Gravedad linealizada

Perturbaciones lineales a soluciones de ecuaciones de campo no lineales de Einstein.

En la teoría de la relatividad general , la gravedad linealizada es la aplicación de la teoría de la perturbación al tensor métrico que describe la geometría del espacio-tiempo . Como consecuencia, la gravedad linealizada es un método eficaz para modelar los efectos de la gravedad cuando el campo gravitacional es débil. El uso de la gravedad linealizada es parte integral del estudio de las ondas gravitacionales y las lentes gravitacionales de campo débil .

Aproximación de campo débil

La ecuación de campo de Einstein (EFE) que describe la geometría del espacio-tiempo se da como (usando unidades naturales )

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=8\pi GT_{\mu \nu }}$

donde es el tensor de Ricci , es el escalar de Ricci , es el tensor de energía-momento y es el tensor métrico del espacio-tiempo que representa las soluciones de la ecuación. ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Aunque es conciso cuando se escribe utilizando la notación de Einstein , ocultas dentro del tensor de Ricci y el escalar de Ricci hay dependencias excepcionalmente no lineales de la métrica que hacen que la perspectiva de encontrar soluciones exactas sea poco práctica en la mayoría de los sistemas. Sin embargo, al describir sistemas particulares para los cuales la curvatura del espacio-tiempo es pequeña (lo que significa que los términos en el EFE que son cuadráticos no contribuyen significativamente a las ecuaciones de movimiento), se puede modelar la solución de las ecuaciones de campo como la métrica de Minkowski. ^{[nota 1]} más un pequeño término de perturbación . En otras palabras: ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu },\qquad |h_{\mu \nu }|\ll 1.}$

En este régimen, sustituir la métrica general por esta aproximación perturbativa da como resultado una expresión simplificada para el tensor de Ricci: ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }),}$

donde es la traza de la perturbación, denota la derivada parcial con respecto a la coordenada del espaciotiempo, y es el operador d'Alembert . ${\displaystyle h=\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle \square =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }}$

Junto con el escalar de Ricci,

${\displaystyle R=\eta _{\mu \nu }R^{\mu \nu }=\partial _{\mu }\partial _{\nu }h^{\mu \nu }-\square h,}$

el lado izquierdo de la ecuación de campo se reduce a

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }\partial _{\lambda }h^{\rho \lambda }+\eta _{\mu \nu }\square h).}$

y, por tanto, la EFE se reduce a una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden en términos de . ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

Invariancia de calibre

El proceso de descomposición del espacio-tiempo general en la métrica de Minkowski más un término de perturbación no es único. Esto se debe al hecho de que diferentes elecciones de coordenadas pueden dar diferentes formas . Para capturar este fenómeno, se introduce la aplicación de la simetría de calibre . ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

Las simetrías de calibre son un dispositivo matemático para describir un sistema que no cambia cuando el sistema de coordenadas subyacente se "desplaza" en una cantidad infinitesimal. Entonces, aunque la métrica de perturbación no está definida consistentemente entre diferentes sistemas de coordenadas, el sistema general que describe sí lo es . ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

Para capturar esto formalmente, la no unicidad de la perturbación se representa como una consecuencia de la diversa colección de difeomorfismos en el espacio-tiempo que dejan lo suficientemente pequeño. Por lo tanto, para continuar, se requiere definirlo en términos de un conjunto general de difeomorfismos y luego seleccionar el subconjunto de estos que preserven la pequeña escala que requiere la aproximación de campo débil. Por lo tanto, se puede definir para denotar un difeomorfismo arbitrario que asigna el espaciotiempo plano de Minkowski al espaciotiempo más general representado por la métrica . Con esto, la métrica de perturbación se puede definir como la diferencia entre el retroceso de y la métrica de Minkowski: ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle h_{\mu \nu }=(\phi ^{*}g)_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }.}$

Por tanto , los difeomorfismos pueden elegirse de modo que . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle |h_{\mu \nu }|\ll 1}$

Dado entonces un campo vectorial definido en el espacio-tiempo de fondo plano, se puede definir una familia adicional de difeomorfismos como los generados y parametrizados por . Estos nuevos difeomorfismos se utilizarán para representar las transformaciones de coordenadas para "desplazamientos infinitesimales" como se analizó anteriormente. Junto con , una familia de perturbaciones está dada por ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$ ${\displaystyle \psi _{\epsilon }}$ ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}&=[(\phi \circ \psi _{\epsilon })^{*}g]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=[\psi _{\epsilon }^{*}(\phi ^{*}g)]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=\psi _{\epsilon }^{*}(h+\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=(\psi _{\epsilon }^{*}h)_{\mu \nu }+\epsilon \left[{\frac {(\psi _{\epsilon }^{*}\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }}{\epsilon }}\right].\end{aligned}}}$

Por lo tanto, en el límite , ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$

${\displaystyle h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon {\mathcal {L}}_{\xi }\eta _{\mu \nu }}$

¿Dónde está la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial ? ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }}$ ${\displaystyle \xi _{\mu }}$

La derivada de Lie resulta en la transformación de calibre final de la métrica de perturbación : ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon (\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }),}$

que definen con precisión el conjunto de métricas de perturbación que describen el mismo sistema físico. En otras palabras, caracteriza la simetría de calibre de las ecuaciones de campo linealizadas.

