Número natural

En matemáticas , los números naturales son los números 0, 1, 2, 3, etc., posiblemente excluyendo al 0. ^[1] Algunos comienzan a contar con 0, definiendo los números naturales como los enteros no negativos $0, 1, 2, 3, ...$ , mientras que otros comienzan con 1, definiéndolos como los enteros positivos $1, 2, 3, ....$ [ ^a] Algunos autores reconocen ambas definiciones cuando les resulta conveniente. ^[2] A veces, los números enteros son los números naturales más cero. En otros casos, los números enteros se refieren a todos los números enteros , incluidos los negativos. ^[3] Los números de conteo son otro término para los números naturales, particularmente en la educación primaria, y también son ambiguos, aunque generalmente comienzan en 1. ^[4]

Los números naturales forman un conjunto , comúnmente simbolizado como una $N$ en negrita o una negrita de pizarra . Muchos otros conjuntos de números se construyen a partir de los números naturales. Por ejemplo, los números enteros se forman sumando 0 y números negativos. Los números racionales suman fracciones y los números reales suman decimales infinitas. Los números complejos suman la raíz cuadrada de −1 . Esta cadena de extensiones incorpora canónicamente los números naturales en los otros sistemas numéricos. ^[5]^[6] $\mathbb {N}$

Los números naturales se estudian en diferentes áreas de las matemáticas. La teoría de números estudia aspectos como la división uniforme de los números ( divisibilidad ) o la distribución de los números primos . La combinatoria estudia el conteo y la organización de objetos numerados, como las particiones y las enumeraciones .

Historia

Raíces antiguas

El método más primitivo para representar un número natural es utilizar los dedos, como en el conteo . Poner una marca de conteo para cada objeto es otro método primitivo. Más tarde, se pudo comprobar si un conjunto de objetos era igual, excesivo o insuficiente, eliminando una marca y eliminando un objeto del conjunto.

El primer gran avance en la abstracción fue el uso de numerales para representar números. Esto permitió desarrollar sistemas para registrar números grandes. Los antiguos egipcios desarrollaron un poderoso sistema de numerales con jeroglíficos distintos para 1, 10 y todas las potencias de 10 hasta más de 1 millón. Una talla de piedra de Karnak , que data de alrededor de 1500 a. C. y ahora en el Louvre de París, representa 276 como 2 centenas, 7 decenas y 6 unidades; y lo mismo para el número 4622. Los babilonios tenían un sistema de valor posicional basado esencialmente en los numerales para 1 y 10, utilizando la base sesenta, de modo que el símbolo para sesenta era el mismo que el símbolo para uno, y su valor se determinaba a partir del contexto. ^[10]

Un avance mucho más tardío fue el desarrollo de la idea de que el 0 puede considerarse un número, con su propio numeral. El uso de un dígito 0 en la notación de valor posicional (dentro de otros números) se remonta al año 700 a. C. por los babilonios, quienes omitieron dicho dígito cuando habría sido el último símbolo del número. ^[b] Las civilizaciones olmeca y maya utilizaron el 0 como un número separado ya en el siglo I a. C. , pero este uso no se extendió más allá de Mesoamérica . ^[12]^[13] El uso del numeral 0 en los tiempos modernos se originó con el matemático indio Brahmagupta en el año 628 d. C. Sin embargo, el 0 se había utilizado como número en el computus medieval (el cálculo de la fecha de Pascua), comenzando con Dionisio el Exiguo en el año 525 d. C., sin ser denotado por un numeral. Los números romanos estándar no tienen un símbolo para el 0; en cambio, se empleó nulla (o la forma genitiva nullae ) de nullus^{, la palabra latina para "ninguno", para denotar un valor 0. [14]}

