema de coordenadas cartesiano (agregue la Figura aquí). Ahora imaginemos un mundo en el que esto no sea del todo cierto; un mundo donde la distancia está dada por

${\displaystyle ds^{2}=F(x,y,z)\,dx^{2}+G(x,y,z)\,dy^{2}+H(x,y,z)\,dz^{2}\,\!}$

donde F , G y H son funciones arbitrarias de posición. No es difícil imaginar un mundo así; vivimos de uno. La superficie de la Tierra es curva, por lo que es imposible hacer un mapa plano perfectamente preciso de la Tierra. Los sistemas de coordenadas no cartesianos lo ilustran bien; por ejemplo, en las coordenadas esféricas ( r , θ , φ ), la distancia euclidiana se puede escribir

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\,\!}$

Otro ejemplo sería un mundo en el que las reglas utilizadas para medir la longitud no fueran dignas de confianza, reglas que cambiaran su longitud con su posición e incluso con su orientación. En el caso más general, se deben tener en cuenta términos cruzados al calcular la distancia ds

${\displaystyle ds^{2}=g_{xx}\,dx^{2}+g_{xy}\,dx\,dy+g_{xz}\,dx\,dz+\cdots +g_{zy}\,dz\,dy+g_{zz}\,dz^{2}\,\!}$

donde las nueve funciones g _xx , g _xy , ..., g _zz constituyen el tensor métrico , que define la geometría del espacio en geometría de Riemann . En el ejemplo anterior de coordenadas esféricas, no hay términos cruzados; los únicos componentes tensoriales métricos distintos de cero son g _rr = 1, g _θθ = r ² y g _φφ = r ² sin ² θ.

En su teoría especial de la relatividad , Albert Einstein demostró que la distancia ds entre dos puntos espaciales no es constante, sino que depende del movimiento del observador. Sin embargo, existe una medida de separación entre dos puntos en el espacio-tiempo , llamada "tiempo propio" y denotada con el símbolo dτ, que es invariante; en otras palabras, no depende del movimiento del observador.

${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}\,\!}$

que puede escribirse en coordenadas esféricas como

${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\,\!}$

Esta fórmula es la extensión natural del teorema de Pitágoras y de manera similar se cumple sólo cuando no hay curvatura en el espacio-tiempo. En la relatividad general , sin embargo, el espacio y el tiempo pueden tener curvatura, por lo que esta fórmula de distancia debe modificarse a una forma más general.

${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,\!}$

así como generalizamos la fórmula para medir distancias en la superficie de la Tierra. La forma exacta de la métrica g _μν depende de la masa, el momento y la energía gravitantes, como lo describen las ecuaciones de campo de Einstein . Einstein desarrolló esas ecuaciones de campo para que coincidieran con las leyes de la naturaleza entonces conocidas; sin embargo, predijeron fenómenos nunca antes vistos (como la curvatura de la luz por la gravedad) que fueron confirmados más tarde.

ecuación geodésica

Según la teoría de la relatividad general de Einstein, partículas de masa insignificante viajan a lo largo de geodésicas en el espacio-tiempo. En el espacio-tiempo no curvado, lejos de una fuente de gravedad, estas geodésicas corresponden a líneas rectas; sin embargo, pueden desviarse de las líneas rectas cuando el espacio-tiempo es curvo. La ecuación de las líneas geodésicas es ^[10]

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{dq^{2}}}+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{dq}}{\frac {dx^{\lambda }}{dq}}=0}$

donde Γ representa el símbolo de Christoffel y la variable q parametriza el camino de la partícula a través del espacio-tiempo , su llamada línea mundial . El símbolo de Christoffel depende únicamente del tensor métrico g _μν , o más bien de cómo cambia con la posición. La variable q es un múltiplo constante del tiempo adecuado τ para órbitas temporales (que son recorridas por partículas masivas) y generalmente se considera igual a él. Para órbitas luminosas (o nulas) (que son recorridas por partículas sin masa como el fotón ), el tiempo adecuado es cero y, estrictamente hablando, no puede usarse como variable q . Sin embargo, las órbitas similares a la luz se pueden derivar como el límite ultrarelativista de las órbitas temporales, es decir, el límite cuando la masa de la partícula m llega a cero mientras se mantiene fija su energía total .

