Espiral hiperbólica

Espiral asintótica a una recta

Una escalera de caracol en la Catedral de San Juan el Divino . Varias curvas helicoidales en la escalera se proyectan en espirales hiperbólicas en su fotografía.

Una espiral hiperbólica es un tipo de espiral con un ángulo de paso que aumenta con la distancia desde su centro, a diferencia de los ángulos constantes de las espirales logarítmicas o los ángulos decrecientes de las espirales de Arquímedes . A medida que esta curva se ensancha, se acerca a una línea asintótica . Se puede encontrar en la vista de una escalera de caracol y en la disposición inicial de ciertas pistas, y se utiliza para modelar galaxias espirales y volutas arquitectónicas .

Como curva plana , una espiral hiperbólica se puede describir en coordenadas polares mediante la ecuación ${\displaystyle (r,\varphi )}$

$${\displaystyle r={\frac {a}{\varphi }},}$$

factor de escala ${\displaystyle a.}$

Debido a la relación recíproca entre y también se le llama espiral recíproca . ^[1] La misma relación entre coordenadas cartesianas describiría una hipérbola , y la espiral hiperbólica se descubrió por primera vez aplicando la ecuación de una hipérbola a las coordenadas polares. ^[2] Las espirales hiperbólicas también pueden generarse como las curvas inversas de las espirales de Arquímedes, ^{[3] [4]} o como las proyecciones centrales de las hélices . ^[5] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$

Las espirales hiperbólicas son patrones en el plano euclidiano y no deben confundirse con otros tipos de espirales dibujadas en el plano hiperbólico . En los casos en que el nombre de estas espirales pueda resultar ambiguo, se puede utilizar su nombre alternativo, espirales recíprocas. ^[6]

Historia y aplicaciones

Pierre Varignon estudió por primera vez la espiral hiperbólica en 1704, ^{[7] [8]} como ejemplo de la curva polar obtenida de otra curva (en este caso la hipérbola ) reinterpretando las coordenadas cartesianas de los puntos de la curva dada como coordenadas polares de puntos. en la curva polar. Varignon y más tarde James Clerk Maxwell se interesaron por las ruletas que se obtienen al trazar un punto en esta curva mientras avanza por otra curva; por ejemplo, cuando una espiral hiperbólica rueda a lo largo de una línea recta, su centro traza una tractriz . ^[2]

Johann Bernoulli ^[9] y Roger Cotes también escribieron sobre esta curva, en relación con el descubrimiento de Isaac Newton de que los cuerpos que siguen trayectorias de sección cónica deben estar sujetos a una ley del cuadrado inverso , como la de la ley de gravitación universal de Newton . Newton afirmó que lo contrario era cierto: que las secciones cónicas eran las únicas trayectorias posibles según una ley del cuadrado inverso. Bernoulli criticó este paso, observando que en el caso de una ley del cubo inverso, eran posibles múltiples trayectorias, incluyendo tanto una espiral logarítmica (cuya conexión con la ley del cubo inverso ya fue observada por Newton) como una espiral hiperbólica. Cotes encontró una familia de espirales, las espirales de Cotes , incluidas las espirales logarítmicas e hiperbólicas, que requerían una ley del cubo inverso. En 1720, Newton había resuelto la controversia demostrando que las leyes del inverso del cuadrado siempre producen trayectorias de sección cónica. ^{[10] [11] [12] [13]}

Para una espiral hiperbólica con ecuación , ${\displaystyle r={\tfrac {a}{\varphi }}}$ un arco circular centrado en el origen, que continúa en el sentido de las agujas del reloj a lo largo ${\displaystyle a}$ de cualquiera de sus puntos, terminará en el eje -. ^[3] Debido a esta propiedad de igual longitud, las marcas de salida de las carreras a pie de 200 y 400 m se colocan en posiciones escalonadas a lo largo de una espiral hiperbólica. Esto asegura que los corredores, restringidos a sus carriles concéntricos, tengan caminos de igual longitud hasta la línea de meta. Para carreras más largas en las que los corredores se mueven hacia el carril interior después de la salida, se utiliza una espiral diferente (la involuta de un círculo). ^[14] ${\displaystyle x}$

