Teorema de Newton sobre las órbitas giratorias

Teorema de la mecánica clásica

Figura 1: Una fuerza de atracción F ( r ) hace que el planeta azul se mueva sobre el círculo cian. El planeta verde se mueve tres veces más rápido y, por lo tanto, requiere una fuerza centrípeta más fuerte , que se obtiene añadiendo una fuerza de atracción del cubo inverso. El planeta rojo está estacionario; la fuerza F ( r ) está equilibrada por una fuerza repulsiva del cubo inverso. Aquí se encuentra una versión GIF de esta animación .

Figura 2: El radio r de los planetas verde y azul es el mismo, pero su velocidad angular difiere en un factor k . En las figuras 1 y 3 a 5 se muestran ejemplos de tales órbitas.

En mecánica clásica , el teorema de las órbitas giratorias de Newton identifica el tipo de fuerza central necesaria para multiplicar la velocidad angular de una partícula por un factor k sin afectar su movimiento radial (Figuras 1 y 2). Newton aplicó su teorema para comprender la rotación general de las órbitas ( precesión absidal , Figura 3) que se observa en la Luna y los planetas . El término "movimiento radial" significa el movimiento hacia o desde el centro de fuerza, mientras que el movimiento angular es perpendicular al movimiento radial.

Isaac Newton derivó este teorema en las Proposiciones 43 a 45 del Libro I de su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , publicado por primera vez en 1687. En la Proposición 43, demostró que la fuerza agregada debe ser una fuerza central, cuya magnitud depende sólo de la distancia r. entre la partícula y un punto fijo en el espacio (el centro). En la Proposición 44, derivó una fórmula para la fuerza, demostrando que era una fuerza inversa al cubo, una que varía con la inversa del cubo de r . En la proposición 45, Newton amplió su teorema a fuerzas centrales arbitrarias al suponer que la partícula se movía en una órbita casi circular.

Como señaló el astrofísico Subrahmanyan Chandrasekhar en su comentario de 1995 sobre los Principia de Newton , este teorema permaneció en gran medida desconocido y sin desarrollar durante más de tres siglos. ^[1] Desde 1997, el teorema ha sido estudiado por Donald Lynden-Bell y sus colaboradores. ^{[2] [3]} Su primera extensión exacta se produjo en 2000 con el trabajo de Mahomed y Vawda. ^[4]

Contexto histórico

Movimiento retrógrado de Marte visto desde la Tierra.

Figura 3: Los planetas que giran alrededor del Sol siguen órbitas elípticas (ovaladas) que giran gradualmente con el tiempo ( precesión absidal ). La excentricidad de esta elipse está exagerada para su visualización. La mayoría de las órbitas del Sistema Solar tienen una excentricidad mucho menor, lo que las hace casi circulares. Aquí se encuentra una versión GIF de esta animación .

El movimiento de los cuerpos astronómicos se ha estudiado sistemáticamente durante miles de años. Se observó que las estrellas giraban uniformemente, manteniendo siempre las mismas posiciones relativas entre sí. Sin embargo, se observó que otros cuerpos vagaban en el fondo de las estrellas fijas; la mayoría de estos cuerpos fueron llamados planetas por la palabra griega "πλανήτοι" ( planētoi ) para "vagabundos". Aunque generalmente se mueven en la misma dirección a lo largo de una trayectoria a través del cielo (la eclíptica ), los planetas individuales a veces invierten su dirección brevemente, exhibiendo un movimiento retrógrado . ^[5]

Para describir este movimiento hacia adelante y hacia atrás, Apolonio de Perga ( c. 262 – c. 190 a. C. ) desarrolló el concepto de deferentes y epiciclos , según el cual los planetas son transportados en círculos giratorios que a su vez son transportados en otros círculos giratorios. etcétera. Cualquier órbita puede describirse con un número suficiente de epiciclos elegidos juiciosamente, ya que este enfoque corresponde a una transformada de Fourier moderna . ^[6] Aproximadamente 350 años después, Claudio Ptolomeo publicó su Almagesto , en el que desarrolló este sistema para igualar las mejores observaciones astronómicas de su época. Para explicar los epiciclos, Ptolomeo adoptó la cosmología geocéntrica de Aristóteles , según la cual los planetas estaban confinados en esferas giratorias concéntricas. Este modelo del universo tuvo autoridad durante casi 1500 años.

La comprensión moderna del movimiento planetario surgió de los esfuerzos combinados del astrónomo Tycho Brahe y el físico Johannes Kepler en el siglo XVI. A Tycho se le atribuyen mediciones extremadamente precisas de los movimientos planetarios, de las cuales Kepler pudo derivar sus leyes del movimiento planetario . ^[7] Según estas leyes, los planetas se mueven en elipses (no epiciclos ) alrededor del Sol (no de la Tierra). La segunda y tercera leyes de Kepler hacen predicciones cuantitativas específicas: los planetas barren áreas iguales en el mismo tiempo, y el cuadrado de sus períodos orbitales es igual a una constante fija multiplicada por el cubo de su semieje mayor . ^[8] Observaciones posteriores de las órbitas planetarias mostraron que el eje mayor de la elipse (la llamada línea de ábsides ) gira gradualmente con el tiempo; esta rotación se conoce como precesión absidal . Los ábsides de una órbita son los puntos en los que el cuerpo en órbita está más cerca o más lejos del centro de atracción; para los planetas que orbitan alrededor del Sol, los ábsides corresponden al perihelio (el más cercano) y al afelio (el más lejano). ^[9]

