Electromagnetismo clásico y relatividad especial

Relación entre la relatividad y el electromagnetismo precuántico

La teoría de la relatividad especial desempeña un papel importante en la teoría moderna del electromagnetismo clásico . Proporciona fórmulas para determinar cómo se modifican los objetos electromagnéticos, en particular los campos eléctrico y magnético, bajo una transformación de Lorentz desde un marco de referencia inercial a otro. Arroja luz sobre la relación entre la electricidad y el magnetismo, mostrando que el marco de referencia determina si una observación sigue leyes eléctricas o magnéticas. Motiva una notación compacta y conveniente para las leyes del electromagnetismo, a saber, la forma tensorial "manifiestamente covariante".

Las ecuaciones de Maxwell , cuando se enunciaron por primera vez en su forma completa en 1865, resultaron ser compatibles con la relatividad especial. ^[1] Además, las aparentes coincidencias en las que se observaba el mismo efecto debido a diferentes fenómenos físicos por dos observadores diferentes no eran en absoluto coincidencias según la relatividad especial. De hecho, la mitad del primer artículo de Einstein sobre la relatividad especial de 1905, " Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento ", explica cómo transformar las ecuaciones de Maxwell.

Transformación de los campos entre sistemas inerciales

Campos E y B

Impulso de Lorentz de una carga eléctrica.

Arriba: La carga está en reposo en el sistema F , por lo que este observador ve un campo eléctrico estático. Un observador en otro sistema F ′ se mueve con velocidad v en relación con F y ve que la carga se mueve con velocidad − v con un campo eléctrico alterado E debido a la contracción de la longitud y un campo magnético B debido al movimiento de la carga.

Abajo: Configuración similar, con la carga en reposo en el marco F ′ .

Esta ecuación considera dos sistemas inerciales . El sistema con prima se mueve con respecto al sistema sin prima a una velocidad v . Los campos definidos en el sistema con prima se indican con primas, y los campos definidos en el sistema sin prima carecen de primas. Los componentes de campo paralelos a la velocidad v se indican con E _∥ y B _∥, mientras que los componentes de campo perpendiculares a v se indican con E _⟂ y B _⟂ . En estos dos sistemas que se mueven a una velocidad relativa v , los campos E y B están relacionados por: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E_{\parallel }} '&=\mathbf {E_{\parallel }} \\\mathbf {B_{\parallel }} '&=\mathbf {B_{\parallel }} \\\mathbf {E_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\\\mathbf {B_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \gamma \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

se llama factor de Lorentz y c es la velocidad de la luz en el espacio libre . El factor de Lorentz ( γ ) es el mismo en ambos sistemas . Las transformaciones inversas son las mismas excepto por la sustitución v → − v .

Una expresión alternativa equivalente es: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} '&=\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {B} '&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}\right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}}$

donde es el vector unitario de velocidad . Con las notaciones anteriores, en realidad se tiene y . ${\displaystyle \textstyle \mathbf {\hat {v}} ={\frac {\mathbf {v} }{\Vert \mathbf {v} \Vert }}}$ ${\displaystyle (\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} =\mathbf {E} _{\parallel }}$ ${\displaystyle (\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} =\mathbf {B} _{\parallel }}$

Componente por componente, para el movimiento relativo a lo largo del eje x v = ( v , 0, 0) , esto resulta ser lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}E'_{x}&=E_{x}&\qquad B'_{x}&=B_{x}\\E'_{y}&=\gamma \left(E_{y}-vB_{z}\right)&B'_{y}&=\gamma \left(B_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}E_{z}\right)\\E'_{z}&=\gamma \left(E_{z}+vB_{y}\right)&B'_{z}&=\gamma \left(B_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}E_{y}\right).\\\end{aligned}}}$

Si uno de los campos es cero en un sistema de referencia, eso no significa necesariamente que sea cero en todos los demás sistemas de referencia. Esto se puede ver, por ejemplo, haciendo que el campo eléctrico no primado sea cero en la transformación al campo eléctrico primado. En este caso, dependiendo de la orientación del campo magnético, el sistema primado podría ver un campo eléctrico, aunque no haya ninguno en el sistema no primado.

Esto no significa que se vean dos conjuntos de eventos completamente diferentes en los dos cuadros, sino que la misma secuencia de eventos se describe de dos maneras diferentes (ver § Problema del imán y el conductor en movimiento a continuación).