El ángulo de paso creciente de la espiral hiperbólica, en función de la distancia desde su centro, ha llevado al uso de estas espirales para modelar las formas de algunas galaxias espirales , que en algunos casos tienen un ángulo de paso creciente similar. Sin embargo, este modelo no se ajusta bien a las formas de todas las galaxias espirales. ^{[16] [17]} En arquitectura , se ha sugerido que las espirales hiperbólicas son una buena combinación para el diseño de volutas de columnas del orden corintio . ^[18] También describe la vista en perspectiva del eje de una escalera de caracol u otra estructura helicoidal . ^[5]

Junto con la espiral de Arquímedes y la espiral logarítmica, la espiral hiperbólica se ha utilizado en experimentos psicológicos sobre la percepción de la rotación. ^[19]

Construcciones

Ecuaciones de coordenadas

La espiral hiperbólica tiene la ecuación

$${\displaystyle r={\frac {a}{\varphi }},\quad \varphi >0}$$

coordenadas polaresde escalaconversiones estándar de polar a cartesianas y obteniendoecuación paramétrica^[20] ${\displaystyle (r,\varphi )}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x=r\cos \varphi }$ ${\displaystyle y=r\sin \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle x=a{\frac {\cos \varphi }{\varphi }},\qquad y=a{\frac {\sin \varphi }{\varphi }},\quad \varphi >0.}$$

ramas^{[4] [21]} ${\displaystyle \varphi >0}$ ${\displaystyle \varphi \neq 0}$

La espiral hiperbólica es una curva trascendental , lo que significa que no puede definirse a partir de una ecuación polinómica de sus coordenadas cartesianas. ^[20] Sin embargo, se puede obtener una ecuación trigonométrica en estas coordenadas comenzando con su ecuación polar que define en la forma y reemplazando sus variables de acuerdo con las conversiones cartesianas a polares y , dando: ^[22] ${\displaystyle r\varphi =a}$ ${\displaystyle \varphi =\tan ^{-1}{\tfrac {y}{x}}}$ ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

$${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}=a.}$$

También es posible utilizar la ecuación polar para definir una curva espiral en el plano hiperbólico , pero esto es diferente en algunos aspectos importantes de la forma habitual de la espiral hiperbólica en el plano euclidiano. En particular, la curva correspondiente en el plano hiperbólico no tiene una línea asintótica. ^[6]

inversión

Espiral hiperbólica (azul) como imagen de una espiral de Arquímedes (verde) por inversión a través de un círculo (rojo)

La inversión del círculo a través del círculo unitario es una transformación del plano que, en coordenadas polares, asigna el punto (excluyendo el origen) y viceversa. ^[23] La imagen de una espiral de Arquímedes bajo esta transformación (su curva inversa ) es la espiral hiperbólica con ecuación . ^[8] ${\displaystyle (r,\varphi )}$ ${\displaystyle ({\tfrac {1}{r}},\varphi )}$ ${\displaystyle r={\tfrac {\varphi }{a}}}$ ${\displaystyle r={\tfrac {a}{\varphi }}}$

Proyección central de una hélice.

Espiral hiperbólica como proyección central de una hélice.

La proyección central de una hélice sobre un plano perpendicular al eje de la hélice describe la vista que se vería de la barandilla de una escalera de caracol , mirando hacia arriba o hacia abajo desde un mirador sobre el eje de la escalera. ^[5] Para modelar matemáticamente esta proyección, considere la proyección central desde el punto al plano de la imagen . Esto asignará un punto al punto . ^[24] ${\displaystyle (0,0,d)}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle {\tfrac {d}{d-z}}(x,y)}$

La imagen bajo esta proyección de la hélice con representación paramétrica.

$${\displaystyle (r\cos t,r\sin t,ct),\quad c\neq 0,}$$

$${\displaystyle {\frac {dr}{d-ct}}(\cos t,\sin t)}$$

$${\displaystyle \rho ={\frac {dr}{d-ct}},}$$

^[24]

