Descripciones matemáticas del campo electromagnético.

Formulaciones del electromagnetismo.

Existen diversas descripciones matemáticas del campo electromagnético que se utilizan en el estudio del electromagnetismo , una de las cuatro interacciones fundamentales de la naturaleza. En este artículo se discuten varios enfoques, aunque las ecuaciones son en términos de campos eléctricos y magnéticos, potenciales y cargas con corrientes, en general.

Enfoque de campo vectorial

La descripción más común del campo electromagnético utiliza dos campos vectoriales tridimensionales llamados campo eléctrico y campo magnético . Cada uno de estos campos vectoriales tiene un valor definido en cada punto del espacio y el tiempo y, por lo tanto, a menudo se consideran funciones de las coordenadas del espacio y el tiempo. Como tales, a menudo se escriben como E ( x , y , z , t ) (campo eléctrico) y B ( x , y , z , t ) (campo magnético).

Si solo el campo eléctrico ( E ) es distinto de cero y es constante en el tiempo, se dice que el campo es un campo electrostático . De manera similar, si solo el campo magnético ( B ) es distinto de cero y es constante en el tiempo, se dice que el campo es un campo magnetostático . Sin embargo, si el campo eléctrico o magnético depende del tiempo, entonces ambos campos deben considerarse juntos como un campo electromagnético acoplado utilizando las ecuaciones de Maxwell .

Las ecuaciones de Maxwell en el enfoque del campo vectorial.

El comportamiento de los campos eléctricos y magnéticos, ya sea en casos de electrostática, magnetostática o electrodinámica (campos electromagnéticos), está regido por las ecuaciones de Maxwell-Heaviside :

donde ρ es la densidad de carga , que puede (y a menudo depende) del tiempo y la posición, ε ₀ es la constante eléctrica , μ ₀ es la constante magnética y J es la corriente por unidad de área , también una función del tiempo y la posición. . Las ecuaciones toman esta forma con el Sistema Internacional de Cantidades .

Cuando se trata únicamente de materiales lineales isotrópicos no dispersivos, las ecuaciones de Maxwell a menudo se modifican para ignorar las cargas ligadas reemplazando la permeabilidad y permitividad del espacio libre con la permeabilidad y permitividad del material lineal en cuestión. Para algunos materiales que tienen respuestas más complejas a los campos electromagnéticos, estas propiedades pueden representarse mediante tensores, con una dependencia del tiempo relacionada con la capacidad del material para responder a cambios rápidos de campo ( dispersión (óptica) , relaciones Green-Kubo ), y posiblemente también dependencias de campo que representan respuestas materiales no lineales y/o no locales a campos de gran amplitud ( óptica no lineal ).

Enfoque de campo potencial

Muchas veces en el uso y cálculo de campos eléctricos y magnéticos, el enfoque utilizado primero calcula un potencial asociado: el potencial eléctrico , para el campo eléctrico, y el potencial del vector magnético , A , para el campo magnético. El potencial eléctrico es un campo escalar, mientras que el potencial magnético es un campo vectorial. Es por eso que a veces el potencial eléctrico se llama potencial escalar y el potencial magnético se llama potencial vectorial. Estos potenciales se pueden utilizar para encontrar sus campos asociados de la siguiente manera: ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }$$

Las ecuaciones de Maxwell en formulación potencial.

Estas relaciones se pueden sustituir en las ecuaciones de Maxwell para expresar estas últimas en términos de potenciales. La ley de Faraday y la ley de Gauss para el magnetismo (las ecuaciones homogéneas) resultan ser idénticas para cualquier potencial. Esto se debe a la forma en que los campos se expresan como gradientes y curvaturas de los potenciales escalares y vectoriales. Las ecuaciones homogéneas en términos de estos potenciales implican la divergencia de la curvatura y la curvatura del gradiente , que siempre son cero. Las otras dos ecuaciones de Maxwell (las ecuaciones no homogéneas) son las que describen la dinámica en la formulación potencial. ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \nabla \times \nabla \varphi }$

Ecuaciones de Maxwell ( formulación potencial )

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right)-\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\mathbf {J} }$

Estas ecuaciones tomadas en conjunto son tan poderosas y completas como las ecuaciones de Maxwell. Además, el problema se ha reducido un poco, ya que los campos eléctrico y magnético juntos tenían seis componentes que resolver. ^[1] En la formulación del potencial, sólo hay cuatro componentes: el potencial eléctrico y los tres componentes del potencial vectorial. Sin embargo, las ecuaciones son más confusas que las ecuaciones de Maxwell que utilizan campos eléctricos y magnéticos.