Si una partícula de carga q se mueve con velocidad u con respecto al marco S , entonces la fuerza de Lorentz en el marco S es:

${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {u} \times \mathbf {B} }$

En el marco S ′ , la fuerza de Lorentz es:

${\displaystyle \mathbf {F'} =q\mathbf {E'} +q\mathbf {u'} \times \mathbf {B'} }$

Aquí se da una derivación para la transformación de la fuerza de Lorentz para el caso particular u = 0. ^[4] Una más general se puede ver aquí. ^[5]

Las transformaciones en esta forma se pueden hacer más compactas introduciendo el tensor electromagnético (definido a continuación), que es un tensor covariante .

Campos D y H

Para el desplazamiento eléctrico D y la intensidad del campo magnético H , utilizando las relaciones constitutivas y el resultado para c ² :

${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} \,,\quad \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} \,,\quad c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}\,,}$

da

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} '&=\gamma \left(\mathbf {D} +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {H} '&=\gamma \left(\mathbf {H} -\mathbf {v} \times \mathbf {D} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {H} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}}$

De manera análoga para E y B , D y H forman el tensor de desplazamiento electromagnético .

φy campos A

Una transformación alternativa más simple del campo EM utiliza los potenciales electromagnéticos : el potencial eléctrico φ y el potencial magnético A : ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi '&=\gamma \left(\varphi -vA_{\parallel }\right)\\A_{\parallel }'&=\gamma \left(A_{\parallel }-{\frac {v\varphi }{c^{2}}}\right)\\A_{\bot }'&=A_{\bot }\end{aligned}}}$

donde A _∥ es el componente de A que es paralelo a la dirección de la velocidad relativa entre los sistemas v , y A _⟂ es el componente perpendicular. Estas se asemejan de manera transparente a la forma característica de otras transformaciones de Lorentz (como la de tiempo-posición y la de energía-momento), mientras que las transformaciones de E y B anteriores son ligeramente más complicadas. Los componentes se pueden agrupar como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} '&=\mathbf {A} -{\frac {\gamma \varphi }{c^{2}}}\mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\varphi '&=\gamma \left(\varphi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} \right)\end{aligned}}}$

ρy campos J

De manera análoga para la densidad de carga ρ y la densidad de corriente J , ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\parallel }'&=\gamma \left(J_{\parallel }-v\rho \right)\\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {v}{c^{2}}}J_{\parallel }\right)\\J_{\bot }'&=J_{\bot }\end{aligned}}}$

Recopilando componentes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} '&=\mathbf {J} -\gamma \rho \mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Aproximaciones no relativistas

Para velocidades v ≪ c , el factor relativista γ ≈ 1, lo que da:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} '&\approx \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \\\mathbf {B} '&\approx \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \\\mathbf {J} '&\approx \mathbf {J} -\rho \mathbf {v} \\\rho '&\approx \rho -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} \end{aligned}}}$

de modo que no es necesario distinguir entre las coordenadas espaciales y temporales en las ecuaciones de Maxwell .

Relación entre electricidad y magnetismo

A una parte de la fuerza entre cargas en movimiento la llamamos fuerza magnética. En realidad, es un aspecto de un efecto eléctrico.

—Richard  Feynman ^[7]

Derivación del magnetismo a partir de las leyes eléctricas

El sistema de referencia elegido determina si un fenómeno electromagnético se considera un efecto eléctrico o magnético o una combinación de ambos. Los autores suelen derivar el magnetismo de la electrostática cuando se tienen en cuenta la relatividad especial y la invariancia de la carga . Las Feynman Lectures on Physics (vol. 2, cap. 13-6) utilizan este método para derivar la fuerza magnética sobre la carga en movimiento paralelo junto a un cable que transporta corriente. Véase también Haskell ^[8] y Landau ^{[9] .}

Si, en cambio, la carga se mueve perpendicularmente a un cable que transporta corriente, no se puede utilizar la electrostática para derivar la fuerza magnética. En este caso, se puede derivar considerando la compresión relativista del campo eléctrico debido al movimiento de las cargas en el cable. ^[10]

Los campos se entremezclan en diferentes marcos

Las reglas de transformación anteriores muestran que el campo eléctrico en un marco contribuye al campo magnético en otro marco, y viceversa. ^[11] Esto se describe a menudo diciendo que el campo eléctrico y el campo magnético son dos aspectos interrelacionados de un solo objeto, llamado campo electromagnético . De hecho, todo el campo electromagnético se puede representar en un único tensor de rango 2 llamado tensor electromagnético ; véase más abajo.