Con la publicación de sus Principia aproximadamente ochenta años después (1687), Isaac Newton proporcionó una teoría física que explicaba las tres leyes de Kepler, una teoría basada en las leyes del movimiento de Newton y su ley de gravitación universal . En particular, Newton propuso que la fuerza gravitacional entre dos cuerpos cualesquiera era una fuerza central F ( r ) que variaba como el cuadrado inverso de la distancia r entre ellos. Partiendo de sus leyes del movimiento, Newton demostró que la órbita de cualquier partícula sobre la que actúa una de esas fuerzas es siempre una sección cónica , específicamente una elipse si no llega al infinito. Sin embargo, esta conclusión sólo es válida cuando hay dos cuerpos presentes (el problema de los dos cuerpos ); el movimiento de tres cuerpos o más que actúan bajo su gravitación mutua (el problema de los n cuerpos ) permaneció sin resolver durante siglos después de Newton, ^{[10] [11]} aunque se descubrieron soluciones a algunos casos especiales . ^[12] Newton propuso que las órbitas de los planetas alrededor del Sol son en gran medida elípticas porque la gravitación del Sol es dominante; En una primera aproximación , se puede ignorar la presencia de otros planetas. Por analogía, la órbita elíptica de la Luna alrededor de la Tierra estaba dominada por la gravedad terrestre; En una primera aproximación, la gravedad del Sol y la de otros cuerpos del Sistema Solar pueden despreciarse. Sin embargo, Newton afirmó que la precesión absidal gradual de las órbitas planetarias y lunares se debía a los efectos de estas interacciones desatendidas; en particular, afirmó que la precesión de la órbita de la Luna se debía a los efectos perturbadores de las interacciones gravitacionales con el Sol. ^[13]

El teorema de las órbitas giratorias de Newton fue su primer intento de comprender cuantitativamente la precesión absidal. Según este teorema, la adición de un tipo particular de fuerza central (la fuerza del cubo inverso) puede producir una órbita giratoria; la velocidad angular se multiplica por un factor k , mientras que el movimiento radial se deja sin cambios. Sin embargo, este teorema se limita a un tipo específico de fuerza que puede no ser relevante; Parece poco probable que varias interacciones perturbadoras del cuadrado inverso (como las de otros planetas) sumen exactamente una fuerza del cubo inverso. Para que su teorema sea aplicable a otros tipos de fuerzas, Newton encontró la mejor aproximación de una fuerza central arbitraria F ( r ) a un potencial de cubo inverso en el límite de órbitas casi circulares, es decir, órbitas elípticas de baja excentricidad, como es de hecho, es cierto para la mayoría de las órbitas del Sistema Solar. Para encontrar esta aproximación, Newton desarrolló una serie infinita que puede verse como la precursora de la expansión de Taylor . ^[14] Esta aproximación permitió a Newton estimar la tasa de precesión de fuerzas centrales arbitrarias. Newton aplicó esta aproximación para probar modelos de la fuerza que causa la precesión absidal de la órbita de la Luna. Sin embargo, el problema del movimiento de la Luna es tremendamente complejo y Newton nunca publicó un modelo gravitacional preciso de la precesión absidal de la Luna. Después de un modelo más preciso de Clairaut en 1747, ^[15] modelos analíticos del movimiento de la Luna fueron desarrollados a finales del siglo XIX por Hill , ^[16] Brown, ^[17] y Delaunay . ^[18]

Sin embargo, el teorema de Newton es más general que simplemente explicar la precesión absidal. Describe los efectos de agregar una fuerza del cubo inverso a cualquier fuerza central F ( r ), no solo a fuerzas del cuadrado inverso como la ley de gravitación universal de Newton y la ley de Coulomb . El teorema de Newton simplifica los problemas orbitales en la mecánica clásica al eliminar de la consideración las fuerzas del cubo inverso. Los movimientos radial y angular, r ( t ) y θ ₁ ( t ), se pueden calcular sin la fuerza del cubo inverso; después, su efecto se puede calcular multiplicando la velocidad angular de la partícula

${\displaystyle \omega _{2}={\frac {d\theta _{2}}{dt}}=k{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=k\omega _{1}.}$

declaración matemática

Figura 4: Los tres planetas comparten el mismo movimiento radial (círculo cian) pero se mueven a diferentes velocidades angulares. El planeta azul siente sólo una fuerza del cuadrado inverso y se mueve sobre una elipse ( k  = 1). El planeta verde se mueve angularmente tres veces más rápido que el planeta azul ( k  = 3); completa tres órbitas por cada órbita del planeta azul. El planeta rojo ilustra un movimiento puramente radial sin movimiento angular ( k  = 0). Los caminos seguidos por los planetas verde y azul se muestran en la Figura 9 . Aquí se encuentra una versión GIF de esta animación .

Figura 5: El planeta verde se mueve angularmente un tercio más rápido que el planeta azul ( k  = 1/3); completa una órbita por cada tres órbitas azules. Los caminos seguidos por los planetas verde y azul se muestran en la Figura 10 . Aquí se encuentra una versión GIF de esta animación .