El primer estudio sistemático de los números como abstracciones se atribuye generalmente a los filósofos griegos Pitágoras y Arquímedes . Algunos matemáticos griegos trataron al número 1 de forma diferente a los números mayores, a veces incluso ni siquiera como un número. ^[c] Euclides , por ejemplo, definió primero una unidad y luego un número como una multitud de unidades, por lo que, según su definición, una unidad no es un número y no hay números únicos (por ejemplo, dos unidades cualesquiera de un número indefinido de unidades es un 2). ^[16] Sin embargo, en la definición de número perfecto que viene poco después, Euclides trata al 1 como un número como cualquier otro. ^[17]

Estudios independientes sobre números también ocurrieron aproximadamente al mismo tiempo en India , China y Mesoamérica . ^[18]

Emergencia como término

Nicolas Chuquet utilizó el término progresión natural en 1484. ^[19] El primer uso conocido de "número natural" como frase completa en inglés es de 1763. ^[20]^[21] La Enciclopedia Británica de 1771 define los números naturales en el artículo sobre logaritmo. ^[21]

Comenzar en 0 o 1 ha sido durante mucho tiempo una cuestión de definición. En 1727, Bernard Le Bovier de Fontenelle escribió que sus nociones de distancia y elemento llevaron a definir los números naturales como incluyendo o excluyendo 0. ^[22] En 1889, Giuseppe Peano usó N para los números enteros positivos y comenzó en 1, ^[23] pero luego cambió a usar N ₀ y N ₁ . ^[24] Históricamente, la mayoría de las definiciones han excluido 0, ^[21]^[25]^[26] pero muchos matemáticos como George A. Wentworth , Bertrand Russell , Nicolas Bourbaki , Paul Halmos , Stephen Cole Kleene y John Horton Conway han preferido incluir 0. ^[27]^[21]

Los matemáticos han notado tendencias en las que se utiliza la definición, como textos de álgebra que incluyen 0, ^[21]^[d] textos de teoría de números y análisis que excluyen 0, ^[21]^[28]^[29] textos de lógica y teoría de conjuntos que incluyen 0, ^[30]^[31]^[32] diccionarios que excluyen 0, ^[21]^[33] libros escolares (hasta el nivel secundario) que excluyen 0, y libros de nivel universitario de división superior que incluyen 0. ^[1] Hay excepciones a cada una de estas tendencias y hasta 2023 no se ha realizado ninguna encuesta formal. Los argumentos planteados incluyen la división por cero ^[28] y el tamaño del conjunto vacío . Los lenguajes de computadora a menudo comienzan desde cero cuando enumeran elementos como contadores de bucle y elementos de cadena o matriz . ^[34]^[35] Incluir 0 comenzó a ganar popularidad en la década de 1960. ^[21] La norma ISO 31-11 incluyó el 0 en los números naturales en su primera edición en 1978 y esto ha continuado hasta su edición actual como ISO 80000-2 . ^[36]

Construcción formal

En la Europa del siglo XIX se debatió matemática y filosóficamente sobre la naturaleza exacta de los números naturales. Henri Poincaré afirmó que los axiomas sólo pueden demostrarse en su aplicación finita, y concluyó que es "el poder de la mente" el que permite concebir la repetición indefinida del mismo acto. ^[37] Leopold Kronecker resumió su creencia diciendo que "Dios hizo los números enteros, todo lo demás es obra del hombre". ^[e]

Los constructivistas vieron la necesidad de mejorar el rigor lógico en los fundamentos de las matemáticas . ^[f] En la década de 1860, Hermann Grassmann sugirió una definición recursiva para los números naturales, afirmando así que no eran realmente naturales, sino una consecuencia de definiciones. Más tarde, surgieron dos clases de tales definiciones formales, utilizando la teoría de conjuntos y los axiomas de Peano respectivamente. Más tarde aún, se demostró que eran equivalentes en la mayoría de las aplicaciones prácticas.

