Formulación covariante del electromagnetismo clásico

Formas de escribir ciertas leyes de la física

La formulación covariante del electromagnetismo clásico se refiere a las formas de escribir las leyes del electromagnetismo clásico (en particular, las ecuaciones de Maxwell y la fuerza de Lorentz ) en una forma que es manifiestamente invariante bajo las transformaciones de Lorentz , en el formalismo de la relatividad especial utilizando sistemas de coordenadas inerciales rectilíneos . Estas expresiones hacen que sea sencillo demostrar que las leyes del electromagnetismo clásico toman la misma forma en cualquier sistema de coordenadas inerciales, y también proporcionan una forma de trasladar los campos y las fuerzas de un marco a otro. Sin embargo, esto no es tan general como las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo o en sistemas de coordenadas no rectilíneos. ^[a]

Objetos covariantes

Cuatro vectores preliminares

En este artículo se pueden utilizar tensores de Lorentz de los siguientes tipos para describir cuerpos o partículas:

• cuatro desplazamientos : $${\displaystyle x^{\alpha }=(ct,\mathbf {x} )=(ct,x,y,z)\,.}$$
• Cuatro velocidades : donde γ ( u ) es el factor de Lorentz en la 3-velocidad u . $${\displaystyle u^{\alpha }=\gamma (c,\mathbf {u} ),}$$
• Cuatro momentos : donde es 3-momentos, es la energía total y es la masa en reposo . $${\displaystyle p^{\alpha }=(E/c,\mathbf {p} )=m_{0}u^{\alpha }}$$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m_{0}}$
• Cuatro gradientes : $${\displaystyle \partial ^{\nu }={\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-\mathbf {\nabla } \right)\,,}$$
• El operador d'Alembertiano se denota , ${\displaystyle {\partial }^{2}}$ $${\displaystyle \partial ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}.}$$

Los signos en el siguiente análisis tensorial dependen de la convención utilizada para el tensor métrico . La convención utilizada aquí es (+ − − −) , correspondiente al tensor métrico de Minkowski : $${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$$

Tensor electromagnético

El tensor electromagnético es la combinación de los campos eléctrico y magnético en un tensor antisimétrico covariante cuyas entradas son cantidades de campo B. ^[1] y el resultado de aumentar sus índices es donde E es el campo eléctrico , B el campo magnético y c la velocidad de la luz . $${\displaystyle F_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle F^{\mu \nu }\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \eta ^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,\eta ^{\beta \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}\,,}$$

Cuatro corrientes

La cuatricorriente es el cuatrivector contravariante que combina la densidad de carga eléctrica ρ y la densidad de corriente eléctrica j : $${\displaystyle J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {j} )\,.}$$

Cuatro potenciales

El cuadripotencial electromagnético es un cuadrivector covariante que contiene el potencial eléctrico (también llamado potencial escalar ) ϕ y el potencial vectorial magnético (o potencial vectorial ) A , como sigue: $${\displaystyle A^{\alpha }=\left(\phi /c,\mathbf {A} \right)\,.}$$

El diferencial del potencial electromagnético es $${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,.}$$

En el lenguaje de las formas diferenciales , que proporciona la generalización a los espacios-tiempos curvos, estos son los componentes de una forma 1 y una forma 2 respectivamente. Aquí, es la derivada exterior y el producto de cuña . ${\displaystyle A=A_{\alpha }dx^{\alpha }}$ ${\textstyle F=dA={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }dx^{\alpha }\wedge dx^{\beta }}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \wedge }$

Tensor de energía y tensión electromagnética

El tensor de tensión-energía electromagnética se puede interpretar como la densidad de flujo del cuatrivector de momento, y es un tensor simétrico contravariante que es la contribución de los campos electromagnéticos al tensor de tensión-energía general : donde es la permitividad eléctrica del vacío , μ ₀ es la permeabilidad magnética del vacío , el vector de Poynting es y el tensor de tensión de Maxwell está dado por $${\displaystyle T^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}\varepsilon _{0}E^{2}/2+B^{2}/2\mu _{0}&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{pmatrix}}\,,}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }$$ $${\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-\left({\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}\,.}$$