Considere una partícula que se mueve bajo una fuerza central arbitraria F ₁ ( r ) cuya magnitud depende sólo de la distancia r entre la partícula y un centro fijo. Dado que el movimiento de una partícula bajo una fuerza central siempre se encuentra en un plano, la posición de la partícula se puede describir mediante coordenadas polares ( r ,  θ ₁ ), el radio y el ángulo de la partícula con respecto al centro de fuerza (Figura 1 ). Ambas coordenadas, r ( t ) y θ ₁ ( t ), cambian con el tiempo t a medida que la partícula se mueve.

Imagine una segunda partícula con la misma masa m y con el mismo movimiento radial r ( t ), pero cuya velocidad angular es k veces más rápida que la de la primera partícula. En otras palabras, los ángulos azimutales de las dos partículas están relacionados por la ecuación θ ₂ ( t ) = k θ ₁ ( t ). Newton demostró que el movimiento de la segunda partícula se puede producir sumando una fuerza central inversa al cubo a cualquier fuerza F ₁ ( r ) que actúe sobre la primera partícula ^[19]

${\displaystyle F_{2}(r)-F_{1}(r)={\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)}$

donde L _{1 es la magnitud del} momento angular de la primera partícula , que es una constante de movimiento (conservada) para fuerzas centrales.

Si k ² es mayor que uno, F ₂  −  F ₁ es un número negativo; por lo tanto, la fuerza agregada del cubo inverso es atractiva , como se observa en el planeta verde de las figuras 1-4 y 9. Por el contrario, si k ² es menor que uno, F ₂ − F ₁ es un número positivo; la fuerza agregada del cubo inverso es repulsiva , como se observa en el planeta verde de las Figuras 5 y 10, y en el planeta rojo de las Figuras 4 y 5.

Alteración de la trayectoria de las partículas.

La adición de dicha fuerza del cubo inverso también cambia la trayectoria seguida por la partícula. La trayectoria de la partícula ignora las dependencias temporales de los movimientos radiales y angulares, como r ( t ) y θ ₁ ( t ); más bien, relaciona las variables de radio y ángulo entre sí. Para ello, la variable del ángulo no tiene restricciones y puede aumentar indefinidamente cuando la partícula gira varias veces alrededor del punto central. Por ejemplo, si la partícula gira dos veces alrededor del punto central y regresa a su posición inicial, su ángulo final no es el mismo que su ángulo inicial; más bien, ha aumentado en 2×360° = 720° . Formalmente, la variable ángulo se define como la integral de la velocidad angular

${\displaystyle \theta _{1}\equiv \int \omega _{1}(t)\,dt.}$

Una definición similar es válida para θ ₂ , el ángulo de la segunda partícula.

Si el camino de la primera partícula se describe en la forma r = g ( θ ₁ ) , el camino de la segunda partícula viene dado por la función r = g (θ ₂ / k ) , ya que θ ₂ = k θ ₁ . Por ejemplo, supongamos que la trayectoria de la primera partícula sea una elipse.

${\displaystyle {\frac {1}{r}}=A+B\cos \theta _{1}}$

donde A y B son constantes; entonces, la trayectoria de la segunda partícula está dada por

${\displaystyle {\frac {1}{r}}=A+B\cos \left({\frac {\theta _{2}}{k}}\right).}$

Precesión orbital

Si k es cercano a uno, pero no igual, la segunda órbita se parece a la primera, pero gira gradualmente alrededor del centro de fuerza; esto se conoce como precesión orbital (Figura 3). Si k es mayor que uno, la órbita precede en la misma dirección que la órbita (Figura 3); si k es menor que uno, la órbita precede en la dirección opuesta.

Aunque parezca que la órbita de la Figura 3 gira uniformemente, es decir, a una velocidad angular constante, esto sólo es cierto para las órbitas circulares. ^{[2] [3]} Si la órbita gira a una velocidad angular Ω , la velocidad angular de la segunda partícula es más rápida o más lenta que la de la primera partícula en Ω ; en otras palabras, las velocidades angulares satisfacerían la ecuación ω ₂ = ω ₁ + Ω . Sin embargo, el teorema de las órbitas giratorias de Newton establece que las velocidades angulares están relacionadas por multiplicación: ω ₂ = kω ₁ , donde k es una constante. La combinación de estas dos ecuaciones muestra que la velocidad angular de la precesión es igual a Ω = ( k − 1) ω ₁ . Por tanto, Ω es constante sólo si ω ₁ es constante. Según la conservación del momento angular, ω ₁ cambia con el radio r

${\displaystyle \omega _{1}={\frac {L_{1}}{mr^{2}}};}$

donde m y L _{1 son la} masa y el momento angular de la primera partícula , respectivamente, los cuales son constantes. Por tanto, ω ₁ es constante sólo si el radio r es constante, es decir, cuando la órbita es un círculo. Sin embargo, en ese caso, la órbita no cambia a medida que precede.

Ejemplo ilustrativo: las espirales de Cotes

Figura 6: Para la partícula azul que se mueve en línea recta, el radio r desde un centro dado varía con el ángulo según la ecuación b = r cos(θ − θ ₀ ) , donde b es la distancia de máxima aproximación ( parámetro de impacto , mostrado en rojo).