Libertad de calibre

Estas ecuaciones se pueden simplificar aprovechando el hecho de que los campos eléctrico y magnético son cantidades físicamente significativas que se pueden medir; los potenciales no lo son. Existe libertad para restringir la forma de los potenciales siempre que esto no afecte los campos eléctricos y magnéticos resultantes, lo que se denomina libertad de calibre . Específicamente para estas ecuaciones, para cualquier elección de una función escalar dos veces diferenciable de posición y tiempo λ , si ( φ , A ) es una solución para un sistema dado, entonces también lo es otro potencial ( φ ′, A ′) dado por:

$${\displaystyle \varphi '=\varphi -{\frac {\partial \lambda }{\partial t}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \lambda }$$

Esta libertad se puede utilizar para simplificar la formulación potencial. Normalmente se elige cualquiera de estas dos funciones escalares: el calibre de Coulomb y el calibre de Lorenz.

calibre de coulomb

El calibre de Coulomb se elige de tal manera que , lo que corresponde al caso de la magnetostática. En términos de λ , esto significa que debe satisfacer la ecuación ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} '=0}$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\lambda =-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} .}$$

Esta elección de función da como resultado la siguiente formulación de las ecuaciones de Maxwell:

$${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi '=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\!\mathbf {A} '}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}\nabla \!\!\left(\!{\frac {\partial \varphi '}{\partial t}}\!\right)}$$

Varias características de las ecuaciones de Maxwell en el calibre de Coulomb son las siguientes. En primer lugar, resolver el potencial eléctrico es muy fácil, ya que la ecuación es una versión de la ecuación de Poisson . En segundo lugar, resolver el potencial del vector magnético es particularmente difícil. Ésta es la gran desventaja de este calibre. La tercera cosa a tener en cuenta, y algo que no es inmediatamente obvio, es que el potencial eléctrico cambia instantáneamente en todas partes en respuesta a un cambio en las condiciones en una localidad.

Por ejemplo, si una carga se mueve en Nueva York a la 1 pm hora local, entonces un observador hipotético en Australia que pudiera medir el potencial eléctrico directamente mediría un cambio en el potencial a la 1 pm hora de Nueva York. Esto aparentemente viola la causalidad en la relatividad especial , es decir, la imposibilidad de que información, señales o cualquier cosa viaje más rápido que la velocidad de la luz. La solución a este aparente problema radica en el hecho de que, como se dijo anteriormente, ningún observador puede medir los potenciales; miden los campos eléctricos y magnéticos. Entonces, la combinación de ∇ φ y ∂ A /∂ t utilizada para determinar el campo eléctrico restablece el límite de velocidad impuesto por la relatividad especial para el campo eléctrico, haciendo que todas las cantidades observables sean consistentes con la relatividad.

Estado del medidor de Lorenz

Un indicador que se utiliza con frecuencia es la condición del indicador de Lorenz . En esto, la función escalar λ se elige de manera que

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} '=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \varphi '}{\partial t}},}$$

λ

$${\displaystyle \nabla ^{2}\lambda -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\lambda }{\partial t^{2}}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}.}$$

El indicador de Lorenz da como resultado la siguiente forma de ecuaciones de Maxwell:

$${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial t^{2}}}=-\Box ^{2}\varphi '=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} '}{\partial t^{2}}}=-\Box ^{2}\mathbf {A} '=-\mu _{0}\mathbf {J} }$$

El operador se llama d'alembertiano (algunos autores lo denotan únicamente con el cuadrado ). Estas ecuaciones son versiones no homogéneas de la ecuación de onda , y los términos del lado derecho de la ecuación sirven como funciones fuente de la onda. Como ocurre con cualquier ecuación de onda, estas ecuaciones conducen a dos tipos de solución: potenciales avanzados (que están relacionados con la configuración de las fuentes en momentos futuros) y potenciales retardados (que están relacionados con las configuraciones pasadas de las fuentes); Los primeros generalmente no se tienen en cuenta cuando el campo se analiza desde una perspectiva de causalidad. ${\displaystyle \Box ^{2}}$ ${\displaystyle \Box }$

Como se señaló anteriormente, el calibre de Lorenz no es más válido que cualquier otro calibre ya que los potenciales no se pueden medir directamente; sin embargo, el calibre de Lorenz tiene la ventaja de que las ecuaciones son invariantes de Lorentz .

