Duplicando el cubo

Problema de construcción geométrica antigua

Un cubo unitario (lado = 1) y un cubo con el doble de volumen (lado = = 1,2599210498948732... OEIS : A002580 ). ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

La duplicación del cubo , también conocida como el problema de Delos , es un antiguo problema geométrico ^{[a] [1] : 9.} Dada la arista de un cubo , el problema requiere la construcción de la arista de un segundo cubo cuyo volumen es el doble del primero. Al igual que con los problemas relacionados de cuadratura del círculo y trisección del ángulo , ahora se sabe que la duplicación del cubo es imposible de construir utilizando solo un compás y una regla , pero incluso en la antigüedad se conocían soluciones que empleaban otros métodos.

Según Eutocio, Arquitas fue el primero en resolver el problema de duplicar el cubo (el llamado problema de Delos) con una ingeniosa construcción geométrica. ^{[2] [3] [4]} La inexistencia de una solución con regla y compás fue finalmente demostrada por Pierre Wantzel en 1837.

En términos algebraicos, duplicar un cubo unitario requiere la construcción de un segmento de línea de longitud x , donde x ³ = 2 ; en otras palabras, x = ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ , la raíz cúbica de dos . Esto se debe a que un cubo de longitud de lado 1 tiene un volumen de 1 ³ = 1 , y un cubo del doble de ese volumen (un volumen de 2) tiene una longitud de lado de la raíz cúbica de 2. La imposibilidad de duplicar el cubo es, por lo tanto, equivalente a la afirmación de que no es un número construible . Esto es una consecuencia del hecho de que las coordenadas de un nuevo punto construido por un compás y una regla son raíces de polinomios sobre el campo generado por las coordenadas de puntos anteriores, de grado no mayor que un cuadrático . Esto implica que el grado de la extensión del campo generado por un punto construible debe ser una potencia de 2. La extensión del campo generada por , sin embargo, es de grado 3. ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

Prueba de imposibilidad

Comenzamos con el segmento de línea unitario definido por los puntos (0,0) y (1,0) en el plano . Se nos pide que construyamos un segmento de línea definido por dos puntos separados por una distancia de . Se demuestra fácilmente que las construcciones con regla y compás permitirían que dicho segmento de línea se moviera libremente para tocar el origen , paralelo al segmento de línea unitario; por lo tanto, de manera equivalente, podemos considerar la tarea de construir un segmento de línea desde (0,0) hasta ( , 0), lo que implica construir el punto ( , 0). ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

Respectivamente, las herramientas de un compás y una regla nos permiten crear círculos centrados en un punto previamente definido y que pasan por otro, y crear líneas que pasan por dos puntos previamente definidos. Cualquier punto recién definido surge como resultado de la intersección de dos de esos círculos, como la intersección de un círculo y una línea, o como la intersección de dos líneas. Un ejercicio de geometría analítica elemental muestra que en los tres casos, tanto las coordenadas x como y del punto recién definido satisfacen un polinomio de grado no mayor que un cuadrático, con coeficientes que son sumas, restas, multiplicaciones y divisiones que involucran las coordenadas de los puntos previamente definidos (y números racionales). Replanteado en terminología más abstracta, las nuevas coordenadas x e y tienen polinomios mínimos de grado como máximo 2 sobre el subcuerpo generado por las coordenadas anteriores. Por lo tanto, el grado de la extensión del cuerpo correspondiente a cada nueva coordenada es 2 o 1. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Así, dada una coordenada de cualquier punto construido, podemos proceder inductivamente hacia atrás a través de las coordenadas x e y de los puntos en el orden en que fueron definidos hasta llegar al par original de puntos (0,0) y (1,0). Como toda extensión de campo tiene grado 2 o 1, y como la extensión de campo sobre las coordenadas del par original de puntos es claramente de grado 1, se sigue de la regla de la torre que el grado de la extensión de campo sobre cualquier coordenada de un punto construido es una potencia de 2 . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Ahora bien, p ( x ) = x ³ − 2 = 0 es fácilmente visible como irreducible sobre – cualquier factorización implicaría un factor lineal ( x − k ) para algún k ∈ , y por lo tanto k debe ser una raíz de p ( x ) ; pero también k debe dividir a 2 (por el teorema de la raíz racional ); es decir, k = 1, 2, −1 o −2 , y ninguna de estas son raíces de p ( x ) . Por el lema de Gauss , p ( x ) también es irreducible sobre , y por lo tanto es un polinomio mínimo sobre para . La extensión del cuerpo es, por lo tanto, de grado 3. Pero esto no es una potencia de 2, por lo que por lo anterior: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {Q} }$

• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$no es la coordenada de un punto construible, por lo que
• Un segmento de línea no se puede construir con regla y compás, y ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$
• El cubo no se puede duplicar usando solo una regla y un compás.

