Diferencial cuadrático

En matemáticas , una diferencial cuadrática en una superficie de Riemann es una sección del cuadrado simétrico del fibrado cotangente holomorfo . Si la sección es holomorfa , entonces se dice que la diferencial cuadrática es holomorfa. El espacio vectorial de las diferenciales cuadráticas holomorfas en una superficie de Riemann tiene una interpretación natural como el espacio cotangente del espacio de módulos de Riemann, o espacio de Teichmüller .

Forma local

Cada diferencial cuadrático en un dominio en el plano complejo puede escribirse como , donde es la variable compleja, y es una función de valor complejo en . Una diferencial cuadrática "local" de este tipo es holomorfa si y solo si es holomorfa . Dado un gráfico para una superficie general de Riemann y una diferencial cuadrática en , el pull-back define una diferencial cuadrática en un dominio en el plano complejo. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f(z)\,dz\otimes dz}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (\mu ^{-1})^{*}(q)}$

Relación con los diferenciales abelianos

Si es una diferencial abeliana en una superficie de Riemann, entonces es una diferencial cuadrática. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega \otimes \omega }$

Estructura euclidiana singular

Una diferencial cuadrática holomorfa determina una métrica de Riemann en el complemento de sus ceros. Si está definida en un dominio en el plano complejo, y , entonces la métrica de Riemann asociada es , donde . Como es holomorfa, la curvatura de esta métrica es cero. Por lo tanto, una diferencial cuadrática holomorfa define una métrica plana en el complemento del conjunto de tal que . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle |q|}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q=f(z)\,dz\otimes dz}$ ${\displaystyle |f(z)|(dx^{2}+dy^{2})}$ ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f(z)=0}$

Referencias

• Kurt Strebel, Diferenciales cuadráticos . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 5. Springer-Verlag, Berlín, 1984. xii + 184 págs. ISBN  3-540-13035-7 .
• Y. Imayoshi y M. Taniguchi, M. Una introducción a los espacios de Teichmüller . Traducido y revisado a partir de la versión japonesa por los autores. Springer-Verlag, Tokio, 1992. xiv + 279 pp. ISBN 4-431-70088-9 . 
• Frederick P. Gardiner, Teoría de Teichmüller y diferenciales cuadráticos . Wiley-Interscience, Nueva York, 1987. xvii + 236 pp. ISBN 0-471-84539-6 .