cuatro gradiente

Análogo de cuatro vectores de la operación de gradiente.

En geometría diferencial , el cuatro gradiente (o 4 gradiente ) es el análogo de cuatro vectores del gradiente del cálculo vectorial . ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$ ${\displaystyle {\vec {\boldsymbol {\nabla }}}}$

En relatividad especial y en mecánica cuántica , el cuatro gradiente se utiliza para definir las propiedades y relaciones entre los diversos cuatro vectores y tensores físicos .

Notación

Este artículo utiliza la firma métrica (+ − − −) .

SR y GR son abreviaturas de relatividad especial y relatividad general respectivamente.

${\displaystyle c}$Indica la velocidad de la luz en el vacío.

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$es la métrica del espacio-tiempo plano de SR.

Existen formas alternativas de escribir expresiones de cuatro vectores en física:

• Se puede usar el estilo de cuatro vectores : , que normalmente es más compacto y puede usar notación vectorial (como el producto interno "punto"), siempre usando mayúsculas en negrita para representar los cuatro vectores y minúsculas en negrita para representar 3- vectores espaciales, por ejemplo . La mayoría de las reglas de los vectores de 3 espacios tienen analogías en las matemáticas de cuatro vectores. ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }$ ${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$
• Se puede utilizar el estilo de cálculo de Ricci : , que utiliza notación de índice tensorial y es útil para expresiones más complicadas, especialmente aquellas que involucran tensores con más de un índice, como . ${\displaystyle A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }}$ ${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$

El índice del tensor latino varía en {1, 2, 3} y representa un vector de 3 espacios, por ejemplo . ${\displaystyle A^{i}=\left(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\mathbf {a} }}}$

El índice del tensor griego varía en {0, 1, 2, 3} y representa un vector de 4, por ejemplo . ${\displaystyle A^{\mu }=\left(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3}\right)=\mathbf {A} }$

En física SR, normalmente se usa una combinación concisa, por ejemplo , donde representa el componente temporal y representa el componente espacial de 3. ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(a^{0},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ ${\displaystyle a^{0}}$ ${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$

Los tensores en SR suelen ser tensores 4D, con índices superiores e índices inferiores, donde el 4D indica 4 dimensiones = la cantidad de valores que puede tomar cada índice. ${\displaystyle (m,n)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

La contracción tensorial utilizada en la métrica de Minkowski puede ir a cualquier lado (ver notación de Einstein ): ^{[1] : 56, 151–152, 158–161}

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-\sum _{i=1}^{3}a^{i}b^{i}=a^{0}b^{0}-{\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$$

Definición

Los componentes covariantes de 4 gradientes escritos de forma compacta en notación de cálculo de Ricci y de cuatro vectores son: ^{[2] [3] : 16}

$${\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial X^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right)=\left(\partial _{0},\partial _{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}\right)=\partial _{\mu }={}_{,\mu }}$$

La coma en la última parte anterior implica la diferenciación parcial con respecto a 4 posiciones . ${\displaystyle {}_{,\mu }}$ ${\displaystyle X^{\mu }}$

Los componentes contravariantes son: ^{[2] [3] : 16}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=\partial ^{\alpha }=\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left(\partial ^{0},\partial ^{1},\partial ^{2},\partial ^{3}\right)=\left(\partial ^{0},\partial ^{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)}$$

Símbolos alternativos a are y D (aunque también puede significar como operador d'Alembert ). ${\displaystyle \partial _{\alpha }}$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }}$

En GR, se debe utilizar el tensor métrico más general y la derivada covariante del tensor (que no debe confundirse con el vector 3-gradiente ). ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \nabla _{\mu }={}_{;\mu }}$ ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$

La derivada covariante incorpora los efectos de curvatura de 4 gradientes más espacio-tiempo a través de los símbolos de Christoffel. ${\displaystyle \nabla _{\nu }}$ ${\displaystyle \partial _{\nu }}$ ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }}$

El principio de equivalencia fuerte se puede enunciar como: ^{[4] : ​​184}

"Cualquier ley física que pueda expresarse en notación tensorial en SR tiene exactamente la misma forma en un marco localmente inercial de un espacio-tiempo curvo". Las comas de 4 gradientes (,) en SR simplemente se cambian a punto y coma derivada covariante (;) en GR, y la conexión entre las dos utiliza símbolos de Christoffel . Esto se conoce en física de la relatividad como la "regla de la coma al punto y coma".

Entonces, por ejemplo, si está en SR, entonces en GR. ${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0}$ ${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0}$

En un tensor (1,0) o 4 vectores esto sería: ^{[4] : ​​136–139}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\beta }V^{\alpha }&=\partial _{\beta }V^{\alpha }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\\[0.1ex]V^{\alpha }{}_{;\beta }&=V^{\alpha }{}_{,\beta }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\end{aligned}}}$$

En un tensor (2,0) esto sería:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }&=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\\T^{\mu \nu }{}_{;\nu }&=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\end{aligned}}}$$

Uso

El gradiente de 4 se utiliza de diferentes maneras en la relatividad especial (SR):

A lo largo de este artículo, todas las fórmulas son correctas para las coordenadas espaciales planas de Minkowski de SR, pero deben modificarse para las coordenadas espaciales curvas más generales de la relatividad general (GR).

