Ecuaciones de Einstein-Infeld-Hoffmann

Ecuaciones aproximadas de movimiento en relatividad general.

Las ecuaciones de movimiento de Einstein-Infeld-Hoffmann , derivadas conjuntamente por Albert Einstein , Leopold Infeld y Banesh Hoffmann , son las ecuaciones diferenciales que describen la dinámica aproximada de un sistema de masas puntuales debido a sus interacciones gravitacionales mutuas, incluidos los efectos relativistas generales . Utiliza una expansión posnewtoniana de primer orden y, por tanto, es válida en el límite en el que las velocidades de los cuerpos son pequeñas en comparación con la velocidad de la luz y donde los campos gravitacionales que los afectan son correspondientemente débiles.

Dado un sistema de N cuerpos, etiquetados por índices A  = 1, ...,  N , el vector de aceleración baricéntrica del cuerpo A viene dado por:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}}_{A}&=\sum _{B\not =A}{\frac {Gm_{B}{\vec {n}}_{BA}}{r_{AB}^{2}}}\\&{}\quad {}+{\frac {1}{c^{2}}}\sum _{B\not =A}{\frac {Gm_{B}{\vec {n}}_{BA}}{r_{AB}^{2}}}\left[v_{A}^{2}+2v_{B}^{2}-4({\vec {v}}_{A}\cdot {\vec {v}}_{B})-{\frac {3}{2}}({\vec {n}}_{AB}\cdot {\vec {v}}_{B})^{2}\right.\\&{}\qquad {}\left.{}-4\sum _{C\not =A}{\frac {Gm_{C}}{r_{AC}}}-\sum _{C\not =B}{\frac {Gm_{C}}{r_{BC}}}+{\frac {1}{2}}(({\vec {x}}_{B}-{\vec {x}}_{A})\cdot {\vec {a}}_{B})\right]\\&{}\quad {}+{\frac {1}{c^{2}}}\sum _{B\not =A}{\frac {Gm_{B}}{r_{AB}^{2}}}\left[{\vec {n}}_{AB}\cdot (4{\vec {v}}_{A}-3{\vec {v}}_{B})\right]({\vec {v}}_{A}-{\vec {v}}_{B})\\&{}\quad {}+{\frac {7}{2c^{2}}}\sum _{B\not =A}{\frac {Gm_{B}{\vec {a}}_{B}}{r_{AB}}}+O(c^{-4})\end{aligned}}}$

dónde:

${\displaystyle {\vec {x}}_{A}}$es el vector de posición baricéntrica del cuerpo A

${\displaystyle {\vec {v}}_{A}=d{\vec {x}}_{A}/dt}$es el vector de velocidad baricéntrico del cuerpo A

${\displaystyle {\vec {a}}_{A}=d^{2}{\vec {x}}_{A}/dt^{2}}$es el vector de aceleración baricéntrica del cuerpo A

${\displaystyle r_{AB}=|{\vec {x}}_{A}-{\vec {x}}_{B}|}$es la distancia coordenada entre los cuerpos A y B

${\displaystyle {\vec {n}}_{AB}=({\vec {x}}_{A}-{\vec {x}}_{B})/r_{AB}}$es el vector unitario que apunta del cuerpo B al cuerpo A

${\displaystyle m_{A}}$es la masa del cuerpo A.

${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz

${\displaystyle G}$es la constante gravitacional

y la notación O grande se utiliza para indicar que se han omitido términos de orden c ^{−4 o superiores.}

Las coordenadas utilizadas aquí son armónicas . El primer término del lado derecho es la aceleración gravitacional newtoniana en  A ; en el límite cuando c  → ∞, se recupera la ley del movimiento de Newton.

La aceleración de un cuerpo en particular depende de las aceleraciones de todos los demás cuerpos. Dado que la cantidad del lado izquierdo también aparece en el lado derecho, este sistema de ecuaciones debe resolverse de forma iterativa. En la práctica, utilizar la aceleración newtoniana en lugar de la aceleración verdadera proporciona suficiente precisión. ^[1]

Referencias

1. Standish, Williams. Efemérides orbitales del Sol, la Luna y los planetas, página 4. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 5 de febrero de 2011 . Consultado el 3 de abril de 2010 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)

Otras lecturas

• Einstein, A.; Infeld, L.; Hoffmann, B. (1938). "Las ecuaciones gravitacionales y el problema del movimiento". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 39 (1): 65-100. Código bibliográfico : 1938AnMat..39...65E. doi :10.2307/1968714. JSTOR  1968714.
• Kovalevsky, Jean; Seidelmann, P. Kenneth (2004). Fundamentos de Astrometría . Nueva York: Cambridge University Press . pag. 173.ISBN​ 0521642167.
• Landau, Lev; Lifshitz, Evgeny (1971). La teoría clásica de los campos . Oxford: Prensa de Pérgamo . pag. 337.