Extensión a la electrodinámica cuántica.

La cuantificación canónica de los campos electromagnéticos se produce elevando los potenciales escalar y vectorial; φ ( x ), A ( x ), de campos a operadores de campo . Sustituyendo 1/ c ² = ε ₀ μ ₀ en las ecuaciones de calibre de Lorenz anteriores se obtiene:

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} }$$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

Aquí, J y ρ son la densidad de carga y corriente del campo de materia . Si el campo de materia se toma para describir la interacción de los campos electromagnéticos con el electrón de Dirac dada por el campo de espinor de Dirac de cuatro componentes ψ , las densidades de corriente y carga tienen la forma: ^[2]

$${\displaystyle \mathbf {J} =-e\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi \,\quad \rho =-e\psi ^{\dagger }\psi \,,}$$

αmatrices de Dirac

Ecuaciones de Maxwell ( QED )

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=\mu _{0}e\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}e\psi ^{\dagger }\psi }$

que es la forma utilizada en electrodinámica cuántica .

Formulaciones de álgebra geométrica.

De manera análoga a la formulación del tensor, se introducen dos objetos, uno para el campo electromagnético y otro para la densidad de corriente . En álgebra geométrica (GA), se trata de multivectores que a veces siguen el cálculo de Ricci .

Álgebra del espacio físico

En el Álgebra del espacio físico (APS), también conocida como álgebra de Clifford , el campo y la corriente están representados por multivectores. ${\displaystyle C\ell _{3,0}(\mathbb {R} )}$

El multivector de campo, conocido como vector de Riemann-Silberstein , es

$${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +Ic\mathbf {B} =E^{k}\sigma _{k}+IcB^{k}\sigma _{k},}$$

de cuatro corrientes

$${\displaystyle c\rho -\mathbf {J} =c\rho -J^{k}\sigma _{k}}$$

base ortonormalpseudoescalarmatrices de Pauli ${\displaystyle \{\sigma _{k}\}}$ ${\displaystyle I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}}$

Después de definir la derivada

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}=\sigma ^{k}\partial _{k},}$$

Las ecuaciones de Maxwell se reducen a una única ecuación ^[3]

Ecuaciones de Maxwell (formulación APS)

${\displaystyle \left({\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\right)\mathbf {F} =\mu _{0}c(c\rho -\mathbf {J} ).}$

En tres dimensiones, la derivada tiene una estructura especial que permite la introducción de un producto cruzado:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} +{\boldsymbol {\nabla }}\wedge \mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} +I{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} }$$

$${\displaystyle \left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)-c\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\partial {t}}}-\mu _{0}\mathbf {J} \right)+I\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} +{\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial {t}}}\right)+Ic\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} \right)=0}$$

Álgebra espacio-temporal

Podemos identificar APS como una subálgebra del álgebra espacio-temporal (STA) , definiendo y . Los s tienen las mismas propiedades algebraicas de las matrices gamma pero su representación matricial no es necesaria. La derivada ahora es ${\displaystyle C\ell _{1,3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}}$ ${\displaystyle I=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$ ${\displaystyle \gamma _{\mu }}$

$${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }.}$$

El Riemann-Silberstein se convierte en un bivector

$${\displaystyle F=\mathbf {E} +Ic\mathbf {B} =E^{1}\gamma _{1}\gamma _{0}+E^{2}\gamma _{2}\gamma _{0}+E^{3}\gamma _{3}\gamma _{0}-c(B^{1}\gamma _{2}\gamma _{3}+B^{2}\gamma _{3}\gamma _{1}+B^{3}\gamma _{1}\gamma _{2}),}$$

$${\displaystyle J=J^{\mu }\gamma _{\mu }=c\rho \gamma _{0}+J^{k}\gamma _{k}=\gamma _{0}(c\rho -J^{k}\sigma _{k}).}$$

Debido a la identidad

$${\displaystyle \gamma _{0}\nabla =\gamma _{0}\gamma ^{0}\partial _{0}+\gamma _{0}\gamma ^{k}\partial _{k}=\partial _{0}+\sigma ^{k}\partial _{k}={\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }},}$$

Las ecuaciones de Maxwell se reducen a una sola ecuación.