Como 4 divergencias y fuente de leyes de conservación.

La divergencia es un operador vectorial que produce un campo escalar con signo que proporciona la cantidad de la fuente de un campo vectorial en cada punto. Tenga en cuenta que en esta firma métrica [+,−,−,−] el 4-Gradient tiene un componente espacial negativo. Se cancela al tomar el producto escalar 4D ya que la métrica de Minkowski es Diagonal[+1,−1,−1,−1].

La 4 divergencia de la 4 posición da la dimensión del espacio-tiempo : ${\displaystyle X^{\mu }=\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {X} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }X^{\nu }=\partial _{\nu }X^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (ct,{\vec {x}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(ct)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {x}}=(\partial _{t}t)+(\partial _{x}x+\partial _{y}y+\partial _{z}z)=(1)+(3)=4}$$

La 4 divergencia de la densidad de 4 corrientes.

$${\displaystyle J^{\mu }=\left(\rho c,{\vec {\mathbf {j} }}\right)=\rho _{o}U^{\mu }=\rho _{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {\mathbf {u} }}\right)}$$

ley de conservaciónconservación de la carga^{[1] : 103-107}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {J} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }J^{\nu }=\partial _{\nu }J^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (\rho c,{\vec {j}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(\rho c)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=\partial _{t}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0}$$

Esto significa que la tasa de cambio temporal de la densidad de carga debe ser igual a la divergencia espacial negativa de la densidad de corriente . ${\displaystyle \partial _{t}\rho =-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}}$

En otras palabras, la carga dentro de una caja no puede cambiar simplemente arbitrariamente, debe entrar y salir de la caja a través de una corriente. Esta es una ecuación de continuidad .

La 4 divergencia del flujo de 4 números (4 polvo) se utiliza en la conservación de partículas: ^{[4] : ​​90–110} ${\displaystyle N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }N^{\nu }=\partial _{\nu }N^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left(nc\right)+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=\partial _{t}n+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=0}$$

Esta es una ley de conservación para la densidad numérica de partículas, típicamente algo así como la densidad numérica bariónica.

La 4 divergencia del 4 potencial electromagnético se utiliza en la condición del calibre de Lorenz : ^{[1] : 105–107} ${\textstyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }=\partial _{\nu }A^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left({\frac {\phi }{c}},{\vec {a}}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left({\frac {\phi }{c}}\right)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}={\frac {\partial _{t}\phi }{c^{2}}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}=0}$$

Esto es el equivalente a una ley de conservación para el potencial 4 EM.

La 4-divergencia del tensor 4D (2,0) transversal sin trazas representa la radiación gravitacional en el límite del campo débil (es decir, que se propaga libremente lejos de la fuente). ${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

La condición transversal

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$

La 4-divergencia del tensor tensión-energía como la corriente de Noether conservada asociada con las traslaciones espacio-temporales da cuatro leyes de conservación en SR: ^{[4] : ​​101-106} ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$

La conservación de la energía (dirección temporal) y la conservación del momento lineal (3 direcciones espaciales separadas).

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot T^{\mu \nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0^{\mu }=(0,0,0,0)}$$

A menudo se escribe como:

$${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0}$$

${\displaystyle 0^{\mu }=(0,0,0,0)}$

Cuando la conservación del tensor tensión-energía ( ) ${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0^{\mu }}$ para un fluido perfecto se combina con la conservación de la densidad del número de partículas ( ), ambas utilizando el gradiente 4, se pueden derivar las ecuaciones relativistas de Euler , que en mecánica de fluidos y astrofísica son una Generalización de las ecuaciones de Euler que dan cuenta de los efectos de la relatividad especial . Estas ecuaciones se reducen a las ecuaciones clásicas de Euler si la velocidad del fluido en el espacio tridimensional es mucho menor que la velocidad de la luz, la presión es mucho menor que la densidad de energía y esta última está dominada por la densidad de masa en reposo. ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =0}$

En el espacio-tiempo plano y usando coordenadas cartesianas, si se combina esto con la simetría del tensor tensión-energía, se puede demostrar que el momento angular ( momento angular relativista ) también se conserva:

$${\displaystyle \partial _{\nu }\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)=\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)_{,\nu }=0^{\alpha \mu }}$$

Como matriz jacobiana para el tensor métrico de SR Minkowski

La matriz jacobiana es la matriz de todas las derivadas parciales de primer orden de una función con valores vectoriales .