Problema del imán móvil y del conductor

Un ejemplo famoso de la mezcla de fenómenos eléctricos y magnéticos en diferentes marcos de referencia es el llamado "problema del imán y el conductor en movimiento", citado por Einstein en su artículo de 1905 sobre la relatividad especial.

Si un conductor se mueve con una velocidad constante a través del campo de un imán estacionario, se producirán corrientes parásitas debido a una fuerza magnética sobre los electrones del conductor. En cambio, en el sistema de reposo del conductor, el imán se moverá y el conductor permanecerá estacionario. La teoría electromagnética clásica predice que se producirán exactamente las mismas corrientes parásitas microscópicas, pero se deberán a una fuerza eléctrica . ^[12]

Formulación covariante en vacío

Las leyes y los objetos matemáticos del electromagnetismo clásico se pueden escribir en una forma que es manifiestamente covariante . En este caso, esto solo se hace para el vacío (o para las ecuaciones microscópicas de Maxwell, sin utilizar descripciones macroscópicas de materiales como la permitividad eléctrica ) y se utilizan unidades del SI .

En esta sección se utiliza la notación de Einstein , incluida la convención de suma de Einstein . Véase también el cálculo de Ricci para obtener un resumen de las notaciones de índices tensoriales , y la definición de índices de elevación y descenso para los índices de superíndice y subíndice, y cómo cambiar entre ellos. El tensor métrico de Minkowski η tiene aquí una signatura métrica (+ − − −) .

Tensor de campo y 4-corrientes

Las transformaciones relativistas anteriores sugieren que los campos eléctrico y magnético están acoplados entre sí, en un objeto matemático con 6 componentes: un tensor de segundo rango antisimétrico o un bivector . Esto se denomina tensor de campo electromagnético , que suele escribirse como F ^μν . En forma matricial: ^[13]

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

donde c es la velocidad de la luz ; en unidades naturales c = 1 .

Hay otra forma de fusionar los campos eléctrico y magnético en un tensor antisimétrico, reemplazando E / c → B y B → − E / c , para obtener su dual de Hodge G ^μν .

${\displaystyle G^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{pmatrix}}}$

En el contexto de la relatividad especial , ambos se transforman de acuerdo con la transformación de Lorentz según

${\displaystyle F^{\alpha '\beta '}=\Lambda ^{\alpha '}{}_{\mu }\Lambda ^{\beta '}{}_{\nu }F^{\mu \nu }}$,

donde Λ ^{α ′} _ν es el tensor de transformación de Lorentz para un cambio de un sistema de referencia a otro. El mismo tensor se utiliza dos veces en la suma.

La carga y la densidad de corriente, las fuentes de los campos, también se combinan en los cuatro vectores.

${\displaystyle J^{\alpha }=\left(c\rho ,J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$

llamada la de cuatro corrientes .

Ecuaciones de Maxwell en forma tensorial

Utilizando estos tensores, las ecuaciones de Maxwell se reducen a: ^[13]

Ecuaciones de Maxwell (formulación covariante)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial F^{\alpha \beta }}{\partial x^{\alpha }}}&=\mu _{0}J^{\beta }\\[3pt]{\frac {\partial G^{\alpha \beta }}{\partial x^{\alpha }}}&=0\end{aligned}}}$

donde las derivadas parciales pueden escribirse de varias maneras, véase 4-gradiente . La primera ecuación mencionada anteriormente corresponde tanto a la Ley de Gauss (para β = 0 ) como a la Ley de Ampère-Maxwell (para β = 1, 2, 3 ). La segunda ecuación corresponde a las dos ecuaciones restantes, la ley de Gauss para el magnetismo (para β = 0 ) y la Ley de Faraday (para β = 1, 2, 3 ).

Estas ecuaciones tensoriales son manifiestamente covariantes , lo que significa que se puede ver que son covariantes por las posiciones de los índices. Esta forma abreviada de las ecuaciones de Maxwell ilustra una idea compartida entre algunos físicos, a saber, que las leyes de la física adoptan una forma más simple cuando se escriben utilizando tensores .

