El problema del imán y el conductor en movimiento es un famoso experimento mental , que se originó en el siglo XIX y que se refiere a la intersección del electromagnetismo clásico y la relatividad especial . En él, se calcula la corriente en un conductor que se mueve a velocidad constante, v , con respecto a un imán en el marco de referencia del imán y en el marco de referencia del conductor. La cantidad observable en el experimento, la corriente, es la misma en ambos casos, de acuerdo con el principio básico de la relatividad , que establece: "Solo es observable el movimiento relativo ; no existe un estándar absoluto de reposo". [1] [ se necesita una mejor fuente ] Sin embargo, según las ecuaciones de Maxwell, las cargas en el conductor experimentan una fuerza magnética en el marco del imán y una fuerza eléctrica en el marco del conductor. El mismo fenómeno parecería tener dos descripciones diferentes según el marco de referencia del observador.
Este problema, junto con el experimento de Fizeau , la aberración de la luz y, más indirectamente, las pruebas de deriva negativa del éter como el experimento de Michelson-Morley , formaron la base del desarrollo de la teoría de la relatividad de Einstein. [2]
El artículo de Einstein de 1905 que presentó al mundo la relatividad comienza con una descripción del problema imán/conductor: [3]
Se sabe que la electrodinámica de Maxwell, tal como se entiende habitualmente en la actualidad, cuando se aplica a cuerpos en movimiento, conduce a asimetrías que no parecen ser inherentes a los fenómenos. Tomemos, por ejemplo, la acción electrodinámica recíproca de un imán y un conductor. El fenómeno observable aquí depende únicamente del movimiento relativo del conductor y el imán, mientras que la concepción habitual establece una clara distinción entre los dos casos en que uno u otro de estos cuerpos está en movimiento. Pues si el imán está en movimiento y el conductor en reposo, surge en las proximidades del imán un campo eléctrico con una cierta energía definida, que produce una corriente en los lugares donde se encuentran partes del conductor. Pero si el imán está estacionario y el conductor en movimiento, no surge ningún campo eléctrico en las proximidades del imán. En el conductor, sin embargo, encontramos una fuerza electromotriz, a la que en sí misma no hay energía correspondiente, pero que da lugar, suponiendo igualdad de movimiento relativo en los dos casos considerados, a corrientes eléctricas del mismo recorrido e intensidad que las producidas por las fuerzas eléctricas en el primer caso.
— A. Einstein, Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento (1905)
Un requisito primordial de las descripciones en diferentes marcos es que sean consistentes . La consistencia es un problema porque la mecánica newtoniana predice una transformación (la llamada invariancia galileana ) para las fuerzas que impulsan las cargas y causan la corriente, mientras que la electrodinámica, tal como se expresa en las ecuaciones de Maxwell, predice que los campos que dan lugar a estas fuerzas se transforman de manera diferente (de acuerdo con la invariancia de Lorentz ). Las observaciones de la aberración de la luz, que culminaron en el experimento de Michelson-Morley , establecieron la validez de la invariancia de Lorentz, y el desarrollo de la relatividad especial resolvió el desacuerdo resultante con la mecánica newtoniana. La relatividad especial revisó la transformación de fuerzas en marcos de referencia en movimiento para que fuera consistente con la invariancia de Lorentz. Los detalles de estas transformaciones se analizan a continuación.
Además de la coherencia, sería bueno consolidar las descripciones para que parezcan independientes del marco. Una pista para una descripción independiente del marco es la observación de que los campos magnéticos en un marco de referencia se convierten en campos eléctricos en otro marco. Del mismo modo, la porción solenoidal de los campos eléctricos (la porción que no se origina por cargas eléctricas) se convierte en un campo magnético en otro marco: es decir, los campos eléctricos solenoidales y los campos magnéticos son aspectos de la misma cosa. [4] Eso significa que la paradoja de las diferentes descripciones puede ser solo semántica . Una descripción que utiliza potenciales escalares y vectoriales φ y A en lugar de B y E evita la trampa semántica. Un cuatro vectores invariante de Lorentz A α = (φ / c , A ) reemplaza a E y B [5] y proporciona una descripción independiente del marco (aunque menos visceral que la descripción E – B ). [6] Una unificación alternativa de las descripciones es pensar en la entidad física como el tensor del campo electromagnético , como se describe más adelante. Este tensor contiene los campos E y B como componentes y tiene la misma forma en todos los marcos de referencia.