La ilustración más simple del teorema de Newton ocurre cuando no hay fuerza inicial, es decir, F ₁ ( r ) = 0. En este caso, la primera partícula está estacionaria o viaja en línea recta. Si viaja en una línea recta que no pasa por el origen (línea amarilla en la Figura 6), la ecuación de dicha línea se puede escribir en las coordenadas polares ( r , θ ₁ ) como

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{b}}\cos \ (\theta _{1}-\theta _{0})}$

donde θ ₀ es el ángulo en el que se minimiza la distancia (Figura 6). La distancia r comienza en el infinito (cuando θ ₁ – θ ₀ = −90° ), y disminuye gradualmente hasta θ ₁ – θ ₀ = 0° , cuando la distancia alcanza un mínimo, luego aumenta gradualmente nuevamente hasta el infinito en θ ₁ – θ ₀ = 90° . La distancia mínima b es el parámetro de impacto , que se define como la longitud de la perpendicular desde el centro fijo hasta la línea de movimiento. El mismo movimiento radial es posible cuando se agrega una fuerza central cúbica inversa.

Figura 7: Epispirales correspondientes a k igual a 2/3 (rojo), 1,0 (negro), 1,5 (verde), 3,0 (cian) y 6,0 (azul). Cuando k es menor que uno, la fuerza del cubo inverso es repulsiva, mientras que cuando k es mayor que uno, la fuerza es atractiva.

Una fuerza central del cubo inverso F ₂ ( r ) tiene la forma

${\displaystyle F_{2}(r)={\frac {\mu }{r^{3}}}}$

donde el numerador μ puede ser positivo (repulsivo) o negativo (atractivo). Si se introduce tal fuerza de cubo inverso, el teorema de Newton dice que las soluciones correspondientes tienen una forma llamada espirales de Cotes ^{[ se necesita aclaración ]} . Estas son curvas definidas por la ecuación ^{[20] [21]}

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{b}}\cos \ \left({\frac {\theta _{2}-\theta _{0}}{k}}\right)}$

donde la constante k es igual

${\displaystyle k^{2}=1-{\frac {m\mu }{L_{1}^{2}}}}$

Cuando el lado derecho de la ecuación es un número real positivo , la solución corresponde a una epispiral . ^[22] Cuando el argumento θ ₁ – θ ₀ es igual a ±90°× k , el coseno va a cero y el radio va al infinito. Por lo tanto, cuando k es menor que uno, el rango de ángulos permitidos se vuelve pequeño y la fuerza es repulsiva (curva roja a la derecha en la Figura 7). Por otro lado, cuando k es mayor que uno, el rango de ángulos permitidos aumenta, correspondiente a una fuerza de atracción (curvas verde, cian y azul a la izquierda en la Figura 7); la órbita de la partícula puede incluso dar varias vueltas alrededor del centro. Los posibles valores del parámetro k pueden variar de cero a infinito, lo que corresponde a valores de μ que van desde el infinito negativo hasta el límite superior positivo, L ₁ ² / m . Por lo tanto, para todas las fuerzas de atracción del cubo inverso (μ negativo) hay una órbita epispiral correspondiente, como para algunas repulsivas (μ < L ₁ ² / m ), como se ilustra en la Figura 7. Las fuerzas repulsivas más fuertes corresponden a un movimiento lineal más rápido. .

Figura 8: Espirales de Poinsot ( espirales de cosh ) correspondientes a λ igual a 1,0 (verde), 3,0 (cian) y 6,0 (azul).

Uno de los otros tipos de solución se da en términos del coseno hiperbólico :

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{b}}\cosh \ \left({\frac {\theta _{0}-\theta _{2}}{\lambda }}\right)}$

donde la constante λ satisface

${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {m\mu }{L_{1}^{2}}}-1}$

Esta forma de espirales de Cotes corresponde a una de las dos espirales de Poinsot (Figura 8). ^[22] Los valores posibles de λ van de cero a infinito, lo que corresponde a valores de μ mayores que el número positivo L ₁ ² / m . Por lo tanto, el movimiento espiral de Poinsot solo ocurre para fuerzas centrales repulsivas del cubo inverso y se aplica en el caso de que L no sea demasiado grande para el μ dado.

Tomando el límite de k o λ yendo a cero se obtiene la tercera forma de espiral de Cotes, la llamada espiral recíproca o espiral hiperbólica , como solución ^[23]

${\displaystyle {\frac {1}{r}}=A\theta _{2}+\varepsilon }$

donde A y ε son constantes arbitrarias. Tales curvas se producen cuando la fuerza μ de la fuerza repulsiva equilibra exactamente el término momento angular-masa.

${\displaystyle \mu ={\frac {L_{1}^{2}}{m}}}$

Órbitas cerradas y fuerzas centrales del cubo inverso

Figura 9: Órbitas armónicas con k = 1 (azul), 2 (magenta) y 3 (verde). En la Figura 4 se muestra una animación de las órbitas azul y verde.

Dos tipos de fuerzas centrales , las que aumentan linealmente con la distancia, F = Cr , como la ley de Hooke , y las fuerzas del cuadrado inverso, F = C / r ² , como la ley de gravitación universal de Newton y la ley de Coulomb , tienen un efecto muy inusual. propiedad. Una partícula que se mueve bajo cualquier tipo de fuerza siempre regresa a su punto de partida con su velocidad inicial, siempre que carezca de energía suficiente para moverse hasta el infinito. En otras palabras, la trayectoria de una partícula ligada siempre está cerrada y su movimiento se repite indefinidamente, sin importar su posición o velocidad inicial. Como lo muestra el teorema de Bertrand , esta propiedad no es cierta para otros tipos de fuerzas; en general, una partícula no regresará a su punto de partida con la misma velocidad.

