Ecuaciones de ondas relativistas

Ecuaciones de onda respetando la relatividad especial y general.

En física , específicamente en la mecánica cuántica relativista (MCR) y sus aplicaciones a la física de partículas , las ecuaciones de ondas relativistas predicen el comportamiento de las partículas a altas energías y velocidades comparables a la velocidad de la luz . En el contexto de la teoría cuántica de campos (QFT), las ecuaciones determinan la dinámica de los campos cuánticos . Las soluciones de las ecuaciones, universalmente denominadas ψ o Ψ ( griego psi ), se denominan " funciones de onda " en el contexto de RQM y " campos " en el contexto de QFT. Las ecuaciones en sí se denominan "ecuaciones de onda" o "ecuaciones de campo", porque tienen la forma matemática de una ecuación de onda o se generan a partir de una densidad lagrangiana y las ecuaciones de Euler-Lagrange con teoría de campo (consulte la teoría de campo clásica para conocer los antecedentes).

En la imagen de Schrödinger , la función o campo de onda es la solución de la ecuación de Schrödinger ;

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\hat {H}}\psi }$$

postulados de la mecánica cuánticaoperador hamiltoniano Ĥsistema cuánticola formulación de integral de trayectoriaFeynman

De manera más general, el formalismo moderno detrás de las ecuaciones de ondas relativistas es la teoría de grupos de Lorentz , en la que el espín de la partícula tiene una correspondencia con las representaciones del grupo de Lorentz . ^[1]

Historia

Principios de la década de 1920: mecánica clásica y cuántica

El fracaso de la mecánica clásica aplicada a sistemas moleculares , atómicos , nucleares y de menor tamaño indujo la necesidad de una nueva mecánica: la mecánica cuántica . La formulación matemática fue liderada por De Broglie , Bohr , Schrödinger , Pauli y Heisenberg , y otros, hacia mediados de la década de 1920, y en ese momento era análoga a la de la mecánica clásica. La ecuación de Schrödinger y la imagen de Heisenberg se parecen a las ecuaciones clásicas de movimiento en el límite de grandes números cuánticos y como la constante de Planck reducida ħ , el cuanto de acción , tiende a cero. Este es el principio de correspondencia . En este punto, la relatividad especial no estaba completamente combinada con la mecánica cuántica, por lo que las formulaciones de Schrödinger y Heisenberg, tal como se propusieron originalmente, no podían usarse en situaciones donde las partículas viajan cerca de la velocidad de la luz , o cuando el número de cada tipo de partícula cambios (esto sucede en las interacciones reales de partículas ; las numerosas formas de desintegración de partículas , aniquilación , creación de materia , producción de pares , etc.).

Finales de la década de 1920: mecánica cuántica relativista del espín-0 y el espín-.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2partículas

Desde finales de los años veinte hasta mediados de los cuarenta, muchos físicos teóricos buscaron una descripción de los sistemas de la mecánica cuántica que pudiera explicar los efectos relativistas . ^[2] La primera base de la mecánica cuántica relativista , es decir, la relatividad especial aplicada junto con la mecánica cuántica, fue encontrada por todos aquellos que descubrieron lo que frecuentemente se llama la ecuación de Klein-Gordon :

insertando el operador de energía y el operador de momento en la relación relativista energía-momento :

Las soluciones de ( 1 ) son campos escalares . La ecuación KG no es deseable debido a su predicción de energías y probabilidades negativas , como resultado de la naturaleza cuadrática de ( 2 ), inevitable en una teoría relativista. Esta ecuación fue propuesta inicialmente por Schrödinger, y la descartó por tales razones, solo para darse cuenta unos meses después de que su límite no relativista (lo que ahora se llama ecuación de Schrödinger ) todavía era importante. Sin embargo, ( 1 ) es aplicable a los bosones de espín-0 . ^[3]

