Las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo.

Electromagnetismo en relatividad general.

Curvatura inducida del espacio-tiempo

En física , las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo gobiernan la dinámica del campo electromagnético en el espacio-tiempo curvo (donde la métrica puede no ser la métrica de Minkowski ) o donde se utiliza un sistema de coordenadas arbitrario (no necesariamente cartesiano ). Estas ecuaciones pueden verse como una generalización de las ecuaciones de Maxwell del vacío que normalmente se formulan en las coordenadas locales del espacio-tiempo plano . Pero debido a que la relatividad general dicta que la presencia de campos electromagnéticos (o energía / materia en general) induce curvatura en el espacio-tiempo, ^[1] las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo plano deben verse como una aproximación conveniente.

Cuando se trabaja en presencia de materia a granel, distinguir entre cargas eléctricas libres y ligadas puede facilitar el análisis. Cuando se hace la distinción, se denominan ecuaciones macroscópicas de Maxwell. Sin esta distinción, a veces se les llama ecuaciones de Maxwell " microscópicas " para contrastar.

El campo electromagnético admite una descripción geométrica independiente de las coordenadas, y las ecuaciones de Maxwell expresadas en términos de estos objetos geométricos son las mismas en cualquier espacio-tiempo, curvo o no. Además, se realizan las mismas modificaciones a las ecuaciones del espacio plano de Minkowski cuando se utilizan coordenadas locales que no son rectilíneas. Por ejemplo, las ecuaciones de este artículo se pueden utilizar para escribir las ecuaciones de Maxwell en coordenadas esféricas . Por estas razones, puede resultar útil pensar en las ecuaciones de Maxwell en el espacio de Minkowski como un caso especial de la formulación general.

Resumen

En la relatividad general , el tensor métrico ya no es una constante (como en Ejemplos de tensor métrico ) pero puede variar en el espacio y el tiempo, y las ecuaciones del electromagnetismo en el vacío se convierten en ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\alpha \beta }&=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha },\\{\mathcal {D}}^{\mu \nu }&={\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}},\\J^{\mu }&=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu },\\f_{\mu }&=F_{\mu \nu }\,J^{\nu },\end{aligned}}}$

donde es la densidad de la fuerza de Lorentz , es la inversa del tensor métrico y es el determinante del tensor métrico. Observe que y son tensores (ordinarios), mientras que , y son densidades tensoriales de peso +1. A pesar del uso de derivadas parciales , estas ecuaciones son invariantes bajo transformaciones de coordenadas curvilíneas arbitrarias. Por lo tanto, si se reemplazan las derivadas parciales con derivadas covariantes , los términos adicionales así introducidos se cancelarían (ver Covarianza manifiesta § Ejemplo ). ${\displaystyle f_{\mu }}$ ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$ ${\displaystyle F_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle J^{\nu }}$ ${\displaystyle f_{\mu }}$

El potencial electromagnético

El potencial electromagnético es un vector covariante A _α , que es la primitiva indefinida del electromagnetismo. Al ser un vector covariante, sus componentes se transforman de un sistema de coordenadas a otro según

${\displaystyle {\bar {A}}_{\beta }({\bar {x}})={\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }(x).}$

Campo electromagnetico

El campo electromagnético es un tensor antisimétrico covariante de grado 2, que puede definirse en términos del potencial electromagnético por

$${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }.}$$

Para ver que esta ecuación es invariante, transformamos las coordenadas como se describe en el tratamiento clásico de los tensores :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {F}}_{\alpha \beta }&={\frac {\partial {\bar {A}}_{\beta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}-{\frac {\partial {\bar {A}}_{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }\right)-{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }\right)\\&={\frac {\partial ^{2}x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }+{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}-{\frac {\partial ^{2}x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }-{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\&={\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}-{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\\&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}-{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\right)\\&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}F_{\delta \gamma }.\end{aligned}}}$$

Esta definición implica que el campo electromagnético satisface

$${\displaystyle \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=0,}$$

la ley de inducción de Faradayla ley de Gauss para el magnetismo

$${\displaystyle \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=\partial _{\lambda }\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\lambda }\partial _{\nu }A_{\mu }+\partial _{\mu }\partial _{\nu }A_{\lambda }-\partial _{\mu }\partial _{\lambda }A_{\nu }+\partial _{\nu }\partial _{\lambda }A_{\mu }-\partial _{\nu }\partial _{\mu }A_{\lambda }=0.}$$

Por lo tanto, el lado derecho de esa ley de Maxwell es cero de manera idéntica, lo que significa que la teoría clásica del campo EM no deja espacio para que los monopolos magnéticos o las corrientes de los mismos actúen como fuentes del campo.

