Sección cónica

Curva de un cono que interseca un plano

Los límites negros de las regiones coloreadas son secciones cónicas. No se muestra la otra mitad de la hipérbola, que se encuentra en la otra mitad no mostrada del cono doble.

Secciones cónicas visualizadas con luz de linterna

Este diagrama aclara los diferentes ángulos de los planos de corte que dan como resultado las diferentes propiedades de los tres tipos de sección cónica.

Una sección cónica , cónica o curva cuadrática es una curva obtenida a partir de la superficie de un cono que interseca un plano . Los tres tipos de sección cónica son la hipérbola , la parábola y la elipse ; el círculo es un caso especial de la elipse, aunque a veces se lo denominaba un cuarto tipo. Los matemáticos griegos antiguos estudiaron las secciones cónicas, culminando alrededor del año 200 a. C. con el trabajo sistemático de Apolonio de Perge sobre sus propiedades.

Las secciones cónicas en el plano euclidiano tienen varias propiedades distintivas, muchas de las cuales pueden usarse como definiciones alternativas. Una de esas propiedades define una cónica no circular ^[1] como el conjunto de aquellos puntos cuyas distancias a algún punto particular, llamado foco , y alguna línea particular, llamada directriz , están en una relación fija, llamada excentricidad . El tipo de cónica está determinado por el valor de la excentricidad. En geometría analítica , una cónica puede definirse como una curva algebraica plana de grado 2; es decir, como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación cuadrática en dos variables que puede escribirse en la forma Las propiedades geométricas de la cónica pueden deducirse de su ecuación. ${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.}$

En el plano euclidiano, los tres tipos de secciones cónicas parecen bastante diferentes, pero comparten muchas propiedades. Al extender el plano euclidiano para incluir una línea en el infinito, obteniendo un plano proyectivo , la diferencia aparente desaparece: las ramas de una hipérbola se encuentran en dos puntos en el infinito, lo que la convierte en una única curva cerrada; y los dos extremos de una parábola se encuentran para convertirla en una curva cerrada tangente a la línea en el infinito. Una extensión posterior, al expandir las coordenadas reales para admitir coordenadas complejas , proporciona los medios para ver esta unificación algebraicamente.

Geometría euclidiana

Tipos de secciones cónicas:
1: Círculo        2: Elipse
3: Parábola  4: Hipérbola

Las secciones cónicas se han estudiado durante miles de años y han proporcionado una rica fuente de resultados interesantes y hermosos en la geometría euclidiana .

Definición

Una cónica es la curva obtenida como la intersección de un plano , llamado plano de corte , con la superficie de un cono doble (un cono con dos napas ). Por lo general, se supone que el cono es un cono circular recto con el propósito de una fácil descripción, pero esto no es obligatorio; cualquier cono doble con alguna sección transversal circular será suficiente. Los planos que pasan por el vértice del cono intersectarán al cono en un punto, una línea o un par de líneas que se intersecan. Estas se llaman cónicas degeneradas y algunos autores no las consideran cónicas en absoluto. A menos que se indique lo contrario, "cónica" en este artículo se referirá a una cónica no degenerada.

Existen tres tipos de cónicas: la elipse , la parábola y la hipérbola . El círculo es un tipo especial de elipse, aunque históricamente Apolonio lo consideró un cuarto tipo. Las elipses surgen cuando la intersección del cono y el plano es una curva cerrada . El círculo se obtiene cuando el plano de corte es paralelo al plano del círculo generador del cono; para un cono recto, esto significa que el plano de corte es perpendicular al eje. Si el plano de corte es paralelo a exactamente una línea generadora del cono, entonces la cónica no tiene límites y se llama parábola . En el caso restante, la figura es una hipérbola : el plano interseca ambas mitades del cono, produciendo dos curvas separadas sin límites.

Compárese también la sección esférica (intersección de un plano con una esfera, produciendo un círculo o punto) y la cónica esférica (intersección de un cono elíptico con una esfera concéntrica).

Excentricidad, foco y directriz

Secciones cónicas de excentricidad variable que comparten un punto focal y una línea directriz, incluyendo una elipse (roja, e = 1/2 ), una parábola (verde, e = 1 ) y una hipérbola (azul, e = 2 ). La cónica de excentricidad 0 en esta figura es un círculo infinitesimal centrado en el foco, y la cónica de excentricidad ∞ es un par de líneas separadas infinitesimalmente.

Un círculo de radio finito tiene una directriz infinitamente distante, mientras que un par de líneas de separación finita tienen un foco infinitamente distante.

Alternativamente, se puede definir una sección cónica puramente en términos de geometría plana: es el lugar geométrico de todos los puntos P cuya distancia a un punto fijo F (llamado foco ) es un múltiplo constante e (llamada excentricidad ) de la distancia de P a una línea fija L (llamada directriz ). Para 0 < e < 1 obtenemos una elipse, para e = 1 una parábola y para e > 1 una hipérbola.

Un círculo es un caso límite y no está definido por un foco y una directriz en el plano euclidiano. La excentricidad de un círculo se define como cero y su foco es el centro del círculo, pero su directriz solo puede tomarse como la línea en el infinito en el plano proyectivo. ^[2]

La excentricidad de una elipse puede verse como una medida de qué tan lejos se desvía la elipse de ser circular. ^[3]

Si el ángulo entre la superficie del cono y su eje es y el ángulo entre el plano de corte y el eje es la excentricidad es ^[4] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle {\frac {\cos \alpha }{\cos \beta }}.}$

La prueba de que las curvas anteriores definidas por la propiedad foco-directriz son las mismas que las obtenidas por los planos que intersecan un cono se ve facilitada por el uso de esferas de Dandelin . ^[5]

Alternativamente, una elipse puede definirse en términos de dos puntos focales, como el lugar geométrico de los puntos para los cuales la suma de las distancias a los dos focos es 2 a ; mientras que una hipérbola es el lugar geométrico para el cual la diferencia de distancias es 2 a . (Aquí a es el semieje mayor definido a continuación). Una parábola también puede definirse en términos de su foco y la línea del lado recto (paralela a la directriz y que pasa por el foco): es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al foco más o menos la distancia a la línea es igual a 2 a ; más si el punto está entre la directriz y el lado recto, menos en caso contrario.

Parámetros cónicos

Parámetros cónicos en el caso de una elipse

Además de la excentricidad ( e ), los focos y la directriz, varias características geométricas y longitudes están asociadas con una sección cónica.

El eje principal es la línea que une los focos de una elipse o hipérbola, y su punto medio es el centro de la curva . Una parábola no tiene centro.

La excentricidad lineal ( c ) es la distancia entre el centro y un foco.

El lado recto es la cuerda paralela a la directriz y que pasa por un foco; su mitad es el semilato recto ( ℓ ).

El parámetro focal ( p ) es la distancia de un foco a la directriz correspondiente.

El eje mayor es la cuerda entre los dos vértices: la cuerda más larga de una elipse, la cuerda más corta entre las ramas de una hipérbola. Su mitad es el semieje mayor ( a ). Cuando una elipse o una hipérbola están en posición estándar como en las ecuaciones siguientes, con focos en el eje x y centro en el origen, los vértices de la cónica tienen coordenadas (− a , 0) y ( a , 0) , con un valor no negativo.