Ni las ecuaciones relativistas ni no relativistas encontradas por Schrödinger pudieron predecir la estructura fina en la serie espectral del hidrógeno . La misteriosa propiedad subyacente era el giro . Las primeras matrices de espín bidimensionales (más conocidas como matrices de Pauli ) fueron introducidas por Pauli en la ecuación de Pauli ; la ecuación de Schrödinger con un hamiltoniano no relativista que incluye un término adicional para partículas en campos magnéticos , pero esto era fenomenológico . Weyl encontró una ecuación relativista en términos de las matrices de Pauli; la ecuación de Weyl , para espín sin masa1/2fermiones. El problema fue resuelto por Dirac a finales de la década de 1920, cuando impulsó la aplicación de la ecuación ( 2 ) al electrón ; mediante diversas manipulaciones factorizó la ecuación en la forma:

y uno de estos factores es la ecuación de Dirac (ver más abajo), al insertar los operadores de energía y momento. Por primera vez, esto introdujo nuevas matrices de espín de cuatro dimensiones α y β en una ecuación de onda relativista y explicó la estructura fina del hidrógeno. Las soluciones a ( 3A ) son campos de espinores de múltiples componentes , y cada componente satisface ( 1 ). Un resultado notable de las soluciones de espinor es que la mitad de los componentes describen una partícula mientras que la otra mitad describe una antipartícula ; en este caso el electrón y el positrón . Ahora se sabe que la ecuación de Dirac se aplica a todos los espines masivos.1/2 fermiones . En el límite no relativista se recupera la ecuación de Pauli, mientras que en el caso sin masa se obtiene la ecuación de Weyl.

Aunque constituye un hito en la teoría cuántica, la ecuación de Dirac sólo es cierta para el espín.1/2fermiones y todavía predice soluciones de energía negativa, lo que causó controversia en su momento (en particular, no todos los físicos se sentían cómodos con el " mar de Dirac " de estados de energía negativos).

Décadas de 1930 a 1960: mecánica cuántica relativista de partículas de espín superior

El problema natural quedó claro: generalizar la ecuación de Dirac a partículas con cualquier espín ; tanto fermiones como bosones, y en las mismas ecuaciones sus antipartículas (posible debido al formalismo de espinor introducido por Dirac en su ecuación, y los entonces recientes desarrollos en el cálculo de espinor por parte de van der Waerden en 1929), e idealmente con soluciones de energía positiva. ^[2]

Esto fue introducido y resuelto por Majorana en 1932, mediante un enfoque desviado de Dirac. Majorana consideró una "raíz" de ( 3A ):

donde ψ es un campo de espinores ahora con infinitos componentes, irreducible a un número finito de tensores o espinores, para eliminar la indeterminación de signo. Las matrices α y β son matrices de dimensión infinita, relacionadas con transformaciones de Lorentz infinitesimales . No exigió que cada componente de 3B satisficiera la ecuación ( 2 ); en su lugar, regeneró la ecuación utilizando una acción invariante de Lorentz , mediante el principio de acción mínima y la aplicación de la teoría de grupos de Lorentz . ^{[4] [5]}

Majorana produjo otras contribuciones importantes que quedaron inéditas, incluidas ecuaciones de ondas de varias dimensiones (5, 6 y 16). Fueron anticipados más tarde (de una manera más complicada) por De Broglie (1934), y Duffin, Kemmer y Petiau (alrededor de 1938-1939), véase Álgebra de Duffin-Kemmer-Petiau . El formalismo de Dirac-Fierz-Pauli era más sofisticado que el de Majorana, ya que los espinores eran nuevas herramientas matemáticas a principios del siglo XX, aunque el artículo de Majorana de 1932 era difícil de comprender completamente; Pauli y Wigner tardaron algún tiempo en comprenderlo, alrededor de 1940. ^[2]

Dirac en 1936, y Fierz y Pauli en 1939, construyeron ecuaciones a partir de espinores irreducibles A y B , simétricos en todos los índices, para una partícula masiva de espín n + ½ para un número entero n (consulte la notación de Van der Waerden para conocer el significado de los índices punteados ):

donde p es el impulso como operador espinor covariante. Para n = 0 , las ecuaciones se reducen a las ecuaciones de Dirac acopladas y A y B juntas se transforman en el espinor de Dirac original . Eliminar A o B muestra que A y B cumplen ( 1 ). ^[2] La derivación directa de las ecuaciones de Dirac-Pauli-Fierz utilizando los operadores de Bargmann-Wigner se proporciona en ^[6]