Las definiciones de los números naturales en la teoría de conjuntos fueron iniciadas por Frege . Inicialmente definió un número natural como la clase de todos los conjuntos que están en correspondencia biunívoca con un conjunto particular. Sin embargo, esta definición resultó conducir a paradojas, incluida la paradoja de Russell . Para evitar tales paradojas, el formalismo fue modificado de modo que un número natural se define como un conjunto particular, y cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biunívoca con ese conjunto se dice que tiene ese número de elementos. ^[40]

En 1881, Charles Sanders Peirce proporcionó la primera axiomatización de la aritmética de números naturales. ^[41]^[42] En 1888, Richard Dedekind propuso otra axiomatización de la aritmética de números naturales, ^[43] y en 1889, Peano publicó una versión simplificada de los axiomas de Dedekind en su libro Los principios de la aritmética presentados por un nuevo método ( latín : Arithmetices principia, nova methodo exposita ). Este enfoque ahora se llama aritmética de Peano . Se basa en una axiomatización de las propiedades de los números ordinales : cada número natural tiene un sucesor y cada número natural distinto de cero tiene un predecesor único. La aritmética de Peano es equiconsistente con varios sistemas débiles de teoría de conjuntos . Uno de estos sistemas es ZFC con el axioma de infinito reemplazado por su negación. ^[44] Los teoremas que se pueden demostrar en ZFC pero no se pueden demostrar utilizando los axiomas de Peano incluyen el teorema de Goodstein . ^[45]

Notación

El conjunto de todos los números naturales se denota de manera estándar como $N$ o ^[2]^[46] Textos más antiguos han empleado ocasionalmente $J$ como símbolo para este conjunto. ^[47] $\mathbb {N} .$

Dado que los números naturales pueden contener $el 0$ o no, puede ser importante saber a qué versión se hace referencia. Esto suele especificarse en el contexto, pero también puede hacerse utilizando un subíndice o un superíndice en la notación, como: ^[36]^[48]

Naturales sin cero: $\{1,2,...\}=\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{0}\smallsetminus \{0\}=\mathbb {N} _{1}$
Naturales con cero: $\;\{0,1,2,...\}=\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}$

Como alternativa, dado que los números naturales forman naturalmente un subconjunto de los números enteros (a menudo denotados como ), $\mathbb {Z}$ se los puede denominar números enteros positivos o no negativos, respectivamente. ^[49] Para ser inequívocos sobre si se incluye o no el 0, a veces se agrega un superíndice " " o "+" en el primer caso, y un subíndice (o superíndice) "0" en el segundo caso: ^[36] ${\estilo de visualización *}$

\{1,2,3,\puntos \}=\{x\en \mathbb {Z} :x>0\}=\mathbb {Z} ^{+}=\mathbb {Z} _{>0}

\{0,1,2,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x\geq 0\}=\mathbb {Z} _{0}^{+}=\mathbb {Z} _{\geq 0}

Los números naturales se utilizan para contar cosas, como "hay seis monedas sobre la mesa", en cuyo caso se denominan números cardinales . También se utilizan para ordenar cosas, como "esta es la tercera ciudad más grande del país", que se denominan números ordinales . Los números naturales también se utilizan como etiquetas, como los números de las camisetas de un equipo deportivo, donde sirven como números nominales y no tienen propiedades matemáticas. ^{[ cita requerida ]}

Propiedades

En esta sección se utiliza la convención . $\mathbb {N} =\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}$

Suma

Dado el conjunto de números naturales y la función sucesora que envía cada número natural al siguiente, se puede definir la adición de números naturales recursivamente haciendo $a$ $+ 0 =$ $a$ y $a$ $+$ $S$ $($ $b$ $) =$ $S$ $($ $a$ $+$ $b$ $)$ para todo $a$ , $b$ . Por lo tanto, $a$ $+ 1 =$ $a$ $+ S(0) = S($ $a$ $+0) = S($ $a$ $)$ , $a$ $+ 2 =$ $a$ $+ S(1) = S($ $a$ $+1) = S(S($ $a$ $))$ , y así sucesivamente. La estructura algebraica es un monoide conmutativo con elemento identidad 0. Es un monoide libre en un generador. Este monoide conmutativo satisface la propiedad de cancelación , por lo que puede ser incluido en un grupo . El grupo más pequeño que contiene los números naturales es el de los enteros . $\mathbb {N}$ $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $(\mathbb {N} ,+)$

Si 1 se define como $S (0)$ , entonces $b + 1 = b + S (0) = S (b + 0) = S (b)$ . Es decir, $b + 1$ es simplemente el sucesor de $b$ .