Sin embargo, el teorema de Newton muestra que se puede aplicar una fuerza cúbica inversa a una partícula que se mueve bajo una fuerza lineal o cuadrada inversa de modo que su órbita permanezca cerrada, siempre que k sea igual a un número racional . (Un número se llama "racional" si se puede escribir como una fracción m / n , donde m y n son números enteros). En tales casos, la suma de la fuerza cúbica inversa hace que la partícula complete m rotaciones alrededor del centro. de fuerza en el mismo tiempo que la partícula original completa n rotaciones. Este método para producir órbitas cerradas no viola el teorema de Bertrand, porque la fuerza cúbica inversa agregada depende de la velocidad inicial de la partícula.

Figura 10: Órbitas subarmónicas con k = 1 (azul), 1/2 (magenta) y 1/3 (verde). En la Figura 5 se muestra una animación de las órbitas azul y verde.

Las órbitas armónicas y subarmónicas son tipos especiales de órbitas cerradas. Una trayectoria cerrada se llama órbita armónica si k es un número entero, es decir, si n = 1 en la fórmula k = m / n . Por ejemplo, si k = 3 (planeta verde en las Figuras 1 y 4, órbita verde en la Figura 9), la órbita resultante es el tercer armónico de la órbita original. Por el contrario, la trayectoria cerrada se llama órbita subarmónica si k es la inversa de un número entero, es decir, si m = 1 en la fórmula k = m / n . Por ejemplo, si k = 1/3 (planeta verde en la Figura 5, órbita verde en la Figura 10), la órbita resultante se denomina tercer subarmónico de la órbita original. Aunque es poco probable que tales órbitas ocurran en la naturaleza, son útiles para ilustrar el teorema de Newton. ^[2]

Límite de órbitas casi circulares

En la Proposición 45 de sus Principia , Newton aplica su teorema de las órbitas giratorias para desarrollar un método para encontrar las leyes de fuerza que gobiernan los movimientos de los planetas. ^[24] Johannes Kepler había notado que las órbitas de la mayoría de los planetas y la Luna parecían ser elipses, y el eje longitudinal de esas elipses se puede determinar con precisión a partir de mediciones astronómicas. El eje mayor se define como la línea que conecta las posiciones de distancias mínima y máxima con el punto central, es decir, la línea que conecta los dos ábsides . A modo de ejemplo, el eje longitudinal del planeta Mercurio se define como la línea que pasa por sus sucesivas posiciones de perihelio y afelio. Con el tiempo, el eje largo de la mayoría de los cuerpos en órbita gira gradualmente, generalmente no más de unos pocos grados por revolución completa, debido a perturbaciones gravitacionales de otros cuerpos, achatamiento del cuerpo que atrae , efectos relativistas generales y otros efectos. El método de Newton utiliza esta precesión absidal como una prueba sensible del tipo de fuerza que se aplica a los planetas. ^[25]

El teorema de Newton describe sólo los efectos de sumar una fuerza central del cubo inverso. Sin embargo, Newton extiende su teorema a una fuerza central arbitraria F ( r ) restringiendo su atención a órbitas que son casi circulares, como elipses con baja excentricidad orbital ( ε  ≤ 0,1), lo cual es cierto para siete de las ocho órbitas planetarias en el sistema solar . Newton también aplicó su teorema al planeta Mercurio, ^[26] que tiene una excentricidad ε de aproximadamente 0,21, y sugirió que podría pertenecer al cometa Halley , cuya órbita tiene una excentricidad de aproximadamente 0,97. ^[25]

Valluri, Wilson y Harper han sugerido una justificación cualitativa para esta extrapolación de su método. ^[25] Según su argumento, Newton consideró que el ángulo de precesión absidal α (el ángulo entre los vectores de distancia mínima y máxima sucesivas desde el centro) era una función suave y continua de la excentricidad orbital ε. Para la fuerza del cuadrado inverso, α es igual a 180°; los vectores a las posiciones de distancias mínima y máxima se encuentran en la misma línea. Si α inicialmente no es 180° en ε bajo (órbitas cuasi circulares), entonces, en general, α será igual a 180° sólo para valores aislados de ε; Es muy poco probable que un valor de ε elegido al azar dé α = 180°. Por lo tanto, la lenta rotación observada de los ábsides de las órbitas planetarias sugiere que la fuerza de gravedad es una ley del cuadrado inverso.

Fórmula cuantitativa

Para simplificar las ecuaciones, Newton escribe F ( r ) en términos de una nueva función C ( r )

${\displaystyle F(r)={\frac {C(r)}{Rr^{3}}}}$

donde R es el radio promedio de la órbita casi circular. Newton expande C ( r ) en una serie (ahora conocida como expansión de Taylor ) en potencias de la distancia r , una de las primeras apariciones de tal serie. ^[27] Al equiparar el término de fuerza del cubo inverso resultante con la fuerza del cubo inverso para órbitas giratorias, Newton deriva un factor de escala angular equivalente k para órbitas casi circulares: ^[24]

${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}}}=\left({\frac {R}{C}}\right)\left.{\frac {dC}{dr}}\right|_{r=R}}$

En otras palabras, la aplicación de una fuerza central arbitraria F ( r ) a una órbita elíptica casi circular puede acelerar el movimiento angular en el factor k sin afectar significativamente el movimiento radial. Si una órbita elíptica es estacionaria, la partícula gira alrededor del centro de fuerza 180° a medida que se mueve de un extremo del eje mayor al otro (los dos ábsides ). Por lo tanto, el ángulo absidal correspondiente α para una fuerza central general es igual a k × 180°, utilizando la ley general θ ₂ = k θ ₁ .

