Sistema de coordenadas elípticas

Sistema de coordenadas 2D cuyas líneas de coordenadas son elipses confocales e hipérbolas

Sistema de coordenadas elípticas

En geometría , el sistema de coordenadas elípticas es un sistema de coordenadas ortogonales bidimensionales en el que las líneas de coordenadas son elipses confocales e hipérbolas . Los dos focos y se toman generalmente como fijos en y , respectivamente, en el eje del sistema de coordenadas cartesianas . ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle +a}$ ${\displaystyle x}$

Definición básica

La definición más común de coordenadas elípticas es ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \\y&=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \end{aligned}}}$

donde es un número real no negativo y ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu \in [0,2\pi ].}$

En el plano complejo , una relación equivalente es

${\displaystyle x+iy=a\ \cosh(\mu +i\nu )}$

Estas definiciones corresponden a elipses e hipérbolas. La identidad trigonométrica

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

muestra que las curvas de forma constante forman elipses , mientras que la identidad trigonométrica hiperbólica ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

muestra que las curvas de forma constante forman hipérbolas . ${\displaystyle \nu }$

Factores de escala

En un sistema de coordenadas ortogonales, las longitudes de los vectores base se conocen como factores de escala. Los factores de escala para las coordenadas elípticas son iguales a ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}=a{\sqrt {\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu }}.}$

Utilizando las identidades de doble argumento para funciones hiperbólicas y funciones trigonométricas , los factores de escala se pueden expresar de manera equivalente como

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )}}.}$

En consecuencia, un elemento infinitesimal de área es igual a

${\displaystyle {\begin{aligned}dA&=h_{\mu }h_{\nu }d\mu d\nu \\&=a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu \\&=a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)d\mu d\nu \\&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)d\mu d\nu \end{aligned}}}$

y el laplaciano lee

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi &={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\\&={\frac {2}{a^{2}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Otros operadores diferenciales como y pueden expresarse en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$

Definición alternativa

A veces se utiliza un conjunto alternativo y geométricamente intuitivo de coordenadas elípticas , donde y . Por lo tanto, las curvas de constante son elipses, mientras que las curvas de constante son hipérbolas. La coordenada debe pertenecer al intervalo [-1, 1], mientras que la coordenada debe ser mayor o igual a uno. ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ ${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$ ${\displaystyle \tau =\cos \nu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$

Las coordenadas tienen una relación simple con las distancias a los focos y . Para cualquier punto del plano, la suma de sus distancias a los focos es igual a , mientras que su diferencia es igual a . Por lo tanto, la distancia a es , mientras que la distancia a es . (Recuerde que y están ubicados en y , respectivamente). ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$ ${\displaystyle 2a\sigma }$ ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$ ${\displaystyle 2a\tau }$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle x=-a}$ ${\displaystyle x=+a}$

Un inconveniente de estas coordenadas es que los puntos con coordenadas cartesianas (x,y) y (x,-y) tienen las mismas coordenadas , por lo que la conversión a coordenadas cartesianas no es una función, sino una multifunción . ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

${\displaystyle x=a\left.\sigma \right.\tau }$

${\displaystyle y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right).}$

Factores de escala alternativos

Los factores de escala para las coordenadas elípticas alternativas son ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.}$

Por lo tanto, el elemento de área infinitesimal se convierte en

${\displaystyle dA=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau }$

y el laplaciano es igual

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].}$

Otros operadores diferenciales como y pueden expresarse en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

Extrapolación a dimensiones superiores

Las coordenadas elípticas forman la base de varios conjuntos de coordenadas ortogonales tridimensionales :

1. Las coordenadas cilíndricas elípticas se producen proyectando en la dirección -. ${\displaystyle z}$
2. Las coordenadas esferoidales proladas se producen rotando las coordenadas elípticas alrededor del eje , es decir, el eje que conecta los focos, mientras que las coordenadas esferoidales oblatas se producen rotando las coordenadas elípticas alrededor del eje , es decir, el eje que separa los focos. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
3. Las coordenadas elipsoidales son una extensión formal de las coordenadas elípticas en tres dimensiones, que se basa en elipsoides confocales, hiperboloides de una y dos láminas.

Tenga en cuenta que el sistema de coordenadas geográficas (elipsoidal) es un concepto diferente al anterior.

Aplicaciones

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas elípticas se encuentran en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales , por ejemplo, la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz , para las cuales las coordenadas elípticas son una descripción natural de un sistema, permitiendo así una separación de variables en las ecuaciones diferenciales parciales . Algunos ejemplos tradicionales son la resolución de sistemas como los electrones que orbitan alrededor de una molécula o las órbitas planetarias que tienen forma elíptica.

Las propiedades geométricas de las coordenadas elípticas también pueden ser útiles. Un ejemplo típico podría implicar una integración sobre todos los pares de vectores y que sumen un vector fijo , donde el integrando fuera una función de las longitudes de los vectores y . (En tal caso, uno se posicionaría entre los dos focos y alineado con el eje , es decir, ). Para ser más concretos, , y podrían representar los momentos de una partícula y sus productos de descomposición, respectivamente, y el integrando podría implicar las energías cinéticas de los productos (que son proporcionales a las longitudes al cuadrado de los momentos). ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {p} +\mathbf {q} }$ ${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|}$ ${\displaystyle \left|\mathbf {q} \right|}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =2a\mathbf {\hat {x}} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$

Véase también

• Coordenadas curvilíneas
• Coordenadas elipsoidales
• Coordenadas generalizadas
• Coordenadas bipolares

Referencias

• "Coordenadas elípticas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Korn GA y Korn TM . (1961) Manual matemático para científicos e ingenieros , McGraw-Hill.
• Weisstein, Eric W. "Coordenadas cilíndricas elípticas". De MathWorld, un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/EllipticCylindricalCoordinates.html