Diferencial (matemáticas)

Noción matemática de diferencia infinitesimal

En matemáticas , diferencial se refiere a varias nociones relacionadas ^[1] derivadas de los primeros días del cálculo , puestas sobre una base rigurosa, como las diferencias infinitesimales y las derivadas de funciones. ^[2]

El término se utiliza en varias ramas de las matemáticas, como el cálculo , la geometría diferencial , la geometría algebraica y la topología algebraica .

Introducción

El término diferencial se utiliza de forma no rigurosa en cálculo para referirse a un cambio infinitesimal ("infinitamente pequeño") en alguna cantidad variable . Por ejemplo, si x es una variable , entonces un cambio en el valor de x se suele denotar Δ x (se pronuncia delta x ). La diferencial dx representa un cambio infinitamente pequeño en la variable x . La idea de un cambio infinitamente pequeño o infinitamente lento es, intuitivamente, extremadamente útil, y hay varias formas de hacer que la noción sea matemáticamente precisa.

Utilizando el cálculo, es posible relacionar matemáticamente los cambios infinitamente pequeños de varias variables entre sí utilizando derivadas . Si y es una función de x , entonces la diferencial dy de y está relacionada con dx mediante la fórmula donde denota no 'dy dividido por dx' como uno leería intuitivamente, sino 'la derivada de y con respecto a x '. Esta fórmula resume la idea de que la derivada de y con respecto a x es el límite de la relación de diferencias Δ y /Δ x cuando Δ x tiende a cero. $${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx,}$$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,}$

Nociones básicas

• En cálculo , la diferencial representa un cambio en la linealización de una función .
  • La diferencial total es su generalización para funciones de múltiples variables.
• En los enfoques tradicionales del cálculo, las diferenciales (p. ej . , dx , dy , dt , etc.) se interpretan como infinitesimales . Existen varios métodos para definir los infinitesimales de manera rigurosa, pero basta con decir que un número infinitesimal es menor en valor absoluto que cualquier número real positivo, así como un número infinitamente grande es mayor que cualquier número real.
• La diferencial es otro nombre para la matriz jacobiana de derivadas parciales de una función desde R ⁿ hasta R ^m (especialmente cuando esta matriz se ve como una función lineal ).
• En términos más generales, el diferencial o pushforward se refiere a la derivada de una función entre variedades suaves y las operaciones pushforward que define. El diferencial también se utiliza para definir el concepto dual de pullback .
• El cálculo estocástico proporciona una noción de diferencial estocástico y un cálculo asociado para procesos estocásticos .
• El integrador de una integral de Stieltjes se representa como la diferencial de una función. Formalmente, la diferencial que aparece bajo la integral se comporta exactamente como una diferencial: así, las fórmulas de integración por sustitución e integración por partes para la integral de Stieltjes corresponden, respectivamente, a la regla de la cadena y a la regla del producto para la diferencial.

Historia y uso

Las cantidades infinitesimales desempeñaron un papel importante en el desarrollo del cálculo. Arquímedes las utilizó, aunque no creía que los argumentos que implicaban infinitesimales fueran rigurosos. ^[3] Isaac Newton se refirió a ellas como fluxiones . Sin embargo, fue Gottfried Leibniz quien acuñó el término diferenciales para las cantidades infinitesimales e introdujo la notación para ellas que todavía se utiliza en la actualidad.

En la notación de Leibniz , si x es una cantidad variable, entonces dx denota un cambio infinitesimal en la variable x . Por lo tanto, si y es una función de x , entonces la derivada de y con respecto a x a menudo se denota dy / dx , que de otro modo se denotaría (en la notación de Newton o Lagrange ) ẏ o y ′ . El uso de diferenciales en esta forma atrajo muchas críticas, por ejemplo en el famoso panfleto The Analyst del obispo Berkeley. Sin embargo, la notación ha seguido siendo popular porque sugiere fuertemente la idea de que la derivada de y en x es su tasa instantánea de cambio (la pendiente de la línea tangente del gráfico ), que puede obtenerse tomando el límite de la relación Δ y / Δ x cuando Δ x se vuelve arbitrariamente pequeño. Las diferenciales también son compatibles con el análisis dimensional , donde una diferencial como dx tiene las mismas dimensiones que la variable x .