El tensor de campo electromagnético F construye el tensor de energía-tensión electromagnética T mediante la ecuación: ^[2] donde η es el tensor métrico de Minkowski (con signatura (+ − − −) ). Nótese que usamos el hecho de que lo predicen las ecuaciones de Maxwell. $${\displaystyle T^{\alpha \beta }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\eta ^{\alpha \nu }F_{\nu \gamma }F^{\beta \gamma }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\alpha \beta }F_{\gamma \nu }F^{\gamma \nu }\right)}$$ $${\displaystyle \varepsilon _{0}\mu _{0}c^{2}=1\,,}$$

Ecuaciones de Maxwell en el vacío

En el vacío (o para las ecuaciones microscópicas, sin incluir descripciones de materiales macroscópicos), las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir como dos ecuaciones tensoriales.

Las dos ecuaciones de Maxwell no homogéneas, la ley de Gauss y la ley de Ampère (con la corrección de Maxwell) se combinan en (con métrica (+ − − −) ): ^[3]

Ley de Gauss - Ampère

${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }}$

Las ecuaciones homogéneas ( la ley de inducción de Faraday y la ley de Gauss para el magnetismo) se combinan para formar , que puede escribirse utilizando la dualidad de Levi-Civita como: ${\displaystyle \partial ^{\sigma }F^{\mu \nu }+\partial ^{\mu }F^{\nu \sigma }+\partial ^{\nu }F^{\sigma \mu }=0}$

Ley de Gauss - Faraday

${\displaystyle \partial _{\alpha }\left(\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\gamma \delta }\right)=0}$

donde F ^αβ es el tensor electromagnético , J ^α es la cuatro corrientes , ε ^αβγδ es el símbolo de Levi-Civita y los índices se comportan de acuerdo con la convención de suma de Einstein .

Cada una de estas ecuaciones tensoriales corresponde a cuatro ecuaciones escalares, una para cada valor de β .

Usando la notación tensorial antisimétrica y la notación de coma para la derivada parcial (ver cálculo de Ricci ), la segunda ecuación también se puede escribir de manera más compacta como: $${\displaystyle F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}=0.}$$

En ausencia de fuentes, las ecuaciones de Maxwell se reducen a: que es una ecuación de onda electromagnética en el tensor de intensidad de campo. $${\displaystyle \partial ^{\nu }\partial _{\nu }F^{\alpha \beta }\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \partial ^{2}F^{\alpha \beta }\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {1 \over c^{2}}{\partial ^{2}F^{\alpha \beta } \over {\partial t}^{2}}-\nabla ^{2}F^{\alpha \beta }=0\,,}$$

Ecuaciones de Maxwell en el calibre de Lorenz

La condición de calibre de Lorenz es una condición de calibre invariante respecto de Lorenz. (Puede contrastarse con otras condiciones de calibre, como la de Coulomb , que si se cumple en un sistema inercial , generalmente no se cumple en ningún otro). Se expresa en términos del potencial cuatrienal de la siguiente manera: $${\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=\partial ^{\alpha }A_{\alpha }=0\,.}$$

En el calibre de Lorenz, las ecuaciones microscópicas de Maxwell se pueden escribir como: $${\displaystyle {\partial }^{2}A^{\sigma }=\mu _{0}\,J^{\sigma }\,.}$$

Fuerza de Lorentz

Partícula cargada

Fuerza de Lorentz f sobre una partícula cargada ( de carga q ) en movimiento (velocidad instantánea v ). Los campos E y B varían en el espacio y en el tiempo.

Los campos electromagnéticos (EM) afectan el movimiento de la materia cargada eléctricamente : debido a la fuerza de Lorentz . De esta manera, los campos EM pueden detectarse (con aplicaciones en física de partículas y fenómenos naturales como las auroras ). En forma relativista, la fuerza de Lorentz utiliza el tensor de intensidad de campo de la siguiente manera. ^[4]

Expresado en términos de tiempo de coordenadas t , es: donde p _α es el cuadrimomento, q es la carga y x ^β es la posición. $${\displaystyle {dp_{\alpha } \over {dt}}=q\,F_{\alpha \beta }\,{\frac {dx^{\beta }}{dt}},}$$

Expresado en forma independiente del marco, tenemos la cuádruple fuerza donde u ^β es la cuádruple velocidad y τ es el tiempo propio de la partícula , que está relacionado con el tiempo de coordenadas por dt = γdτ . $${\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{d\tau }}\,=q\,F_{\alpha \beta }\,u^{\beta },}$$

Continuidad de carga

Fuerza de Lorentz por volumen espacial f sobre una distribución de carga continua ( densidad de carga ρ) en movimiento.