En 1941, Rarita y Schwinger se centraron en el espín de 3 ⁄ 2 partículas y derivaron la ecuación de Rarita-Schwinger , incluyendo un lagrangiano para generarla, y luego generalizaron las ecuaciones análogas al espín n + ½ para el número entero n . En 1945, Pauli sugirió el artículo de Majorana de 1932 a Bhabha , quien volvió a las ideas generales introducidas por Majorana en 1932. Bhabha y Lubanski propusieron un conjunto de ecuaciones completamente general reemplazando los términos de masa en ( 3A ) y ( 3B ) por una constante arbitraria. , sujeto a un conjunto de condiciones que las funciones de onda deben obedecer. ^[7]

Finalmente, en el año 1948 (el mismo año en que se formuló la integral de trayectoria de Feynman ), Bargmann y Wigner formularon la ecuación general para partículas masivas que podrían tener cualquier espín, considerando la ecuación de Dirac con un espinor de componentes finitos totalmente simétrico. , y utilizando la teoría de grupos de Lorentz (como lo hizo Majorana): las ecuaciones de Bargmann-Wigner . ^{[2] [8] A principios de la década de 1960, H. Joos y} Steven Weinberg hicieron una reformulación de las ecuaciones de Bargmann-Wigner , la ecuación de Joos-Weinberg . Varios teóricos en este momento investigaron más a fondo los hamiltonianos relativistas para partículas de espín superior. ^{[1] [9] [10]}

Década de 1960 hasta el presente

La descripción relativista de las partículas de espín ha sido un problema difícil en la teoría cuántica. Sigue siendo un área de investigación actual porque el problema está sólo parcialmente resuelto; incluir interacciones en las ecuaciones es problemático y todavía existen predicciones paradójicas (incluso a partir de la ecuación de Dirac). ^[5]

Ecuaciones lineales

Las siguientes ecuaciones tienen soluciones que satisfacen el principio de superposición , es decir, las funciones de onda son aditivas .

En todo momento, se utilizan las convenciones estándar de notación de índice tensorial y notación de barra diagonal de Feynman , incluidos los índices griegos que toman los valores 1, 2, 3 para los componentes espaciales y 0 para el componente temporal de las cantidades indexadas. Las funciones de onda se denotan por ψ y ∂ _μ son los componentes del operador de cuatro gradientes .

En las ecuaciones matriciales , las matrices de Pauli se denotan por σ ^μ en la que μ = 0, 1, 2, 3 , donde σ ⁰ es la matriz identidad de 2 × 2 :

$${\displaystyle \sigma ^{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\equiv \sigma ^{0}\partial _{0}+\sigma ^{1}\partial _{1}+\sigma ^{2}\partial _{2}+\sigma ^{3}\partial _{3}}$$

operador matricial de 2 × 2 que actúa sobre campos espinores

Las matrices gamma se denotan por γ ^μ , en las que nuevamente μ = 0, 1, 2, 3 , y hay varias representaciones para elegir. La matriz γ ⁰ no es necesariamente la matriz identidad 4 × 4 . La expresion

$${\displaystyle i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc\equiv i\hbar (\gamma ^{0}\partial _{0}+\gamma ^{1}\partial _{1}+\gamma ^{2}\partial _{2}+\gamma ^{3}\partial _{3})+mc{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$

operador matricial de 4 × 4 que actúa sobre campos espinores

Tenga en cuenta que términos como " mc " escalar multiplican una matriz identidad de la dimensión relevante , los tamaños comunes son 2 × 2 o 4 × 4 y convencionalmente no se escriben por simplicidad.

Campos de ancho lineal

La ecuación de Duffin-Kemmer-Petiau es una ecuación alternativa para partículas de espín-0 y espín-1:

$${\displaystyle (i\hbar \beta ^{a}\partial _{a}-mc)\psi =0}$$

Construyendo RWE

Usando 4 vectores y la relación energía-momento

Comience con los 4 vectores estándar de la relatividad especial (SR)

• 4 posiciones ${\displaystyle X^{\mu }=\mathbf {X} =(ct,{\vec {\mathbf {x} }})}$
• 4 velocidades ${\displaystyle U^{\mu }=\mathbf {U} =\gamma (c,{\vec {\mathbf {u} }})}$
• 4 impulsos ${\displaystyle P^{\mu }=\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$
• vector de 4 ondas ${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$
• 4-gradiente ${\displaystyle \partial ^{\mu }=\mathbf {\partial } =\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\mathbf {\nabla } }}\right)}$

Tenga en cuenta que cada 4 vectores está relacionado con otro mediante un escalar de Lorentz :