El eje menor es el diámetro más corto de una elipse, y su mitad es el semieje menor ( b ), el mismo valor b que en la ecuación estándar siguiente. Por analogía, para una hipérbola, el parámetro b en la ecuación estándar también se denomina semieje menor.

Se cumplen las siguientes relaciones: ^[6]

• ${\displaystyle \ \ell =pe}$
• ${\displaystyle \ c=ae}$
• ${\displaystyle \ p+c={\frac {a}{e}}}$

Para cónicas en posición estándar, estos parámetros tienen los siguientes valores, tomando . ${\displaystyle a,b>0}$

Formas estándar en coordenadas cartesianas

Formas estándar de una elipse

Formas estándar de una parábola

Formas estándar de una hipérbola

Después de introducir las coordenadas cartesianas , la propiedad foco-directriz puede utilizarse para producir las ecuaciones satisfechas por los puntos de la sección cónica. ^[7] Mediante un cambio de coordenadas ( rotación y traslación de ejes ) estas ecuaciones pueden ponerse en formas estándar . ^[8] Para elipses e hipérbolas una forma estándar tiene el eje x como eje principal y el origen (0,0) como centro. Los vértices son (± a , 0) y los focos (± c , 0) . Defina b mediante las ecuaciones c ² = a ² − b ² para una elipse y c ² = a ² + b ² para una hipérbola. Para un círculo, c = 0 por lo que a ² = b ² , con radio r = a = b . En la forma estándar de la parábola, el foco está en el eje x en el punto ( a , 0) y la directriz es la línea con ecuación x = − a . En la forma estándar, la parábola siempre pasará por el origen.

Para una hipérbola rectangular o equilátera , cuyas asíntotas son perpendiculares, existe una forma estándar alternativa en la que las asíntotas son los ejes de coordenadas y la línea x = y es el eje principal. Los focos tienen entonces coordenadas ( c , c ) y (− c , − c ) . ^[9]

• Círculo:

  ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2},}$

• Elipse:

  ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

• Parábola:

  ${\displaystyle y^{2}=4ax,{\text{ with }}a>0,}$

• Hipérbola:

  ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

• Hipérbola rectangular: ^[10]

  ${\displaystyle xy=c^{2}.}$

Las primeras cuatro de estas formas son simétricas respecto del eje x y del eje y (en el caso del círculo, la elipse y la hipérbola), o solo respecto del eje x (en el caso de la parábola). Sin embargo, la hipérbola rectangular es simétrica respecto de las rectas y = x e y = − x .

Estas formas estándar se pueden escribir paramétricamente como,

• Círculo :

  ${\displaystyle (a\cos \theta ,a\sin \theta ),}$

• Elipse :

  ${\displaystyle (a\cos \theta ,b\sin \theta ),}$

• Parábola :

  ${\displaystyle (at^{2},2at),}$

• Hipérbola :

  ${\displaystyle (a\sec \theta ,b\tan \theta ),{\text{ or }}(\pm a\cosh \psi ,b\sinh \psi )}$,

• Hipérbola rectangular :

  ${\displaystyle \left(dt,{\frac {d}{t}}\right),{\text{ where }}d={\frac {c}{\sqrt {2}}}.}$

Forma cartesiana general

En el sistema de coordenadas cartesianas , la gráfica de una ecuación cuadrática en dos variables es siempre una sección cónica (aunque puede ser degenerada), ^[a] y todas las secciones cónicas surgen de esta manera. La ecuación más general es de la forma ^[11]

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}$

con todos los coeficientes números reales y A, B, C no todos cero.

Notación matricial

La ecuación anterior se puede escribir en notación matricial como ^[12] $${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}D&E\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+F=0.}$$

La ecuación general también se puede escribir como $${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=0.}$$

Esta forma es una especialización de la forma homogénea utilizada en el contexto más general de la geometría proyectiva (ver más abajo).

Discriminante

Las secciones cónicas descritas por esta ecuación se pueden clasificar en términos del valor , llamado discriminante de la ecuación. ^[13] Por lo tanto, el discriminante es − 4Δ donde Δ es el determinante de la matriz . ${\displaystyle B^{2}-4AC}$ ${\displaystyle \left|{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right|.}$

Si la cónica no es degenerada , entonces: ^[14]

• si B ² − 4 AC < 0 , la ecuación representa una elipse ;
  • si A = C y B = 0 , la ecuación representa un círculo , que es un caso especial de elipse;
• si B ² − 4 AC = 0 , la ecuación representa una parábola ;
• si B ² − 4 AC > 0 , la ecuación representa una hipérbola ;
  • Si A + C = 0 , la ecuación representa una hipérbola rectangular .

En la notación utilizada aquí, A y B son coeficientes polinomiales, en contraste con algunas fuentes que denotan los semiejes mayor y semieje menor como A y B.

Invariantes

El discriminante B ² – 4 AC de la ecuación cuadrática de la sección cónica (o equivalentemente el determinante AC – B ² /4 de la matriz 2 × 2) y la cantidad A + C (la traza de la matriz 2 × 2) son invariantes bajo rotaciones y traslaciones arbitrarias de los ejes de coordenadas, ^{[14] [15] [16]} como lo es el determinante de la matriz 3 × 3 anterior. ^{[17] : pp. 60–62} El término constante F y la suma D ² + E ² son invariantes solo bajo rotación. ^{[17] : pp. 60–62}

Excentricidad en términos de coeficientes

Cuando la sección cónica se escribe algebraicamente como

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,\,}$

La excentricidad puede escribirse como una función de los coeficientes de la ecuación cuadrática. ^[18] Si 4 AC = B ² la cónica es una parábola y su excentricidad es igual a 1 (siempre que no sea degenerada). De lo contrario, suponiendo que la ecuación representa una hipérbola o una elipse no degenerada, la excentricidad viene dada por

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}},}$

donde η = 1 si el determinante de la matriz 3 × 3 anterior es negativo y η = −1 si ese determinante es positivo.

También se puede demostrar ^{[17] : p. 89} que la excentricidad es una solución positiva de la ecuación

${\displaystyle \Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,}$

donde nuevamente Esto tiene precisamente una solución positiva—la excentricidad—en el caso de una parábola o elipse, mientras que en el caso de una hipérbola tiene dos soluciones positivas, una de las cuales es la excentricidad. ${\displaystyle \Delta =AC-{\frac {B^{2}}{4}}.}$

Conversión a forma canónica

En el caso de una elipse o hipérbola, la ecuación

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}$

se puede convertir a forma canónica en variables transformadas como ^[19] ${\displaystyle {\tilde {x}},{\tilde {y}}}$

${\displaystyle {\frac {{\tilde {x}}^{2}}{-S/(\lambda _{1}^{2}\lambda _{2})}}+{\frac {{\tilde {y}}^{2}}{-S/(\lambda _{1}\lambda _{2}^{2})}}=1,}$

o equivalentemente

${\displaystyle {\frac {{\tilde {x}}^{2}}{-S/(\lambda _{1}\Delta )}}+{\frac {{\tilde {y}}^{2}}{-S/(\lambda _{2}\Delta )}}=1,}$

donde y son los valores propios de la matriz , es decir, las soluciones de la ecuación ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)}$

${\displaystyle \lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0}$

— y es el determinante de la matriz 3 × 3 anterior, y es nuevamente el determinante de la matriz 2 × 2. En el caso de una elipse, los cuadrados de los dos semiejes están dados por los denominadores en la forma canónica. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}}$

Coordenadas polares

Desarrollo de la sección cónica a medida que aumenta la excentricidad e

En coordenadas polares , una sección cónica con un foco en el origen y, si lo hay, el otro en un valor negativo (para una elipse) o un valor positivo (para una hipérbola) en el eje x , viene dada por la ecuación

${\displaystyle r={\frac {l}{1+e\cos \theta }},}$

donde e es la excentricidad y l es el semi-lato recto.