El cálculo evolucionó hasta convertirse en una rama distinta de las matemáticas durante el siglo XVII d. C., aunque existen antecedentes que se remontan a la antigüedad. Las presentaciones de, por ejemplo, Newton y Leibniz, se caracterizaron por definiciones poco rigurosas de términos como diferencial, fluido e "infinitamente pequeño". Si bien muchos de los argumentos de El analista del obispo Berkeley de 1734 son de naturaleza teológica, los matemáticos modernos reconocen la validez de su argumento contra " los fantasmas de las cantidades desaparecidas "; sin embargo, los enfoques modernos no tienen los mismos problemas técnicos. A pesar de la falta de rigor, se lograron inmensos avances en los siglos XVII y XVIII. En el siglo XIX, Cauchy y otros desarrollaron gradualmente el enfoque épsilon y delta para la continuidad, los límites y las derivadas, lo que proporcionó una base conceptual sólida para el cálculo.

En el siglo XX, varios conceptos nuevos, por ejemplo, en cálculo multivariable y geometría diferencial, parecieron resumir la intención de los términos antiguos, especialmente diferencial ; tanto diferencial como infinitesimal se utilizan ahora con significados nuevos y más rigurosos.

Las diferenciales también se utilizan en la notación de integrales porque una integral puede considerarse como una suma infinita de cantidades infinitesimales: el área bajo un grafo se obtiene subdividiendo el grafo en tiras infinitamente delgadas y sumando sus áreas. En una expresión como el signo integral (que es una s larga modificada ) denota la suma infinita, f ( x ) denota la "altura" de una tira delgada y la diferencial dx denota su ancho infinitamente delgado. $${\displaystyle \int f(x)\,dx,}$$

Aproches

Existen varios enfoques para hacer matemáticamente precisa la noción de diferenciales.

1. Diferenciales como aplicaciones lineales . Este enfoque sustenta la definición de derivada y derivada exterior en geometría diferencial . ^[4]
2. Diferenciales como elementos nilpotentes de anillos conmutativos . Este enfoque es popular en geometría algebraica. ^[5]
3. Diferenciales en modelos suaves de teoría de conjuntos. Este enfoque se conoce como geometría diferencial sintética o análisis infinitesimal suave y está estrechamente relacionado con el enfoque geométrico algebraico, excepto que se utilizan ideas de la teoría de topos para ocultar los mecanismos por los cuales se introducen los infinitesimales nilpotentes. ^[6]
4. Diferenciales como infinitesimales en sistemas de números hiperreales , que son extensiones de los números reales que contienen infinitesimales invertibles y números infinitamente grandes. Este es el enfoque del análisis no estándar iniciado por Abraham Robinson . ^[7]

Estos enfoques son muy diferentes entre sí, pero tienen en común la idea de ser cuantitativos , es decir, decir no sólo que un diferencial es infinitamente pequeño, sino cuán pequeño es.

Diferenciales como aplicaciones lineales

Hay una manera sencilla de dar sentido preciso a las diferenciales, usadas por primera vez en la línea real al considerarlas como aplicaciones lineales . Se puede usar en , , un espacio de Hilbert , un espacio de Banach o, de manera más general, un espacio vectorial topológico . El caso de la línea real es el más fácil de explicar. Este tipo de diferencial también se conoce como vector covariante o vector cotangente , según el contexto. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Diferenciales como mapas lineales en R

Supongamos que es una función de valor real en . Podemos reinterpretar la variable en como una función en lugar de un número, es decir, la función identidad en la línea real, que toma un número real para sí misma: . Entonces es la compuesta de con , cuyo valor en es . La diferencial (que por supuesto depende de ) es entonces una función cuyo valor en (generalmente denotado ) no es un número, sino una función lineal de a . Dado que una función lineal de a viene dada por una matriz , es esencialmente lo mismo que un número, pero el cambio en el punto de vista nos permite pensar en como un infinitesimal y compararlo con el infinitesimal estándar , que nuevamente es simplemente la función identidad de a (una matriz con entrada ). La función identidad tiene la propiedad de que si es muy pequeña, entonces es muy pequeña, lo que nos permite considerarla como infinitesimal. La diferencial tiene la misma propiedad, porque es simplemente un múltiplo de , y este múltiplo es la derivada por definición. Por lo tanto, obtenemos que , y por lo tanto . De esta forma recuperamos la idea de que es el cociente de los diferenciales y . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x(p)=p}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x(p))=f(p)}$ ${\displaystyle \operatorname {d} f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle df_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle df_{p}}$ ${\displaystyle dx_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle dx_{p}(\varepsilon )}$ ${\displaystyle df_{p}}$ ${\displaystyle dx_{p}}$ ${\displaystyle f'(p)}$ ${\displaystyle df_{p}=f'(p)\,dx_{p}}$ ${\displaystyle df=f'\,dx}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle dx}$

Esto sólo sería un truco si no fuera por el hecho de que:

1. Captura la idea de la derivada de at como la mejor aproximación lineal a at ; ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$
2. Tiene muchas generalizaciones.