El gradiente de 4 que actúa sobre la posición de 4 da la métrica espacial de SR Minkowski : ^{[3] : 16} ${\displaystyle \partial ^{\mu }}$ ${\displaystyle X^{\nu }}$ ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {X} ]=\partial ^{\mu }[X^{\nu }]=X^{\nu _{,}\mu }&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\left[\left(ct,{\vec {x}}\right)\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)[(ct,x,y,z)],\\[3pt]&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}ct&{\frac {\partial _{t}}{c}}x&{\frac {\partial _{t}}{c}}y&{\frac {\partial _{t}}{c}}z\\-\partial _{x}ct&-\partial _{x}x&-\partial _{x}y&-\partial _{x}z\\-\partial _{y}ct&-\partial _{y}x&-\partial _{y}y&-\partial _{y}z\\-\partial _{z}ct&-\partial _{z}x&-\partial _{z}y&-\partial _{z}z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\\[3pt]&=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]=\eta ^{\mu \nu }.\end{aligned}}}$$

Para la métrica de Minkowski, los componentes ( no sumados), con componentes no diagonales, todos cero. ${\displaystyle \left[\eta ^{\mu \mu }\right]=1/\left[\eta _{\mu \mu }\right]}$ ${\displaystyle \mu }$

Para la métrica cartesiana de Minkowski, esto da . ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$

Generalmente, ¿dónde está el delta de Kronecker 4D ? ${\displaystyle \eta _{\mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }=\operatorname {diag} [1,1,1,1]}$ ${\displaystyle \delta _{\mu }^{\nu }}$

Como una forma de definir las transformaciones de Lorentz

La transformación de Lorentz se escribe en forma tensorial como ^{[4] : ​​69}

$${\displaystyle X^{\mu '}=\Lambda _{\nu }^{~\mu '}X^{\nu }}$$

${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu '}}$

$${\displaystyle {\dfrac {\partial X^{\mu '}}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$$

Así, por definición del gradiente 4

$${\displaystyle \partial _{\nu }\left[X^{\mu '}\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial X^{\nu }}}\right)\left[X^{\mu '}\right]={\dfrac {\partial X^{\mu '}}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$$

Esta identidad es fundamental. Componentes de la transformación de 4 gradientes según la inversa de los componentes de 4 vectores. Entonces, el gradiente 4 es la forma única "arquetípica".

Como parte de la derivada total del tiempo propio

El producto escalar de 4 velocidades con el gradiente 4 da la derivada total con respecto al tiempo propio : ^{[1] : 58–59} ${\displaystyle U^{\mu }}$ ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}&=U^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)\cdot \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(\partial _{t}+{\frac {dx}{dt}}\partial _{x}+{\frac {dy}{dt}}\partial _{y}+{\frac {dz}{dt}}\partial _{z}\right)=\gamma {\frac {d}{dt}}={\frac {d}{d\tau }}\\{\frac {d}{d\tau }}&={\frac {dX^{\mu }}{dX^{\mu }}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d}{dX^{\mu }}}=U^{\mu }\partial _{\mu }=\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}\end{aligned}}}$$

El hecho de que sea un invariante escalar de Lorentz muestra que la derivada total con respecto al tiempo propio también es un invariante escalar de Lorentz. ${\displaystyle \mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$

Entonces, por ejemplo, la 4-velocidad es la derivada de la 4-posición con respecto al tiempo propio: ${\displaystyle U^{\mu }}$ ${\displaystyle X^{\mu }}$

$${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =(\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {X} =\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {X} ]=U^{\alpha }\cdot \eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\eta _{\alpha \nu }\eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\delta _{\alpha }^{\mu }=U^{\mu }=\mathbf {U} }$$

$${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\left(ct,{\vec {x}}\right)=\gamma \left({\frac {d}{dt}}ct,{\frac {d}{dt}}{\vec {x}}\right)=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\mathbf {U} }$$

Otro ejemplo, la 4-aceleración es la derivada en el tiempo propio de la 4-velocidad : ${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle U^{\mu }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} &=(\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {U} =\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {U} ]=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }\partial ^{\mu }\left[U^{\nu }\right]\\&=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }{\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma {\vec {u}}\\-{\vec {\nabla }}\gamma c&-{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}=U^{\alpha }{\begin{bmatrix}\ {\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&0\\0&{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}\\[3pt]&=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c,{\vec {u}}\cdot \nabla \gamma {\vec {u}}\right)=\gamma \left(c\partial _{t}\gamma ,{\frac {d}{dt}}\left[\gamma {\vec {u}}\right]\right)=\gamma \left(c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}}\right)=\mathbf {A} \end{aligned}}}$$

o

$${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} =\gamma {\frac {d}{dt}}(\gamma c,\gamma {\vec {u}})=\gamma \left({\frac {d}{dt}}[\gamma c],{\frac {d}{dt}}[\gamma {\vec {u}}]\right)=\gamma (c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}})=\mathbf {A} }$$

Como forma de definir el tensor electromagnético de Faraday y derivar las ecuaciones de Maxwell.