Como arriba, para e = 0 , el gráfico es un círculo, para 0 < e < 1 el gráfico es una elipse, para e = 1 una parábola, y para e > 1 una hipérbola.

La forma polar de la ecuación de una cónica se utiliza a menudo en dinámica ; por ejemplo, para determinar las órbitas de los objetos que giran alrededor del Sol. ^[20]

Propiedades

Así como dos puntos (distintos) determinan una línea, cinco puntos determinan una cónica . Formalmente, dados cinco puntos cualesquiera en el plano en posición lineal general , es decir, no hay tres colineales , existe una cónica única que los atraviesa, que no será degenerada; esto es cierto tanto en el plano euclidiano como en su extensión, el plano proyectivo real. De hecho, dados cinco puntos cualesquiera, existe una cónica que los atraviesa, pero si tres de los puntos son colineales, la cónica será degenerada (reducible, porque contiene una línea) y puede no ser única; véase más discusión .

Cuatro puntos del plano en posición lineal general determinan una cónica única que pasa por los tres primeros puntos y tiene como centro el cuarto punto. Por lo tanto, conocer el centro equivale a conocer dos puntos de la cónica para determinar la curva. ^[21]

Además, una cónica está determinada por cualquier combinación de k puntos en posición general por los que pasa y 5 – k líneas que son tangentes a ella, para 0≤ k ≤5. ^[22]

Cualquier punto del plano se encuentra en cero, una o dos líneas tangentes de una cónica. Un punto en una sola línea tangente se encuentra en la cónica. Un punto en ninguna línea tangente se dice que es un punto interior (o punto interno) de la cónica, mientras que un punto en dos líneas tangentes es un punto exterior (o punto externo).

Todas las secciones cónicas comparten una propiedad de reflexión que puede enunciarse así: Todos los espejos con forma de sección cónica no degenerada reflejan la luz que proviene o se dirige hacia un foco hacia el otro foco o se aleja de él. En el caso de la parábola, el segundo foco debe considerarse infinitamente lejano, de modo que los rayos de luz que se dirigen hacia el segundo foco o que provienen de él sean paralelos. ^{[23] [24]}

El teorema de Pascal se refiere a la colinealidad de tres puntos que se construyen a partir de un conjunto de seis puntos en cualquier cónica no degenerada. El teorema también es válido para cónicas degeneradas que constan de dos líneas, pero en ese caso se lo conoce como teorema de Pappus .

Las secciones cónicas no degeneradas son siempre " lisas ". Esto es importante para muchas aplicaciones, como la aerodinámica, donde se requiere una superficie lisa para garantizar el flujo laminar y evitar la turbulencia .

Historia

Menecmo y sus primeras obras

Se cree que la primera definición de una sección cónica fue dada por Menecmo (fallecido en 320 a. C.) como parte de su solución del problema de Delos ( Duplicación del cubo ). ^{[b] [25]} Su trabajo no sobrevivió, ni siquiera los nombres que usó para estas curvas, y solo se conoce a través de relatos secundarios. ^[26] La definición utilizada en ese momento difiere de la que se usa comúnmente hoy. Los conos se construían rotando un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos de modo que la hipotenusa genere la superficie del cono (una línea de este tipo se llama generatriz). Se determinaron tres tipos de conos por sus ángulos de vértice (medidos por el doble del ángulo formado por la hipotenusa y el cateto que se rota en el triángulo rectángulo). Luego, la sección cónica se determinó intersectando uno de estos conos con un plano dibujado perpendicular a una generatriz. El tipo de cónica está determinado por el tipo de cono, es decir, por el ángulo formado en el vértice del cono: si el ángulo es agudo entonces la cónica es una elipse; si el ángulo es recto entonces la cónica es una parábola; y si el ángulo es obtuso entonces la cónica es una hipérbola (pero sólo una rama de la curva). ^[27]

Se dice que Euclides (cerca del 300 a. C.) escribió cuatro libros sobre cónicas, pero estos también se perdieron. ^{[28] Se sabe que} Arquímedes (fallecido en torno al  212 a. C.) estudió las cónicas, habiendo determinado el área delimitada por una parábola y una cuerda en Cuadratura de la parábola . Su principal interés estaba en términos de medición de áreas y volúmenes de figuras relacionadas con las cónicas y parte de este trabajo sobrevive en su libro sobre los sólidos de revolución de las cónicas, Sobre conoides y esferoides . ^[29]

Apolonio de Perge

Diagrama de las Cónicas de Apolonio , en una traducción árabe del siglo IX

El mayor progreso en el estudio de las cónicas por parte de los antiguos griegos se debe a Apolonio de Perge (fallecido en torno al año  190 a. C.), cuya obra de ocho volúmenes Secciones cónicas o Cónicas resumió y amplió enormemente el conocimiento existente. ^[30] El estudio de Apolonio de las propiedades de estas curvas permitió demostrar que cualquier plano que corte un cono doble fijo (dos conos), independientemente de su ángulo, producirá una cónica según la definición anterior, lo que dio lugar a la definición que se utiliza habitualmente en la actualidad. Los círculos, que no se podían construir con el método anterior, también se pueden obtener de esta manera. Esto puede explicar por qué Apolonio consideró a los círculos un cuarto tipo de sección cónica, una distinción que ya no se hace. Apolonio utilizó los nombres de "elipse", "parábola" e "hipérbola" para estas curvas, tomando prestada la terminología de un trabajo pitagórico anterior sobre las áreas. ^[31]

A Pappus de Alejandría (fallecido alrededor del año  350 d. C.) se le atribuye la exposición de la importancia del concepto de foco de una cónica y el detalle del concepto relacionado de directriz, incluido el caso de la parábola (que falta en las obras conocidas de Apolonio). ^[32]

Mundo islámico

La obra de Apolonio fue traducida al árabe, y gran parte de su obra sólo sobrevive a través de la versión árabe. Los matemáticos islámicos encontraron aplicaciones de la teoría, en particular el matemático y poeta persa Omar Khayyám , ^[33] quien encontró un método geométrico para resolver ecuaciones cúbicas utilizando secciones cónicas. ^{[34] [35]}

Un siglo antes del trabajo más famoso de Khayyam, Abu al-Jud utilizó cónicas para resolver ecuaciones cuárticas y cúbicas, ^[36] aunque su solución no abordaba todos los casos. ^[37]

Un instrumento para dibujar secciones cónicas fue descrito por primera vez en el año 1000 d. C. por Al-Kuhi . ^{[38] [39]}

Europa

Tabla de cónicas, Enciclopedia , 1728

Johannes Kepler amplió la teoría de las cónicas mediante el « principio de continuidad », precursor del concepto de límites. Kepler utilizó por primera vez el término «focos» en 1604. ^[40]

Girard Desargues y Blaise Pascal desarrollaron una teoría de las cónicas utilizando una forma temprana de geometría proyectiva , lo que contribuyó a impulsar el estudio de este nuevo campo. En particular, Pascal descubrió un teorema conocido como hexagrammum mysticum, del que se pueden deducir muchas otras propiedades de las cónicas.

