Sistema de coordenadas tridimensional
Las coordenadas elipsoidales son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales que generaliza el sistema de coordenadas elípticas bidimensionales . A diferencia de la mayoría de los sistemas de coordenadas ortogonales tridimensionales que presentan superficies de coordenadas cuadráticas , el sistema de coordenadas elipsoidales se basa en cuadráticas confocales .
Fórmulas básicas
Las coordenadas cartesianas se pueden generar a partir de las coordenadas elipsoidales mediante las ecuaciones
donde se aplican los siguientes límites a las coordenadas
En consecuencia, las superficies de constante son elipsoides.
mientras que las superficies de constante son hiperboloides de una hoja
porque el último término en el lado izquierdo es negativo y las superficies de constante son hiperboloides de dos láminas
porque los dos últimos términos en el lado izquierdo son negativos.
El sistema ortogonal de cuádricas utilizado para las coordenadas elipsoidales son las cuádricas confocales .
Factores de escala y operadores diferenciales
Para abreviar, en las ecuaciones siguientes, introducimos una función
donde puede representar cualquiera de las tres variables . Con esta función, los factores de escala se pueden escribir
Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal es igual a
y el laplaciano se define por
Otros operadores diferenciales como y pueden expresarse en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales .
Parametrización angular
Existe una parametrización alternativa que sigue de cerca la parametrización angular de las coordenadas esféricas : [1]
Aquí, parametriza los elipsoides concéntricos alrededor del origen y y son los ángulos polares y azimutales habituales de coordenadas esféricas, respectivamente. El elemento de volumen correspondiente es
Véase también
Referencias
- ^ "Momento cuadrupolo elipsoide".
Bibliografía
- Morse PM, Feshbach H (1953). Métodos de física teórica, parte I. Nueva York: McGraw-Hill. pág. 663.
- Zwillinger D (1992). Manual de integración . Boston, MA: Jones y Bartlett. pág. 114. ISBN. 0-86720-293-9.
- Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nueva York: Springer Verlag. págs. 101-102. LCCN 67025285.
- Korn GA, Korn TM (1961). Manual matemático para científicos e ingenieros . Nueva York: McGraw-Hill. pág. 176. LCCN 59014456.
- Margenau H, Murphy GM (1956). Matemáticas de la física y la química . Nueva York: D. van Nostrand. págs. 178-180. LCCN 55010911.
- Moon PH, Spencer DE (1988). "Coordenadas elipsoidales (η, θ, λ)". Manual de teoría de campos, incluidos sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (2.ª y 3.ª edición corregida). Nueva York: Springer Verlag. págs. 40–44 (tabla 1.10). ISBN 0-387-02732-7.
Convención inusual
- Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP (1984). Electrodinámica de medios continuos (volumen 8 del Curso de física teórica ) (2.ª ed.). Nueva York: Pergamon Press. págs. 19-29. ISBN 978-0-7506-2634-7. Utiliza coordenadas (ξ, η, ζ) que tienen las unidades de distancia al cuadrado.
Enlaces externos
- Descripción de las coordenadas elipsoidales confocales en MathWorld