Ecuaciones de Maxwell (formulación STA)

${\displaystyle \nabla F=\mu _{0}cJ.}$

Enfoque de formas diferenciales

En lo que sigue, se utilizan unidades cgs-gaussianas , no unidades SI . (Para convertir a SI, consulte aquí ). Mediante la notación de Einstein , implícitamente tomamos la suma de todos los valores de los índices que pueden variar dentro de la dimensión.

Campo 2-formulario

En el espacio libre , donde ε = ε 0 y μ = μ 0 son constantes en todas partes, las ecuaciones de Maxwell se simplifican considerablemente una vez que se utiliza el lenguaje de la geometría diferencial y las formas diferenciales . Los campos eléctrico y magnético ahora se describen conjuntamente mediante una forma F bidimensional en una variedad espacio-temporal de cuatro dimensiones . El tensor de Faraday ( tensor electromagnético ) se puede escribir como una forma 2 en el espacio de Minkowski con firma métrica (− + + +) como ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &\equiv {\frac {1}{2}}F_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\&=B_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+B_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+B_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+E_{x}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t+E_{y}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} t+E_{z}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t\end{aligned}}}$$

derivada exteriorelectromagnético de cuatro potenciales. ${\displaystyle \mathbf {A} :}$

$${\displaystyle \mathbf {A} =-\phi \,\mathrm {d} t+A_{x}\mathrm {d} x+A_{y}\mathrm {d} y+A_{z}\mathrm {d} z.}$$

Las ecuaciones libres fuente se pueden escribir mediante la acción de la derivada exterior sobre esta forma 2. Pero para las ecuaciones con términos fuente ( ley de Gauss y ecuación de Ampère-Maxwell ), se necesita el dual de Hodge de esta forma 2. El operador estrella de Hodge toma una forma p a una forma ( n − p ), donde n es el número de dimensiones. Aquí, toma la forma 2 ( F ) y da otra forma 2 (en cuatro dimensiones, n − p = 4 − 2 = 2 ). Para los vectores cotangentes de base, el dual de Hodge se da como (ver Operador estrella de Hodge § Cuatro dimensiones )

$${\displaystyle {\star }(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y)=-\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t,\quad {\star }(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t)=\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z,}$$

$${\displaystyle {\star }\mathbf {F} =-B_{x}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t-B_{y}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} t-B_{z}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t+E_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+E_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+E_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$$

3 formas actuales, 1 forma actual dual

Aquí, la forma 3 J se llama forma de corriente eléctrica o forma 3 actual :

$${\displaystyle \mathbf {J} =\rho \,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-j_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y.}$$

Que F es una forma cerrada y la derivada exterior de su dual de Hodge es la forma 3 actual, exprese las ecuaciones de Maxwell: ^[4]

ecuaciones de maxwell

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$

${\displaystyle \mathrm {d} {\star }\mathbf {F} =\mathbf {J} }$

Aquí d denota la derivada exterior : un operador diferencial independiente de coordenadas y métricas naturales que actúa sobre las formas, y el operador estrella (dual) de Hodge es una transformación lineal del espacio de 2 formas al espacio de (4 − 2)- formas definidas por la métrica en el espacio de Minkowski (en cuatro dimensiones incluso por cualquier métrica conforme a esta métrica). Los campos están en unidades naturales donde 1/(4 πε ₀ ) = 1 . ${\displaystyle {\star }}$

Dado que d ² = 0, la forma 3 J satisface la conservación de la corriente ( ecuación de continuidad ):

$${\displaystyle \mathrm {d} {\mathbf {J} }=\mathrm {d} ^{2}{\star }\mathbf {F} =0.}$$

variedad

Nota: En gran parte de la literatura, las notaciones y están intercambiadas, por lo que es una forma 1 llamada corriente y una forma 3 llamada corriente dual. ^[5] ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\star }\mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\star }\mathbf {J} }$

Influencia macroscópica lineal de la materia.