Multiplicación

De manera análoga, dado que se ha definido la adición, se puede definir un operador de multiplicación mediante $a$ $\times 0 = 0$ y $a$ $\times S($ $b$ $) = ($ $a$ $\times$ $b$ $) +$ $a$ . Esto se convierte en un monoide conmutativo libre con elemento identidad 1; un conjunto generador para este monoide es el conjunto de números primos . $\times$ $(\mathbb {N} ^{*},\times )$

Relación entre la suma y la multiplicación

La suma y la multiplicación son compatibles, lo que se expresa en la ley de distribución : $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ . Estas propiedades de la suma y la multiplicación hacen de los números naturales una instancia de un semianillo conmutativo . Los semianillos son una generalización algebraica de los números naturales donde la multiplicación no es necesariamente conmutativa. La falta de inversos aditivos, lo que equivale al hecho de que no es cerrado bajo sustracción (es decir, restar un natural de otro no siempre da como resultado otro natural), significa que no es un anillo ; en cambio, es un semianillo (también conocido como aparejo ). $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$

Si se considera que los números naturales "excluyen al 0" y "comienzan en 1", las definiciones de + y × son las anteriores, excepto que comienzan con $a + 1 = S (a)$ y $a \times 1 = a$ . Además, no tiene ningún elemento de identidad. $(\mathbb {N^{*}} ,+)$

Orden

En esta sección, las variables yuxtapuestas como $ab$ indican el producto $a \times b$ , ^[50] y se supone el orden estándar de operaciones .

Un orden total sobre los números naturales se define haciendo $a \leq b$ si y sólo si existe otro número natural $c$ donde $a + c = b$ . Este orden es compatible con las operaciones aritméticas en el siguiente sentido: si $a$ , $b$ y $c$ son números naturales y $a \leq b$ , entonces $a + c \leq b + c$ y $ac \leq bc$ .

Una propiedad importante de los números naturales es que están bien ordenados : todo conjunto no vacío de números naturales tiene un elemento mínimo. El rango entre los conjuntos bien ordenados se expresa mediante un número ordinal ; para los números naturales, este se denota como $ω$ (omega).

División

En esta sección, las variables yuxtapuestas como $ab$ indican el producto $a \times b$ y se supone el orden estándar de operaciones .

Si bien en general no es posible dividir un número natural por otro y obtener un número natural como resultado, el procedimiento de división con resto o división euclidiana está disponible como sustituto: para cualesquiera dos números naturales $a$ y $b$ con $b \neq 0$ existen números naturales $q$ y $r$ tales que

a=bq+r{\text{ and }}r<b.

El número $q$ se llama cociente y $r$ se llama resto de la división de $a$ por $b$ . Los números $q$ y $r$ están determinados de forma única por $a$ y $b$ . Esta división euclidiana es clave para varias otras propiedades ( divisibilidad ), algoritmos (como el algoritmo euclidiano ) e ideas de la teoría de números.

Propiedades algebraicas que satisfacen los números naturales

Las operaciones de suma (+) y multiplicación (×) de números naturales definidas anteriormente tienen varias propiedades algebraicas:

Clausura bajo adición y multiplicación: para todos los números naturales $a$ y $b$ , tanto $a + b$ como $a \times b$ son números naturales. ^[51]
Asociatividad : para todos los números naturales $a$ , $b$ y $c$ , $a + (b + c) = (a + b) + c$ y $a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$ . ^[52]
Conmutatividad : para todos los números naturales $a$ y $b$ , $a + b = b + a$ y $a \times b = b \times a$ . ^[53]
Existencia de elementos identidad : para todo número natural a , a + 0 = a y a × 1 = a .
- Si se considera que los números naturales "excluyen al 0" y "comienzan en 1", entonces para cada número natural $a$ , $a \times 1 = a$ . Sin embargo, no se cumple la propiedad de "existencia de elemento de identidad aditivo"
Distributividad de la multiplicación sobre la suma para todos los números naturales $a$ , $b$ y $c$ , $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ .
No hay divisores de cero distintos de cero : si $a$ y $b$ son números naturales tales que $a \times b = 0$ , entonces $a = 0$ o $b = 0$ (o ambos).