René Descartes y Pierre Fermat aplicaron su recién descubierta geometría analítica al estudio de las cónicas. Esto tuvo el efecto de reducir los problemas geométricos de las cónicas a problemas de álgebra. Sin embargo, fue John Wallis en su tratado de 1655 Tractatus de sectionibus conicis quien definió por primera vez las secciones cónicas como instancias de ecuaciones de segundo grado. ^[41] Escrito antes, pero publicado más tarde, Elementa Curvarum Linearum de Jan de Witt comienza con la construcción cinemática de las cónicas de Kepler y luego desarrolla las ecuaciones algebraicas. Esta obra, que utiliza la metodología de Fermat y la notación de Descartes, ha sido descrita como el primer libro de texto sobre el tema. ^[42] De Witt inventó el término "directriz". ^[42]

Aplicaciones

Las secciones cónicas son importantes en astronomía : las órbitas de dos objetos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal de Newton son secciones cónicas si se considera que su centro de masa común está en reposo. Si están unidos, ambos trazarán elipses; si se separan, ambos seguirán parábolas o hipérbolas. Véase problema de los dos cuerpos .

Las propiedades reflectantes de las secciones cónicas se utilizan en el diseño de reflectores, radiotelescopios y algunos telescopios ópticos. ^[43] Un reflector utiliza un espejo parabólico como reflector, con una bombilla en el foco; y una construcción similar se utiliza para un micrófono parabólico . El telescopio óptico Herschel de 4,2 metros en La Palma, en las islas Canarias, utiliza un espejo parabólico primario para reflejar la luz hacia un espejo hiperbólico secundario, que la refleja de nuevo a un foco detrás del primer espejo.

En el plano proyectivo real

Las secciones cónicas tienen algunas propiedades muy similares en el plano euclidiano y las razones para esto se vuelven más claras cuando las cónicas se ven desde la perspectiva de una geometría más grande. El plano euclidiano puede estar incrustado en el plano proyectivo real y las cónicas pueden considerarse como objetos en esta geometría proyectiva. Una forma de hacer esto es introducir coordenadas homogéneas y definir una cónica como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación cuadrática irreducible en tres variables (o equivalentemente, los ceros de una forma cuadrática irreducible ). Más técnicamente, el conjunto de puntos que son ceros de una forma cuadrática (en cualquier número de variables) se llama cuádrica , y las cuádricas irreducibles en un espacio proyectivo bidimensional (es decir, que tienen tres variables) se llaman tradicionalmente cónicas.

El plano euclidiano R ² se inserta en el plano proyectivo real mediante la unión de una línea en el infinito (y sus puntos correspondientes en el infinito ) de modo que todas las líneas de una clase paralela se encuentren en esta línea. Por otra parte, a partir del plano proyectivo real, se obtiene un plano euclidiano distinguiendo alguna línea como la línea en el infinito y eliminándola junto con todos sus puntos.

Intersección en el infinito

En un espacio proyectivo sobre cualquier anillo de división, pero en particular sobre los números reales o complejos, todas las cónicas no degeneradas son equivalentes, y por lo tanto en geometría proyectiva se habla de "una cónica" sin especificar un tipo. Es decir, existe una transformación proyectiva que mapeará cualquier cónica no degenerada a cualquier otra cónica no degenerada. ^[44]

Los tres tipos de secciones cónicas reaparecerán en el plano afín obtenido al elegir como recta del espacio proyectivo la recta del infinito. Los tres tipos se determinan entonces por la forma en que esta recta del infinito interseca a la cónica en el espacio proyectivo. En el espacio afín correspondiente, se obtiene una elipse si la cónica no interseca a la recta del infinito, una parábola si la cónica interseca a la recta del infinito en un doble punto correspondiente al eje, y una hipérbola si la cónica interseca a la recta del infinito en dos puntos correspondientes a las asíntotas. ^[45]

Coordenadas homogéneas

En coordenadas homogéneas una sección cónica se puede representar como:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.}$

O en notación matricial

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y&z\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=0.}$

La matriz 3 × 3 anterior se llama matriz de la sección cónica .

Algunos autores prefieren escribir la ecuación homogénea general como

${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2}=0,}$

(o alguna variación de esto) de modo que la matriz de la sección cónica tenga la forma más simple,

${\displaystyle M=\left({\begin{matrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{matrix}}\right),}$

pero esta notación no se utiliza en este artículo. ^[c]

Si el determinante de la matriz de la sección cónica es cero, la sección cónica es degenerada.

Como multiplicar los seis coeficientes por el mismo escalar distinto de cero produce una ecuación con el mismo conjunto de ceros, se pueden considerar las cónicas, representadas por ( A , B , C , D , E , F ) como puntos en el espacio proyectivo de cinco dimensiones . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

Definición proyectiva de un círculo

Los conceptos métricos de la geometría euclidiana (conceptos relacionados con la medición de longitudes y ángulos) no pueden extenderse inmediatamente al plano proyectivo real. ^[d] Deben redefinirse (y generalizarse) en esta nueva geometría. Esto puede hacerse para planos proyectivos arbitrarios , pero para obtener el plano proyectivo real como el plano euclidiano extendido, deben tomarse algunas decisiones específicas. ^[46]

Fije una línea arbitraria en un plano proyectivo que se denominará línea absoluta . Seleccione dos puntos distintos en la línea absoluta y refiérase a ellos como puntos absolutos . Se pueden definir varios conceptos métricos con referencia a estas opciones. Por ejemplo, dada una línea que contiene los puntos A y B , el punto medio del segmento de línea AB se define como el punto C , que es el conjugado armónico proyectivo del punto de intersección de AB y la línea absoluta, con respecto a A y B.

Una cónica en un plano proyectivo que contiene los dos puntos absolutos se llama círculo . Dado que cinco puntos determinan una cónica, un círculo (que puede ser degenerado) está determinado por tres puntos. Para obtener el plano euclidiano extendido, se elige como línea absoluta la línea en el infinito del plano euclidiano y los puntos absolutos son dos puntos especiales en esa línea llamados puntos circulares en el infinito . Las líneas que contienen dos puntos con coordenadas reales no pasan por los puntos circulares en el infinito, por lo que en el plano euclidiano un círculo, bajo esta definición, está determinado por tres puntos que no son colineales . ^[47]

Se ha mencionado que los círculos en el plano euclidiano no pueden definirse por la propiedad foco-directriz. Sin embargo, si se considera la línea en el infinito como la directriz, entonces al tomar la excentricidad como e = 0 un círculo tendrá la propiedad foco-directriz, pero aún no está definido por esa propiedad. ^[48] En esta situación, se debe tener cuidado de usar correctamente la definición de excentricidad como la relación entre la distancia de un punto en el círculo al foco (longitud de un radio) y la distancia de ese punto a la directriz (esta distancia es infinita), que da el valor límite de cero.

