Expansión posnewtoniana

Método de aproximación en relatividad general.

Diagrama del espacio de parámetros de binarias compactas con los distintos esquemas de aproximación y sus regiones de validez.

Expansiones post-minkowskianas versus post-newtonianas

En la relatividad general , las expansiones post-Newtonianas ( expansiones PN ) se utilizan para encontrar una solución aproximada de las ecuaciones de campo de Einstein para el tensor métrico . Las aproximaciones se amplían en pequeños parámetros que expresan órdenes de desviaciones de la ley de gravitación universal de Newton . Esto permite realizar aproximaciones a las ecuaciones de Einstein en el caso de campos débiles. Se pueden agregar términos de orden superior para aumentar la precisión, pero para campos fuertes a veces es preferible resolver numéricamente las ecuaciones completas. Este método es una marca común de las teorías de campo efectivas . En el límite, cuando los parámetros pequeños son iguales a 0, la expansión post-Newtoniana se reduce a la ley de gravedad de Newton.

Ampliación en 1/C2

Las aproximaciones posnewtonianas son expansiones en un pequeño parámetro, que es la relación entre la velocidad de la materia que crea el campo gravitacional, y la velocidad de la luz , que en este caso se llama más precisamente velocidad de la gravedad . ^[1] En el límite, cuando la velocidad fundamental de la gravedad se vuelve infinita, la expansión post-Newtoniana se reduce a la ley de la gravedad de Newton . Subrahmanyan Chandrasekhar y sus colegas desarrollaron en la década de 1960 un estudio sistemático de las expansiones posnewtonianas dentro de aproximaciones hidrodinámicas . ^{[2] [3] [4] [5] [6]}

Expansión enh

Otro enfoque consiste en ampliar las ecuaciones de la relatividad general en una serie de potencias en la desviación de la métrica de su valor en ausencia de gravedad .

${\displaystyle h_{\alpha \beta }=g_{\alpha \beta }-\eta _{\alpha \beta }\,.}$

Para ello, se debe elegir un sistema de coordenadas en el que los valores propios de todos tengan valores absolutos menores que 1. ${\displaystyle h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }\,}$

Por ejemplo, si vamos un paso más allá de la gravedad linealizada para obtener la expansión al segundo orden en h :

${\displaystyle g^{\mu \nu }\approx \eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\mu \alpha }h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu }+\eta ^{\mu \alpha }h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \nu }\,.}$

${\displaystyle {\sqrt {-g}}\approx 1+{\tfrac {1}{2}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \alpha }+{\tfrac {1}{8}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \alpha }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \gamma }-{\tfrac {1}{4}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \alpha }\,.}$

Las expansiones basadas únicamente en la métrica, independientemente de la velocidad, se denominan expansiones post-Minkowskianas ( expansiones PM ).

Usos

El primer uso de una expansión PN (de primer orden) fue realizado por Albert Einstein al calcular la precesión del perihelio de la órbita de Mercurio . Hoy en día, el cálculo de Einstein se reconoce como un ejemplo común de aplicaciones de expansiones PN, que resuelven el problema relativista general de dos cuerpos , que incluye la emisión de ondas gravitacionales .

calibre newtoniano

En general, la métrica perturbada se puede escribir como ^[8]

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(\tau )\left[(1+2A)d\tau ^{2}-2B_{i}dx^{i}d\tau -\left(\delta _{ij}+h_{ij}\right)dx^{i}dx^{j}\right]}$

donde , y son funciones del espacio y el tiempo. se puede descomponer como ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle h_{ij}}$ ${\displaystyle h_{ij}}$

${\displaystyle h_{ij}=2C\delta _{ij}+\partial _{i}\partial _{j}E-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\Box ^{2}E+\partial _{i}{\hat {E}}_{j}+\partial _{j}{\hat {E}}_{i}+2{\tilde {E}}_{ij}}$

donde es el operador d'Alembert , es un escalar, es un vector y es un tensor sin traza. Entonces los potenciales de Bardeen se definen como ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\hat {E}}_{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{ij}}$

${\displaystyle \Psi \equiv A+H(B-E'),+(B+E')',\quad \Phi \equiv -C-H(B-E')+{\frac {1}{3}}\Box E}$

donde es la constante de Hubble y un número primo representa la diferenciación con respecto al tiempo conforme . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \tau \,}$

Tomando (es decir, estableciendo y ), el calibre newtoniano es ${\displaystyle B=E=0}$ ${\displaystyle \Phi \equiv -C}$ ${\displaystyle \Psi \equiv A}$

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(\tau )\left[(1+2\Psi )d\tau ^{2}-(1-2\Phi )\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}\right]\,}$.