Generalizaciones

Dos generalizaciones importantes de los números naturales surgen de los dos usos del conteo y el ordenamiento: los números cardinales y los números ordinales .

Un número natural puede utilizarse para expresar el tamaño de un conjunto finito; más precisamente, un número cardinal es una medida del tamaño de un conjunto, que es incluso adecuada para conjuntos infinitos. La numeración de los cardinales suele empezar en cero, para dar cabida al conjunto vacío . Este concepto de "tamaño" se basa en aplicaciones entre conjuntos, de modo que dos conjuntos tienen el mismo tamaño , exactamente si existe una biyección entre ellos. Se dice que el conjunto de números naturales en sí mismo, y cualquier imagen biyectiva del mismo, es numerablemente infinito y que tiene cardinalidad aleph-nula ( $ℵ$ $0$ ). $\emptyset$
Los números naturales también se utilizan como números ordinales lingüísticos : "primero", "segundo", "tercero", etc. La numeración de los ordinales suele empezar en cero, para adaptarse al tipo de orden del conjunto vacío . De esta forma, se pueden asignar a los elementos de un conjunto finito totalmente ordenado, y también a los elementos de cualquier conjunto infinito numerable bien ordenado sin puntos límite . Esta asignación se puede generalizar a los buenos ordenamientos generales con una cardinalidad más allá de la numerabilidad, para obtener los números ordinales. Un número ordinal también se puede utilizar para describir la noción de "tamaño" de un conjunto bien ordenado, en un sentido diferente de la cardinalidad: si hay un isomorfismo de orden (más que una biyección) entre dos conjuntos bien ordenados, tienen el mismo número ordinal. El primer número ordinal que no es un número natural se expresa como $ω$ ; este es también el número ordinal del propio conjunto de números naturales. $\emptyset$

El menor ordinal de cardinalidad $ℵ 0$ (es decir, el ordinal inicial de $ℵ 0$ ) es $ω$ pero muchos conjuntos bien ordenados con número cardinal $ℵ 0$ tienen un número ordinal mayor que $ω$ .

En el caso de conjuntos finitos bien ordenados, existe una correspondencia biunívoca entre los números ordinales y cardinales; por lo tanto, ambos pueden expresarse mediante el mismo número natural, el número de elementos del conjunto. Este número también puede utilizarse para describir la posición de un elemento en una secuencia finita o infinita más grande .

En 1933, Skolem desarrolló un modelo aritmético no estándar y contable que satisface la aritmética de Peano (es decir, los axiomas de Peano de primer orden). Los números hipernaturales son un modelo incontable que se puede construir a partir de los números naturales ordinarios mediante la construcción de ultrapotencias . Otras generalizaciones se analizan en Número § Extensiones del concepto .

Georges Reeb solía afirmar provocativamente que "los números enteros ingenuos no se llenan ". ^[54] $\mathbb {N}$

Definiciones formales

Existen dos métodos estándar para definir formalmente los números naturales. El primero, llamado así por Giuseppe Peano , consiste en una teoría axiomática autónoma llamada aritmética de Peano , basada en unos pocos axiomas llamados axiomas de Peano .