• ${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} }$¿Dónde es el momento adecuado? ${\displaystyle \tau }$
• ${\displaystyle \mathbf {P} =m_{o}\mathbf {U} }$, ¿dónde está la masa en reposo? ${\displaystyle m_{o}}$
• ${\displaystyle \mathbf {K} =(1/\hbar )\mathbf {P} }$, que es la versión de 4 vectores de la relación de Planck-Einstein y la relación de onda de materia de De Broglie
• ${\displaystyle \mathbf {\partial } =-i\mathbf {K} }$, que es la versión de 4 gradientes de ondas planas de valores complejos

Ahora, simplemente aplique la regla estándar del producto escalar de Lorentz a cada uno:

• ${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {U} =(c)^{2}}$
• ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{o}c)^{2}}$
• ${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {K} =\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}}$
• ${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } =\left({\frac {-im_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}=-\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}}$

La última ecuación es una relación cuántica fundamental.

Cuando se aplica a un campo escalar de Lorentz , se obtiene la ecuación de Klein-Gordon, la más básica de las ecuaciones de ondas relativistas cuánticas. ${\displaystyle \psi }$

• ${\displaystyle \left[\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } +\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$: en formato de 4 vectores
• ${\displaystyle \left[\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$: en formato tensorial
• ${\displaystyle \left[(\hbar \partial _{\mu }+im_{o}c)(\hbar \partial ^{\mu }-im_{o}c)\right]\psi =0}$: en formato tensor factorizado

La ecuación de Schrödinger es el caso límite de baja velocidad ( v  <<  c ) de la ecuación de Klein-Gordon .

Cuando la relación se aplica a un campo de cuatro vectores en lugar de a un campo escalar de Lorentz , se obtiene la ecuación de Proca (en calibre de Lorenz ): ${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \left[\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } +\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]A^{\mu }=0}$$

Si el término de masa en reposo se establece en cero (partículas similares a la luz), entonces esto da la ecuación libre de Maxwell (en calibre de Lorenz )

$${\displaystyle [\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } ]A^{\mu }=0}$$

Representaciones del grupo Lorentz

Bajo una transformación de Lorentz ortocrónica adecuada x → Λ x en el espacio de Minkowski , todos los estados cuánticos de una partícula ψ ^j _σ de espín j con componente z de espín σ se transforman localmente bajo alguna representación D del grupo de Lorentz : ^{[12] [13]}

$${\displaystyle \psi (x)\rightarrow D(\Lambda )\psi (\Lambda ^{-1}x)}$$

D (Λ)ψ como un vector de columnaσnúmeros cuánticos jσσj .

Las representaciones irreducibles están etiquetadas por un par de semienteros o números enteros ( A , B ) . A partir de estas, todas las demás representaciones se pueden construir utilizando una variedad de métodos estándar, como tomar productos tensoriales y sumas directas . En particular, el espacio-tiempo en sí constituye una representación de 4 vectores (1/2,1/2) de modo que Λ ∈ D' ^{(1/2, 1/2)} . Para poner esto en contexto; Los espinores de Dirac se transforman bajo el (1/2, 0) ⊕ (0,1/2) representación. En general, el espacio de representación ( A , B ) tiene subespacios que bajo el subgrupo de rotaciones espaciales , SO(3) , se transforman irreduciblemente como objetos de espín j , donde cada valor permitido:

$${\displaystyle j=A+B,A+B-1,\dots ,|A-B|,}$$

^[14]los productos tensoriales de representaciones irreducibles

Las representaciones D ^{( j , 0)} y D ^{(0, j )} pueden representar cada una por separado partículas de espín j . Un estado o campo cuántico en tal representación no satisfaría ninguna ecuación de campo excepto la ecuación de Klein-Gordon.

Ecuaciones no lineales

Hay ecuaciones que tienen soluciones que no satisfacen el principio de superposición.

Campos de calibre no lineales

• Ecuación de Yang-Mills : describe un campo de calibre no abeliano
• Ecuaciones de Yang-Mills-Higgs : describe un campo de calibre no abeliano acoplado con una partícula masiva de espín 0

Giro 2

• Ecuaciones de campo de Einstein : describen la interacción de la materia con el campo gravitacional (campo de espín-2 sin masa):
  $${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$$
  La solución es un campo tensorial métrico , en lugar de una función de onda.