solución de Schwarzschild

Una solución exacta a las ecuaciones de campo de Einstein es la métrica de Schwarzschild , que corresponde al campo gravitacional externo de un cuerpo de masa M, estacionario, sin carga, no giratorio y esféricamente simétrico . Se caracteriza por una escala de longitud r _s , conocida como radio de Schwarzschild , que se define mediante la fórmula

$${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$$

Gconstante gravitacionalr _srla relatividad especial

En la práctica, esta proporción es casi siempre extremadamente pequeña. Por ejemplo, el radio de Schwarzschild r _s de la Tierra es aproximadamente 9  mm ( 3 ⁄ 8  pulgadas ); en la superficie de la Tierra, las correcciones a la gravedad newtoniana son sólo una parte entre mil millones. El radio de Schwarzschild del Sol es mucho mayor, aproximadamente 2953 metros, pero en su superficie, la relación r _s / r es aproximadamente de 4 partes en un millón. Una estrella enana blanca es mucho más densa, pero incluso aquí la proporción en su superficie es de aproximadamente 250 partes en un millón. La proporción sólo aumenta cerca de objetos ultradensos como las estrellas de neutrones (donde la proporción es aproximadamente del 50%) y los agujeros negros .

Órbitas sobre la masa central.

Comparación entre la órbita de una partícula de prueba en el espacio-tiempo newtoniano (izquierda) y Schwarzschild (derecha). Haga clic para ver gráficos animados de alta resolución.

Las órbitas de una partícula de prueba de masa infinitesimal alrededor de la masa central están dadas por la ecuación de movimiento ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}\right).}$

donde es el momento angular relativo específico y es la masa reducida . Esto se puede convertir en una ecuación para la órbita. ${\displaystyle h}$ ${\textstyle h=r\times v={L \over \mu }}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right),}$

donde, por razones de brevedad, se han introducido dos escalas de longitud, y . Son constantes del movimiento y dependen de las condiciones iniciales (posición y velocidad) de la partícula de prueba. Por tanto, la solución de la ecuación de la órbita es ${\textstyle a={\frac {h}{c}}}$ ${\textstyle b={\frac {Lc}{E}}}$

${\displaystyle \varphi =\int {\frac {1}{r^{2}}}\left[{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)\right]^{-1/2}\,dr.}$

Energía potencial radial efectiva

La ecuación de movimiento de la partícula derivada arriba.

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-c^{2}+{\frac {r_{s}c^{2}}{r}}-{\frac {h^{2}}{r^{2}}}+{\frac {r_{s}h^{2}}{r^{3}}}}$

se puede reescribir usando la definición del radio de Schwarzschild r _s como

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}=\left[{\frac {E^{2}}{2mc^{2}}}-{\frac {1}{2}}mc^{2}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}}$

que es equivalente a una partícula que se mueve en un potencial efectivo unidimensional

${\displaystyle V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}}$

Los dos primeros términos son energías clásicas muy conocidas, siendo el primero la energía potencial gravitacional newtoniana de atracción y el segundo correspondiente a la energía potencial repulsiva "centrífuga" ; sin embargo, el tercer término es una energía de atracción exclusiva de la relatividad general . Como se muestra a continuación y en otros lugares , esta energía cúbica inversa hace que las órbitas elípticas precedan gradualmente en un ángulo δφ por revolución.

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$

donde A es el semieje mayor y e es la excentricidad. Aquí δφ no es el cambio en la coordenada φ en las coordenadas ( t , r , θ , φ ) sino el cambio en el argumento de periapsis de la órbita cerrada clásica.