Ejemplos

Newton ilustra su fórmula con tres ejemplos. En los dos primeros, la fuerza central es una ley potencial , F ( r ) = r ^{n −3} , por lo que C ( r ) es proporcional a r ⁿ . La fórmula anterior indica que el movimiento angular se multiplica por un factor k = 1/ √ n , de modo que el ángulo absidal α es igual a 180°/ √ n .

Este escalamiento angular se puede ver en la precesión absidal, es decir, en la rotación gradual del eje mayor de la elipse (Figura 3). Como se señaló anteriormente, la órbita en su conjunto gira con una velocidad angular media Ω = ( k −1) ω , donde ω es igual a la velocidad angular media de la partícula alrededor de la elipse estacionaria. Si la partícula requiere un tiempo T para pasar de un ábside al otro, esto implica que, en el mismo tiempo, el eje mayor girará un ángulo β  = Ω T  = ( k  − 1) ωT  = ( k  − 1) ×180°. Para una ley del cuadrado inverso como la ley de gravitación universal de Newton , donde n es igual a 1, no hay escala angular ( k  = 1), el ángulo absidal α es de 180° y la órbita elíptica es estacionaria (Ω =  β  = 0 ).

Como ilustración final, Newton considera una suma de dos leyes de potencia.

${\displaystyle C(r)\propto ar^{m}+br^{n}}$

que multiplica la velocidad angular por un factor

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {a+b}{am+bn}}}}$

Newton aplica ambas fórmulas (la ley de potencia y la suma de dos leyes de potencia) para examinar la precesión absidal de la órbita de la Luna.

Precesión de la órbita de la Luna

El movimiento de la Luna es más complejo que el de los planetas, principalmente debido a las fuerzas gravitacionales competitivas de la Tierra y el Sol.

El movimiento de la Luna se puede medir con precisión y es notablemente más complejo que el de los planetas. ^[28] Los antiguos astrónomos griegos, Hiparco y Ptolomeo , habían notado varias variaciones periódicas en la órbita de la Luna, ^[28] como pequeñas oscilaciones en su excentricidad orbital y la inclinación de su órbita con respecto al plano de la eclíptica . Estas oscilaciones generalmente ocurren en una escala temporal de una o dos veces al mes. La línea de sus ábsides precede gradualmente con un período de aproximadamente 8,85 años, mientras que su línea de nodos completa un círculo en aproximadamente el doble de ese tiempo, 18,6 años. ^[29] Esto explica la periodicidad de los eclipses , de aproximadamente 18 años, el llamado ciclo de Saros . Sin embargo, ambas líneas experimentan pequeñas fluctuaciones en su movimiento, también en una escala de tiempo mensual.

En 1673, Jeremiah Horrocks publicó un modelo razonablemente preciso del movimiento de la Luna en el que se suponía que la Luna seguía una órbita elíptica en precesión. ^{[30] [31]} Un método suficientemente preciso y simple para predecir el movimiento de la Luna habría resuelto el problema de navegación de determinar la longitud de un barco ; ^[32] en la época de Newton, el objetivo era predecir la posición de la Luna a 2' (dos minutos de arco ), lo que correspondería a un error de 1° en la longitud terrestre. ^[33] El modelo de Horrocks predijo la posición lunar con errores de no más de 10 minutos de arco; ^[33] a modo de comparación, el diámetro de la Luna es de aproximadamente 30 minutos de arco.

Newton utilizó su teorema de las órbitas giratorias de dos maneras para explicar la precesión absidal de la Luna. ^[34] Primero, demostró que la precesión absidal observada de la Luna podría explicarse cambiando la ley de fuerza de la gravedad de una ley del cuadrado inverso a una ley de potencia en la que el exponente era 2 + 4/243 (aproximadamente 2,0165) ^{[35 ]}

${\displaystyle F(r)=-{\frac {GMm}{r^{2+4/243}}}}$

En 1894, Asaph Hall adoptó este enfoque de modificar ligeramente el exponente en la ley del cuadrado inverso para explicar una precesión orbital anómala del planeta Mercurio , ^[36] que había sido observada en 1859 por Urbain Le Verrier . ^[37] Irónicamente, la teoría de Hall fue descartada por cuidadosas observaciones astronómicas de la Luna. ^[38] La explicación actualmente aceptada para esta precesión implica la teoría de la relatividad general , que (en primera aproximación ) añade una fuerza cuártica inversa, es decir, una que varía como la cuarta potencia inversa de la distancia. ^[39]

Como segundo enfoque para explicar la precesión de la Luna, Newton sugirió que la influencia perturbadora del Sol sobre el movimiento de la Luna podría ser aproximadamente equivalente a una fuerza lineal adicional.