En una teoría macroscópica lineal, la influencia de la materia en el campo electromagnético se describe mediante una transformación lineal más general en el espacio de 2 formas. Llamamos

$${\displaystyle C:\Lambda ^{2}\ni \mathbf {F} \mapsto \mathbf {G} \in \Lambda ^{(4-2)}}$$

$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$$

$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {G} =\mathbf {J} }$$

Jd J = 0

Cuando los campos se expresan como combinaciones lineales (de productos exteriores ) de formas básicas θ ⁱ ,

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{2}}F_{pq}\mathbf {\theta } ^{p}\wedge \mathbf {\theta } ^{q}.}$$

$${\displaystyle G_{pq}=C_{pq}^{mn}F_{mn}}$$

anticonmutativosoperador estrella de Hodgeobtiene tomando

$${\displaystyle C_{pq}^{mn}={\frac {1}{2}}g^{ma}g^{nb}\varepsilon _{abpq}{\sqrt {-g}}}$$

notación de índice tensorialgramométricasímbolo de Levi-Civita ${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$ ${\displaystyle V=T_{p}M}$ ${\displaystyle \{dx_{1},\ldots ,dx_{n}\}}$ ${\displaystyle V^{*}=T_{p}^{*}M}$ ${\textstyle (g_{ij})=\left(\left\langle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right)}$ ${\displaystyle (g^{ij})=(\langle dx^{i},dx^{j}\rangle )}$ ${\displaystyle \varepsilon _{abpq}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1234}=1}$

En esta formulación, el electromagnetismo se generaliza inmediatamente a cualquier variedad orientada a 4 dimensiones o con pequeñas adaptaciones a cualquier variedad.

Firma de métrica alternativa

En la convención de signos del físico de partículas para la firma métrica (+ − − −) , la forma 1 potencial es

$${\displaystyle \mathbf {A} =\phi \,\mathrm {d} t-A_{x}\mathrm {d} x-A_{y}\mathrm {d} y-A_{z}\mathrm {d} z.}$$

La forma 2 de la curvatura de Faraday se convierte en

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} \equiv &{\frac {1}{2}}F_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\=&E_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x+E_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y+E_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z-B_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-B_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-B_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\end{aligned}}}$$

y el tensor de Maxwell se convierte en

$${\displaystyle {{\star }\mathbf {F} }=-E_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-E_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-E_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y-B_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x-B_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y-B_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z.}$$

La actual forma J de 3 es

$${\displaystyle \mathbf {J} =-\rho \,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+j_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+j_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+j_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$$

$${\displaystyle {{\star }\mathbf {J} }=-\rho \,\mathrm {d} t+j_{x}\mathrm {d} x+j_{y}\mathrm {d} y+j_{z}\mathrm {d} z.}$$

La norma actual es ahora positiva e igual

$${\displaystyle {\mathbf {J} \wedge {\star }\mathbf {J} }=[\rho ^{2}+(j_{x})^{2}+(j_{y})^{2}+(j_{z})^{2}]\,{\star }(1)}$$

forma de volumen ${\displaystyle {\star }(1)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}$

Espacio-tiempo curvo

Formulación tradicional

La materia y la energía generan la curvatura del espacio-tiempo . Éste es el tema de la relatividad general . La curvatura del espacio-tiempo afecta la electrodinámica. Un campo electromagnético que tiene energía y momento también genera curvatura en el espacio-tiempo. Las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo se pueden obtener reemplazando las derivadas de las ecuaciones en el espacio-tiempo plano con derivadas covariantes . (Es necesario investigar por separado si esta es la generalización adecuada). Las ecuaciones con fuente y sin fuente se convierten en ( unidades cgs-gaussianas ):

$${\displaystyle {4\pi \over c}j^{\beta }=\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }+{\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \alpha }F^{\mu \beta }+{\Gamma ^{\beta }}_{\mu \alpha }F^{\alpha \mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \nabla _{\alpha }F^{\alpha \beta }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {F^{\alpha \beta }}_{;\alpha }\,\!}$$

y

$${\displaystyle 0=\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }=\nabla _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\nabla _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\nabla _{\alpha }F_{\beta \gamma }.\,}$$

Aquí,

$${\displaystyle {\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \beta }}$$

es un símbolo de Christoffel que caracteriza la curvatura del espacio-tiempo y ∇ _α es la derivada covariante.