El tercer término es atractivo y domina en valores pequeños de r , dando un radio interno crítico r _interno en el cual una partícula es atraída inexorablemente hacia adentro hasta r = 0; este radio interior es función del momento angular de la partícula por unidad de masa o, de manera equivalente, la escala de longitud definida anteriormente.

Órbitas circulares y su estabilidad.

Potencial radial efectivo para varios momentos angulares. En radios pequeños, la energía cae precipitadamente, lo que hace que la partícula sea atraída inexorablemente hacia adentro hasta r = 0. Sin embargo, cuando el momento angular normalizado a / r _s = L / mcr _s es igual a la raíz cuadrada de tres, se obtiene una órbita circular metaestable. posible en el radio resaltado con un círculo verde. En momentos angulares más altos, hay una barrera centrífuga significativa (curva naranja) y un radio interior inestable, resaltado en rojo.

El potencial efectivo V se puede reescribir en términos de la longitud a = h / c :

${\displaystyle V(r)={\frac {mc^{2}}{2}}\left[-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {r_{s}a^{2}}{r^{3}}}\right].}$

Las órbitas circulares son posibles cuando la fuerza efectiva es cero:

${\displaystyle F=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {mc^{2}}{2r^{4}}}\left[r_{s}r^{2}-2a^{2}r+3r_{s}a^{2}\right]=0;}$

es decir, cuando las dos fuerzas de atracción (la gravedad newtoniana (primer término) y la atracción exclusiva de la relatividad general (tercer término)) están exactamente equilibradas por la fuerza centrífuga repulsiva (segundo término). Hay dos radios en los que puede ocurrir este equilibrio, denotados aquí como r _interior y r _exterior :

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\mathrm {outer} }&={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)\\r_{\mathrm {inner} }&={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)={\frac {3a^{2}}{r_{\mathrm {outer} }}},\end{aligned}}}$

los cuales se obtienen usando la fórmula cuadrática . El radio interior r _interior es inestable, porque la tercera fuerza de atracción se fortalece mucho más rápido que las otras dos fuerzas cuando r se vuelve pequeño; si la partícula se desliza ligeramente hacia adentro desde r _interior (donde las tres fuerzas están en equilibrio), la tercera fuerza domina a las otras dos y atrae a la partícula inexorablemente hacia adentro hasta r  = 0. Sin embargo, en el radio exterior, las órbitas circulares son estables; el tercer término es menos importante y el sistema se comporta más como el problema no relativista de Kepler .

Cuando a es mucho mayor que r _s (el caso clásico), estas fórmulas se vuelven aproximadamente

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\mathrm {outer} }&\approx {\frac {2a^{2}}{r_{s}}}\\r_{\mathrm {inner} }&\approx {\frac {3}{2}}r_{s}\end{aligned}}}$

Los radios estable e inestable se representan frente al momento angular normalizado a / r _s = L / mcr _s en azul y rojo, respectivamente. Estas curvas se encuentran en una órbita circular única (círculo verde) cuando el momento angular normalizado es igual a la raíz cuadrada de tres. A modo de comparación, el radio clásico predicho a partir de la aceleración centrípeta y la ley de gravedad de Newton está representado en negro.

Sustituyendo las definiciones de a y r _s en r _exterior se obtiene la fórmula clásica para una partícula de masa m que orbita un cuerpo de masa M.

La siguiente ecuación

${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }^{3}={\frac {G(M+m)}{\omega _{\varphi }^{2}}}}$

donde ω _φ es la velocidad angular orbital de la partícula, se obtiene en mecánica no relativista igualando la fuerza centrífuga a la fuerza gravitacional newtoniana:

${\displaystyle {\frac {GMm}{r^{2}}}=\mu \omega _{\varphi }^{2}r}$

¿Dónde está la masa reducida ? ${\displaystyle \mu }$

En nuestra notación, la velocidad angular orbital clásica es igual

${\displaystyle \omega _{\varphi }^{2}\approx {\frac {GM}{r_{\mathrm {outer} }^{3}}}=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2r_{\mathrm {outer} }^{3}}}\right)=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2}}\right)\left({\frac {r_{s}^{3}}{8a^{6}}}\right)={\frac {c^{2}r_{s}^{4}}{16a^{6}}}}$