Historia

El problema debe su nombre a una historia sobre los ciudadanos de Delos , quienes consultaron el oráculo de Delfos para aprender cómo derrotar una plaga enviada por Apolo . ^{[5] [1] : 9} Según Plutarco , ^[6] sin embargo, los ciudadanos de Delos consultaron el oráculo de Delfos para encontrar una solución a sus problemas políticos internos en ese momento, que habían intensificado las relaciones entre los ciudadanos. El oráculo respondió que debían duplicar el tamaño del altar de Apolo, que era un cubo regular. La respuesta les pareció extraña a los delianos, y consultaron a Platón , quien fue capaz de interpretar el oráculo como el problema matemático de duplicar el volumen de un cubo dado, explicando así el oráculo como el consejo de Apolo para que los ciudadanos de Delos se ocuparan del estudio de la geometría y las matemáticas para calmar sus pasiones. ^[7]

Según Plutarco , Platón le dio el problema a Eudoxo , Arquitas y Menecmo , quienes lo resolvieron utilizando medios mecánicos, ganándose una reprimenda de Platón por no resolver el problema utilizando geometría pura . ^[8] Esta puede ser la razón por la que el autor del pseudoplatónico Sísifo (388e) se refiere al problema en el año 350 a. C. como aún sin resolver. ^[9] Sin embargo, otra versión de la historia (atribuida a Eratóstenes por Eutocio de Ascalón ) dice que los tres encontraron soluciones, pero eran demasiado abstractas para tener un valor práctico. ^[10]

Un avance significativo en la búsqueda de una solución al problema fue el descubrimiento por Hipócrates de Quíos de que es equivalente a encontrar dos medias geométricas proporcionales entre un segmento de línea y otro con el doble de longitud. ^[11] En notación moderna, esto significa que dados segmentos de longitudes a y 2 a , la duplicación del cubo es equivalente a encontrar segmentos de longitudes r y s de modo que

${\displaystyle {\frac {a}{r}}={\frac {r}{s}}={\frac {s}{2a}}.}$

A su vez, esto significa que

${\displaystyle r=a\cdot {\sqrt[{3}]{2}}.}$

Pero Pierre Wantzel demostró en 1837 que la raíz cúbica de 2 no es construible ; es decir, no se puede construir con regla y compás . ^[12]

Soluciones por medios distintos al compás y la regla

La solución original de Menecmo implica la intersección de dos curvas cónicas . Otros métodos más complicados para duplicar el cubo implican la neusis , la cisoide de Diocles , la concoide de Nicomedes o la línea de Filón . Pandrosión , un matemático probablemente mujer de la antigua Grecia, encontró una solución aproximada numéricamente precisa utilizando planos en tres dimensiones, pero fue duramente criticado por Pappus de Alejandría por no proporcionar una prueba matemática adecuada . ^[13] Arquitas resolvió el problema en el siglo IV a. C. utilizando una construcción geométrica en tres dimensiones, determinando un cierto punto como la intersección de tres superficies de revolución.

La teoría cartesiana de la solución geométrica de ecuaciones utiliza una parábola para introducir ecuaciones cúbicas, de esta manera es posible plantear una ecuación cuya solución sea una raíz cúbica de dos. Nótese que la parábola en sí no es construible excepto por métodos tridimensionales.

En la literatura matemática excéntrica ( pseudomatemáticas ) abundan las afirmaciones falsas de que se puede duplicar el cubo con compás y regla .

El origami también se puede utilizar para construir la raíz cúbica de dos doblando papel .

Usando una regla marcada

Hay una construcción de neusis simple que utiliza una regla marcada para una longitud que es la raíz cúbica de 2 veces otra longitud. ^[14]

1. Marca una regla con la longitud dada; esta eventualmente será GH.
2. Construya un triángulo equilátero ABC con la longitud dada como lado.
3. Extiende AB una cantidad igual nuevamente a D.
4. Prolonga la línea BC formando la línea CE.
5. Prolonga la línea DC formando la línea CF.
6. Coloque la regla marcada de manera que pase por A y un extremo, G, de la longitud marcada caiga sobre el rayo CF y el otro extremo de la longitud marcada, H, caiga sobre el rayo CE. Por lo tanto, GH es la longitud dada.

