ecuación de binet

Ecuación que da la forma de una fuerza central.

La ecuación de Binet , derivada por Jacques Philippe Marie Binet , proporciona la forma de una fuerza central dada la forma del movimiento orbital en coordenadas polares planas . La ecuación también se puede utilizar para derivar la forma de la órbita para una ley de fuerza dada, pero esto generalmente implica la solución de una ecuación diferencial ordinaria no lineal de segundo orden . Una solución única es imposible en el caso de un movimiento circular alrededor del centro de fuerza.

Ecuación

La forma de una órbita a menudo se describe convenientemente en términos de distancia relativa en función del ángulo . Para la ecuación de Binet, la forma orbital se describe de manera más concisa mediante el recíproco en función de . Defina el momento angular específico como donde está el momento angular y es la masa. La ecuación de Binet, derivada en la siguiente sección, da la fuerza en términos de la función : ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle u=1/r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle h=L/m}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u(\theta )}$

$${\displaystyle F(u^{-1})=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right).}$$

Derivación

La Segunda Ley de Newton para una fuerza puramente central es

$${\displaystyle F(r)=m\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right).}$$

La conservación del momento angular requiere que

$${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=h={\text{constant}}.}$$

Las derivadas de con respecto al tiempo pueden reescribirse como derivadas de con respecto al ángulo: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle u=1/r}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\&{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-{\frac {1}{h}}{\frac {\mathrm {d} {\dot {r}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\end{aligned}}}$$

Combinando todo lo anterior llegamos a

$${\displaystyle F=m\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right)=-m\left(h^{2}u^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+h^{2}u^{3}\right)=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}$$

La solución general es ^[1]

$${\displaystyle \theta =\int _{r_{0}}^{r}{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}{\sqrt {{\frac {2m}{L^{2}}}(E-V)-{\frac {1}{r^{2}}}}}}}+\theta _{0}}$$

${\displaystyle (r_{0},\theta _{0})}$

Ejemplos

problema de kepler

Clásico

El problema tradicional de Kepler de calcular la órbita de una ley del cuadrado inverso puede leerse en la ecuación de Binet como la solución a la ecuación diferencial.

$${\displaystyle -ku^{2}=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}$$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {k}{mh^{2}}}\equiv {\text{constant}}>0.}$$

Si el ángulo se mide desde el periapsis , entonces la solución general para la órbita expresada en coordenadas polares (recíprocas) es ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle lu=1+\varepsilon \cos \theta .}$$

La ecuación polar anterior describe secciones cónicas , con el recto semi-latus (igual a ) y la excentricidad orbital . ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle h^{2}/\mu =h^{2}m/k}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Relativista

La ecuación relativista derivada de las coordenadas de Schwarzschild es ^[2]

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}}$$

velocidad de la luzradio de Schwarzschildla métrica de Reissner-Nordström ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r_{s}}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}-{\frac {GQ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}\left({\frac {c^{2}}{h^{2}}}u+2u^{3}\right)}$$

carga eléctricapermitividad del vacío ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

Problema de Kepler inverso

Consideremos el problema inverso de Kepler. ¿Qué tipo de ley de fuerza produce una órbita elíptica no circular (o más generalmente una sección cónica no circular ) alrededor de un foco de la elipse ?

Diferenciar dos veces la ecuación polar anterior para una elipse da

$${\displaystyle l\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-\varepsilon \cos \theta .}$$

Por tanto, la ley de la fuerza es

$${\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {-\varepsilon \cos \theta }{l}}+{\frac {1+\varepsilon \cos \theta }{l}}\right)=-{\frac {mh^{2}u^{2}}{l}}=-{\frac {mh^{2}}{lr^{2}}},}$$

la ley de gravitación universal de Newtonla ley de Coulomb ${\displaystyle h^{2}/l=\mu }$ ${\displaystyle GM}$ ${\displaystyle k_{e}q_{1}q_{2}/m}$

La fuerza efectiva para las coordenadas de Schwarzschild es ^[3]

$${\displaystyle F=-GMmu^{2}\left(1+3\left({\frac {hu}{c}}\right)^{2}\right)=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\left(1+3\left({\frac {h}{rc}}\right)^{2}\right).}$$

periapsis^[4]

En el formalismo post-newtoniano parametrizado obtendremos

$${\displaystyle F=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\left(1+(2+2\gamma -\beta )\left({\frac {h}{rc}}\right)^{2}\right).}$$

relatividad general ${\displaystyle \gamma =\beta =1}$ ${\displaystyle \gamma =\beta =0}$

Cotes espirales

Una ley de fuerza inversa del cubo tiene la forma

$${\displaystyle F(r)=-{\frac {k}{r^{3}}}.}$$

Las formas de las órbitas de la ley del cubo inverso se conocen como espirales de Cotes . La ecuación de Binet muestra que las órbitas deben ser soluciones de la ecuación.

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {ku}{mh^{2}}}=Cu.}$$

La ecuación diferencial tiene tres tipos de soluciones, en analogía con las diferentes secciones cónicas del problema de Kepler. Cuando , la solución es la epispiral , incluido el caso patológico de la línea recta cuando . Cuando , la solución es la espiral hiperbólica . Cuando la solución es la espiral de Poinsot . ${\displaystyle C<1}$ ${\displaystyle C=0}$ ${\displaystyle C=1}$ ${\displaystyle C>1}$

Movimiento circular fuera del eje

Aunque la ecuación de Binet no proporciona una ley de fuerza única para el movimiento circular alrededor del centro de fuerza, la ecuación puede proporcionar una ley de fuerza cuando el centro del círculo y el centro de fuerza no coinciden. Consideremos, por ejemplo, una órbita circular que pasa directamente por el centro de fuerza. Una ecuación polar (recíproca) para una órbita circular de diámetro es ${\displaystyle D}$

$${\displaystyle D\,u(\theta )=\sec \theta .}$$

Diferenciar dos veces y hacer uso de la identidad pitagórica da ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle D\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=\sec \theta \tan ^{2}\theta +\sec ^{3}\theta =\sec \theta (\sec ^{2}\theta -1)+\sec ^{3}\theta =2D^{3}u^{3}-D\,u.}$$

La ley de la fuerza es así

$${\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\left(2D^{2}u^{3}-u+u\right)=-2mh^{2}D^{2}u^{5}=-{\frac {2mh^{2}D^{2}}{r^{5}}}.}$$

Tenga en cuenta que resolver el problema inverso general, es decir, construir las órbitas de una ley de fuerza atractiva, es un problema considerablemente más difícil porque equivale a resolver ${\displaystyle 1/r^{5}}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u=Cu^{3}}$$

que es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden.

Ver también

• Portal de astronomía
• Portal de física

• Cuantización de Bohr-Sommerfeld § Órbita relativista
• Problema clásico de fuerza central
• Relatividad general
• Problema de dos cuerpos en la relatividad general
• teorema de bertrand

Referencias

1. Goldstein, Herbert (1980). Mecanica clasica. Reading, Massachusetts: Pub Addison-Wesley. ISBN del condado 0-201-02918-9. OCLC  5675073.
2. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 19 de junio de 2010 . Consultado el 15 de noviembre de 2010 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
3. http://chaos.swarthmore.edu/courses/PDG07/AJP/AJP000352.pdf - La ecuación orbital de primer orden
4. Behera, Harihar; Naik, PC (2003). "Una explicación relativista espacio-temporal plana para el avance del perihelio de Mercurio". arXiv : astro-ph/0306611 .