Ver también

• Lista de ecuaciones en física nuclear y de partículas.
• Lista de ecuaciones en mecánica cuántica
• Transformación de Lorentz
• Descripciones matemáticas del campo electromagnético.
  • Cuantización del campo electromagnético.
• Acoplamiento mínimo
• Teoría de campos escalares
• Estado de la relatividad especial

Referencias

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2. S. Esposito (2011). "Buscando una ecuación: Dirac, Majorana y los demás". Anales de Física . 327 (6): 1617-1644. arXiv : 1110.6878 . Código bibliográfico : 2012AnPhy.327.1617E. doi :10.1016/j.aop.2012.02.016. S2CID  119147261.
3. BR Martin, G. Shaw (2008). Partículas fisicas . Serie de Física de Manchester (3ª ed.). John Wiley e hijos. pag. 3.ISBN​ 978-0-470-03294-7.
4. R. Casalbuoni (2006). "Majorana y las ecuaciones de ondas de componentes infinitas". Pos Emc . 2006 : 004. arXiv : hep-th/0610252 . Código Bib : 2006hep.th...10252C.
5. X. Bekaert; Señor Traubenberg; M. Valenzuela (2009). "Un supermultipleto infinito de campos masivos de alto espín". Revista de Física de Altas Energías . 2009 (5): 118. arXiv : 0904.2533 . Código Bib : 2009JHEP...05..118B. doi :10.1088/1126-6708/2009/05/118. S2CID  16285006.
6. AP Isaev; MA Podoinitsyn (2018). "Descripción de dos espinos de partículas masivas y operadores de proyección de espín relativistas". Física Nuclear B. 929 : 452–484. arXiv : 1712.00833 . Código Bib : 2018NuPhB.929..452I. doi :10.1016/j.nuclphysb.2018.02.013. S2CID  59582838.
7. RK Loide; I. OTS; R. Sarre (1997). "Ecuaciones de ondas relativistas de Bhabha". Revista de Física A: Matemática y General . 30 (11): 4005–4017. Código Bib : 1997JPhA...30.4005L. doi :10.1088/0305-4470/30/11/027.
8. Bargmann, V.; Wigner, EP (1948). "Discusión teórica grupal de ecuaciones de ondas relativistas". Proc. Nacional. Acad. Ciencia. EE.UU . 34 (5): 211–23. Código bibliográfico : 1948PNAS...34..211B. doi : 10.1073/pnas.34.5.211 . PMC 1079095 . PMID  16578292. 
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13. K. Masakatsu (2012). "Problema de superradiancia de bosones y fermiones para agujeros negros giratorios en la formulación de Bargmann-Wigner". arXiv : 1208.0644 [gr-qc].
14. Weinberg, S (2002), "5", La teoría cuántica de campos, vol I , p. [1], ISBN 0-521-55001-7

Otras lecturas

• RG Lerner ; GL Trigg (1991). Enciclopedia de Física (2ª ed.). Editores VHC. ISBN 0-89573-752-3.
• CB Parker (1994). Enciclopedia de Física McGraw Hill (2ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-051400-3.
• G. Woan, Cambridge University Press (2010). El manual de fórmulas físicas de Cambridge . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-57507-2.
• D. McMahon (2006). Relatividad desmitificada . Mc Graw Hill (Estados Unidos). ISBN 0-07-145545-0.
• JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• BR Martín; G. Shaw (2008). Física de partículas (serie Manchester) (2ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN 978-0-470-03294-7.
• P. Labelle, Desmitificado (2010). Supersimetría . McGraw-Hill (Estados Unidos). ISBN 978-0-07-163641-4.
• BH Bransden; CJ Joachain (1983). Física de Átomos y Moléculas . Longman. ISBN 0-582-44401-2.
• E. Abers (2004). Mecánica cuántica . Addison Wesley. ISBN 978-0-13-146100-0.
• D. McMahon (2008). Teoría cuántica de campos . Mc Graw Hill (Estados Unidos). ISBN 978-0-07-154382-8.
• M. Pillin (1994). "Ecuaciones de ondas relativistas deformadas q". Revista de Física Matemática . 35 (6): 2804–2817. arXiv : hep-th/9310097 . Código bibliográfico : 1994JMP....35.2804P. doi : 10.1063/1.530487. S2CID  5919588.