Definición de cónica proyectiva de Steiner

Definición de la generación de Steiner de una sección cónica

Jakob Steiner propuso en 1867 un enfoque sintético (sin coordenadas) para definir las secciones cónicas en un plano proyectivo .

• Dados dos trazos de líneas en dos puntos (todas las líneas que contienen a y respectivamente) y una aplicación proyectiva pero no perspectiva de sobre . Entonces los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada. ^{[49] [50] [51] [52]} ${\displaystyle B(U),B(V)}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B(U)}$ ${\displaystyle B(V)}$

Una proyección en perspectiva de un lápiz sobre otro lápiz es una biyección (correspondencia 1-1) tal que las líneas correspondientes se intersecan en una línea fija , que se denomina eje de la perspectividad . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B(U)}$ ${\displaystyle B(V)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \pi }$

Una aplicación proyectiva es una secuencia finita de aplicaciones de perspectiva.

Como una aplicación proyectiva en un plano proyectivo sobre un cuerpo ( plano papiano ) se determina de forma única al prescribir las imágenes de tres líneas, ^[53] para la generación de Steiner de una sección cónica, además de dos puntos, solo se deben proporcionar las imágenes de 3 líneas. Estos 5 elementos (2 puntos, 3 líneas) determinan de forma única la sección cónica. ${\displaystyle U,V}$

Cónicas lineales

Por el principio de dualidad en un plano proyectivo, el dual de cada punto es una línea, y el dual de un lugar geométrico de puntos (un conjunto de puntos que satisfacen alguna condición) se llama envolvente de líneas. Usando la definición de Steiner de una cónica (a este lugar geométrico de puntos nos referiremos ahora como cónica puntual ) como el encuentro de los rayos correspondientes de dos lápices relacionados, es fácil dualizar y obtener la envolvente correspondiente que consiste en las uniones de los puntos correspondientes de dos rangos relacionados (puntos en una línea) sobre diferentes bases (las líneas en las que están los puntos). Una envolvente de este tipo se llama cónica lineal (o cónica dual).

En el plano proyectivo real, una cónica puntual tiene la propiedad de que toda recta la corta en dos puntos (que pueden coincidir o ser complejos) y cualquier conjunto de puntos con esta propiedad es una cónica puntual. De ello se sigue dualmente que una cónica lineal tiene dos de sus rectas a través de cada punto y cualquier envolvente de rectas con esta propiedad es una cónica lineal. En cada punto de una cónica puntual hay una única recta tangente, y dualmente, en cada recta de una cónica lineal hay un único punto llamado punto de contacto . Un teorema importante establece que las rectas tangentes de una cónica puntual forman una cónica lineal, y dualmente, los puntos de contacto de una cónica lineal forman una cónica puntual. ^[54]

Definición de von Staudt

Karl Georg Christian von Staudt definió una cónica como el conjunto de puntos dado por todos los puntos absolutos de una polaridad que tiene puntos absolutos. Von Staudt introdujo esta definición en Geometrie der Lage (1847) como parte de su intento de eliminar todos los conceptos métricos de la geometría proyectiva.

Una polaridad , π , de un plano proyectivo P es una biyección involutiva entre los puntos y las líneas de P que conserva la relación de incidencia . Por lo tanto, una polaridad asocia un punto Q con una línea q por π ( Q ) = q y π ( q ) = Q . Siguiendo a Gergonne , q se llama polar de Q y Q polo de q . ^[55] Un punto (o línea ) absoluto de una polaridad es uno que es incidente con su polar (polo). ^[e]

Una cónica de von Staudt en el plano proyectivo real es equivalente a una cónica de Steiner . ^[56]

Construcciones

No se puede construir ningún arco continuo de una cónica con regla y compás. Sin embargo, existen varias construcciones con regla y compás para cualquier número de puntos individuales en un arco.

Una de ellas se basa en el inverso del teorema de Pascal, es decir, si los puntos de intersección de los lados opuestos de un hexágono son colineales, entonces los seis vértices se encuentran en una cónica. Específicamente, dados cinco puntos, A , B , C , D , E y una línea que pasa por E , digamos EG , se puede construir un punto F que se encuentra en esta línea y está en la cónica determinada por los cinco puntos. Sea AB una intersección con DE en L , BC una intersección con EG en M y sea CD una intersección con LM en N . Entonces AN se encuentra con EG en el punto requerido F . ^[57] Al variar la línea que pasa por E , se pueden construir tantos puntos adicionales en la cónica como se desee.

Método del paralelogramo para construir una elipse

Otro método, basado en la construcción de Steiner y que es útil en aplicaciones de ingeniería, es el método del paralelogramo, donde se construye una cónica punto por punto mediante la conexión de ciertos puntos igualmente espaciados en una línea horizontal y una línea vertical. ^[58] En concreto, para construir la elipse con ecuación ⁠x2^​/un ²⁠ + ⁠y ²/el segundo ²⁠ = 1 , primero se construye el rectángulo ABCD con vértices A ( a , 0), B ( a , 2 b ), C (− a , 2 b ) y D (− a , 0) . Se divide el lado BC en n segmentos iguales y se usa la proyección paralela, respecto de la diagonal AC , para formar segmentos iguales en el lado AB (las longitudes de estos segmentos serán ⁠b/a⁠ veces la longitud de los segmentos en BC ). En el lado BC etiqueta los puntos finales izquierdos de los segmentos con A ₁ a A _n comenzando en B y yendo hacia C . En el lado AB etiqueta los puntos finales superiores D ₁ a D _n comenzando en A y yendo hacia B . Los puntos de intersección, AA _i ∩ DD _i para 1 ≤ i ≤ n serán puntos de la elipse entre A y P (0, b ) . El etiquetado asocia las líneas del lápiz a través de A con las líneas del lápiz a través de D proyectivamente pero no perspectivamente. La cónica buscada se obtiene por esta construcción ya que tres puntos A , D y P y dos tangentes (las líneas verticales en A y D ) determinan de forma única la cónica. Si se utiliza otro diámetro (y su diámetro conjugado) en lugar de los ejes mayor y menor de la elipse, se utiliza un paralelogramo que no es un rectángulo en la construcción, dando el nombre del método. La asociación de las líneas de los lápices se puede extender para obtener otros puntos de la elipse. Las construcciones para hipérbolas ^[59] y parábolas ^[60] son ​​similares.