La densidad de fuerza debida al electromagnetismo, cuya parte espacial es la fuerza de Lorentz, está dada por y está relacionada con el tensor de tensión-energía electromagnética por $${\displaystyle f_{\alpha }=F_{\alpha \beta }J^{\beta }.}$$ $${\displaystyle f^{\alpha }=-{T^{\alpha \beta }}_{,\beta }\equiv -{\frac {\partial T^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}.}$$

Leyes de conservación

Carga eléctrica

La ecuación de continuidad : expresa la conservación de la carga . $${\displaystyle {J^{\beta }}_{,\beta }\mathrel {\overset {\text{def}}{\mathop {=} }} \partial _{\beta }J^{\beta }=\partial _{\beta }\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }/\mu _{0}=0.}$$

Energía electromagnética – momento

Utilizando las ecuaciones de Maxwell, se puede ver que el tensor de tensión-energía electromagnética (definido arriba) satisface la siguiente ecuación diferencial, relacionándolo con el tensor electromagnético y el cuatrivector de corriente or que expresa la conservación del momento lineal y la energía por interacciones electromagnéticas. $${\displaystyle {T^{\alpha \beta }}_{,\beta }+F^{\alpha \beta }J_{\beta }=0}$$ $${\displaystyle \eta _{\alpha \nu }{T^{\nu \beta }}_{,\beta }+F_{\alpha \beta }J^{\beta }=0,}$$

Objetos covariantes en la materia

Cuatro corrientes libres y ligadas

Para resolver las ecuaciones de electromagnetismo que se dan aquí, es necesario agregar información sobre cómo calcular la corriente eléctrica, J ^ν . Con frecuencia, es conveniente separar la corriente en dos partes, la corriente libre y la corriente ligada, que se modelan mediante ecuaciones diferentes; donde $${\displaystyle J^{\nu }={J^{\nu }}_{\text{free}}+{J^{\nu }}_{\text{bound}}\,,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{J^{\nu }}_{\text{free}}={\begin{pmatrix}c\rho _{\text{free}},&\mathbf {J} _{\text{free}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}c\nabla \cdot \mathbf {D} ,&-{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {H} \end{pmatrix}}\,,\\{J^{\nu }}_{\text{bound}}={\begin{pmatrix}c\rho _{\text{bound}},&\mathbf {J} _{\text{bound}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-c\nabla \cdot \mathbf {P} ,&{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {M} \end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$$

Se han utilizado las ecuaciones macroscópicas de Maxwell , además de las definiciones del desplazamiento eléctrico D y de la intensidad magnética H : donde M es la magnetización y P la polarización eléctrica . $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} &=\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} ,\\\mathbf {H} &={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} -\mathbf {M} \,.\end{aligned}}}$$

Tensor de magnetización-polarización

La corriente ligada se deriva de los campos P y M que forman un tensor de magnetización-polarización contravariante antisimétrico ^{[1] [5] [6] [7]} que determina la corriente ligada . $${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&P_{x}c&P_{y}c&P_{z}c\\-P_{x}c&0&-M_{z}&M_{y}\\-P_{y}c&M_{z}&0&-M_{x}\\-P_{z}c&-M_{y}&M_{x}&0\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle {J^{\nu }}_{\text{bound}}=\partial _{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,.}$$

Tensor de desplazamiento eléctrico

Si esto se combina con F ^μν obtenemos el tensor de desplazamiento electromagnético contravariante antisimétrico que combina los campos D y H de la siguiente manera: $${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-D_{x}c&-D_{y}c&-D_{z}c\\D_{x}c&0&-H_{z}&H_{y}\\D_{y}c&H_{z}&0&-H_{x}\\D_{z}c&-H_{y}&H_{x}&0\end{pmatrix}}.}$$

Los tres tensores de campo están relacionados por: lo que es equivalente a las definiciones de los campos D y H dadas anteriormente. $${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}F^{\mu \nu }-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }}$$