Los campos electromagnéticos no son directamente observables. La existencia de campos electromagnéticos clásicos se puede inferir a partir del movimiento de partículas cargadas, cuyas trayectorias son observables. Los campos electromagnéticos sí explican los movimientos observados de partículas cargadas clásicas.
Un requisito importante en física es que todos los observadores del movimiento de una partícula estén de acuerdo sobre la trayectoria de la misma. Por ejemplo, si un observador nota que una partícula choca con el centro de una diana, todos los observadores deben llegar a la misma conclusión. Este requisito impone restricciones sobre la naturaleza de los campos electromagnéticos y sobre su transformación de un sistema de referencia a otro. También impone restricciones sobre la manera en que los campos afectan la aceleración y, por lo tanto, las trayectorias de las partículas cargadas.
Tal vez el ejemplo más simple, y al que Einstein hizo referencia en su artículo de 1905 en el que introdujo la relatividad especial , es el problema de un conductor que se mueve en el campo de un imán. En el marco del imán, un conductor experimenta una fuerza magnética . En el marco de un conductor que se mueve en relación con el imán, el conductor experimenta una fuerza debida a un campo eléctrico . El campo magnético en el marco del imán y el campo eléctrico en el marco del conductor deben generar resultados consistentes en el conductor. En la época de Einstein en 1905, las ecuaciones de campo representadas por las ecuaciones de Maxwell eran correctamente consistentes. Sin embargo, la ley de movimiento de Newton tuvo que ser modificada para proporcionar trayectorias de partículas consistentes. [7]
Suponiendo que el marco magnético y el marco conductor están relacionados por una transformación galileana , es sencillo calcular los campos y las fuerzas en ambos marcos. Esto demostrará que la corriente inducida es, de hecho, la misma en ambos marcos. Como subproducto, este argumento también producirá una fórmula general para los campos eléctricos y magnéticos en un marco en términos de los campos en otro marco. [8]
En realidad, los sistemas no están relacionados por una transformación de Galileo, sino por una transformación de Lorentz . No obstante, será una transformación de Galileo con una muy buena aproximación , a velocidades mucho menores que la velocidad de la luz.
Las cantidades no primadas corresponden al marco de reposo del imán, mientras que las cantidades primadas corresponden al marco de reposo del conductor. Sea v la velocidad del conductor, tal como se ve desde el marco del imán.
En el marco de reposo del imán, el campo magnético es un campo fijo B ( r ), determinado por la estructura y la forma del imán. El campo eléctrico es cero.
En general, la fuerza ejercida sobre una partícula de carga q en el conductor por el campo eléctrico y el campo magnético se expresa mediante (unidades del SI): donde es la carga sobre la partícula, es la velocidad de la partícula y F es la fuerza de Lorentz . Sin embargo, aquí el campo eléctrico es cero, por lo que la fuerza sobre la partícula es
En el marco del conductor, hay un campo magnético variable en el tiempo B ′ relacionado con el campo magnético B en el marco del imán de acuerdo con: [9] donde
En este marco, hay un campo eléctrico, y su rotacional está dado por la ecuación de Maxwell-Faraday :
Esto produce:
Para que esto sea explicable: si un conductor se mueve a través de un campo B con un gradiente , a lo largo del eje z con velocidad constante , se deduce que en el marco del conductor Se puede ver que esta ecuación es consistente con determinando y a partir de esta expresión y sustituyéndola en la primera expresión mientras se usa que Incluso en el límite de gradientes infinitesimales pequeños , estas relaciones se mantienen y, por lo tanto, la ecuación de fuerza de Lorentz también es válida si el campo magnético en el marco del conductor no varía en el tiempo. A velocidades relativistas se necesita un factor de corrección, consulte a continuación y Electromagnetismo clásico y relatividad especial y transformación de Lorentz.
Una carga q en el conductor estará en reposo en el marco del conductor. Por lo tanto, el término de fuerza magnética de la fuerza de Lorentz no tiene efecto y la fuerza sobre la carga está dada por
Esto demuestra que la fuerza es la misma en ambos marcos (como cabría esperar) y, por lo tanto, cualquier consecuencia observable de esta fuerza, como la corriente inducida, también sería la misma en ambos marcos. Esto es así a pesar del hecho de que se ve que la fuerza es una fuerza eléctrica en el marco del conductor, pero una fuerza magnética en el marco del imán.