Formulación en términos de formas diferenciales.

La formulación de las ecuaciones de Maxwell en términos de formas diferenciales se puede utilizar sin cambios en la relatividad general. La equivalencia de la formulación relativista general más tradicional que utiliza la derivada covariante con la formulación en forma diferencial se puede ver a continuación. Elija las coordenadas locales x ^α que dan una base de 1 formas d x ^α en cada punto del conjunto abierto donde se definen las coordenadas. Usando esta base y unidades cgs-gaussianas definimos

• El tensor de campo antisimétrico F _αβ , correspondiente al campo 2-forma F
  $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }\,\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }.}$$
• La forma J infinitesimal de 3 vectores actuales
  $${\displaystyle \mathbf {J} ={4\pi \over c}\left({\frac {1}{6}}j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }.\right)}$$

El tensor épsilon contratado con la forma diferencial de 3 produce 6 veces el número de términos requeridos.

Aquí g es, como siempre, el determinante de la matriz que representa el tensor métrico , g _αβ . Un pequeño cálculo que utiliza la simetría de los símbolos de Christoffel (es decir, la libertad de torsión de la conexión Levi-Civita ) y la constante covariante del operador estrella de Hodge muestra que en esta vecindad de coordenadas tenemos:

• la identidad bianchi
  $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =2(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma })\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }=0,}$$
• la ecuación fuente
  $${\displaystyle \mathrm {d} {\star \mathbf {F} }={\frac {1}{6}}{F^{\alpha \beta }}_{;\alpha }{\sqrt {-g}}\,\varepsilon _{\beta \gamma \delta \alpha }\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }=\mathbf {J} ,}$$
• la ecuación de continuidad
  $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {J} ={4\pi \over c}{j^{\alpha }}_{;\alpha }{\sqrt {-g}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }=0.}$$

Electrodinámica clásica como curvatura de un haz de líneas.

Una forma elegante e intuitiva de formular las ecuaciones de Maxwell es utilizar haces de líneas complejos o un haz U(1) principal , sobre cuyas fibras U(1) actúa regularmente . La conexión principal U(1) ∇ en el haz de líneas tiene una curvatura F = ∇ ² que es una forma doble que satisface automáticamente d F = 0 y puede interpretarse como una intensidad de campo. Si el haz de líneas es trivial con una conexión de referencia plana d, podemos escribir ∇ = d + A y F = d A con A la forma 1 compuesta por el potencial eléctrico y el potencial del vector magnético .

En mecánica cuántica, la propia conexión se utiliza para definir la dinámica del sistema. Esta formulación permite una descripción natural del efecto Aharonov-Bohm . En este experimento, un campo magnético estático recorre un largo cable magnético (p. ej., un cable de hierro magnetizado longitudinalmente). Fuera de este cable, la inducción magnética es cero, a diferencia del potencial vectorial, que depende esencialmente del flujo magnético a través de la sección transversal del cable y no desaparece hacia el exterior. Como tampoco hay campo eléctrico, el tensor de Maxwell F = 0 en toda la región del espacio-tiempo fuera del tubo, durante el experimento. Esto significa, por definición, que la conexión ∇ es plana allí.

Sin embargo, en el mencionado efecto Aharonov-Bohm , la conexión depende del campo magnético a través del tubo, ya que la holonomía a lo largo de una curva no contráctil que rodea el tubo es el flujo magnético a través del tubo en las unidades adecuadas. Esto se puede detectar mediante mecánica cuántica con un experimento de difracción de electrones de doble rendija en una onda de electrones que viaja alrededor del tubo. La holonomía corresponde a un cambio de fase adicional, que conduce a un cambio en el patrón de difracción. ^{[6] [7]}

Discusión y otros enfoques

A continuación se detallan las razones para utilizar cada una de dichas formulaciones.