Las ecuaciones de Maxwell en la materia

El resultado es que la ley de Ampère y la ley de Gauss se combinan en una sola ecuación: $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\mathbf {J} _{\text{free}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{free}},}$$

Gauss – Ley de Ampère (materia)

${\displaystyle {J^{\nu }}_{\text{free}}=\partial _{\mu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$

La corriente ligada y la corriente libre, tal como se definen anteriormente, se conservan de forma automática y por separado. $${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{\nu }{J^{\nu }}_{\text{bound}}&=0\,\\\partial _{\nu }{J^{\nu }}_{\text{free}}&=0\,.\end{aligned}}}$$

Ecuaciones constitutivas

Vacío

En el vacío, las relaciones constitutivas entre el tensor de campo y el tensor de desplazamiento son: $${\displaystyle \mu _{0}{\mathcal {D}}^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \alpha }F_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu }\,.}$$

La antisimetría reduce estas 16 ecuaciones a sólo seis ecuaciones independientes. Como es habitual definir F ^μν por las ecuaciones constitutivas, en el vacío se pueden combinar con la ley de Gauss-Ampère para obtener: $${\displaystyle F^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \alpha }F_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu },}$$ $${\displaystyle \partial _{\beta }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\alpha }.}$$

El tensor de energía-esfuerzo electromagnético en función del desplazamiento es: donde δ _α ^π es el delta de Kronecker . Cuando el índice superior se reduce con η , se vuelve simétrico y forma parte de la fuente del campo gravitacional. $${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\pi }=F_{\alpha \beta }{\mathcal {D}}^{\pi \beta }-{\frac {1}{4}}\delta _{\alpha }^{\pi }F_{\mu \nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu },}$$

Materia lineal, no dispersiva

De esta manera, hemos reducido el problema de modelar la corriente, J ^ν a dos problemas (con suerte) más sencillos: modelar la corriente libre, J ^ν _libre y modelar la magnetización y la polarización, . Por ejemplo, en los materiales más simples a bajas frecuencias, uno tiene donde uno está en el marco inercial instantáneamente comóvil del material, σ es su conductividad eléctrica , χ _e es su susceptibilidad eléctrica y χ _m es su susceptibilidad magnética . ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} _{\text{free}}&=\sigma \mathbf {E} \,\\\mathbf {P} &=\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} \,\\\mathbf {M} &=\chi _{m}\mathbf {H} \,\end{aligned}}}$$

Las relaciones constitutivas entre los tensores y F , propuestas por Minkowski para materiales lineales (es decir, E es proporcional a D y B proporcional a H ), son: donde u es la velocidad cuadrática del material, ε y μ son respectivamente la permitividad y la permeabilidad propias del material (es decir, en el marco de reposo del material), y denota el operador de estrella de Hodge . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\mu \nu }u_{\nu }&=c^{2}\varepsilon F^{\mu \nu }u_{\nu }\\{\star {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}u_{\nu }&={\frac {1}{\mu }}{\star F^{\mu \nu }}u_{\nu }\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \star }$

Lagrangiano para la electrodinámica clásica

Vacío

La densidad lagrangiana para la electrodinámica clásica está compuesta por dos componentes: un componente de campo y un componente de fuente: $${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,{\mathcal {L}}_{\text{field}}+{\mathcal {L}}_{\text{int}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-A_{\alpha }J^{\alpha }\,.}$$

En el término de interacción, la cuatro-corriente debe entenderse como una abreviatura de muchos términos que expresan las corrientes eléctricas de otros campos cargados en términos de sus variables; la cuatro-corriente no es en sí misma un campo fundamental.

Las ecuaciones de Lagrange para la densidad lagrangiana electromagnética se pueden establecer de la siguiente manera: ${\displaystyle {\mathcal {L}}{\mathord {\left(A_{\alpha },\partial _{\beta }A_{\alpha }\right)}}}$ $${\displaystyle \partial _{\beta }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\alpha }}}=0\,.}$$

