El análisis infinitesimal suave es una reformulación moderna del cálculo en términos de infinitesimales . Basado en las ideas de F. W. Lawvere y empleando los métodos de la teoría de categorías , considera que todas las funciones son continuas e incapaces de expresarse en términos de entidades discretas . Como teoría, es un subconjunto de la geometría diferencial sintética . Terence Tao se ha referido a este concepto bajo el nombre de "análisis barato no estándar". [1]
Los infinitesimales nilcuadrados o nilpotentes son números ε donde ε ² = 0 es verdadero, pero ε = 0 no necesariamente es verdadero al mismo tiempo. Cálculo simplificado utiliza en particular infinitesimales nilpotentes.
Este enfoque se aparta de la lógica clásica utilizada en las matemáticas convencionales al negar la ley del medio excluido , por ejemplo, NOT ( a ≠ b ) no implica a = b . En particular, en una teoría de análisis infinitesimal suave se puede probar para todos los infinitesimales ε , NOT ( ε ≠ 0); sin embargo, es demostrablemente falso que todos los infinitesimales sean iguales a cero. [2] Se puede ver que la ley del medio excluido no puede cumplirse a partir del siguiente teorema básico (de nuevo, entendido en el contexto de una teoría de análisis infinitesimal suave):
A pesar de este hecho, se podría intentar definir una función discontinua f ( x ) especificando que f ( x ) = 1 para x = 0, y f ( x ) = 0 para x ≠ 0. Si se cumpliera la ley del tercio excluido, entonces esta sería una función discontinua completamente definida. Sin embargo, hay muchos x , a saber, los infinitesimales, tales que ni x = 0 ni x ≠ 0 se cumplen, por lo que la función no está definida en los números reales.
En los modelos típicos de análisis infinitesimal suave, los infinitesimales no son invertibles y, por lo tanto, la teoría no contiene números infinitos. Sin embargo, también hay modelos que incluyen infinitesimales invertibles.
Existen otros sistemas matemáticos que incluyen infinitesimales, incluyendo el análisis no estándar y los números surrealistas . El análisis infinitesimal suave es como el análisis no estándar en que (1) está destinado a servir como base para el análisis , y (2) las cantidades infinitesimales no tienen tamaños concretos (a diferencia de los surrealistas, en los que un infinitesimal típico es 1/ω , donde ω es un ordinal de von Neumann ). Sin embargo, el análisis infinitesimal suave difiere del análisis no estándar en su uso de la lógica no clásica y en la falta del principio de transferencia . Algunos teoremas del análisis estándar y no estándar son falsos en el análisis infinitesimal suave, incluyendo el teorema del valor intermedio y la paradoja de Banach-Tarski . Las afirmaciones en el análisis no estándar se pueden traducir en afirmaciones sobre límites , pero lo mismo no siempre es cierto en el análisis infinitesimal suave.
Intuitivamente, el análisis infinitesimal suave puede interpretarse como la descripción de un mundo en el que las líneas están formadas por segmentos infinitesimalmente pequeños, no por puntos. Se puede pensar que estos segmentos son lo suficientemente largos como para tener una dirección definida, pero no lo suficientemente largos como para ser curvados. La construcción de funciones discontinuas falla porque una función se identifica con una curva, y la curva no puede construirse puntualmente. Podemos imaginar el fracaso del teorema del valor intermedio como resultado de la capacidad de un segmento infinitesimal de atravesar una línea. De manera similar, la paradoja de Banach-Tarski falla porque un volumen no puede descomponerse en puntos.