El tensor electromagnético de Faraday es un objeto matemático que describe el campo electromagnético en el espacio-tiempo de un sistema físico. ^{[1] : 101–128  [5] : 314  [3] : 17–18  [6] : 29–30  [7] : 4} ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$

Aplicando el gradiente 4 para hacer un tensor antisimétrico, se obtiene:

$${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$$

• Electromagnético de 4 potenciales , no confundir con el de 4 aceleraciones. ${\displaystyle A^{\mu }=\mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\gamma \left(c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}}\right)}$
• El potencial escalar eléctrico es ${\displaystyle \phi }$
• El potencial del vector magnético de 3 espacios es ${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$

Aplicando nuevamente el gradiente de 4 y definiendo la densidad de corriente de 4 como se puede derivar la forma tensorial de las ecuaciones de Maxwell : ${\displaystyle J^{\beta }=\mathbf {J} =\left(c\rho ,{\vec {\mathbf {j} }}\right)}$

$${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{o}J^{\beta }}$$

$${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0_{\alpha \beta \gamma }}$$

identidad Bianchiidentidad Jacobi

Como forma de definir el vector de 4 ondas.

Un vector de onda es un vector que ayuda a describir una onda . Como cualquier vector, tiene una magnitud y una dirección , las cuales son importantes: su magnitud es el número de onda o el número de onda angular de la onda (inversamente proporcional a la longitud de onda ), y su dirección es normalmente la dirección de propagación de la onda.

El vector de 4 ondas es el 4 gradiente de la fase negativa (o el 4 gradiente negativo de la fase) de una onda en el espacio de Minkowski: ^{[6] : 387} ${\displaystyle K^{\mu }}$ ${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)={\boldsymbol {\partial }}[-\Phi ]=-{\boldsymbol {\partial }}[\Phi ]}$$

Esto es matemáticamente equivalente a la definición de la fase de una onda (o más específicamente de una onda plana ):

$${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {X} =\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}=-\Phi }$$

donde 4 posiciones , es la frecuencia angular temporal, es el vector de onda espacial de 3 espacios y es la fase invariante del escalar de Lorentz. ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$ ${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle \partial [\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} ]=\partial \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right],-\nabla \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}[\omega t],-\nabla \left[-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\mathbf {K} }$$

${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\vec {\mathbf {x} }}}$

La forma explícita de una onda plana SR se puede escribir como: ^{[7] : 9} ${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )}$

$${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )=A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}=A_{n}e^{i(\Phi _{n})}}$$

compleja ). ${\displaystyle A_{n}}$

Una onda general sería la superposición de múltiples ondas planas: ${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )}$

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )=\sum _{n}[\Psi _{n}(\mathbf {X} )]=\sum _{n}\left[A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}\right]=\sum _{n}\left[A_{n}e^{i(\Phi _{n})}\right]}$$

Nuevamente usando el gradiente 4,

$${\displaystyle \partial [\Psi (\mathbf {X} )]=\partial \left[Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} \left[Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} [\Psi (\mathbf {X} )]}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=-i\mathbf {K} }$$

ondas planas de valores complejos

Como el operador d'alembertiano

En relatividad especial, electromagnetismo y teoría de ondas, el operador d'Alembert, también llamado d'Alembertiano u operador de ondas, es el operador de Laplace del espacio de Minkowski. El operador lleva el nombre del matemático y físico francés Jean le Rond d'Alembert.

El cuadrado de es el 4- laplaciano , que se llama operador d'Alembert : ^{[5] : 300  [3] : 17‒18  [6] : 41  [7] : 4} ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}=\partial ^{\mu }\cdot \partial ^{\nu }=\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\partial _{\nu }\partial ^{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\right)^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}.}$$

Como es el producto escalar de dos 4 vectores, el d'Alembertiano es un escalar invariante de Lorentz .

Ocasionalmente, en analogía con la notación tridimensional, los símbolos y se utilizan para el gradiente de 4 y el d'alembertiano respectivamente. Sin embargo, lo más habitual es que el símbolo esté reservado para el d'alembertiano. ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Box ^{2}}$ ${\displaystyle \Box }$

A continuación se muestran algunos ejemplos del gradiente 4 tal como se utiliza en el d'Alembertiano:

En la ecuación de onda cuántica relativista de Klein-Gordon para partículas de espín 0 (por ejemplo, el bosón de Higgs ):

$${\displaystyle \left[({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =\left[\left({\frac {\partial _{t}^{2}}{c^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$

En la ecuación de onda del campo electromagnético (usando el calibre de Lorenz ): ${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} )=\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)=0}$

• En el vacío:
  $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=\mathbf {0} =0^{\alpha }}$$
• Con fuente de 4 corrientes , sin incluir los efectos del espín:
  $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=\mu _{0}\mathbf {J} =\mu _{0}J^{\alpha }}$$
• Con fuente de electrodinámica cuántica , incluidos los efectos del espín:
  $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\alpha }\psi }$$

dónde:

• El 4 potencial electromagnético es un potencial vectorial electromagnético. ${\displaystyle \mathbf {A} =A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {\vec {a}} \right)}$
• La densidad de 4 corrientes es una densidad de corriente electromagnética. ${\displaystyle \mathbf {J} =J^{\alpha }=\left(\rho c,\mathbf {\vec {j}} \right)}$
• Las matrices de Dirac Gamma proporcionan los efectos del espín ${\displaystyle \gamma ^{\alpha }=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)}$