Diferenciales como mapas lineales en R^norte

Si es una función de a , entonces decimos que es diferenciable ^[8] en si hay una función lineal de a tal que para cualquier , hay un entorno de tal que para , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle df_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x\in N}$ $${\displaystyle \left|f(x)-f(p)-df_{p}(x-p)\right|<\varepsilon \left|x-p\right|.}$$

Ahora podemos usar el mismo truco que en el caso unidimensional y pensar en la expresión como la combinación de con las coordenadas estándar en (de modo que es el componente -ésimo de ). Entonces, las diferenciales en un punto forman una base para el espacio vectorial de aplicaciones lineales de a y, por lo tanto, si es diferenciable en , podemos escribir como una combinación lineal de estos elementos de base: ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{j}(p)}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(dx_{1}\right)_{p},\left(dx_{2}\right)_{p},\ldots ,\left(dx_{n}\right)_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \operatorname {d} f_{p}}$ $${\displaystyle df_{p}=\sum _{j=1}^{n}D_{j}f(p)\,(dx_{j})_{p}.}$$

Los coeficientes son (por definición) las derivadas parciales de at con respecto a . Por lo tanto, si es diferenciable en todos los , podemos escribir, de forma más concisa: ${\displaystyle D_{j}f(p)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \operatorname {d} f={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\,dx_{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}.}$$

En el caso unidimensional esto se vuelve como antes. $${\displaystyle df={\frac {df}{dx}}dx}$$

Esta idea se generaliza directamente a funciones de a . Además, tiene la ventaja decisiva sobre otras definiciones de la derivada de que es invariante ante cambios de coordenadas. Esto significa que la misma idea se puede utilizar para definir la diferencial de funciones suaves entre variedades suaves . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

Nota aparte: Nótese que la existencia de todas las derivadas parciales de at es una condición necesaria para la existencia de una diferencial en . Sin embargo, no es una condición suficiente . Para ver contraejemplos, véase Derivada de Gateaux . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Diferenciales como aplicaciones lineales en un espacio vectorial

El mismo procedimiento funciona en un espacio vectorial con una estructura adicional suficiente para hablar razonablemente de continuidad. El caso más concreto es un espacio de Hilbert, también conocido como espacio de producto interno completo , donde el producto interno y su norma asociada definen un concepto adecuado de distancia. El mismo procedimiento funciona para un espacio de Banach, también conocido como espacio vectorial normado completo . Sin embargo, para un espacio vectorial topológico más general, algunos de los detalles son más abstractos porque no existe el concepto de distancia.

Para el caso importante de una dimensión finita, cualquier espacio de producto interno es un espacio de Hilbert, cualquier espacio vectorial normado es un espacio de Banach y cualquier espacio vectorial topológico es completo. Como resultado, se puede definir un sistema de coordenadas a partir de una base arbitraria y utilizar la misma técnica que para . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Los diferenciales como gérmenes de funciones

Este enfoque funciona en cualquier variedad diferenciable . Si

1. U y V son conjuntos abiertos que contienen p
2. ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$es continuo
3. ${\displaystyle g\colon V\to \mathbb {R} }$es continuo

entonces f es equivalente a g en p , denotado , si y sólo si hay un abierto que contiene a p tal que para cada x en W . El germen de f en p , denotado , es el conjunto de todas las funciones continuas reales equivalentes a f en p ; si f es suave en p entonces es un germen suave. Si ${\displaystyle f\sim _{p}g}$ ${\displaystyle W\subseteq U\cap V}$ ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ ${\displaystyle [f]_{p}}$ ${\displaystyle [f]_{p}}$

1. ${\displaystyle U_{1}}$, y son conjuntos abiertos que contienen p ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$
2. ${\displaystyle f_{1}\colon U_{1}\to \mathbb {R} }$, , y son funciones suaves ${\displaystyle f_{2}\colon U_{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g_{1}\colon V_{1}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g_{2}\colon V_{2}\to \mathbb {R} }$
3. ${\displaystyle f_{1}\sim _{p}g_{1}}$
4. ${\displaystyle f_{2}\sim _{p}g_{2}}$
5. r es un número real

entonces

1. ${\displaystyle r*f_{1}\sim _{p}r*g_{1}}$
2. ${\displaystyle f_{1}+f_{2}\colon U_{1}\cap U_{2}\to \mathbb {R} \sim _{p}g_{1}+g_{2}\colon V_{1}\cap V_{2}\to \mathbb {R} }$
3. ${\displaystyle f_{1}*f_{2}\colon U_{1}\cap U_{2}\to \mathbb {R} \sim _{p}g_{1}*g_{2}\colon V_{1}\cap V_{2}\to \mathbb {R} }$

Esto demuestra que los gérmenes en p forman un álgebra .