Tenga en cuenta que en ausencia de estrés anisotrópico, . ${\displaystyle \Phi =\Psi }$

Una extensión no lineal útil de esto la proporcionan los campos gravitacionales no relativistas .

Ver también

• Portal de física

• Condiciones de coordenadas
• Ecuaciones de Einstein-Infeld-Hoffmann
• Gravedad linealizada
• Formalismo posnewtoniano parametrizado

Referencias

1. Kopeikin, S. (2004). "La velocidad de la gravedad en la Relatividad General e interpretación teórica del experimento de deflexión joviana". Gravedad clásica y cuántica . 21 (13): 3251–3286. arXiv : gr-qc/0310059 . Código Bib : 2004CQGra..21.3251K. doi :10.1088/0264-9381/21/13/010. S2CID  13998000.
2. Chandrasekhar, S. (1965). "Las ecuaciones post-newtonianas de la hidrodinámica en la relatividad general". La revista astrofísica . 142 : 1488. Código bibliográfico : 1965ApJ...142.1488C. doi :10.1086/148432.
3. Chandrasekhar, S. (1967). "Los efectos post-newtonianos de la relatividad general sobre el equilibrio de cuerpos en rotación uniforme. II. Las figuras deformadas de los esferoides de MacLaurin". La revista astrofísica . 147 : 334. Código bibliográfico : 1967ApJ...147..334C. doi :10.1086/149003.
4. Chandrasekhar, S. (1969). "Leyes de conservación en la relatividad general y en las aproximaciones posnewtonianas". La revista astrofísica . 158 : 45. Código bibliográfico : 1969ApJ...158...45C. doi : 10.1086/150170 .
5. Chandrasekhar, S .; Nutku, Y. (1969). "Las segundas ecuaciones post-newtonianas de la hidrodinámica en la relatividad general". Astrofísica Relativista . 86 : 55. Código bibliográfico : 1969ApJ...158...55C. doi : 10.1086/150171 .
6. Chandrasekhar, S .; Espósito, FP (1970). "Las ecuaciones 2½ post-newtonianas de hidrodinámica y reacción de radiación en la relatividad general". La revista astrofísica . 160 : 153. Código bibliográfico : 1970ApJ...160..153C. doi : 10.1086/150414 .
7. Berna, Zvi; Cheung, Clifford; Roiban, Radu; Shen, Chia-Hsien; Solón, Mikhail P.; Zeng, Mao (5 de agosto de 2019). "Dinámica binaria del agujero negro a partir de la doble copia y la teoría efectiva". Revista de Física de Altas Energías . 2019 (10): 206. arXiv : 1908.01493 . Código Bib : 2019JHEP...10..206B. doi :10.1007/JHEP10(2019)206. ISSN  1029-8479. S2CID  199442337.
8. "Teoría de la perturbación cosmológica" (PDF) . pag. 83,86. Archivado desde el original (PDF) el 26 de agosto de 2016 . Consultado el 10 de agosto de 2016 .

enlaces externos

• "Sobre el movimiento de las partículas en la teoría de la relatividad general" por A.Einstein y L.Infeld Archivado el 8 de marzo de 2012 en la Wayback Machine.
• Blanchet, Lucas (2014). "Radiación gravitacional de fuentes posnewtonianas y binarios compactos inspiradores". Reseñas vivas en relatividad . 17 (1): 2. arXiv : 1310.1528 . Código Bib : 2014LRR....17....2B. doi : 10.12942/lrr-2014-2 . PMC  5256563 . PMID  28179846.
• Clifford, M. Will (2011). "Sobre la irrazonable eficacia de la física gravitacional de aproximación post-newtoniana". PNAS . 108 (15): 5938–5945. arXiv : 1102.5192 . doi : 10.1073/pnas.1103127108 .