La segunda definición se basa en la teoría de conjuntos . Define los números naturales como conjuntos específicos . Más precisamente, cada número natural n $se$ define como un conjunto explícitamente definido, cuyos elementos permiten contar los elementos de otros conjuntos, en el sentido de que la frase "un conjunto $S$ tiene $n$ elementos" significa que existe una correspondencia biunívoca entre los dos conjuntos $n$ y $S.$

Los conjuntos utilizados para definir los números naturales satisfacen los axiomas de Peano. De ello se deduce que todo teorema que se puede enunciar y demostrar en la aritmética de Peano también se puede demostrar en la teoría de conjuntos. Sin embargo, las dos definiciones no son equivalentes, ya que hay teoremas que se pueden enunciar en términos de la aritmética de Peano y demostrar en la teoría de conjuntos, que no son demostrables dentro de la aritmética de Peano. Un ejemplo probable es el Último Teorema de Fermat .

La definición de los números enteros como conjuntos que satisfacen los axiomas de Peano proporciona un modelo de la aritmética de Peano dentro de la teoría de conjuntos. Una consecuencia importante es que, si la teoría de conjuntos es consistente (como suele suponerse), entonces la aritmética de Peano es consistente. En otras palabras, si se pudiera demostrar una contradicción en la aritmética de Peano, entonces la teoría de conjuntos sería contradictoria y todos los teoremas de la teoría de conjuntos serían a la vez verdaderos y erróneos.

Axiomas de Peano

Los cinco axiomas de Peano son los siguientes: ^[55]^[g]

0 es un número natural.
Todo número natural tiene un sucesor que también es un número natural.
0 no es el sucesor de ningún número natural.
Si el sucesor de es igual al sucesor de , entonces es igual a . $x$ $y$ $x$ $y$
El axioma de inducción : si una afirmación es verdadera respecto de 0, y si la verdad de esa afirmación para un número implica su verdad para el sucesor de ese número, entonces la afirmación es verdadera para todo número natural.

Estos no son los axiomas originales publicados por Peano, pero se nombran en su honor. Algunas formas de los axiomas de Peano tienen 1 en lugar de 0. En aritmética ordinaria, el sucesor de es . $x$ $x+1$

Definición de teoría de conjuntos

Intuitivamente, el número natural $n$ es la propiedad común de todos los conjuntos que tienen $n$ elementos. Por lo tanto, parece natural definir $n$ como una clase de equivalencia bajo la relación "pueden ser formados en correspondencia biunívoca ". Esto no funciona en todas las teorías de conjuntos , ya que dicha clase de equivalencia no sería un conjunto ^[h] (debido a la paradoja de Russell ). La solución estándar es definir un conjunto particular con $n$ elementos que se llamará el número natural $n$ .

La siguiente definición fue publicada por primera vez por John von Neumann , ^[56] aunque Levy atribuye la idea al trabajo inédito de Zermelo en 1916. ^[57] Como esta definición se extiende al conjunto infinito como definición de número ordinal , los conjuntos considerados a continuación a veces se denominan ordinales de von Neumann .

La definición procede de la siguiente manera:

Llamamos $0 = { }$ , el conjunto vacío .
Defina el sucesor $S (a)$ de cualquier conjunto $a$ por $S (a) = a \cup {a}$ .
Por el axioma de infinito , existen conjuntos que contienen 0 y están cerrados respecto de la función sucesora. Se dice que estos conjuntos son inductivos . La intersección de todos los conjuntos inductivos sigue siendo un conjunto inductivo.
Esta intersección es el conjunto de los números naturales .

De ello se deduce que los números naturales se definen iterativamente de la siguiente manera:

$0 = { }$ ,
$1 = 0 \cup {0} = {0} = {{ }}$ ,
$2 = 1 \cup {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}}$ ,
$3 = 2 \cup {2} = {0, 1, 2}$ $= {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}$ ,
$n = n -1 \cup {n -1} = {0, 1, ..., n -1}$ $= {{ }, {{ }}, ..., {{ }, {{ }}, ...}}$ ,
etc.

Se puede comprobar que los números naturales satisfacen los axiomas de Peano .

