El término "bipolar" se utiliza en ocasiones para describir otras curvas que tienen dos puntos singulares (focos), como elipses , hipérbolas y óvalos de Cassini . Sin embargo, el término coordenadas bipolares está reservado para las coordenadas que se describen aquí y nunca se utiliza para sistemas asociados con esas otras curvas, como las coordenadas elípticas .
Interpretación geométrica de las coordenadas bipolares. El ángulo σ está formado por los dos focos y el punto P , mientras que τ es el logaritmo de la relación de distancias a los focos. Los círculos correspondientes de constante σ y τ se muestran en rojo y azul, respectivamente, y se encuentran en ángulo recto (cuadro magenta); son ortogonales.
Definición
El sistema se basa en dos focos F 1 y F 2 . Con referencia a la figura de la derecha, la coordenada σ de un punto P es igual al ángulo F 1 P F 2 , y la coordenada τ es igual al logaritmo natural de la relación de las distancias d 1 y d 2 :
Si, en el sistema cartesiano, se considera que los focos están en (− a , 0) y ( a , 0), las coordenadas del punto P son
La coordenada τ varía desde (para puntos cercanos a F 1 ) hasta (para puntos cercanos a F 2 ). La coordenada σ solo se define en módulo 2π , y es mejor considerarla en un rango de -π a π , tomándola como el negativo del ángulo agudo F 1 P F 2 si P está en el semiplano inferior.
Prueba de que el sistema de coordenadas es ortogonal
Las ecuaciones para x e y se pueden combinar para dar
[2] [3]
o
Esta ecuación muestra que σ y τ son las partes real e imaginaria de una función analítica de x+iy (con puntos de ramificación logarítmica en los focos), lo que a su vez prueba (apelando a la teoría general del mapeo conforme ) (la teoría de Cauchy- Ecuaciones de Riemann ) que estas curvas particulares de σ y τ se cruzan en ángulos rectos, es decir, es un sistema de coordenadas ortogonal .
Curvas de constante y σ {\displaystyle \sigma } τ {\displaystyle \tau }
Las curvas de constante σ corresponden a círculos no concéntricos
que se cruzan en los dos focos. Los centros de los círculos de σ constante se encuentran en el eje y con radio . Los círculos de σ positivo están centrados sobre el eje x , mientras que los de σ negativo se encuentran debajo del eje. Como la magnitud | σ |- π /2 disminuye, el radio de los círculos disminuye y el centro se acerca al origen (0, 0), que se alcanza cuando | s | = π /2. (Según la geometría elemental, todos los triángulos de un círculo con 2 vértices en extremos opuestos de un diámetro son triángulos rectángulos).
Las curvas de constantes son círculos que no se cruzan y de diferentes radios.
que rodean los focos pero nuevamente no son concéntricos. Los centros de los círculos constantes τ se encuentran en el eje x con radio . Los círculos de τ positivo se encuentran en el lado derecho del plano ( x > 0), mientras que los círculos de τ negativo se encuentran en el lado izquierdo del plano ( x < 0). La curva τ = 0 corresponde al eje y ( x = 0). A medida que aumenta la magnitud de τ , el radio de los círculos disminuye y sus centros se acercan a los focos.
Relaciones inversas
El paso de las coordenadas cartesianas a las bipolares se puede realizar mediante las siguientes fórmulas:
y
Las coordenadas también tienen las identidades:
y
que se puede derivar resolviendo la ecuación. (1) y (2) para y , respectivamente.
Factores de escala
Para obtener los factores de escala para coordenadas bipolares, tomamos el diferencial de la ecuación para , lo que da
Multiplicando esta ecuación con su conjugado complejo se obtiene
Empleando las identidades trigonométricas para productos de senos y cosenos, obtenemos
de lo cual se deduce que
Por tanto, los factores de escala para σ y τ son iguales y están dados por
Muchos resultados se siguen ahora en rápida sucesión de las fórmulas generales para coordenadas ortogonales . Por tanto, el elemento de área infinitesimal es igual
Las expresiones para , y se pueden expresar sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales .
Demostración interactiva con desmos https://www.desmos.com/calculator/nbvnucu4o5
Referencias
^ Eric W. Weisstein, Enciclopedia concisa de matemáticas CD-ROM , Coordenadas bipolares , edición de CD-ROM 1.0, 20 de mayo de 1999 "Coordenadas bipolares". Archivado desde el original el 12 de diciembre de 2007 . Consultado el 9 de diciembre de 2006 .
^ Polianina, Andrei Dmitrievich (2002). Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos. Prensa CRC. pag. 476.ISBN1-58488-299-9.
^ Happel, Juan; Brenner, Howard (1983). Hidrodinámica de bajo número de Reynolds: con aplicaciones especiales en medios particulados. Mecánica de fluidos y procesos de transporte. vol. 1. Saltador. pag. 497.ISBN978-90-247-2877-0.