Propiedades

Asíntotas

La espiral hiperbólica se acerca al origen como un punto asintótico. ^[22] Porque

$${\displaystyle \lim _{\varphi \to 0}x=a\lim _{\varphi \to 0}{\frac {\cos \varphi }{\varphi }}=\infty ,\qquad \lim _{\varphi \to 0}y=a\lim _{\varphi \to 0}{\frac {\sin \varphi }{\varphi }}=a,}$$

recta asintóticaecuación . ^[20] ${\displaystyle y=a}$

Ángulo de paso

Definición de sector (azul claro) y ángulo de paso α

Del cálculo vectorial en coordenadas polares se obtiene la fórmula para el ángulo de paso entre la tangente de cualquier curva y la tangente de su círculo polar correspondiente. ^[25] Para la espiral hiperbólica el ángulo de paso es ^[19] ${\displaystyle \tan \alpha ={\tfrac {r'}{r}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle r={\tfrac {a}{\varphi }}}$

$${\displaystyle \alpha =\tan ^{-1}\left(-{\frac {1}{\varphi }}\right).}$$

Curvatura

La curvatura de cualquier curva con ecuación polar es ^[26] ${\displaystyle r=r(\varphi )}$

$${\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\,r''}{\left(r^{2}+(r')^{2}\right)^{3/2}}}.}$$

^[27] ${\displaystyle r=a/\varphi }$ ${\displaystyle r'=-a/\varphi ^{2}}$ ${\displaystyle r''=2a/\varphi ^{3}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle \kappa ={\frac {\varphi ^{4}}{a\left(\varphi ^{2}+1\right)^{3/2}}}={\frac {a^{3}}{r(a^{2}+r^{2})^{3/2}}}.}$$

Longitud de arco

La longitud del arco de una espiral hiperbólica entre los puntos y se puede calcular mediante la integral: ^[20] ${\displaystyle r=a/\varphi }$ ${\displaystyle (r(\varphi _{1}),\varphi _{1})}$ ${\displaystyle (r(\varphi _{2}),\varphi _{2})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}L&=a\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}{\varphi ^{2}}}\,d\varphi \\&=a\left[-{\frac {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}{\varphi }}+\ln \left(\varphi +{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}\right)\right]_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$ ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$

Área sectorial

El área de un sector (ver diagrama arriba) de una espiral hiperbólica con ecuación es: ^[20] ${\displaystyle r=a/\varphi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\,d\varphi \\&={\frac {a}{2}}{\bigl (}r(\varphi _{1})-r(\varphi _{2}){\bigr )}.\end{aligned}}}$$