En la ecuación de onda de una onda gravitacional (usando un medidor de Lorenz similar ) ^{[6] : 274–322} ${\displaystyle \left(\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }\right)=0}$

$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$

${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

Otras condiciones son : ${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

• Puramente espacial:
  $${\displaystyle \mathbf {U} \cdot h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT}^{0\nu }=0}$$
• Sin rastro:
  $${\displaystyle \eta _{\mu \nu }h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT\nu }^{\nu }=0}$$
• Transverso:
  $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$

En la versión de 4 dimensiones de la función de Green :

$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})G\left[\mathbf {X} -\mathbf {X'} \right]=\delta ^{(4)}\left[\mathbf {X} -\mathbf {X'} \right]}$$

donde la función

$${\displaystyle \delta ^{(4)}[\mathbf {X} ]={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}\mathbf {K} e^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}}$$

Como componente del teorema de Gauss 4D / teorema de Stokes / teorema de divergencia

En cálculo vectorial , el teorema de divergencia , también conocido como teorema de Gauss o teorema de Ostrogradsky, es un resultado que relaciona el flujo (es decir, flujo ) de un campo vectorial a través de una superficie con el comportamiento del campo vectorial dentro de la superficie. Más precisamente, el teorema de la divergencia establece que el flujo hacia afuera de un campo vectorial a través de una superficie cerrada es igual a la integral de volumen de la divergencia sobre la región dentro de la superficie. Intuitivamente, establece que la suma de todas las fuentes menos la suma de todos los sumideros da el flujo neto que sale de una región . En cálculo vectorial, y más generalmente en geometría diferencial, el teorema de Stokes (también llamado teorema de Stokes generalizado) es una declaración sobre la integración de formas diferenciales en variedades, que simplifica y generaliza varios teoremas del cálculo vectorial.

$${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X\left(\partial _{\mu }V^{\mu }\right)=\oint _{\partial \Omega }dS\left(V^{\mu }N_{\mu }\right)}$$

$${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X\left({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {V} \right)=\oint _{\partial \Omega }dS\left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {N} \right)}$$

• ${\displaystyle \mathbf {V} =V^{\mu }}$es un campo de 4 vectores definido en ${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {V} =\partial _{\mu }V^{\mu }}$es la 4-divergencia de ${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {N} =V^{\mu }N_{\mu }}$es el componente de la dirección longitudinal ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle \Omega }$es una región 4D simplemente conectada del espacio-tiempo de Minkowski
• ${\displaystyle \partial \Omega =S}$es su límite 3D con su propio elemento de volumen 3D ${\displaystyle dS}$
• ${\displaystyle \mathbf {N} =N^{\mu }}$es la normal que apunta hacia afuera
• ${\displaystyle d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)}$es el elemento de volumen diferencial 4D

Como componente de la ecuación de SR Hamilton-Jacobi en mecánica analítica relativista

La ecuación de Hamilton-Jacobi (HJE) es una formulación de la mecánica clásica, equivalente a otras formulaciones como las leyes del movimiento de Newton , la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana . La ecuación de Hamilton-Jacobi es particularmente útil para identificar cantidades conservadas para sistemas mecánicos, lo que puede ser posible incluso cuando el problema mecánico en sí no puede resolverse por completo. El HJE es también la única formulación de la mecánica en la que el movimiento de una partícula puede representarse como una onda. En este sentido, el HJE cumplió un objetivo de larga data de la física teórica (que data al menos de Johann Bernoulli en el siglo XVIII) de encontrar una analogía entre la propagación de la luz y el movimiento de una partícula.

El momento relativista generalizado de una partícula se puede escribir como ^{[1] : 93–96} ${\displaystyle \mathbf {P_{T}} }$

$${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\mathbf {P} +q\mathbf {A} }$$

${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$

Este es esencialmente el impulso total de 4 del sistema; una partícula de prueba en un campo usando la regla de acoplamiento mínimo . Existe el impulso inherente de la partícula , más el impulso debido a la interacción con el potencial de 4 vectores EM a través de la carga de la partícula . ${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle q}$

La ecuación relativista de Hamilton-Jacobi se obtiene igualando el impulso total al gradiente 4 negativo de la acción . ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =-{\boldsymbol {\partial }}[S]=\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=\left({\frac {H}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=-{\boldsymbol {\partial }}[S]=-\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\right)[S]}$$

El componente temporal da: ${\displaystyle E_{T}=H=-\partial _{t}[S]}$

Los componentes espaciales dan: ${\displaystyle {\vec {\mathbf {p_{T}} }}={\vec {\boldsymbol {\nabla }}}[S]}$

¿ Dónde está el hamiltoniano? ${\displaystyle H}$

En realidad, esto está relacionado con que el vector de 4 ondas es igual al 4 gradiente negativo de la fase desde arriba. ${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=-{\boldsymbol {\partial }}[\Phi ]}$