Aunque parece haber 64 ecuaciones en Faraday-Gauss, en realidad se reduce a sólo cuatro ecuaciones independientes. Utilizando la antisimetría del campo electromagnético, se pueden reducir a una identidad (0 = 0) o hacer redundantes todas las ecuaciones excepto aquellas en las que { λ , μ , ν } sea {1, 2, 3}, {2, 3, 0}, {3, 0, 1} o {0, 1, 2}.

La ecuación de Faraday-Gauss a veces se escribe

$${\displaystyle F_{[\mu \nu ;\lambda ]}=F_{[\mu \nu ,\lambda ]}={\frac {1}{6}}(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }-\partial _{\lambda }F_{\nu \mu }-\partial _{\mu }F_{\lambda \nu }-\partial _{\nu }F_{\mu \lambda })={\frac {1}{3}}(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu })=0,}$$

Cálculo de Ricci

$${\displaystyle F_{\alpha \beta ;\gamma }=F_{\alpha \beta ,\gamma }-{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \gamma }F_{\mu \beta }-{\Gamma ^{\mu }}_{\beta \gamma }F_{\alpha \mu },}$$

^α _βγsímbolo de Christoffel

Desplazamiento electromagnético

El campo de desplazamiento eléctrico D y el campo magnético auxiliar H forman una densidad tensor de rango 2 contravariante antisimétrica de peso +1. En el vacío, esto viene dado por

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}.}$

Esta ecuación es el único lugar donde la métrica (y por tanto la gravedad) entra en la teoría del electromagnetismo. Además, la ecuación es invariante ante un cambio de escala, es decir, multiplicar la métrica por una constante no tiene ningún efecto en esta ecuación. En consecuencia, la gravedad sólo puede afectar al electromagnetismo cambiando la velocidad de la luz en relación con el sistema de coordenadas global que se utiliza. La gravedad sólo desvía la luz porque es más lenta cerca de cuerpos masivos. Entonces es como si la gravedad aumentara el índice de refracción del espacio cerca de cuerpos masivos.

De manera más general, en materiales donde el tensor de magnetización - polarización es distinto de cero, tenemos

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }.}$

La ley de transformación del desplazamiento electromagnético es

${\displaystyle {\bar {\mathcal {D}}}^{\mu \nu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}\,{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right],}$

donde se utiliza el determinante jacobiano . Si se utiliza el tensor de magnetización-polarización, tiene la misma ley de transformación que el desplazamiento electromagnético.

Corriente eléctrica

La corriente eléctrica es la divergencia del desplazamiento electromagnético. En un aspirador,

${\displaystyle J^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }.}$

Si se utiliza magnetización-polarización, entonces esto solo da la porción libre de la corriente.

${\displaystyle J_{\text{free}}^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }.}$

Este incorpora la ley de Ampere y la ley de Gauss .

En cualquier caso, el hecho de que el desplazamiento electromagnético sea antisimétrico implica que la corriente eléctrica se conserva automáticamente:

${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }=0,}$

porque las derivadas parciales conmutan .

La definición de amperio-Gauss de la corriente eléctrica no es suficiente para determinar su valor porque no se le ha dado un valor al potencial electromagnético (del cual se derivó en última instancia). En cambio, el procedimiento habitual es equiparar la corriente eléctrica con alguna expresión en términos de otros campos, principalmente el electrón y el protón, y luego resolver el desplazamiento electromagnético, el campo electromagnético y el potencial electromagnético.

La corriente eléctrica es un vector de densidad contravariante y, como tal, se transforma de la siguiente manera:

${\displaystyle {\bar {J}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right].}$

Verificación de esta ley de transformación:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {J}}^{\mu }&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\left({\bar {\mathcal {D}}}^{\mu \nu }\right)\\[6pt]&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\right)\\[6pt]&={\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\\[6pt]&={\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\beta }\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]&=0+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]&={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\left({\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right).\end{aligned}}}$$

Así que lo único que queda es demostrar que

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}=0,}$

que es una versión de un teorema conocido (ver Funciones inversas y diferenciación § Derivadas superiores ).

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }\partial x^{\sigma }}}+{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\right)\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left(\mathbf {4} \right)\\[6pt]{}={}&0.\end{aligned}}}$$

Densidad de fuerza de Lorentz

La densidad de la fuerza de Lorentz es una densidad vectorial covariante dada por

$${\displaystyle f_{\mu }=F_{\mu \nu }J^{\nu }.}$$

La fuerza sobre una partícula de prueba sujeta únicamente a la gravedad y al electromagnetismo es

$${\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{dt}}=\Gamma _{\alpha \gamma }^{\beta }p_{\beta }{\frac {dx^{\gamma }}{dt}}+qF_{\alpha \gamma }{\frac {dx^{\gamma }}{dt}},}$$

p _αt^β _αγsímbolo de Christoffelq

Esta ecuación es invariante ante un cambio en la coordenada temporal; simplemente multiplica por y usa la regla de la cadena . También es invariante ante un cambio en el sistema de coordenadas x . ${\displaystyle dt/d{\bar {t}}}$