${\displaystyle F(r)={\frac {A}{r^{2}}}+Br}$

El primer término corresponde a la atracción gravitacional entre la Luna y la Tierra, donde r es la distancia de la Luna a la Tierra. El segundo término, según razonó Newton, podría representar la fuerza perturbadora promedio de la gravedad del Sol en el sistema Tierra-Luna. Esta ley de fuerza también podría producirse si la Tierra estuviera rodeada por una nube de polvo esférica de densidad uniforme. ^[40] Utilizando la fórmula para k para órbitas casi circulares y estimaciones de A y B , Newton demostró que esta ley de fuerza no podía explicar la precesión de la Luna, ya que el ángulo absidal α previsto era (≈ 180,76°) en lugar del observado. α (≈ 181,525°). Por cada revolución, el eje largo giraría 1,5°, aproximadamente la mitad de los 3,0° observados ^[34]

Generalización

Isaac Newton publicó por primera vez su teorema en 1687, como Proposiciones 43–45 del Libro I de su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica . Sin embargo, como señaló el astrofísico Subrahmanyan Chandrasekhar en su comentario de 1995 sobre los Principia de Newton , el teorema permaneció en gran medida desconocido y sin desarrollar durante más de tres siglos. ^[1]

La primera generalización del teorema de Newton fue descubierta por Mahomed y Vawda en 2000. ^[4] Como hizo Newton, supusieron que el movimiento angular de la segunda partícula era k veces más rápido que el de la primera partícula, θ ₂ = k θ ₁ . Sin embargo, a diferencia de Newton, Mahomed y Vawda no exigieron que el movimiento radial de las dos partículas fuera el mismo, r ₁ = r ₂ . Más bien, exigieron que los radios inversos estuvieran relacionados mediante una ecuación lineal

${\displaystyle {\frac {1}{r_{2}(t)}}={\frac {a}{r_{1}(t)}}+b}$

Esta transformación de las variables cambia la trayectoria de la partícula. Si la trayectoria de la primera partícula se escribe r ₁ = g (θ ₁ ) , la trayectoria de la segunda partícula se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {ar_{2}}{1-br_{2}}}=g\left({\frac {\theta _{2}}{k}}\right)}$

Si el movimiento de la primera partícula es producido por una fuerza central F ₁ ( r ), Mahomed y Vawda demostraron que el movimiento de la segunda partícula puede ser producido por la siguiente fuerza

${\displaystyle F_{2}(r_{2})={\frac {a^{3}}{\left(1-br_{2}\right)^{2}}}F_{1}\left({\frac {ar_{2}}{1-br_{2}}}\right)+{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)-{\frac {bL^{2}}{mr^{2}}}}$

Según esta ecuación, la segunda fuerza F ₂ ( r ) se obtiene escalando la primera fuerza y ​​cambiando su argumento, así como sumando fuerzas centrales inversas del cuadrado y del cubo inverso.

A modo de comparación, el teorema de las órbitas giratorias de Newton corresponde al caso a = 1 y b = 0 , de modo que r ₁ = r ₂ . En este caso, la fuerza original no se escala y su argumento no cambia; se suma la fuerza del cubo inverso, pero no el término del cuadrado inverso. Además, la trayectoria de la segunda partícula es r ₂ = g (θ ₂ / k ) , consistente con la fórmula dada anteriormente.

Derivaciones

derivación de Newton

La derivación de Newton se encuentra en la Sección IX de sus Principia , específicamente en las Proposiciones 43-45. ^[41] Sus derivaciones de estas Proposiciones se basan en gran medida en la geometría.

Proposición 43; Problema 30

Diagrama que ilustra la derivación de Newton. El planeta azul sigue la órbita elíptica discontinua, mientras que el planeta verde sigue la órbita elíptica sólida; las dos elipses comparten un foco común en el punto C. Los ángulos UCP y VCQ son iguales a θ ₁ , mientras que el arco negro representa el ángulo UCQ, que es igual a θ ₂ = k θ ₁ . La elipse sólida ha girado con respecto a la elipse discontinua en el ángulo UCV, que es igual a ( k −1)  θ ₁ . Los tres planetas (rojo, azul y verde) están a la misma distancia r del centro de fuerza C.

Se requiere hacer que un cuerpo se mueva en una curva que gira alrededor del centro de fuerza de la misma manera que otro cuerpo en la misma curva en reposo. ^[42]

La derivación que hace Newton de la Proposición 43 depende de su Proposición 2, derivada anteriormente en los Principia . ^[43] La proposición 2 proporciona una prueba geométrica para determinar si la fuerza neta que actúa sobre una masa puntual (una partícula) es una fuerza central . Newton demostró que una fuerza es central si y sólo si la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales medidos desde el centro.

