Potencial efectivo

Energía potencial neta encontrada en mecánica orbital.

El potencial efectivo (también conocido como energía potencial efectiva ) combina múltiples efectos, quizás opuestos, en un solo potencial. En su forma básica, es la suma de la energía potencial centrífuga "opuesta" a la energía potencial de un sistema dinámico . Puede usarse para determinar las órbitas de los planetas (tanto newtonianas como relativistas ) y para realizar cálculos atómicos semiclásicos, y a menudo permite reducir los problemas a menos dimensiones .

Definición

Potencial efectivo. E > 0: órbita hiperbólica (A ₁ como pericentro), E = 0: órbita parabólica (A ₂ como pericentro), E < 0: órbita elíptica ( A ₃ como pericentro, A ₃ ' como apocentro), E = E _min : órbita circular ( A ₄ como radio). Los puntos A ₁ , ..., A ₄ se denominan puntos de inflexión.

La forma básica del potencial se define como: donde ${\displaystyle U_{\text{eff}}}$ $${\displaystyle U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )={\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+U(\mathbf {r} ),}$$

• L es el momento angular
• r es la distancia entre las dos masas
• μ es la masa reducida de los dos cuerpos (aproximadamente igual a la masa del cuerpo en órbita si una masa es mucho mayor que la otra); y
• U ( r ) es la forma general del potencial .

La fuerza efectiva, entonces, es el gradiente negativo del potencial efectivo: donde denota un vector unitario en la dirección radial. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{eff}}&=-\nabla U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )\\&={\frac {L^{2}}{\mu r^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}-\nabla U(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$

Propiedades importantes

Hay muchas características útiles del potencial efectivo, como $${\displaystyle U_{\text{eff}}\leq E.}$$

Para encontrar el radio de una órbita circular, simplemente minimice el potencial efectivo con respecto a , o de manera equivalente, establezca la fuerza neta en cero y luego resuelva para : Después de resolver para , vuelva a conectar esto para encontrar el valor máximo del potencial efectivo . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r_{0}}$ $${\displaystyle {\frac {dU_{\text{eff}}}{dr}}=0}$$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle U_{\text{eff}}}$ ${\displaystyle U_{\text{eff}}^{\text{max}}}$

Una órbita circular puede ser estable o inestable. Si es inestable, una pequeña perturbación podría desestabilizar la órbita, pero una órbita estable volvería al equilibrio. Para determinar la estabilidad de una órbita circular, determine la concavidad del potencial efectivo. Si la concavidad es positiva, la órbita es estable: $${\displaystyle {\frac {d^{2}U_{\text{eff}}}{dr^{2}}}>0}$$

La frecuencia de pequeñas oscilaciones, usando análisis hamiltoniano básico , es donde el doble primo indica la segunda derivada del potencial efectivo con respecto a y se evalúa en un mínimo. $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {U_{\text{eff}}''}{m}}},}$$ ${\displaystyle r}$

Potencial gravitacional

Componentes del potencial efectivo de dos cuerpos en rotación: (arriba) los potenciales gravitacionales combinados; (btm) los potenciales gravitacional y rotacional combinados

Visualización del potencial efectivo en un plano que contiene la órbita (modelo de lámina de goma gris con contornos violetas de igual potencial), los puntos lagrangianos (rojo) y un planeta (azul) que orbita una estrella (amarillo) ^[1]

Considere una partícula de masa m que orbita alrededor de un objeto mucho más pesado de masa M. Supongamos la mecánica newtoniana , que es a la vez clásica y no relativista. La conservación de la energía y el momento angular dan dos constantes E y L , que tienen valores cuando el movimiento de la masa mayor es insignificante. En estas expresiones, $${\displaystyle E={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-{\frac {GmM}{r}},}$$ $${\displaystyle L=mr^{2}{\dot {\phi }}}$$

• ${\displaystyle {\dot {r}}}$es la derivada de r con respecto al tiempo,
• ${\displaystyle {\dot {\phi }}}$es la velocidad angular de la masa  m ,
• G es la constante gravitacional ,
• E es la energía total, y
• L es el momento angular .

Sólo se necesitan dos variables, ya que el movimiento ocurre en un plano. Sustituir la segunda expresión en la primera y reordenar da dónde está el potencial efectivo. ^{[Nota 1]} El problema original de dos variables se ha reducido a un problema de una variable. Para muchas aplicaciones, el potencial efectivo se puede tratar exactamente como la energía potencial de un sistema unidimensional: por ejemplo, un diagrama de energía que utiliza el potencial efectivo determina puntos de inflexión y ubicaciones de equilibrios estables e inestables . Se puede utilizar un método similar en otras aplicaciones, por ejemplo, para determinar órbitas en una métrica relativista general de Schwarzschild . $${\displaystyle m{\dot {r}}^{2}=2E-{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}+{\frac {2GmM}{r}}=2E-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {L^{2}}{m}}-2GmMr\right),}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}=E-U_{\text{eff}}(r),}$$ $${\displaystyle U_{\text{eff}}(r)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r}}}$$

Los potenciales efectivos se utilizan ampliamente en varios subcampos de la materia condensada, por ejemplo, el potencial de núcleo de Gauss (Likos 2002, Baeurle 2004) y el potencial de Coulomb filtrado (Likos 2001).

Ver también

• Geopotencial

Notas

1. Se puede encontrar una derivación similar en José & Saletan, Classical Dynamics: A Contemporary Approach , págs. 31–33

Referencias

1. Seidov, Zakir F. (2004). "El problema de Roche: algunos análisis". La revista astrofísica . 603 : 283–284. arXiv : astro-ph/0311272 . Código Bib : 2004ApJ...603..283S. doi :10.1086/381315.

Otras lecturas

• José, JV; Saletán, EJ (1998). Dinámica clásica: un enfoque contemporáneo (1ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-63636-0..
• Likos, CN; Rosenfeldt, S.; Dingenouts, N.; Ballauff, M .; Lindner, P.; Werner, N.; Vögtle, F.; et al. (2002). "Interacción efectiva gaussiana entre dendrímeros flexibles de cuarta generación: un estudio teórico y experimental". J. química. Física . 117 (4): 1869–1877. Código bibliográfico : 2002JChPh.117.1869L. doi :10.1063/1.1486209. Archivado desde el original el 19 de julio de 2011.

• Baeurle, SA; Kroener J. (2004). "Modelado de interacciones efectivas de agregados micelares de tensioactivos iónicos con el potencial de núcleo de Gauss". J. Matemáticas. química . 36 (4): 409–421. doi :10.1023/B:JOMC.0000044526.22457.bb.

• Likos, CN (2001). "Interacciones efectivas en física de materia condensada blanda". Informes de Física . 348 (4–5): 267–439. Código bibliográfico : 2001PhR...348..267L. CiteSeerX  10.1.1.473.7668 . doi :10.1016/S0370-1573(00)00141-1.