En el otro extremo, cuando a ² se aproxima a 3 r _s ² desde arriba, los dos radios convergen a un solo valor

${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }\approx r_{\mathrm {inner} }\approx 3r_{s}}$

Las soluciones cuadráticas anteriores garantizan que r _exterior sea siempre mayor que 3 r _s , mientras que r _interior se encuentre entre 3 ⁄ 2 r _s y 3 r _s . Las órbitas circulares menores de 3 ⁄ 2 r _s no son posibles. Para partículas sin masa, a llega al infinito, lo que implica que hay una órbita circular para los fotones en r _interior = 3 ⁄ 2 r _s . La esfera de este radio a veces se conoce como esfera de fotones .   

Precesión de órbitas elípticas.

En el problema no relativista de Kepler , una partícula sigue eternamente la misma elipse perfecta (órbita roja). La relatividad general introduce una tercera fuerza que atrae la partícula ligeramente más fuerte que la gravedad newtoniana, especialmente en radios pequeños. Esta tercera fuerza hace que la órbita elíptica de la partícula precese (órbita cian) en la dirección de su rotación; este efecto se ha medido en Mercurio , Venus y la Tierra. El punto amarillo dentro de las órbitas representa el centro de atracción, como es el Sol .

La tasa de precesión orbital se puede derivar utilizando este potencial radial efectivo V. Una pequeña desviación radial de una órbita circular de radio r _exterior oscilará de manera estable con una frecuencia angular

${\displaystyle \omega _{r}^{2}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{2}V}{dr^{2}}}\right]_{r=r_{\mathrm {outer} }}}$

que es igual

${\displaystyle \omega _{r}^{2}=\left({\frac {c^{2}r_{s}}{2r_{\mathrm {outer} }^{4}}}\right)\left(r_{\mathrm {outer} }-r_{\mathrm {inner} }\right)=\omega _{\varphi }^{2}{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}}$

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados y expandiendo usando el teorema del binomio se obtiene la fórmula

${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{\varphi }\left(1-{\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}+\cdots \right)}$

Multiplicando por el período T de una revolución se obtiene la precesión de la órbita por revolución.

${\displaystyle \delta \varphi =T(\omega _{\varphi }-\omega _{r})\approx 2\pi \left({\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}\right)={\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}r_{s}^{2}}$

donde hemos utilizado ω _φ T = 2 π y la definición de la escala de longitud a . Sustituyendo la definición del radio de Schwarzschild r _s se obtiene

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}\left({\frac {4G^{2}M^{2}}{c^{4}}}\right)={\frac {6\pi G^{2}M^{2}m^{2}}{c^{2}L^{2}}}}$

Esto se puede simplificar utilizando el semieje mayor A de la órbita elíptica y la excentricidad e relacionada con la fórmula

${\displaystyle {\frac {h^{2}}{G(M+m)}}=A\left(1-e^{2}\right)}$

para dar el ángulo de precesión

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$

Dado que la órbita clásica cerrada es una elipse en general, la cantidad A (1 − e ² ) es el semilatus rectum l de la elipse.

Por lo tanto, la fórmula final de la precesión absidal angular para una revolución unitaria completa es

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}l}}}$

Más allá de la solución de Schwarzschild

Diagrama del espacio de parámetros de binarias compactas con los distintos esquemas de aproximación y sus regiones de validez.

Expansión posnewtoniana

En la solución de Schwarzschild, se supone que la masa mayor M es estacionaria y que por sí sola determina el campo gravitacional (es decir, la geometría del espacio-tiempo) y, por tanto, la masa menor m sigue una trayectoria geodésica a través de ese espacio-tiempo fijo. . Esta es una aproximación razonable para los fotones y la órbita de Mercurio, que es aproximadamente 6 millones de veces más ligero que el Sol. Sin embargo, es inadecuado para estrellas binarias , en las que las masas pueden ser de magnitud similar.