La derivación de Newton comienza con una partícula que se mueve bajo una fuerza central arbitraria F ₁ ( r ); el movimiento de esta partícula bajo esta fuerza se describe por su radio r ( t ) desde el centro en función del tiempo, y también por su ángulo θ ₁ ( t ). En un tiempo infinitesimal dt , la partícula barre un triángulo rectángulo aproximado cuya área es

${\displaystyle dA_{1}={\frac {1}{2}}r^{2}d\theta _{1}}$

Dado que se supone que la fuerza que actúa sobre la partícula es una fuerza central, la partícula barre ángulos iguales en tiempos iguales, según la Proposición 2 de Newton. Expresado de otra manera, la velocidad de barrido del área es constante

${\displaystyle {\frac {dA_{1}}{dt}}={\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=\mathrm {constant} }$

Esta velocidad área constante se puede calcular de la siguiente manera. En el apapsis y periapsis , las posiciones de mayor y menor distancia del centro de atracción, los vectores velocidad y radio son perpendiculares; por lo tanto, el momento angular L ₁ por masa m de la partícula (escrito como h ₁ ) se puede relacionar con la velocidad de barrido de áreas

${\displaystyle h_{1}={\frac {L_{1}}{m}}=rv_{1}=r^{2}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=2{\frac {dA_{1}}{dt}}}$

Consideremos ahora una segunda partícula cuya órbita es idéntica en su radio, pero cuya variación angular se multiplica por un factor constante k

${\displaystyle \theta _{2}(t)=k\theta _{1}(t)\,\!}$

La velocidad área de la segunda partícula es igual a la de la primera partícula multiplicada por el mismo factor k

${\displaystyle h_{2}=2{\frac {dA_{2}}{dt}}=r^{2}{\frac {d\theta _{2}}{dt}}=kr^{2}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=2k{\frac {dA_{1}}{dt}}=kh_{1}}$

Como k es una constante, la segunda partícula también barre áreas iguales en tiempos iguales. Por lo tanto, según la Proposición 2, la segunda partícula también recibe la acción de una fuerza central F ₂ ( r ). Ésta es la conclusión de la Proposición 43.

Proposición 44

La diferencia de fuerzas mediante las cuales se puede hacer que dos cuerpos se muevan igualmente, uno en una órbita fija y el otro en la misma órbita, varía inversamente con el cubo de sus altitudes comunes. ^[44]

Para encontrar la magnitud de F ₂ ( r ) a partir de la fuerza central original F ₁ ( r ), Newton calculó su diferencia F ₂ ( r ) − F ₁ ( r ) usando la geometría y la definición de aceleración centrípeta . En la Proposición 44 de sus Principia , demostró que la diferencia es proporcional a la inversa del cubo del radio, específicamente mediante la fórmula dada anteriormente, que Newtons escribe en términos de las dos velocidades área constantes, h ₁ y h _2.

${\displaystyle F_{2}(r)-F_{1}(r)=m{\frac {h_{1}^{2}-h_{2}^{2}}{r^{3}}}}$

Proposición 45; Problema 31

Encontrar el movimiento de los ábsides en órbitas que se aproximan mucho a los círculos. ^[24]

En esta Proposición, Newton deriva las consecuencias de su teorema de las órbitas giratorias en el límite de las órbitas casi circulares. Esta aproximación es generalmente válida para las órbitas planetarias y la órbita de la Luna alrededor de la Tierra. Esta aproximación también permite a Newton considerar una gran variedad de leyes de fuerza central, no simplemente leyes de fuerza del cuadrado inverso y del cubo inverso.

derivación moderna

Whittaker (1937) ^[45] y Chandrasekhar (1995) han publicado derivaciones modernas del teorema de Newton . ^[42] Por suposición, la segunda velocidad angular es k veces más rápida que la primera.

${\displaystyle \omega _{2}={\frac {d\theta _{2}}{dt}}=k{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=k\omega _{1}}$

Dado que los dos radios tienen el mismo comportamiento con el tiempo, r ( t ), los momentos angulares conservados están relacionados por el mismo factor k

${\displaystyle L_{2}=mr^{2}\omega _{2}=mr^{2}k\omega _{1}=kL_{1}\,\!}$

La ecuación de movimiento para un radio r de una partícula de masa m que se mueve en un potencial central V ( r ) viene dada por las ecuaciones de Lagrange.

${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=F(r)}$

Aplicando la fórmula general a las dos órbitas se obtiene la ecuación

${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}=F_{2}(r)+{\frac {L_{2}^{2}}{mr^{3}}}=F_{2}(r)+{\frac {k^{2}L_{1}^{2}}{mr^{3}}}}$

que se puede reorganizar a la forma

${\displaystyle F_{2}(r)=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)}$

Esta ecuación que relaciona las dos fuerzas radiales se puede entender cualitativamente de la siguiente manera. La diferencia en velocidades angulares (o equivalentemente, en momentos angulares) provoca una diferencia en el requisito de fuerza centrípeta ; para compensar esto, la fuerza radial debe modificarse con una fuerza inversa al cubo.

El teorema de Newton se puede expresar de manera equivalente en términos de energía potencial , que se define para fuerzas centrales.

${\displaystyle F(r)=-{\frac {dV}{dr}}}$

La ecuación de la fuerza radial se puede escribir en términos de las dos energías potenciales.

${\displaystyle -{\frac {dV_{2}}{dr}}=-{\frac {dV_{1}}{dr}}+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)}$

Integrando con respecto a la distancia r , el teorema de Newton establece que un cambio de k veces en la velocidad angular resulta de agregar una energía potencial del cuadrado inverso a cualquier energía potencial dada V ₁ ( r )

${\displaystyle V_{2}(r)=V_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{2mr^{2}}}\left(1-k^{2}\right)}$

Ver también

• problema de kepler
• Vector de Laplace-Runge-Lenz
• Problema de dos cuerpos en la relatividad general
• Teorema de Newton sobre los óvalos

Referencias

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enlaces externos

• El problema de los tres cuerpos discutido por Alain Chenciner en Scholarpedia