Otro método general utiliza la propiedad de polaridad para construir la envolvente tangente de una cónica (una cónica lineal). ^[61]

En el plano proyectivo complejo

En el plano complejo C ² , las elipses y las hipérbolas no son distintas: se puede considerar una hipérbola como una elipse con una longitud de eje imaginaria. Por ejemplo, la elipse se convierte en una hipérbola bajo la sustitución geométricamente una rotación compleja, produciendo . Por lo tanto, hay una clasificación de dos vías: elipse/hipérbola y parábola. Extendiendo las curvas al plano proyectivo complejo, esto corresponde a la intersección de la línea en el infinito en 2 puntos distintos (correspondientes a dos asíntotas) o en 1 punto doble (correspondiente al eje de una parábola); por lo tanto, la hipérbola real es una imagen real más sugerente para la elipse/hipérbola compleja, ya que también tiene 2 intersecciones (reales) con la línea en el infinito. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle y=iw,}$ ${\displaystyle x^{2}-w^{2}=1}$

Una unificación adicional ocurre en el plano proyectivo complejo CP ² : las cónicas no degeneradas no se pueden distinguir entre sí, ya que cualquiera puede ser llevada a cualquier otra mediante una transformación lineal proyectiva .

Se puede demostrar que en CP ² , dos secciones cónicas tienen cuatro puntos en común (si se tiene en cuenta la multiplicidad ), por lo que hay entre 1 y 4 puntos de intersección . Las posibilidades de intersección son: cuatro puntos distintos, dos puntos singulares y un punto doble, dos puntos dobles, un punto singular y uno con multiplicidad 3, un punto con multiplicidad 4. Si cualquier punto de intersección tiene multiplicidad > 1, se dice que las dos curvas son tangentes . Si hay un punto de intersección de multiplicidad al menos 3, se dice que las dos curvas son osculantes . Si solo hay un punto de intersección, que tiene multiplicidad 4, se dice que las dos curvas son superosculantes . ^[62]

Además, cada línea recta interseca cada sección cónica dos veces. Si el punto de intersección es doble, la línea es una línea tangente . Al intersecar con la línea en el infinito, cada sección cónica tiene dos puntos en el infinito. Si estos puntos son reales, la curva es una hipérbola ; si son conjugados imaginarios, es una elipse ; si solo hay un punto doble, es una parábola . Si los puntos en el infinito son los puntos cíclicos [1: i : 0] y [1: – i : 0] , la sección cónica es un círculo . Si los coeficientes de una sección cónica son reales, los puntos en el infinito son reales o conjugados complejos .

Casos degenerados

Lo que debe considerarse como un caso degenerado de una cónica depende de la definición que se utilice y de la configuración geométrica de la sección cónica. Hay algunos autores que definen una cónica como una cuádrica no degenerada bidimensional. Con esta terminología no existen cónicas degeneradas (sólo cuádricas degeneradas), pero utilizaremos la terminología más tradicional y evitaremos esa definición.

En el plano euclidiano, utilizando la definición geométrica, surge un caso degenerado cuando el plano de corte pasa por el vértice del cono. La cónica degenerada es: un punto , cuando el plano interseca al cono solo en el vértice; una línea recta , cuando el plano es tangente al cono (contiene exactamente una generatriz del cono); o un par de líneas que se intersecan (dos generatrices del cono). ^[63] Estas corresponden respectivamente a las formas límite de una elipse, una parábola y una hipérbola.

Si una cónica en el plano euclidiano se define por los ceros de una ecuación cuadrática (es decir, como una cuádrica), entonces las cónicas degeneradas son: el conjunto vacío , un punto o un par de líneas que pueden ser paralelas, intersecarse en un punto o coincidir. El caso del conjunto vacío puede corresponder a un par de líneas paralelas conjugadas complejas como con la ecuación o a una elipse imaginaria , como con la ecuación Una elipse imaginaria no satisface la definición general de una degeneración y, por lo tanto, normalmente no se considera degenerada. ^[64] El caso de dos líneas ocurre cuando la expresión cuadrática se factoriza en dos factores lineales, los ceros de cada uno dan una línea. En el caso de que los factores sean los mismos, las líneas correspondientes coinciden y nos referimos a la línea como una línea doble (una línea con multiplicidad 2) y este es el caso anterior de un plano de corte tangente. ${\displaystyle x^{2}+1=0,}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0.}$

En el plano proyectivo real, dado que las líneas paralelas se encuentran en un punto de la línea en el infinito, el caso de las líneas paralelas del plano euclidiano puede verse como líneas que se intersecan. Sin embargo, como el punto de intersección es el vértice del cono, el cono mismo degenera en un cilindro , es decir, con el vértice en el infinito. Otras secciones en este caso se denominan secciones cilíndricas . ^[65] Las secciones cilíndricas no degeneradas son elipses (o círculos).

Desde la perspectiva del plano proyectivo complejo, los casos degenerados de una ecuación cuadrática real (es decir, la ecuación cuadrática tiene coeficientes reales) pueden considerarse todos como un par de rectas, posiblemente coincidentes. El conjunto vacío puede ser la recta en el infinito considerada como una recta doble, un punto (real) es la intersección de dos rectas conjugadas complejas y los demás casos como los mencionados anteriormente.

Para distinguir los casos degenerados de los casos no degenerados (incluido el conjunto vacío con este último) usando notación matricial, sea β el determinante de la matriz 3 × 3 de la sección cónica , es decir, β = ( AC − ⁠B2^​/4⁠ ) ​​F + ⁠CAMA − CD ² − AE ²/4⁠ ; y sea α = B ² − 4 AC el discriminante. Entonces la sección cónica es no degenerada si y solo si β ≠ 0 . Si β = 0 tenemos un punto cuando α < 0 , dos rectas paralelas (posiblemente coincidentes) cuando α = 0 , o dos rectas que se intersecan cuando α > 0 . ^[66]

Lápiz de cónicas

Una cónica (no degenerada) está completamente determinada por cinco puntos en posición general (no hay tres colineales ) en un plano y el sistema de cónicas que pasa por un conjunto fijo de cuatro puntos (de nuevo en un plano y no hay tres colineales) se llama lápiz de cónicas . ^[67] Los cuatro puntos comunes se denominan puntos base del lápiz. Por cualquier punto que no sea un punto base, pasa una única cónica del lápiz. Este concepto generaliza un lápiz de círculos . ^[68]

Intersección de dos cónicas

Las soluciones de un sistema de dos ecuaciones de segundo grado con dos variables pueden considerarse como las coordenadas de los puntos de intersección de dos secciones cónicas genéricas. En particular, dos cónicas pueden tener ninguno, dos o cuatro puntos de intersección posiblemente coincidentes. Un método eficiente para localizar estas soluciones aprovecha la representación matricial homogénea de las secciones cónicas , es decir, una matriz simétrica de 3 × 3 que depende de seis parámetros.

El procedimiento para localizar los puntos de intersección sigue estos pasos, donde las cónicas se representan mediante matrices: ^[69]

• dadas las dos cónicas y , considere el lápiz de cónicas dado por su combinación lineal ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle \lambda C_{1}+\mu C_{2}.}$
• Identificar los parámetros homogéneos que corresponden a la cónica degenerada del lápiz. Esto se puede hacer imponiendo la condición de que y despejando y . Estas resultan ser las soluciones de una ecuación de tercer grado. ${\displaystyle [\lambda :\mu ]}$ ${\displaystyle \det(\lambda C_{1}+\mu C_{2})=0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$
• Dada la cónica degenerada , identifica las dos líneas, posiblemente coincidentes, que la constituyen. ${\displaystyle C_{0}}$
• intersecar cada línea identificada con cualquiera de las dos cónicas originales.
• Los puntos de intersección representarán las soluciones del sistema de ecuaciones inicial.