Formulación potencial

En la mecánica clásica avanzada suele ser útil, y en la mecánica cuántica frecuentemente esencial, expresar las ecuaciones de Maxwell en una formulación potencial que involucra el potencial eléctrico (también llamado potencial escalar ) φ y el potencial magnético (un potencial vectorial ) A. Por ejemplo, el análisis de antenas de radio hace pleno uso de los potenciales vectoriales y escalares de Maxwell para separar las variables, una técnica común utilizada para formular las soluciones de ecuaciones diferenciales. Los potenciales se pueden introducir utilizando el lema de Poincaré en las ecuaciones homogéneas para resolverlas de forma universal (esto supone que consideramos un espacio topológicamente simple, por ejemplo, contráctil ). Los potenciales se definen como en la tabla anterior. Alternativamente, estas ecuaciones definen E y B en términos de los potenciales eléctrico y magnético que luego satisfacen las ecuaciones homogéneas para E y B como identidades. La sustitución da las ecuaciones de Maxwell no homogéneas en forma potencial.

Muchas opciones diferentes de A y φ son consistentes con campos eléctricos y magnéticos observables dados E y B , por lo que los potenciales parecen contener más información ( clásicamente ) no observable. Sin embargo, se comprende bien la no unicidad de los potenciales. Para cada función escalar de posición y tiempo λ ( x , t ) , los potenciales se pueden cambiar mediante una transformación de calibre como

$${\displaystyle \varphi '=\varphi -{\frac {\partial \lambda }{\partial t}},\quad \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \lambda }$$

( φ , A )( φ ′, A ′)equivalente de calibrelibertad de calibre

Las ecuaciones de potencial se pueden simplificar mediante un procedimiento llamado fijación de calibre . Dado que los potenciales sólo se definen hasta la equivalencia de calibre, somos libres de imponer ecuaciones adicionales a los potenciales, siempre y cuando para cada par de potenciales haya un par equivalente de calibre que satisfaga las ecuaciones adicionales (es decir, si las ecuaciones de fijación de calibre definen un corte a la acción del medidor). Los potenciales de calibre fijo todavía tienen libertad de calibre en todas las transformaciones de calibre que dejan invariantes las ecuaciones de fijación de calibre. La inspección de las ecuaciones potenciales sugiere dos opciones naturales. En el calibre de Coulomb , imponemos ∇ ⋅ A = 0 , que se usa principalmente en el caso de magnetoestática cuando podemos descuidar el término c ⁻² ∂ ² A /∂ t ² . En el ancho de Lorenz (llamado así por el danés Ludvig Lorenz ), imponemos

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0\,.}$$

Enfoque manifiestamente covariante (tensor)

Las ecuaciones de Maxwell son exactamente consistentes con la relatividad especial ; es decir, si son válidas en un sistema de referencia inercial, entonces son automáticamente válidas en cualquier otro sistema de referencia inercial. De hecho, las ecuaciones de Maxwell fueron cruciales en el desarrollo histórico de la relatividad especial. Sin embargo, en la formulación habitual de las ecuaciones de Maxwell, su coherencia con la relatividad especial no es obvia; sólo puede demostrarse mediante un cálculo laborioso.

Por ejemplo, considere un conductor que se mueve en el campo de un imán . ^[8] En el marco del imán, ese conductor experimenta una fuerza magnética . Pero en la estructura de un conductor que se mueve con respecto al imán, el conductor experimenta una fuerza debido a un campo eléctrico . El movimiento es exactamente consistente en estos dos sistemas de referencia diferentes, pero matemáticamente surge de maneras bastante diferentes.

Por esta razón y otras, a menudo es útil reescribir las ecuaciones de Maxwell de una manera que sea " manifiestamente covariante " (es decir, obviamente consistente con la relatividad especial, incluso con solo un vistazo a las ecuaciones) usando cuatro vectores y tensores covariantes y contravariantes . Esto se puede hacer usando el tensor EM F , o el de 4 potenciales A , con el J de 4 corrientes .

Enfoque de formas diferenciales

La ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Faraday-Maxwell pueden agruparse ya que las ecuaciones son homogéneas y verse como identidades geométricas que expresan el campo F (una forma 2), que puede derivarse del potencial 4 A. La ley de Gauss para la electricidad y la ley de Ampere-Maxwell podrían verse como las ecuaciones dinámicas de movimiento de los campos, obtenidas mediante el principio lagrangiano de mínima acción , a partir del "término de interacción" AJ (introducido a través de derivadas covariantes de calibre ), acoplando el campo. importar. Para la formulación de campo de las ecuaciones de Maxwell en términos de un principio de acción extrema , véase tensor electromagnético .