Con esta definición, dado un número natural $n$ , la oración "un conjunto $S$ tiene $n$ elementos" puede definirse formalmente como "existe una biyección de $n$ a $S$ . Esto formaliza la operación de contar los elementos de $S$ . Además, $n \leq m$ si y solo si $n$ es un subconjunto de $m$ . En otras palabras, la inclusión del conjunto define el orden total usual en los números naturales. Este orden es un buen orden .

De la definición se desprende que cada número natural es igual al conjunto de todos los números naturales menores que él. Esta definición, puede extenderse a la definición de von Neumann de ordinales para definir todos los números ordinales , incluidos los infinitos: "cada ordinal es el conjunto bien ordenado de todos los ordinales menores".

Si no se acepta el axioma de infinito , los números naturales no pueden formar un conjunto. No obstante, los números naturales pueden definirse individualmente como se indicó anteriormente y aún satisfacen los axiomas de Peano.

Existen otras construcciones teóricas de conjuntos. En particular, Ernst Zermelo proporcionó una construcción que hoy en día sólo tiene interés histórico y a la que a veces se hace referencia comoOrdinales de Zermelo .^[57]Consiste en definir $0$ como el conjunto vacío, y $S (a) = {a}$ .

Con esta definición cada número natural distinto de cero es un conjunto unitario . Por lo tanto, la propiedad de los números naturales de representar cardinalidades no es directamente accesible; solo la propiedad ordinal (ser el $n$ -ésimo elemento de una secuencia) es inmediata. A diferencia de la construcción de von Neumann, los ordinales de Zermelo no se extienden a ordinales infinitos.

Véase también

Representación canónica de un entero positivo – Representación de un número como producto de primos
Conjunto contable – Conjunto matemático que puede enumerarse
Sucesión – Función de los números naturales en otro conjunto
Número ordinal – Generalización del “n-ésimo” a infinitos casos
Número cardinal – Tamaño de un conjunto posiblemente infinito
Definición de números naturales según la teoría de conjuntos – Axioma(s) de la teoría de conjuntos

Notas

^ Véase § Emergencia como término
^ Una tablilla encontrada en Kish... que se cree que data de alrededor del año 700 a. C., utiliza tres ganchos para indicar un lugar vacío en la notación posicional. Otras tablillas que datan de la misma época utilizan un solo gancho para indicar un lugar vacío. ^[11]
^ Esta convención se utiliza, por ejemplo, en los Elementos de Euclides ; véase la edición web de D. Joyce del Libro VII. ^[15]
^ Mac Lane y Birkhoff (1999, p. 15) incluyen el cero en los números naturales: 'Intuitivamente, el conjunto de todos los números naturales puede describirse de la siguiente manera: contiene un número "inicial" $0$ ; ...'. A continuación, presentan su versión de los axiomas de Peano . $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$ $\mathbb {N}$
^ La traducción al inglés es de Gray. En una nota al pie, Gray atribuye la cita alemana a: "Weber 1891–1892, 19, citando una conferencia de Kronecker de 1886". ^[38]^[39]
^ "Gran parte del trabajo matemático del siglo XX se ha dedicado a examinar los fundamentos lógicos y la estructura del tema." (Eves 1990, p. 606)
^ Hamilton (1988, pp. 117 y siguientes) los llama "Postulados de Peano" y comienza con "1. 0 es un número natural".
Halmos (1960, p. 46) utiliza el lenguaje de la teoría de conjuntos en lugar del lenguaje de la aritmética para sus cinco axiomas. Comienza con "(I) $0 \in ω$ (donde, por supuesto, $0 = \emptyset$ " ( $ω$ es el conjunto de todos los números naturales). Morash (1991) da "un axioma de dos partes" en el que los números naturales comienzan con 1. (Sección 10.1: Una axiomatización para el sistema de números enteros positivos )
^ En algunas teorías de conjuntos, por ejemplo, New Foundations , existe un conjunto universal y no se puede formular la paradoja de Russel.

Referencias

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Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Números naturales .

"Número natural", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
"Axiomas y construcción de números naturales". apronus.com .