Definamos que es el conjunto de todos los gérmenes lisos que se desvanecen en p y que es el producto de ideales . Entonces, una diferencial en p (vector cotangente en p ) es un elemento de . La diferencial de una función lisa f en p , denotada , es . ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}{\mathcal {I}}_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}/{\mathcal {I}}_{p}^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f_{p}}$ ${\displaystyle [f-f(p)]_{p}/{\mathcal {I}}_{p}^{2}}$

Un enfoque similar consiste en definir la equivalencia diferencial de primer orden en términos de derivadas en un área de coordenadas arbitraria. Entonces, la diferencial de f en p es el conjunto de todas las funciones diferencialmente equivalentes a en p . ${\displaystyle f-f(p)}$

Geometría algebraica

En geometría algebraica , las diferenciales y otras nociones infinitesimales se manejan de una manera muy explícita al aceptar que el anillo de coordenadas o haz de estructuras de un espacio puede contener elementos nilpotentes . El ejemplo más simple es el anillo de números duales R [ ε ], donde ε ² = 0.

Esto puede estar motivado por el punto de vista algebro-geométrico sobre la derivada de una función f de R a R en un punto p . Para esto, note primero que f  − f ( p ) pertenece al ideal I _p de funciones en R que se anulan en p . Si la derivada f se anula en p , entonces f  − f ( p ) pertenece al cuadrado I _p ² de este ideal. Por lo tanto, la derivada de f en p puede ser capturada por la clase de equivalencia [ f  − f ( p )] en el espacio cociente I _p / I _p ² , y el 1-jet de f (que codifica su valor y su primera derivada) es la clase de equivalencia de f en el espacio de todas las funciones módulo I _p ² . Los geómetras algebraicos consideran esta clase de equivalencia como la restricción de f a una versión engrosada del punto p cuyo anillo de coordenadas no es R (que es el espacio cociente de funciones en R módulo I _p ) sino R [ ε ] que es el espacio cociente de funciones en R módulo I _p ² . Un punto engrosado de este tipo es un ejemplo simple de un esquema . ^[5]

Nociones de geometría algebraica

Las diferenciales también son importantes en geometría algebraica , y hay varias nociones importantes.

• Las diferenciales abelianas generalmente significan formas diferenciales unitarias en una curva algebraica o superficie de Riemann .
• Los diferenciales cuadráticos (que se comportan como "cuadrados" de diferenciales abelianos) también son importantes en la teoría de superficies de Riemann.
• Las diferenciales de Kähler proporcionan una noción general de diferencial en geometría algebraica.

Geometría diferencial sintética

Un quinto enfoque para los infinitesimales es el método de geometría diferencial sintética ^[9] o análisis infinitesimal suave ^[10] . Este está estrechamente relacionado con el enfoque geométrico-algebraico, excepto que los infinitesimales son más implícitos e intuitivos. La idea principal de este enfoque es reemplazar la categoría de conjuntos con otra categoría de conjuntos que varían suavemente que es un topos . En esta categoría, uno puede definir los números reales, funciones suaves, etc., pero los números reales contienen automáticamente infinitesimales nilpotentes, por lo que no necesitan ser introducidos a mano como en el enfoque geométrico algebraico. Sin embargo, la lógica en esta nueva categoría no es idéntica a la lógica familiar de la categoría de conjuntos: en particular, la ley del medio excluido no se cumple. Esto significa que los argumentos matemáticos de teoría de conjuntos solo se extienden al análisis infinitesimal suave si son constructivos (por ejemplo, no use prueba por contradicción ). Los constructivistas consideran esta desventaja como algo positivo, ya que obliga a uno a encontrar argumentos constructivos donde sea que estén disponibles.