. ^{[13] [20]} ${\displaystyle a/2}$

Referencias

1. Waud, Samuel Wilkes (1835), Tratado de geometría algebraica, Baldwin y Cradock, pág. 194
2. Maxwell, James Clerk (1849), "XXXV.—Sobre la teoría de las curvas rodantes", Transactions of the Royal Society of Edinburgh , 16 (5): 519–540, doi :10.1017/s008045680002247x, Zenodo :  2250749
3. Bowser, Edward Albert (1882), "La espiral recíproca o hiperbólica", Tratado elemental sobre geometría analítica: adopción de la geometría plana y una introducción a la geometría de tres dimensiones (4ª ed.), D. Van Nostrand, p. 232
4. Drábek, Karel (1994), "Construcciones y curvas planas", en Rektorys, Karel (ed.), Estudio de las matemáticas aplicables , Las matemáticas y sus aplicaciones, vol. 280–281, Springer Países Bajos, págs. 112–166, doi :10.1007/978-94-015-8308-4_4, ISBN 9789401583084; ver pág. 138
5. Hammer, Øyvind (2016), "15: El caso de la escalera", La forma perfecta: historias en espiral , Springer International Publishing, págs. 65–68, doi :10.1007/978-3-319-47373-4_15
6. Dunham, Douglas (2003), "Espirales hiperbólicas y patrones espirales", en Barrallo, Javier; Friedman, Nathaniel; Maldonado, Juan Antonio; Martínez-Aroza, José; Sarhangi, Reza; Séquin, Carlo (eds.), Meeting Alhambra, Actas de la conferencia ISAMA-BRIDGES , Granada, España: Universidad de Granada, págs. 521–528, ISBN 84-930669-1-5
7. Varignon, Pierre (1704), "Nouvelleformation de Spirales - ejemplo II", Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France : 94-103
8. "Curvas: espiral hiperbólica", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
9. Johann Bernoulli no debe confundirse con su hermano mayor Jacob Bernoulli , quien realizó extensos estudios de la espiral logarítmica .
10. Martillo (2016), págs. 119-120.
11. Guicciardini, Niccolò (1995), "Johann Bernoulli, John Keill y el problema inverso de las fuerzas centrales", Annals of Science , 52 (6): 537–575, doi :10.1080/00033799500200401
12. Bernoulli, Johann (1710), "Extrait de la Réponse de M. Bernoulli à M. Herman, fechada de Basilea el 7 de octubre de 1710", Mémoires de l'Académie des Sciences : 521–33. Como lo cita Guicciardini (1995), nota al pie 47, p. 554.
13. Cotesium, Rogerum (1722), Smith, Robertus (ed.), Harmonia Mensurarum, Sive Analysis & Synthesis per Rationum & Angulorum Mensuras (en latín), Cambridge. Para las espirales de Cotes, véanse las págs. 30-35; la espiral hiperbólica es el caso 4, p. 34. Hammer fecha este material en 1714, pero no se publicó hasta después de la muerte de Cotes.
14. Haines, CR (diciembre de 1977), "Viejas curvas en un nuevo entorno", The Mathematical Gazette , 61 (418): 262–266, doi :10.2307/3617399, JSTOR  3617399, S2CID  189050097
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16. Kennicutt, RC Jr. (diciembre de 1981), "Las formas de los brazos espirales a lo largo de la secuencia de Hubble", The Astronomical Journal , 86 , Sociedad Astronómica Estadounidense: 1847, Bibcode : 1981AJ..... 86.1847K, doi : 10.1086/ 113064
17. Sávchenko, SS; Reshetnikov, VP (septiembre de 2013), "Variaciones del ángulo de inclinación en galaxias espirales", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society , 436 (2): 1074–1083, arXiv : 1309.4308 , doi : 10.1093/mnras/stt1627
18. Nicholson, Peter (1825), Un curso popular de matemáticas puras y mixtas para uso de escuelas y estudiantes, GB Whittaker, p. 436
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20. Polezhaev, Andrey (2019), "Espirales, sus tipos y peculiaridades", en Tsuji, Kinko; Müller, Stefan C. (eds.), Espirales y vórtices: en cultura, naturaleza y ciencia , The Frontiers Collection, Springer International Publishing, págs. 91–112, doi :10.1007/978-3-030-05798-5_4, ISBN 9783030057985, S2CID  150149152; véase especialmente la Sección 2.2, Espiral hiperbólica, p. 96
21. Morris, Christopher G., ed. (1992), "Espiral hiperbólica", Diccionario de ciencia y tecnología de Academic Press, Academic Press, p. 1068
22. Shikin, Eugene V. (2014), "Espiral hiperbólica (espiral recíproca)", Manual y atlas de curvas , CRC Press, págs. 222-223, ISBN 9781498710671
23. Mumford, David ; Serie, Carolina ; Wright, David (2002), "Las inversiones y la esfera de Riemann", Las perlas de Indra: la visión de Felix Klein , Cambridge University Press, pág. 54, ISBN 9781107717190, señor  3558870
24. Loria, Gino; Roever, WH (febrero de 1919), "Sobre ciertas construcciones de geometría descriptiva", The American Mathematical Monthly , 26 (2): 45–53, doi :10.1080/00029890.1919.11998485, JSTOR  2973138; para la proyección central de una hélice, consulte la pág. 51
25. Kepr, Bořivoj (1994), "Geometría diferencial", en Rektorys, Karel (ed.), Estudio de las matemáticas aplicables , Las matemáticas y sus aplicaciones, vol. 280–281, Springer Países Bajos, págs. 260–335, doi :10.1007/978-94-015-8308-4_9, ISBN 9789401583084. Para obtener una fórmula equivalente para el ángulo de dirección (el ángulo complementario al ángulo de paso), consulte la Sección 9.9, Teorema 1, pág. 300
26. Rutter, JW (2018), "Teorema 7.11", Geometría de curvas , CRC Press, p. 143, ISBN 9781482285673
27. Ganguli, Surendramohan (1926), "289: La espiral hiperbólica", La teoría de las curvas planas , vol. II (2ª ed.), Universidad de Calcuta, págs. 364–365

enlaces externos

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