Generalizaciones

Las cónicas pueden definirse sobre otros cuerpos (es decir, en otras geometrías pappianas ). Sin embargo, se debe tener cuidado cuando el cuerpo tiene característica 2, ya que algunas fórmulas no se pueden utilizar. Por ejemplo, las representaciones matriciales utilizadas anteriormente requieren división por 2.

Una generalización de una cónica no degenerada en un plano proyectivo es un óvalo . Un óvalo es un conjunto de puntos que tiene las siguientes propiedades, que son propias de las cónicas: 1) cualquier línea interseca a un óvalo en ninguno, uno o dos puntos, 2) en cualquier punto del óvalo existe una única línea tangente.

Generalizar las propiedades de foco de las cónicas al caso donde hay más de dos focos produce conjuntos llamados cónicas generalizadas .

La intersección de un cono elíptico con una esfera es una cónica esférica , que comparte muchas propiedades con las cónicas planas.

En otras áreas de las matemáticas

La clasificación en elíptica, parabólica e hiperbólica es muy común en matemáticas y suele dividir un campo en subcampos claramente diferenciados. La clasificación surge principalmente debido a la presencia de una forma cuadrática (en dos variables esto corresponde al discriminante asociado ), pero también puede corresponder a la excentricidad.

Clasificaciones de forma cuadrática:

Formas cuadráticas

Las formas cuadráticas sobre los reales se clasifican por la ley de inercia de Sylvester , es decir, por su índice positivo, índice cero e índice negativo: una forma cuadrática en variables se puede convertir a una forma diagonal , como donde el número de coeficientes +1, es el índice positivo, el número de coeficientes −1, es el índice negativo y las variables restantes son el índice cero, por lo que en dos variables las formas cuadráticas distintas de cero se clasifican como: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\cdots -x_{k+\ell }^{2},}$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle \ell ,}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle k+\ell +m=n.}$

• ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$— definida positiva (también se incluye la negativa), correspondiente a elipses,
• ${\displaystyle x^{2}}$— degeneradas, correspondientes a parábolas, y
• ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$— indefinido, correspondiente a las hipérbolas.

En dos variables, las formas cuadráticas se clasifican por discriminante, de manera análoga a las cónicas, pero en dimensiones superiores la clasificación más útil es como definida (todas positivas o todas negativas), degenerada (algunos ceros) o indefinida (mezcla de positivas y negativas pero sin ceros). Esta clasificación es la base de muchas de las que siguen.

Curvatura

La curvatura gaussiana de una superficie describe la geometría infinitesimal, y puede ser en cada punto positiva – geometría elíptica , cero – geometría euclidiana (plana, parábola), o negativa – geometría hiperbólica ; infinitesimalmente, a segundo orden la superficie se parece al gráfico de (o 0), o . De hecho, por el teorema de uniformización cada superficie puede considerarse globalmente (en cada punto) positivamente curvada, plana o negativamente curvada. En dimensiones superiores, el tensor de curvatura de Riemann es un objeto más complicado, pero las variedades con curvatura seccional constante son objetos de estudio interesantes y tienen propiedades sorprendentemente diferentes, como se analiza en curvatura seccional . ${\displaystyle x^{2}+y^{2},}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$

Ecuaciones parciales en derivadas de segundo orden

Las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) de segundo orden se clasifican en cada punto como elípticas, parabólicas o hiperbólicas, según que sus términos de segundo orden correspondan a una forma cuadrática elíptica, parabólica o hiperbólica. El comportamiento y la teoría de estos diferentes tipos de EDP son sorprendentemente diferentes: ejemplos representativos son que la ecuación de Poisson es elíptica, la ecuación del calor es parabólica y la ecuación de onda es hiperbólica.

Las clasificaciones de excentricidad incluyen:

Transformaciones de Möbius

Las transformaciones reales de Möbius (elementos de PSL ₂ ( R ) o su cubierta doble, SL ₂ ( R ) ) se clasifican como elípticas, parabólicas o hiperbólicas según sea su semitraza o reflejando la clasificación por excentricidad. ${\displaystyle 0\leq |\operatorname {tr} |/2<1,}$ ${\displaystyle |\operatorname {tr} |/2=1,}$ ${\displaystyle |\operatorname {tr} |/2>1,}$

Relación entre varianza y media

La razón entre varianza y media clasifica varias familias importantes de distribuciones de probabilidad discretas : la distribución constante como circular (excentricidad 0), las distribuciones binomiales como elípticas, las distribuciones de Poisson como parabólicas y las distribuciones binomiales negativas como hiperbólicas. Esto se explica en los cumulantes de algunas distribuciones de probabilidad discretas .

En este SVG interactivo , muévase hacia la izquierda y hacia la derecha sobre la imagen SVG para rotar el cono doble.

Véase también

• Secciones cónicas confocales
• Circuncónico e incónico
• Círculo de directores
• Sistema de coordenadas elípticas
• Conjunto equidistante
• Coordenadas parabólicas
• Función cuadrática
• Cónica esférica

Notas

1. El conjunto vacío se incluye como cónica degenerada, ya que puede surgir como solución de esta ecuación.
2. Según Plutarco , esta solución fue rechazada por Platón con el argumento de que no podía lograrse utilizando únicamente regla y compás, sin embargo esta interpretación de la afirmación de Plutarco ha sido objeto de críticas. Boyer 2004, p.14, nota al pie 14.
3. Esta forma de la ecuación no se generaliza a campos de característica dos.
4. Considere encontrar el punto medio de un segmento de línea con un punto final en la línea en el infinito.
5. Coxeter y varios otros autores utilizan el término "autoconjugado" en lugar de "absoluto".