La métrica para el caso de dos masas comparables no se puede resolver de forma cerrada y por tanto hay que recurrir a técnicas de aproximación como la aproximación post-Newtoniana o aproximaciones numéricas. De paso, mencionamos una excepción particular en las dimensiones inferiores (consulte el modelo R  =  T para más detalles). En (1+1) dimensiones, es decir, un espacio formado por una dimensión espacial y una dimensión temporal, la métrica para dos cuerpos de masas iguales se puede resolver analíticamente en términos de la función W de Lambert . ^[11] Sin embargo, la energía gravitacional entre los dos cuerpos se intercambia a través de dilatones en lugar de gravitones , que requieren tres espacios para propagarse.

La expansión posnewtoniana es un método de cálculo que proporciona una serie de soluciones cada vez más precisas a un problema determinado. ^[12] El método es iterativo; se utiliza una solución inicial para los movimientos de partículas para calcular los campos gravitacionales; a partir de estos campos derivados, se pueden calcular nuevos movimientos de partículas, a partir de los cuales se pueden calcular estimaciones aún más precisas de los campos, y así sucesivamente. Este enfoque se denomina "post-newtoniano" porque la solución newtoniana para las órbitas de las partículas se utiliza a menudo como solución inicial.

La teoría se puede dividir en dos partes: la primera encuentra el potencial efectivo de dos cuerpos que captura las correcciones GR del potencial newtoniano. En segundo lugar, se deben resolver las ecuaciones de movimiento resultantes.

Enfoques computacionales modernos

Las ecuaciones de Einstein también se pueden resolver en una computadora utilizando métodos numéricos sofisticados. ^{[1] [2] [3]} Si se cuenta con suficiente potencia informática, estas soluciones pueden ser más precisas que las soluciones posnewtonianas. Sin embargo, estos cálculos son exigentes porque las ecuaciones generalmente deben resolverse en un espacio de cuatro dimensiones. Sin embargo, a partir de finales de los años 1990, fue posible resolver problemas difíciles como la fusión de dos agujeros negros, que es una versión muy difícil del problema de Kepler en la relatividad general.

Radiación gravitacional

Si no hay radiación gravitacional entrante, según la relatividad general , dos cuerpos que orbitan entre sí emitirán radiación gravitacional , lo que hará que las órbitas pierdan energía gradualmente.

Se han calculado las fórmulas que describen la pérdida de energía y de momento angular debido a la radiación gravitacional de los dos cuerpos del problema de Kepler. ^[13] La tasa de pérdida de energía (promediada sobre una órbita completa) viene dada por ^[14]

${\displaystyle -\left\langle {\frac {dE}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{4}m_{1}^{2}m_{2}^{2}(m_{1}+m_{2})}{5c^{5}a^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)}$

donde e es la excentricidad orbital y a es el semieje mayor de la órbita elíptica . Los corchetes angulares en el lado izquierdo de la ecuación representan el promedio de una sola órbita. De manera similar, la tasa promedio de pérdida de momento angular es igual

${\displaystyle -\left\langle {\frac {dL_{z}}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{7/2}m_{1}^{2}m_{2}^{2}{\sqrt {m_{1}+m_{2}}}}{5c^{5}a^{7/2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}}\left(1+{\frac {7}{8}}e^{2}\right)}$

La tasa de disminución del período está dada por ^{[13] [15]}

${\displaystyle -\left\langle {\frac {dP_{b}}{dt}}\right\rangle ={\frac {192\pi G^{5/3}m_{1}m_{2}(m_{1}+m_{2})^{-1/3}}{5c^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)\left({\frac {P_{b}}{2\pi }}\right)^{-{5/3}}}$

donde P _b es el período orbital.

Las pérdidas de energía y de momento angular aumentan significativamente a medida que la excentricidad se acerca a uno, es decir, a medida que la elipse de la órbita se alarga cada vez más. Las pérdidas de radiación también aumentan significativamente al disminuir el tamaño a de la órbita.