Se puede hacer un argumento similar si el marco del imán también contiene campos eléctricos. (La ecuación de Ampere-Maxwell también entra en juego, explicando cómo, en el marco del conductor, este campo eléctrico en movimiento contribuirá al campo magnético.) El resultado es que, en general, con c la velocidad de la luz en el espacio libre .
Si introducimos estas reglas de transformación en las ecuaciones de Maxwell completas, podemos ver que si las ecuaciones de Maxwell son verdaderas en un sistema, entonces son casi verdaderas en el otro, pero contienen términos incorrectos proporcionales a la cantidad v/c elevada a la segunda potencia o a una potencia superior. En consecuencia, estas no son las reglas de transformación exactas, sino una aproximación cercana a velocidades bajas. A velocidades grandes que se aproximan a la velocidad de la luz, la transformación de Galileo debe reemplazarse por la transformación de Lorentz, y las ecuaciones de transformación de campo también deben cambiarse, de acuerdo con las expresiones que se dan a continuación.
En un marco que se mueve a velocidad v , el campo E en el marco móvil cuando no hay campo E en el marco del imán estacionario Las ecuaciones de Maxwell se transforman como: [10] donde se llama factor de Lorentz y c es la velocidad de la luz en el espacio libre. Este resultado es una consecuencia de requerir que los observadores en todos los marcos inerciales lleguen a la misma forma para las ecuaciones de Maxwell. En particular, todos los observadores deben ver la misma velocidad de la luz c . Ese requisito conduce a la transformación de Lorentz para el espacio y el tiempo. Suponiendo una transformación de Lorentz, la invariancia de las ecuaciones de Maxwell conduce entonces a la transformación anterior de los campos para este ejemplo.
En consecuencia, la fuerza sobre la carga es
Esta expresión difiere de la expresión obtenida a partir de la ley de movimiento de Newton no relativista en un factor de . La relatividad especial modifica el espacio y el tiempo de tal manera que las fuerzas y los campos se transforman de manera consistente.
La fuerza de Lorentz tiene la misma forma en ambos marcos, aunque los campos difieren, a saber:
Véase la Figura 1. Para simplificar, supongamos que el campo magnético apunta en la dirección z y varía con la posición x , y que el conductor se traslada en la dirección x positiva con velocidad v . En consecuencia, en el marco magnético donde se mueve el conductor, la fuerza de Lorentz apunta en la dirección y negativa , perpendicular tanto a la velocidad como al campo B. La fuerza sobre una carga, aquí debida únicamente al campo B , es mientras que en el marco conductor donde se mueve el imán, la fuerza también está en la dirección y negativa , y ahora se debe únicamente al campo E con un valor:
Las dos fuerzas difieren en el factor de Lorentz γ. Sin embargo, esta diferencia es esperable en una teoría relativista debido al cambio en el espacio-tiempo entre los marcos, como se analiza a continuación.
La relatividad toma la transformación de Lorentz del espacio-tiempo sugerida por la invariancia de las ecuaciones de Maxwell y la impone también a la dinámica (una revisión de las leyes de movimiento de Newton ). En este ejemplo, la transformación de Lorentz afecta sólo a la dirección x (el movimiento relativo de los dos sistemas de referencia se produce a lo largo de la dirección x ). Las relaciones que conectan el tiempo y el espacio son ( los primos indican el sistema de referencia del conductor en movimiento): [11]
Estas transformaciones conducen a un cambio en el componente y de una fuerza :
Es decir, dentro de la invariancia de Lorentz , la fuerza no es la misma en todos los marcos de referencia, a diferencia de la invariancia galileana. Pero, del análisis anterior basado en la ley de fuerza de Lorentz: que concuerda completamente. Por lo tanto, la fuerza sobre la carga no es la misma en ambos marcos, sino que se transforma como se espera de acuerdo con la relatividad.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} '&=\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \\[1ex]\mathbf {B} '&=\mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} ,\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a7962757d0368c6a3f4ac952602feedc39adedd)
![{\displaystyle \mathbf {F} = q\left[\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e464ca1df543d0e3799230f7b9c78c3d980d2734)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\gamma \left(x-vt\right),&x&=\gamma \left(x'+vt'\right),\\[1ex]t'&=\gamma \left(t-{\tfrac {vx}{c^{2}}}\right),&t&=\gamma \left(t'+{\tfrac {vx'}{c^{2}}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26eb88c26443a7e159464a8086ba7807f8a5ad0)