A menudo, la derivada del tiempo en la ecuación de Faraday-Maxwell motiva a llamar a esta ecuación "dinámica", lo cual es algo engañoso en el sentido del análisis anterior. Esto es más bien un artefacto de romper la covarianza relativista eligiendo una dirección temporal preferida. Para que estas ecuaciones de campo propaguen grados de libertad físicos, se debe incluir un término cinético F ⋆ F para A y tener en cuenta los grados de libertad no físicos que pueden eliminarse mediante la transformación de calibre A ↦ A − d α . Véase también fijación de calibre y fantasmas de Faddeev-Popov .

Enfoque del cálculo geométrico

Esta formulación utiliza el álgebra que genera el espacio-tiempo mediante la introducción de un producto distributivo y asociativo (pero no conmutativo) llamado producto geométrico . Los elementos y operaciones del álgebra generalmente pueden asociarse con significado geométrico. Los miembros del álgebra se pueden descomponer por grado (como en el formalismo de formas diferenciales) y el producto (geométrico) de un vector con un k -vector se descompone en un ( k − 1) -vector y a ( k + 1) -vector. El componente del vector ( k − 1) se puede identificar con el producto interno y el componente del vector ( k + 1) con el producto externo. Es de conveniencia algebraica que el producto geométrico sea invertible, mientras que los productos interior y exterior no lo son. Como tal, se pueden utilizar técnicas poderosas como las funciones de Green . Las derivadas que aparecen en las ecuaciones de Maxwell son vectores y los campos electromagnéticos están representados por el bivector de Faraday F. Esta formulación es tan general como la de formas diferenciales para variedades con tensor métrico, ya que entonces éstas se identifican naturalmente con r -formas y existen operaciones correspondientes. Las ecuaciones de Maxwell se reducen a una ecuación en este formalismo. Esta ecuación se puede separar en partes como se hizo anteriormente por razones comparativas.

Ver también

• cálculo de ricci
• Ecuación de ondas electromagnéticas
• Velocidad de la luz
• Constante electrica
• Constante magnética
• Espacio libre
• Campo cercano y lejano
• Campo electromagnetico
• Radiación electromagnética
• Electrodinámica cuántica
• Lista de ecuaciones de electromagnetismo

Notas

1. Introducción a la electrodinámica por Griffiths
2. Electrodinámica cuántica, Mathworld
3. Conferencia de la Medalla Oersted David Hestenes "Reforma del lenguaje matemático de la física" (Am. J. Phys. 71 (2), febrero de 2003, págs. 104-121) En línea: http://geocalc.clas.asu.edu/html /Oersted-ReformingTheLanguage.html p26
4. Harley Flanders (1963) Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas , páginas 44 a 46, Academic Press
5. Misner, Charles W .; Thorne, Kip ; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . WH Freeman. pag. 81.ISBN​ 978-0-7167-0344-0.
6. M. Murray (5 de septiembre de 2008). "Paquetes de líneas. Honores 1996" (PDF) . Universidad de Adelaida . Consultado el 19 de noviembre de 2010 .
7. R. Bott (1985). "Sobre algunas interacciones recientes entre matemáticas y física". Boletín de Matemáticas Canadiense . 28 (2): 129–164. doi : 10.4153/CMB-1985-016-3 .
8. Albert Einstein (1905) Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento

Referencias

• Warnick, Karl; Russer, Peter (2014). "Formas diferenciales y teoría del campo electromagnético" (PDF) . Avances en la Investigación Electromagnética . 148 : 83-112. doi : 10.2528/PIER14063009 .
• Russer, Peter (2006). Electromagnética, diseño de antenas y circuitos de microondas para ingeniería de comunicaciones (2ª ed.). Casa Artech. ISBN 978-1-58053-907-4.(con problemas resueltos en Warnick, Russer 2006 ISBN 1-59693-096-9 ) 
• Hehl, Friedrich; Obujov, Yuri (2003). Fundamentos de la electrodinámica clásica. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4222-8.
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2007). Álgebra geométrica para físicos . Universidad de Cambridge. Prensa. ISBN 978-0-521-71595-9.