• 
  Los cambios observados experimentalmente en el tiempo del periastrón del púlsar binario PSR B1913+16 (puntos rojos) coinciden casi exactamente con el cambio debido a la reducción del período orbital predicho por la relatividad general (curva azul).
• 
  Dos estrellas de neutrones que giran rápidamente una alrededor de la otra pierden gradualmente energía al emitir radiación gravitacional. A medida que pierden energía, orbitan entre sí más rápidamente y más cerca unos de otros.

Ver también

• Portal de física
• Portal de astronomía

• ecuación de binet
• Centro de masa (relativista)
• Problema gravitacional de dos cuerpos
• problema de kepler
• Teorema de Newton sobre las órbitas giratorias
• Geodésicas de Schwarzschild

Notas

1. Conferencias Feynman sobre física vol. II ofrece un tratamiento exhaustivo del problema análogo del electromagnetismo. Feynman muestra que para una carga en movimiento, el campo no radiativo es una atracción/repulsión no hacia la posición aparente de la partícula, sino hacia la posición extrapolada, asumiendo que la partícula continúa en línea recta a una velocidad constante. Ésta es una propiedad notable de los potenciales de Liénard-Wiechert que se utilizan en la teoría del absorbente de Wheeler-Feynman . Presumiblemente lo mismo se aplica a la gravedad linealizada: por ejemplo, consulte Gravitoelectromagnetismo .

Referencias

1. Pretorius, Frans (2005). "Evolución de los espacios-tiempos binarios de los agujeros negros". Cartas de revisión física . 95 (12): 121101. arXiv : gr-qc/0507014 . Código Bib : 2005PhRvL..95l1101P. doi : 10.1103/PhysRevLett.95.121101. ISSN  0031-9007. PMID  16197061. S2CID  24225193.
2. Campanelli, M.; Lousto, CO; Marronetti, P.; Zlochower, Y. (2006). "Evoluciones precisas de binarios de agujeros negros en órbita sin escisión". Cartas de revisión física . 96 (11): 111101. arXiv : gr-qc/0511048 . Código Bib : 2006PhRvL..96k1101C. doi :10.1103/PhysRevLett.96.111101. ISSN  0031-9007. PMID  16605808. S2CID  5954627.
3. Baker, John G.; Centrella, Joan ; Choi, Dae-Il; Koppitz, Michael; van Metro, James (2006). "Extracción de ondas gravitacionales de una configuración inspiradora de agujeros negros fusionados". Cartas de revisión física . 96 (11): 111102. arXiv : gr-qc/0511103 . Código bibliográfico : 2006PhRvL..96k1102B. doi :10.1103/PhysRevLett.96.111102. ISSN  0031-9007. PMID  16605809. S2CID  23409406.
4. Le Verrier, UJJ (1859). "Lettre de M. Le Verrier à M. Faye sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planète". Cuentas Rendus . 49 : 379–383.
5. País 1982, págs.
6. País 1982, pag. 254.
7. Kopeikin, Efroimsky y Kaplan 2011, pág. 177.
8. Roseveare 1982, pag.  ^{[ página necesaria ]} .
9. Walter 2007, pág.  ^{[ página necesaria ]} .
10. Weinberg 1972, pág.  ^{[ página necesaria ]} .
11. Ohta, T.; Mann, RB (1997). "Solución exacta para la métrica y el movimiento de dos cuerpos en gravedad (1+1)-dimensional". Física. Rev. D. 55 (8): 4723–4747. arXiv : gr-qc/9611008 . Código bibliográfico : 1997PhRvD..55.4723M. doi : 10.1103/PhysRevD.55.4723. S2CID  119083668.
12. Kopeikin, Efroimsky y Kaplan 2011, pág.  ^{[ página necesaria ]} .
13. Peters PC, Mathews J (1963). "Radiación gravitacional de masas puntuales en una órbita kepleriana". Revisión física . 131 (1): 435–440. Código bibliográfico : 1963PhRv..131..435P. doi : 10.1103/PhysRev.131.435.
14. Landau y Lifshitz 1975, págs. 356–357.
15. Weisberg, JM; Taylor, JH (julio de 2005). "El pulsar binario relativista B1913 + 16: treinta años de observaciones y análisis". En FA Rasio; Escaleras IH (eds.). Radiopúlsares binarios . Serie de conferencias ASP. vol. 328. San Francisco: Sociedad Astronómica del Pacífico . pag. 25. arXiv : astro-ph/0407149 . Código Bib : 2005ASPC..328...25W.