Entonces AG es la longitud dada multiplicada por . ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

En teoría musical

En teoría musical , un análogo natural de la duplicación es la octava (un intervalo musical causado por la duplicación de la frecuencia de un tono), y un análogo natural de un cubo es dividir la octava en tres partes, cada una del mismo intervalo . En este sentido, el problema de la duplicación del cubo se resuelve mediante la tercera mayor en temperamento igual . Este es un intervalo musical que es exactamente un tercio de una octava. Multiplica la frecuencia de un tono por , la longitud del lado del cubo de Delos. ^[15] ${\displaystyle 2^{4/12}=2^{1/3}={\sqrt[{3}]{2}}}$

Notas explicativas

1. El problema de Delos aparece en la República de Platón ( c.  380 a. C. ) VII.530

Referencias

1. Kern, Willis F.; Bland, James R. (1934). Medición sólida con pruebas . Nueva York: John Wiley & Sons.
2. Menn, S. (2015). "Cómo Arquitas duplicó el cubo". En Holmes, B.; Fischer, K.-D. (eds.). Las fronteras de la ciencia antigua: ensayos en honor a Heinrich von Staden. pp. 407–436 – vía Google books.
3. Masià, R. (2016). "Una nueva lectura de la duplicación del cubo por Arquitas y sus implicaciones". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas. 70 (2): 175–204. doi:10.1007/s00407-015-0165-9. ISSN 1432-0657.
4. Guilbeau, Lucye (1930). "La historia de la solución de la ecuación cúbica". Mathematics News Letter. 5 (4): 8–12. doi:10.2307/3027812. JSTOR 3027812
5. Zhmudʹ, Leonid I︠A︡kovlevich (2006). El origen de la historia de la ciencia en la Antigüedad clásica. Walter de Gruyter. pp. 84, citando a Plutarco y Teón de Esmirna. ISBN 978-3-11-017966-8.
6. "Plutarco, De E apud Delphos, sección 6 386.4". www.perseus.tufts.edu . Consultado el 17 de septiembre de 2024 .
7. Plutarco , De genio Socratis 579.B
8. (Plut., Quaestiones convivales VIII.ii, 718ef)
9. Carl Werner Müller, Die Kurzdialoge der Apéndice Platonica , Munich: Wilhelm Fink, 1975, págs.
10. Knorr, Wilbur Richard (1986), La antigua tradición de los problemas geométricos , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, pág. 4, ISBN 9780486675329.
11. TL Heath Una historia de las matemáticas griegas , vol. 1
12. Lützen, Jesper (24 de enero de 2010). "El álgebra de la imposibilidad geométrica: Descartes y Montucla sobre la imposibilidad de la duplicación del cubo y la trisección del ángulo". Centaurus . 52 (1): 4–37. doi :10.1111/j.1600-0498.2009.00160.x.
13. Knorr, Wilbur Richard (1989). "Textos de Pappus sobre duplicación de cubos". Estudios textuales en geometría antigua y medieval . Boston: Birkhäuser. págs. 63–76. doi :10.1007/978-1-4612-3690-0_5. ISBN . 9780817633875.
14. Dörrie, Heinrich (1965). 100 grandes problemas de matemáticas elementales . Dover. pág. 171. ISBN 0486-61348-8.
15. Phillips, RC (octubre de 1905), "La escala de temperamento igual", Musical Opinion and Music Trade Review , 29 (337): 41–42, ProQuest  7191936

Enlaces externos

• Frédéric Beatrix, Peter Katzlinger: Una solución bastante precisa al problema de Delos . En: Parabola Volumen 59 (2023) Número 1, revista en línea (ISSN 1446-9723) publicada por la Escuela de Matemáticas y Estadística de la Universidad de Nueva Gales del Sur
• Duplicación del cubo, construcción de proximidad como animación (lado = 1,259921049894873)— Wikimedia Commons
• "Duplicación del cubo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Duplicando el cubo. JJ O'Connor y EF Robertson en el archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor.
• Duplicar un cubo: la solución de Arquitas. Extracto de Historia de las matemáticas griegas, de Sir Thomas Heath .
• Problema de Delos resuelto. ¿O no? en cut-the-knot .
• Vídeo de Mathologer: "2000 años sin resolver: ¿Por qué es imposible duplicar cubos y cuadrar círculos?"