Para obtener el HJE, primero se utiliza la regla invariante del escalar de Lorentz en el 4-momento:

$${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{0}c)^{2}}$$

Pero a partir de la regla de acoplamiento mínimo :

$${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} }$$

Entonces:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)\cdot \left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)=\left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)^{2}&=\left(m_{0}c\right)^{2}\\\Rightarrow \left(-{\boldsymbol {\partial }}[S]-q\mathbf {A} \right)^{2}&=\left(m_{0}c\right)^{2}\end{aligned}}}$$

Rompiendo en los componentes temporal y espacial:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\left(-{\frac {\partial _{t}[S]}{c}}-{\frac {q\phi }{c}}\right)^{2}-({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}&=(m_{0}c)^{2}\\&\Rightarrow &({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(-\partial _{t}[S]-q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\\&\Rightarrow &({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(\partial _{t}[S]+q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\end{aligned}}}$$

donde la final es la ecuación relativista de Hamilton-Jacobi .

Como componente de las relaciones de Schrödinger en mecánica cuántica

El gradiente 4 está relacionado con la mecánica cuántica .

La relación entre el 4-momento y el 4-gradiente da las relaciones QM de Schrödinger . ^{[7] : 3-5} ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=i\hbar {\boldsymbol {\partial }}=i\hbar \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)}$$

El componente temporal da: ${\displaystyle E=i\hbar \partial _{t}}$

Los componentes espaciales dan: ${\displaystyle {\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}}$

En realidad, esto puede estar compuesto por dos pasos separados.

Primero: ^{[1] : 82–84}

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)}$$

La relación (componente temporal) de Planck-Einstein ${\displaystyle E=\hbar \omega }$

La relación de onda de materia (componentes espaciales) de Broglie ${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}$

Segundo: ^{[5] : 300}

$${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=i{\boldsymbol {\partial }}=i\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)}$$

ecuación de ondaondas planas de valores complejos

El componente temporal da: ${\displaystyle \omega =i\partial _{t}}$

Los componentes espaciales dan: ${\displaystyle {\vec {k}}=-i{\vec {\nabla }}}$

Como componente de la forma covariante de la relación de conmutación cuántica

En mecánica cuántica (física), la relación de conmutación canónica es la relación fundamental entre cantidades conjugadas canónicas (cantidades que están relacionadas por definición de manera que una es la transformada de Fourier de otra).

• Según: ^{[7] : 4}
  $${\displaystyle \left[P^{\mu },X^{\nu }\right]=i\hbar \left[\partial ^{\mu },X^{\nu }\right]=i\hbar \partial ^{\mu }\left[X^{\nu }\right]=i\hbar \eta ^{\mu \nu }}$$
• Tomando los componentes espaciales,
  $${\displaystyle \left[p^{j},x^{k}\right]=i\hbar \eta ^{jk}}$$
• Desde , ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$
  $${\displaystyle \left[p^{j},x^{k}\right]=-i\hbar \delta ^{jk}}$$
• Desde , ${\displaystyle [a,b]=-[b,a]}$
  $${\displaystyle \left[x^{k},p^{j}\right]=i\hbar \delta ^{kj}}$$
• Y el reetiquetado de índices proporciona las reglas habituales de conmutación cuántica:
  $${\displaystyle \left[x^{j},p^{k}\right]=i\hbar \delta ^{jk}}$$

Como componente de las ecuaciones de onda y las corrientes de probabilidad en la mecánica cuántica relativista.

El gradiente de 4 es un componente en varias de las ecuaciones de onda relativistas: ^{[5] : 300–309  [3] : 25, 30–31, 55–69}

En la ecuación de onda cuántica relativista de Klein-Gordon para partículas de espín 0 (por ejemplo, el bosón de Higgs ): ^{[7] : 5}

$${\displaystyle \left[\left(\partial ^{\mu }\partial _{\mu }\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$

En la ecuación de onda cuántica relativista de Dirac para partículas de espín-1/2 (por ejemplo, electrones ): ^{[7] : 130}

$${\displaystyle \left[i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-{\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right]\psi =0}$$

donde están las matrices gamma de Dirac y es una función de onda relativista . ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi }$es el escalar de Lorentz para la ecuación de Klein-Gordon y un espinor para la ecuación de Dirac.

Es bueno que las propias matrices gamma se refieran al aspecto fundamental de la SR, la métrica de Minkowski: ^{[7] : 130}

$${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}$$

La conservación de la densidad de corriente de 4 probabilidades se desprende de la ecuación de continuidad: ^{[7] : 6}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {J} =\partial _{t}\rho +{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\cdot {\vec {\mathbf {j} }}=0}$$

La densidad de corriente de 4 probabilidades tiene la expresión relativista covariante: ^{[7] : 6}

$${\displaystyle J_{\text{prob}}^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m_{0}}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*}\right)}$$

La densidad de corriente de 4 cargas es solo la carga ( q ) multiplicada por la densidad de corriente de 4 probabilidades: ^{[7] : 8}

$${\displaystyle J_{\text{charge}}^{\mu }={\frac {i\hbar q}{2m_{0}}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*}\right)}$$

Como componente clave para derivar la mecánica cuántica y las ecuaciones relativistas de ondas cuánticas a partir de la relatividad especial.