Análisis no estándar

El enfoque final para los infinitesimales nuevamente implica extender los números reales, pero de una manera menos drástica. En el enfoque de análisis no estándar no hay infinitesimales nilpotentes, solo invertibles, que pueden verse como los recíprocos de números infinitamente grandes. ^[7] Tales extensiones de los números reales pueden construirse explícitamente utilizando clases de equivalencia de secuencias de números reales , de modo que, por ejemplo, la secuencia (1, 1/2, 1/3, ..., 1/ n , ...) representa un infinitesimal. La lógica de primer orden de este nuevo conjunto de números hiperreales es la misma que la lógica para los números reales habituales, pero el axioma de completitud (que involucra lógica de segundo orden ) no se cumple. Sin embargo, esto es suficiente para desarrollar un enfoque elemental y bastante intuitivo para el cálculo utilizando infinitesimales, véase principio de transferencia .

Geometría diferencial

La noción de diferencial motiva varios conceptos en geometría diferencial (y topología diferencial ).

• El diferencial (Pushforward) de una función entre variedades.
• Las formas diferenciales proporcionan un marco que da cabida a la multiplicación y diferenciación de diferenciales.
• La derivada exterior es una noción de diferenciación de formas diferenciales que generaliza la diferencial de una función (que es una 1-forma diferencial ).
• Pullback es, en particular, un nombre geométrico para la regla de la cadena para componer un mapa entre variedades con una forma diferencial en la variedad objetivo.
• Las derivadas o diferenciales covariantes proporcionan una noción general para diferenciar campos vectoriales y campos tensoriales en una variedad o, de manera más general, secciones de un fibrado vectorial : véase Conexión (fibrado vectorial) . Esto conduce, en última instancia, al concepto general de conexión .

Otros significados

El término diferencial también se ha adoptado en álgebra homológica y topología algebraica, debido al papel que desempeña la derivada exterior en la cohomología de De Rham: en un complejo de cocadena, las aplicaciones (u operadores de colímite ) d _i se denominan a menudo diferenciales. Dualmente, los operadores de límite en un complejo de cadena a veces se denominan codiferenciales . ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet }),}$

Las propiedades de la diferencial también motivan las nociones algebraicas de derivación y de álgebra diferencial .

Véase también

• Ecuación diferencial
• Forma diferencial
• Diferencial de una función

Notas

Citas

1. "Diferencial". Wolfram MathWorld . Consultado el 24 de febrero de 2022 . La palabra diferencial tiene varios significados relacionados en matemáticas. En el contexto más común, significa "relacionado con las derivadas". Así, por ejemplo, la parte del cálculo que se ocupa de tomar derivadas (es decir, la diferenciación) se conoce como cálculo diferencial.
   La palabra "diferencial" también tiene un significado más técnico en la teoría de las formas k diferenciales como la denominada forma unitaria.
2. "diferencial - Definición de diferencial en inglés de Estados Unidos según Oxford Dictionaries". Oxford Dictionaries - Inglés . Archivado desde el original el 3 de enero de 2014 . Consultado el 13 de abril de 2018 .
3. Boyer 1991.
4. Querido 1994.
5. Eisenbud y Harris 1998.
6. Véase Kock 2006 y Moerdijk & Reyes 1991.
7. Véase Robinson 1996 y Keisler 1986.
8. Véase, por ejemplo, Apostol 1967.
9. Véase Kock 2006 y Lawvere 1968.
10. Véase Moerdijk y Reyes 1991 y Bell 1998.

Referencias

• Apostol, Tom M. (1967), Cálculo (2.ª ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1.
• Bell , John L. (1998), Invitación al análisis infinitesimal suavizado (PDF).
• Boyer, Carl B. (1991), "Arquímedes de Siracusa", Una historia de las matemáticas (2.ª ed.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8.
• Darling, RWR (1994), Formas diferenciales y conexiones , Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46800-8.
• Eisenbud, David ; Harris, Joe (1998), La geometría de los esquemas , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98637-1
• Keisler, H. Jerome (1986), Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal (2.ª ed.).
• Kock, Anders (2006), Geometría diferencial sintética (PDF) (2.ª ed.), Cambridge University Press.
• Lawvere, FW (1968), Esquema de geometría diferencial sintética (PDF) (publicado en 1998).
• Moerdijk, I .; Reyes, Gonzalo E. (1991), Modelos para análisis infinitamente suave , Springer-Verlag, ISBN 978-1-441-93095-8.
• Robinson, Abraham (1996), Análisis no estándar , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3.
• Weisstein, Eric W. "Diferenciales". MundoMatemático .