Bibliografía

• Adler, R; Bazin M; Schiffer M (1965). Introducción a la Relatividad General . Nueva York: McGraw-Hill Book Company. págs. 177-193. ISBN 978-0-07-000420-7.
• Einstein, A (1956). El significado de la relatividad (5ª ed.). Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. págs. 92–97. ISBN 978-0-691-02352-6.
• Hagihara, Y (1931). "Teoría de las trayectorias relativistas en un campo gravitacional de Schwarzschild". Revista Japonesa de Astronomía y Geofísica . 8 : 67-176. Código bibliográfico : 1931AOTok..31...67H. ISSN  0368-346X.
• Kopeikin, Sergei; Efroimsky, Michael; Kaplan, George (25 de octubre de 2011). Mecánica Celeste Relativista del Sistema Solar . John Wiley e hijos. ISBN 978-3-527-63457-6.
• Lanczos, C (1986). Los principios variacionales de la mecánica (4ª ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. 330–338. ISBN 978-0-486-65067-8.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975). La teoría clásica de los campos . Curso de Física Teórica . vol. 2 (cuarta edición en inglés revisada). Nueva York: Pergamon Press. págs. 299–309. ISBN 978-0-08-018176-9.
• Misner, CW ; Thorne, K ; Wheeler, JA (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman. Capítulo 25 (págs. 636–687), §33.5 (págs. 897–901) y §40.5 (págs. 1110–1116). ISBN 978-0-7167-0344-0.(Ver Gravitación (libro) ).
• País, A. (1982). Sutil es el Señor: la ciencia y la vida de Albert Einstein . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 253–256. ISBN 0-19-520438-7.
• Pauli, W (1958). Teoría de la relatividad . Traducido por G. Campo. Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. 40–41, 166–169. ISBN 978-0-486-64152-2.
• Rindler, W (1977). Relatividad esencial: especial, general y cosmológica (2ª ed. revisada). Nueva York: Springer Verlag. págs. 143-149. ISBN 978-0-387-10090-6.
• Roseveare, Nuevo Testamento (1982). El perihelio de Mercurio, de Leverrier a Einstein . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-858174-2.
• Synge, JL (1960). Relatividad: la teoría general . Ámsterdam: Editorial de Holanda Septentrional. págs. 289–298. ISBN 978-0-7204-0066-3.
• Wald, RM (1984). Relatividad general . Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago. págs. 136-146. ISBN 978-0-226-87032-8.
• Walter, S. (2007). "Rompiendo los 4 vectores: el movimiento tetradimensional en la gravitación, 1905-1910". En Renn, J. (ed.). La Génesis de la Relatividad General . vol. 3. Berlín: Springer. págs. 193-252. Archivado desde el original el 30 de enero de 2009 . Consultado el 26 de julio de 2008 .
• Weinberg, S (1972). Gravitación y cosmología . Nueva York: John Wiley and Sons. págs. 185-201. ISBN 978-0-471-92567-5.
• Whittaker, et al. (1937). Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos, con una introducción al problema de los tres cuerpos (4ª ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. 389–393. ISBN 978-1-114-28944-4.

enlaces externos

• Animación que muestra la precesión relativista de estrellas alrededor del agujero negro supermasivo de la Vía Láctea.
• Extracto de Reflexiones sobre la relatividad de Kevin Brown.