Las ecuaciones de onda relativistas utilizan 4 vectores para ser covariantes. ^{[3] [7]}

Comience con los 4 vectores SR estándar: ^[1]

• 4 posiciones ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$
• 4 velocidades ${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)}$
• 4 impulsos ${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$
• vector de 4 ondas ${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$
• 4-gradiente ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\right)}$

Tenga en cuenta las siguientes relaciones simples de las secciones anteriores, donde cada 4 vectores está relacionado con otro mediante un escalar de Lorentz :

• 4 velocidades , ¿dónde está el tiempo adecuado? ${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} }$ ${\displaystyle \tau }$
• 4-momento , ¿dónde está la masa en reposo ? ${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} }$ ${\displaystyle m_{0}}$
• Vector de 4 ondas , que es la versión de 4 vectores de la relación de Planck-Einstein y la relación de onda de materia de De Broglie ${\displaystyle \mathbf {K} ={\frac {1}{\hbar }}\mathbf {P} }$
• 4 gradientes , que es la versión de 4 gradientes de ondas planas de valores complejos ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=-i\mathbf {K} }$

Ahora, simplemente aplique la regla estándar del producto escalar de Lorentz a cada uno:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} \cdot \mathbf {U} &=c^{2}\\\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} &=(m_{0}c)^{2}\\\mathbf {K} \cdot \mathbf {K} &=\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\\{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {-im_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}=-\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

La última ecuación (con el producto escalar de 4 gradientes) es una relación cuántica fundamental.

Cuando se aplica a un campo escalar de Lorentz , se obtiene la ecuación de Klein-Gordon, la más básica de las ecuaciones de ondas relativistas cuánticas : ^{[7] : 5–8} ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \left[{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$

La ecuación de Schrödinger es el caso límite de baja velocidad ( | v | ≪ c ) de la ecuación de Klein-Gordon . ^{[7] : 7–8}

Si la relación cuántica se aplica a un campo de 4 vectores en lugar de un campo escalar de Lorentz , entonces se obtiene la ecuación de Proca : ^{[7] : 361} ${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \left[{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]A^{\mu }=0^{\mu }}$$

Si el término de masa en reposo se establece en cero (partículas similares a la luz), entonces se obtiene la ecuación de Maxwell libre :

$${\displaystyle [{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}]A^{\mu }=0^{\mu }}$$

Se pueden derivar formas e interacciones más complicadas utilizando la regla de acoplamiento mínimo :

Como componente de la derivada covariante RQM (espacios internos de partículas)

En la física de partículas elementales moderna , se puede definir una derivada covariante de calibre que utiliza los campos RQM adicionales (espacios internos de partículas) que ahora se sabe que existen.

La versión conocida de EM clásica (en unidades naturales) es: ^{[3] : 39}

$${\displaystyle D^{\mu }=\partial ^{\mu }-igA^{\mu }}$$

La derivada covariante completa para las interacciones fundamentales del modelo estándar que conocemos actualmente (en unidades naturales ) es: ^{[3] : 35–53}

$${\displaystyle D^{\mu }=\partial ^{\mu }-ig_{1}{\frac {1}{2}}YB^{\mu }-ig_{2}{\frac {1}{2}}\tau _{i}\cdot W_{i}^{\mu }-ig_{3}{\frac {1}{2}}\lambda _{a}\cdot G_{a}^{\mu }}$$

$${\displaystyle \mathbf {D} ={\boldsymbol {\partial }}-ig_{1}{\frac {1}{2}}Y\mathbf {B} -ig_{2}{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\tau }}_{i}\cdot \mathbf {W} _{i}-ig_{3}{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\lambda }}_{a}\cdot \mathbf {G} _{a}}$$

donde las sumas de productos escalares ( ) aquí se refieren a los espacios internos, no a los índices tensoriales: ${\displaystyle \cdot }$

• ${\displaystyle B^{\mu }}$corresponde a invariancia U(1) = (1) bosón medidor de fuerza EM
• ${\displaystyle W_{i}^{\mu }}$corresponde a invariancia SU(2) = (3) bosones medidores de fuerza débiles ( i = 1,…, 3)
• ${\displaystyle G_{a}^{\mu }}$corresponde a invariancia SU(3) = (8) bosones medidores de fuerza de color ( a = 1,…, 8)

Las constantes de acoplamiento son números arbitrarios que deben descubrirse mediante experimentos. Vale la pena enfatizar que para las transformaciones no abelianas, una vez que se fijan para una representación, son conocidas para todas las representaciones. ${\displaystyle (g_{1},g_{2},g_{3})}$ ${\displaystyle g_{i}}$

Estos espacios internos de partículas se han descubierto empíricamente. ^{[3] : 47}