Referencias

1. Eves 1963, pág. 319
2. Brannan, Esplen y Gray 1999, pág. 13
3. Cohen, D., Precálculo: con trigonometría del círculo unitario ( Stamford : Thomson Brooks/Cole , 2006), pág. 844.
4. Thomas y Finney 1979, pág. 434
5. Brannan, Esplen y Gray 1999, pág. 19; Kendig 2005, págs.86, 141
6. Brannan, Esplen y Gray 1999, págs. 13-16
7. Brannan, Esplen y Gray 1999, págs. 11-16
8. Protter y Morrey 1970, págs. 314–328, 585–589
9. Protter y Morrey 1970, págs. 290–314
10. Wilson y Tracey 1925, pág. 130
11. Protter y Morrey 1970, pág. 316
12. Brannan, Esplen y Gray 1999, pág. 30
13. Fanchi, John R. (2006), Actualización de matemáticas para científicos e ingenieros, John Wiley and Sons, págs. 44-45, ISBN 0-471-75715-2, Sección 3.2, página 45
14. Protter y Morrey 1970, pág. 326
15. Wilson y Tracey 1925, pág. 153
16. Pettofrezzo, Anthony, Matrices y transformaciones , Dover Publ., 1966, pág. 110.
17. Spain, B., Analytical Conics (Mineola, NY: Dover, 2007). Publicado originalmente en 1957 por Pergamon .
18. Ayoub, Ayoub B., "La excentricidad de una sección cónica", The College Mathematics Journal 34(2), marzo de 2003, 116–121.
19. Ayoub, AB, "Las secciones cónicas centrales revisitadas", Mathematics Magazine 66(5), 1993, 322–325.
20. Brannan, Esplen y Gray 1999, pág. 17
21. Whitworth, William Allen . Coordenadas trilineales y otros métodos de geometría analítica moderna de dos dimensiones , Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866), pág. 203.
22. Pamfilos, París (2014). "Una galería de cónicas por cinco elementos" (PDF) . Forum Geometricorum . 14 : 295–348.
23. Brannan, Esplen y Gray 1999, pág. 28
24. Downs 2003, págs. 36 y siguientes.
25. Boyer 2004, págs. 17-18
26. Boyer 2004, pág. 18
27. Katz 1998, pág. 117
28. Heath, TL, Los trece libros de los elementos de Euclides , vol. I, Dover, 1956, pág. 16
29. Eves 1963, pág. 28
30. Apolonio de Perge, Tratado sobre secciones cónicas, editado por TL Heath (Cambridge: Cambridge University Press, 2013).
31. Eves 1963, pág. 30.
32. Boyer 2004, pág. 36.
33. Turner, Howard R. (1997). La ciencia en el Islam medieval: una introducción ilustrada. University of Texas Press . pág. 53. ISBN 0-292-78149-0.
34. Boyer, CB y Merzbach, UC , Una historia de las matemáticas ( Hoboken : John Wiley & Sons, Inc. , 1968), pág. 219.
35. Van der Waerden, BL , Geometría y álgebra en civilizaciones antiguas ( Berlín / Heidelberg : Springer Verlag , 1983), p. 73.
36. Sidoli, Nathan; Brummelen, Glen Van (30 de octubre de 2013). Desde Alejandría a través de Bagdad: encuestas y estudios sobre las ciencias matemáticas de la Grecia antigua y la época islámica medieval en honor a J. L. Berggren . Springer Science & Business Media. pág. 110. ISBN 978-3-642-36736-6.
37. Waerden, Bartel L. van der (29 de junio de 2013). Una historia del álgebra: desde al-Khwārizmī hasta Emmy Noether . Springer Science & Business Media. pág. 29. ISBN 978-3-642-51599-6.
38. Stillwell, John (2010). Matemáticas y su historia (3.ª ed.). Nueva York: Springer. p. 30. ISBN 978-1-4419-6052-8.
39. "Apolonio de Perge, Cónicas, libros uno a siete" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 17 de mayo de 2013. Consultado el 10 de junio de 2011 .
40. Katz 1998, pág. 126.
41. Boyer 2004, pág. 110.
42. Boyer 2004, pág. 114.
43. Brannan, Esplen y Gray 1999, pág. 27
44. Artzy 2008, pág. 158, Tesis 3-5.1
45. Artzy 2008, pág. 159
46. Faulkner 1952, pág. 71
47. Faulkner 1952, pág. 72
48. Eves 1963, pág. 320
49. Coxeter 1993, pág. 80
50. Hartmann, pág. 38
51. Merserve 1983, pág. 65
52. Vorlesungen über synthetische Geometrie de Jacob Steiner , BG Teubner, Leipzig 1867 (de Google Books: (alemán) La parte II sigue a la parte I) Parte II, pág. 96
53. Hartmann, pág. 19
54. Faulkner 1952, págs. 48-49.
55. Coxeter 1964, pág. 60
56. Coxeter 1964, pág. 80
57. Faulkner 1952, págs. 52-53
58. Downs 2003, pág. 5
59. Downs 2003, pág. 14
60. Downs 2003, pág. 19
61. Akopyan y Zaslavsky 2007, pág. 70
62. Wilczynski, EJ (1916), "Algunas observaciones sobre el desarrollo histórico y las perspectivas futuras de la geometría diferencial de curvas planas", Bull. Amer. Math. Soc. , 22 (7): 317–329, doi : 10.1090/s0002-9904-1916-02785-6.
63. Brannan, Esplen y Gray 1999, pág. 6
64. Korn, GA, y Korn, TM , Manual matemático para científicos e ingenieros: definiciones, teoremas y fórmulas para referencia y revisión ( Mineola, NY : Dover Publications , 1961), pág. 42.
65. "MathWorld: Sección cilíndrica".
66. Lawrence, J. Dennis (1972), Un catálogo de curvas planas especiales , Dover, pág. 63, ISBN 0-486-60288-5
67. Faulkner 1952, pág. 64.
68. Berger, M. , Geometría revelada: una escalera de Jacob hacia la geometría superior moderna (Berlín/Heidelberg: Springer, 2010), pág. 127.
69. Richter-Gebert 2011, pág. 196

Bibliografía

• Akopyan, AV; Zaslavsky, AA (2007). Geometría de las cónicas . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4323-9.
• Artzy, Rafael (2008) [1965], Geometría lineal , Dover, ISBN 978-0-486-46627-9
• Boyer, Carl B. (2004) [1956], Historia de la geometría analítica, Dover, ISBN 978-0-486-43832-0
• Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), Geometría, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6
• Coxeter, HSM (1964), Geometría proyectiva, Blaisdell, ISBN 9780387406237
• Coxeter, HSM (1993), El plano proyectivo real , Springer Science & Business Media
• Downs, JW (2003) [1993], Secciones cónicas prácticas: Las propiedades geométricas de elipses, parábolas e hipérbolas, Dover, ISBN 0-486-42876-1
• Eves, Howard (1963), Un estudio de la geometría (volumen uno) , Boston: Allyn y Bacon
• Glaeser, Georg; Stachel, Hellmuth; Odehnal, Boris (2016), El universo de las cónicas: desde los antiguos griegos hasta los desarrollos del siglo XXI , Berlín: Springer
• Hartmann, Erich, Geometrías circulares planas: una introducción a los planos de Moebius, Laguerre y Minkowski (PDF) , consultado el 20 de septiembre de 2014(PDF; 891 kB).
• Katz, Victor J. (1998), Una historia de las matemáticas / Una introducción (2.ª ed.), Addison Wesley Longman, ISBN 978-0-321-01618-8
• Kendig, Keith (2005), Cónicas , Asociación Matemática de América , ISBN 978-0-88385-335-1
• Faulkner, TE (1952), Geometría proyectiva (2.ª ed.), Edimburgo: Oliver y Boyd, ISBN 9780486154893
• Merserve, Bruce E. (1983) [1959], Conceptos fundamentales de geometría, Dover, ISBN 0-486-63415-9
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), Cálculo universitario con geometría analítica (2.ª ed.), Reading: Addison-Wesley , LCCN  76087042
• Richter-Gebert, Jürgen (2011). Perspectivas sobre geometría proyectiva: un recorrido guiado por la geometría real y compleja . Springer. ISBN 9783642172854.
• Samuel, Pierre (1988), Geometría proyectiva , Textos de pregrado en matemáticas (Lecturas en matemáticas), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-96752-4
• Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1979), Cálculo y geometría analítica (quinta edición), Addison-Wesley, pág. 434, ISBN 0-201-07540-7
• Wilson, WA; Tracey, JI (1925), Geometría analítica (edición revisada), DC Heath and Company

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Sección cónica". MathWorld .
• Aparición de las cónicas. Cónicas en la naturaleza y en otros lugares.