Reduciendo los índices de F ^αβ para obtener F _αβ :

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\eta _{\alpha \lambda }\eta _{\beta \mu }F^{\lambda \mu }}$

La segunda ecuación se puede escribir en términos de F _αβ como:

${\displaystyle \varepsilon ^{\delta \alpha \beta \gamma }{\dfrac {\partial F_{\beta \gamma }}{\partial x^{\alpha }}}={\dfrac {\partial F_{\alpha \beta }}{\partial x^{\gamma }}}+{\dfrac {\partial F_{\gamma \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\dfrac {\partial F_{\beta \gamma }}{\partial x^{\alpha }}}=0}$

donde ε ^δαβγ es el símbolo contravariante de Levi-Civita . Observe la permutación cíclica de índices en esta ecuación: α → β → γ → α de cada término al siguiente.

Otro objeto electromagnético covariante es el tensor de energía-tensión electromagnética , un tensor covariante de rango 2 que incluye el vector de Poynting , el tensor de tensión de Maxwell y la densidad de energía electromagnética.

4-potencial

El tensor de campo EM también se puede escribir ^[14]

${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\frac {\partial A^{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}-{\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}\,,}$

dónde

${\displaystyle A^{\alpha }=\left({\frac {\varphi }{c}},A_{x},A_{y},A_{z}\right)\,,}$

es el cuatro-potencial y

${\displaystyle x_{\alpha }=(ct,-x,-y,-z)}$

es el de cuatro posiciones .

Utilizando el potencial 4 en el calibre de Lorenz, se puede encontrar una formulación alternativa manifiestamente covariante en una sola ecuación (una generalización de una ecuación debida a Bernhard Riemann por Arnold Sommerfeld , conocida como la ecuación de Riemann-Sommerfeld, ^[15] o la forma covariante de las ecuaciones de Maxwell ^[16] ):

Ecuaciones de Maxwell ( formulación de calibre de Lorenz covariante )

${\displaystyle \Box A^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }}$

¿Dónde está el operador d'Alembertiano , o cuatri-Laplaciano? ${\displaystyle \Box }$

Véase también

• Descripciones matemáticas del campo electromagnético
• Electromagnetismo relativista

Referencias

1. Haskell. «Quedan preguntas sobre el tratamiento de las cargas aceleradas: la relatividad especial y las ecuaciones de Maxwell». Archivado desde el original el 1 de enero de 2008.
2. Tai L. Chow (2006). "10.21". Teoría electromagnética . Sudbury, MA: Jones y Bartlett. pp. 402-403 y siguientes. ISBN 0-7637-3827-1.
3. Daniel, Herbert (1997), "4.5.1", Physik: Elektrodynamik, relativistische Physik, Walter de Gruyter, págs. 360–361, ISBN 3-11-015777-2Extracto de las páginas 360-361
4. "Leyes de fuerza y ​​ecuaciones de Maxwell". MathPages .
5. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 26 de febrero de 2009. Consultado el 6 de noviembre de 2008 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
6. G. Woan (2010). Manual de fórmulas de física de Cambridge . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57507-2.
7. "1: Electromagnetismo". Conferencias Feynman sobre Física | Conferencias Feynman. Vol. II.
8. "Nueva página 2". Archivado desde el original el 1 de enero de 2008. Consultado el 10 de abril de 2008 .
9. LD Landau; EM Lifshitz (1980). La teoría clásica de campos. Curso de Física Teórica . Vol. 2 (Cuarta edición). Oxford, Reino Unido: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9.
10. Purcell, EM; Morin, D. J (2013). Electricidad y magnetismo (cuarta edición). Cambridge University Press. págs. 265-267. ISBN 978-1-107-01402-2.Extracto de la página 265
11. Tai L. Chow (2006). Teoría electromagnética. Sudbury, MA: Jones y Bartlett. pág. 395. ISBN. 0-7637-3827-1.
12. David J Griffiths (1999). Introducción a la electrodinámica (tercera edición). Prentice Hall. pp. 478–479. ISBN 0-13-805326-X.
13. Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.). Prentice Hall. pág. 557. ISBN 0-13-805326-X.
14. DJ Griffiths (1999). Introducción a la electrodinámica. Saddle River, NJ: Pearson/Addison-Wesley. pág. 541. ISBN 0-13-805326-X.
15. Carver A. Mead (7 de agosto de 2002). Electrodinámica colectiva: fundamentos cuánticos del electromagnetismo. MIT Press. pp. 37–38. ISBN 978-0-262-63260-7.
16. Frederic V. Hartemann (2002). Electrodinámica de alto campo. CRC Press. p. 102. ISBN 978-0-8493-2378-2.