Observando la expresión dentro del corchete es $${\displaystyle {\begin{aligned}F^{\lambda \sigma }&=F_{\mu \nu }\eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma },\\F_{\mu \nu }&=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\,\\{\partial \left(\partial _{\mu }A_{\nu }\right) \over \partial \left(\partial _{\rho }A_{\sigma }\right)}&=\delta _{\mu }^{\rho }\delta _{\nu }^{\sigma }\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}&=-\ {\frac {1}{4\mu _{0}}}\ {\frac {\partial \left(F_{\mu \nu }\eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma }F_{\lambda \sigma }\right)}{\partial \left(\partial _{\beta }A_{\alpha }\right)}}\\&=-\ {\frac {1}{4\mu _{0}}}\ \eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma }\left(F_{\lambda \sigma }\left(\delta _{\mu }^{\beta }\delta _{\nu }^{\alpha }-\delta _{\nu }^{\beta }\delta _{\mu }^{\alpha }\right)+F_{\mu \nu }\left(\delta _{\lambda }^{\beta }\delta _{\sigma }^{\alpha }-\delta _{\sigma }^{\beta }\delta _{\lambda }^{\alpha }\right)\right)\\&=-\ {\frac {F^{\beta \alpha }}{\mu _{0}}}\,.\end{aligned}}}$$

El segundo término es $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\alpha }}}=-J^{\alpha }\,.}$$

Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento del campo electromagnético son la ecuación de Gauss-Ampère anterior. $${\displaystyle {\frac {\partial F^{\beta \alpha }}{\partial x^{\beta }}}=\mu _{0}J^{\alpha }\,.}$$

Asunto

Separando las corrientes libres de las corrientes ligadas, otra forma de escribir la densidad lagrangiana es la siguiente: $${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-A_{\alpha }J_{\text{free}}^{\alpha }+{\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta }\,.}$$

Utilizando la ecuación de Lagrange, se pueden derivar las ecuaciones de movimiento para . ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$

La expresión equivalente en notación vectorial es: $${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,{\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}E^{2}-{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\phi \,\rho _{\text{free}}+\mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\text{free}}+\mathbf {E} \cdot \mathbf {P} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {M} \,.}$$

Véase también

• Teoría clásica de campos covariantes
• Tensor electromagnético
• Ecuación de onda electromagnética
• Potencial de Liénard-Wiechert para una carga en movimiento arbitrario
• Problema del imán móvil y del conductor
• Ecuación de onda electromagnética no homogénea
• Acción de Proca
• Electrodinámica cuántica
• Electromagnetismo relativista
• Acción de Stueckelberg
• Teoría de absorción de Wheeler-Feynman

Notas

1. Este artículo utiliza el tratamiento clásico de los tensores y la convención de suma de Einstein en todo momento, y la métrica de Minkowski tiene la forma diag(+1, −1, −1, −1) . Cuando se especifica que las ecuaciones se mantienen en el vacío, se las podría considerar como la formulación de las ecuaciones de Maxwell en términos de carga y corriente totales .

Referencias

1. Vanderlinde, Jack (2004), teoría electromagnética clásica, Springer, págs. 313–328, ISBN 9781402026997
2. Electrodinámica clásica, Jackson, 3.ª edición, página 609
3. Electrodinámica clásica de Jackson, 3.ª edición, Capítulo 11 Teoría especial de la relatividad
4. Se supone que no existen fuerzas distintas de las que se originan en E y B , es decir, no existen fuerzas gravitacionales , débiles o fuertes .
5. Sin embargo, la suposición de que , , e incluso , son tensores relativistas en un medio polarizable carece de fundamento. La cantidad no es un vector cuaternario en un medio polarizable, por lo que no produce un tensor. ${\displaystyle M^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle D^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ $${\displaystyle A^{\alpha }=\left(\phi /c,\mathbf {A} \right)\,}$$ $${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,}$$
6. Franklin, Jerrold, ¿Pueden los campos electromagnéticos formar tensores en un medio polarizable?
7. Gonano, Carlo, Definición de polarización P y magnetización M totalmente consistente con las ecuaciones de Maxwell

Lectura adicional

• Las conferencias de física de Feynman, vol. II, cap. 25: Electrodinámica en notación relativista
• Einstein, A. (1961). Relatividad: teoría especial y general . Nueva York: Crown. ISBN 0-517-02961-8.
• Misner, Charles; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Landau, LD; Lifshitz, EM (1975). Teoría clásica de campos (cuarta edición revisada en inglés). Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7.
• RP Feynman; FB Moringo; WG Wagner (1995). Conferencias de Feynman sobre gravitación . Addison-Wesley. ISBN 0-201-62734-5.