Elección del calibre

Al explotar la invariancia del calibre, se pueden garantizar ciertas propiedades de la métrica de perturbación eligiendo un campo vectorial adecuado . ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$

Calibre transversal

Para estudiar cómo la perturbación distorsiona las medidas de longitud, es útil definir el siguiente tensor espacial: ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle s_{ij}=h_{ij}-{\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}\delta _{ij}}$

(Tenga en cuenta que los índices abarcan sólo componentes espaciales: ). Por lo tanto, al usar , los componentes espaciales de la perturbación se pueden descomponer como ${\displaystyle i,j\in \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle s_{ij}}$

${\displaystyle h_{ij}=s_{ij}-\Psi \delta _{ij}}$

dónde . ${\displaystyle \Psi ={\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}}$

El tensor , por construcción, no tiene rastros y se le conoce como deformación , ya que representa la cantidad en la que la perturbación estira y contrae las medidas del espacio . En el contexto del estudio de la radiación gravitacional , la deformación es particularmente útil cuando se utiliza con el medidor transversal. Este calibre se define eligiendo los componentes espaciales de para satisfacer la relación ${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\xi ^{j}+{\frac {1}{3}}\partial _{j}\partial _{i}\xi ^{i}=-\partial _{i}s^{ij},}$

luego elegir el componente de tiempo para satisfacer ${\displaystyle \xi ^{0}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\xi ^{0}=\partial _{i}h_{0i}+\partial _{0}\partial _{i}\xi ^{i}.}$

Después de realizar la transformación de calibre usando la fórmula de la sección anterior, la deformación se vuelve espacialmente transversal:

${\displaystyle \partial _{i}s_{(\epsilon )}^{ij}=0,}$

con la propiedad adicional:

${\displaystyle \partial _{i}h_{(\epsilon )}^{0i}=0.}$

calibre sincrónico

El medidor síncrono simplifica la métrica de perturbación al exigir que la métrica no distorsione las mediciones del tiempo. Más precisamente, el calibre síncrono se elige de modo que los componentes no espaciales de sean cero, es decir ${\displaystyle h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}}$

${\displaystyle h_{0\nu }^{(\epsilon )}=0.}$

Esto se puede lograr requiriendo que el componente de tiempo de satisfaga ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$

${\displaystyle \partial _{0}\xi ^{0}=-h_{00}}$

y requerir que los componentes espaciales satisfagan

${\displaystyle \partial _{0}\xi ^{i}=\partial _{i}\xi ^{0}-h_{0i}.}$

calibre armónico

El calibre armónico (también conocido como calibre de Lorenz ^{[nota 2]} ) se selecciona siempre que sea necesario reducir las ecuaciones de campo linealizadas tanto como sea posible. Esto se puede hacer si la condición

${\displaystyle \partial _{\mu }h_{\nu }^{\mu }={\frac {1}{2}}\partial _{\nu }h}$

es verdad. Para lograr esto, se requiere satisfacer la relación ${\displaystyle \xi _{\mu }}$

${\displaystyle \square \xi _{\mu }=-\partial _{\nu }h_{\mu }^{\nu }+{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }h.}$

En consecuencia, al utilizar el calibre armónico, el tensor de Einstein se reduce a ${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }}$

${\displaystyle G_{\mu \nu }=-{\frac {1}{2}}\square \left(h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }\right).}$

Por lo tanto, al escribirlo en términos de una métrica de "traza invertida", las ecuaciones de campo linealizadas se reducen a ${\displaystyle {\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }}$

${\displaystyle \square {\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=-16\pi GT_{\mu \nu }.}$

Lo cual se puede resolver exactamente utilizando las soluciones ondulatorias que definen la radiación gravitacional .

Ver también

• Principio de correspondencia
• Gravitoelectromagnetismo
• tensor de Lanczos
• Formalismo posnewtoniano parametrizado
• Expansión posnewtoniana
• modo cuasinormal

Notas

1. Esto supone que el espacio-tiempo de fondo es plano. La teoría de la perturbación aplicada en un espacio-tiempo que ya es curvo puede funcionar igual de bien reemplazando este término con la métrica que representa el fondo curvo.
2. No confundir con Lorentz.

Otras lecturas

• Sean M. Carroll (2003). Espaciotiempo y geometría, una introducción a la relatividad general . Pearson. ISBN 978-0805387322.