Derivación

En tres dimensiones, el operador de gradiente asigna un campo escalar a un campo vectorial de modo que la integral de línea entre dos puntos cualesquiera en el campo vectorial sea igual a la diferencia entre el campo escalar en estos dos puntos. En base a esto, puede parecer incorrecto que la extensión natural del degradado a 4 dimensiones deba ser:

$${\displaystyle \partial ^{\alpha }{\overset {?}{=}}\left({\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right),}$$

incorrecto

Sin embargo, una integral de línea implica la aplicación del producto escalar vectorial, y cuando esto se extiende al espacio-tiempo de 4 dimensiones, se introduce un cambio de signo en las coordenadas espaciales o en las coordenadas temporales, según la convención utilizada. Esto se debe a la naturaleza no euclidiana del espacio-tiempo. En este artículo, colocamos un signo negativo en las coordenadas espaciales (la convención métrica de tiempo positivo ). El factor de (1/ c ) es mantener la dimensionalidad unitaria correcta , [longitud] ⁻¹ , para todos los componentes del vector de 4 y (−1) es mantener la covariante de Lorentz de 4 gradientes . Sumar estas dos correcciones a la expresión anterior da la definición correcta de 4 gradientes: ^{[1] : 55–56  [3] : 16} ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$

$${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)}$$

Ver también

• Cuatro vectores
• Cuatro posiciones
• cuatro velocidades
• Cuatro aceleraciones
• Cuatro impulsos
• cuatro fuerzas
• cuatro corrientes
• Cuatro potenciales
• Cuatro frecuencias
• Vector de cuatro ondas
• cuatro giros
• cálculo de ricci
• Notación de índice
• Tensor
• tensor antisimétrico
• Notación de Einstein
• Subir y bajar índices
• Notación de índice abstracto
• Covarianza y contravarianza de vectores.

Referencias

Nota sobre referencias

En cuanto al uso de escalares, 4 vectores y tensores en física, varios autores utilizan notaciones ligeramente diferentes para las mismas ecuaciones. Por ejemplo, algunos lo usan para masa en reposo invariante, otros lo usan para masa en reposo invariante y lo usan para masa relativista. Muchos autores establecen factores de y y para la unidad adimensional. Otros muestran algunas o todas las constantes. Algunos autores usan para velocidad, otros usan . Algunos lo utilizan como vector de 4 ondas (para elegir un ejemplo arbitrario). Otros usan o o o o o , etc. Algunos escriben el vector de 4 ondas como , otros como o o o o o . Algunos se asegurarán de que las unidades dimensionales coincidan en los 4 vectores, otros no. Algunos se refieren al componente temporal en el nombre de 4 vectores, otros se refieren al componente espacial en el nombre de 4 vectores. Algunos los mezclan a lo largo del libro, a veces usando uno y luego el otro. Algunos usan la métrica (+ − − −) , otros usan la métrica (− + + +) . Algunos no usan 4 vectores, pero hacen todo como el estilo antiguo E y el vector de 3 espacios p . La cuestión es que todos estos son solo estilos de notación, algunos más claros y concisos que otros. La física es la misma siempre que se utilice un estilo coherente durante toda la derivación. ^{[7] : 2–4} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle k^{\mu }}$ ${\displaystyle k_{\mu }}$ ${\displaystyle K^{\nu }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}},\mathbf {k} \right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {k} ,{\frac {\omega }{c}}\right)}$ ${\displaystyle \left(k^{0},\mathbf {k} \right)}$ ${\displaystyle \left(k^{0},k^{1},k^{2},k^{3}\right)}$ ${\displaystyle \left(k^{1},k^{2},k^{3},k^{4}\right)}$ ${\displaystyle \left(k_{t},k_{x},k_{y},k_{z}\right)}$ ${\displaystyle \left(k^{1},k^{2},k^{3},ik^{4}\right)}$

1. Rindler, Wolfgang (1991). Introducción a la relatividad especial (2ª ed.). Publicaciones científicas de Oxford. ISBN 0-19-853952-5.
2. El manual de fórmulas físicas de Cambridge, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 
3. Kane, Gordon (1994). Física de partículas elementales moderna: las partículas y fuerzas fundamentales (edición actualizada). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-62460-5.
4. Shultz, Bernard F. (1985). Un primer curso de relatividad general (1ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-27703-5.
5. Sudbury, Anthony (1986). La mecánica cuántica y las partículas de la naturaleza: un esquema para matemáticos (1ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-27765-5.
6. Carroll, Sean M. (2004). Introducción a la relatividad general: espacio-tiempo y geometría (1ª ed.). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-8053-8732-3.
7. Greiner, Walter (2000). Mecánica cuántica relativista: ecuaciones de ondas (3ª ed.). Saltador. ISBN 3-540-67457-8.

Otras lecturas

• S. Hildebrandt, "Análisis II" (Cálculo II), ISBN 3-540-43970-6 , 2003 
• LC Evans, "Ecuaciones diferenciales parciales", AMSociety, Grad.Studies Vol.19, 1988
• JD Jackson, "Electrodinámica clásica" Capítulo 11, Wiley ISBN 0-471-30932-X