Usando la ley de transformación para el símbolo de Christoffel,

$${\displaystyle {\bar {\Gamma }}_{\alpha \gamma }^{\beta }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\epsilon }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\zeta }}{\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\Gamma _{\delta \zeta }^{\epsilon }+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}},}$$

obtenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d{\bar {p}}_{\alpha }}{dt}}-{\bar {\Gamma }}_{\alpha \gamma }^{\beta }{\bar {p}}_{\beta }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}-q{\bar {F}}_{\alpha \gamma }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}\\[6pt]{}={}&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}p_{\delta }\right)-\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\theta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\iota }}{\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\Gamma _{\delta \iota }^{\theta }+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\right){\frac {\partial x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}p_{\epsilon }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\gamma }}{\partial x^{\zeta }}}{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}-q{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}F_{\delta \zeta }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {dp_{\delta }}{dt}}-\Gamma _{\delta \zeta }^{\epsilon }p_{\epsilon }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}-qF_{\delta \zeta }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\right)+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\right)p_{\delta }-\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\right){\frac {\partial x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}p_{\epsilon }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\gamma }}{\partial x^{\zeta }}}{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\\[6pt]{}={}&0+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\right)p_{\delta }-{\frac {\partial ^{2}x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}p_{\epsilon }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}\\[6pt]{}={}&0.\end{aligned}}}$$

lagrangiano

En el vacío, la densidad lagrangiana de la electrodinámica clásica (en julios por metro cúbico) es una densidad escalar

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\,F_{\alpha \beta }\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}+A_{\alpha }\,J^{\alpha },}$$

$${\displaystyle F^{\alpha \beta }=g^{\alpha \gamma }F_{\gamma \delta }g^{\delta \beta }.}$$

La corriente 4 debe entenderse como una abreviatura de muchos términos que expresan las corrientes eléctricas de otros campos cargados en términos de sus variables.

Si separamos las corrientes libres de las corrientes ligadas, el lagrangiano se convierte en

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\,F_{\alpha \beta }\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}+A_{\alpha }\,J_{\text{free}}^{\alpha }+{\frac {1}{2}}\,F_{\alpha \beta }\,{\mathcal {M}}^{\alpha \beta }.}$$

Tensor de energía-estrés electromagnético

Como parte del término fuente en las ecuaciones de campo de Einstein , el tensor tensión-energía electromagnética es un tensor simétrico covariante

$${\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \nu }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }F_{\sigma \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \rho }g^{\rho \sigma }\right),}$$

${\displaystyle T_{\mu \nu }}$

$${\displaystyle T_{\mu \nu }g^{\mu \nu }=0}$$

velocidad invariante^{[ cita necesaria ]}

En la expresión para la conservación de la energía y el momento lineal, el tensor tensión-energía electromagnética se representa mejor como una densidad tensor mixta.

$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }=T_{\mu \gamma }g^{\gamma \nu }{\frac {\sqrt {-g}}{c}}.}$$

De las ecuaciones anteriores se puede demostrar que

$${\displaystyle {{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{;\nu }+f_{\mu }=0,}$$

derivada covariante

Esto se puede reescribir como

$${\displaystyle -{{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{,\nu }=-\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }{\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }+f_{\mu },}$$

Derivación de la ley de conservación:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{;\nu }+f_{\mu }&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha ;\nu }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma }g^{\gamma \nu }+F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma ;\nu }g^{\gamma \nu }-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu }^{\nu }F_{\sigma \alpha ;\nu }g^{\alpha \beta }F_{\beta \rho }g^{\rho \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma ;\nu }g^{\gamma \nu }{\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\alpha \nu }-{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\left(-F_{\nu \mu ;\alpha }-F_{\alpha \nu ;\mu }\right)F^{\alpha \nu }-{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \nu ;\alpha }F^{\alpha \nu }-F_{\alpha \nu ;\mu }F^{\alpha \nu }+{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\sigma \alpha }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\nu \alpha }-{\frac {1}{2}}F_{\alpha \nu ;\mu }F^{\alpha \nu }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(-F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\alpha \nu }+{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}},\end{aligned}}}$$

que es cero porque es negativo de sí mismo (ver cuatro líneas arriba).

Ecuación de ondas electromagnéticas

La ecuación de ondas electromagnéticas no homogéneas en términos del tensor de campo se modifica de la forma de relatividad especial a ^[2]

${\displaystyle \Box F_{ab}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ F_{ab;}{}^{d}{}_{d}=-2R_{acbd}F^{cd}+R_{ae}F^{e}{}_{b}-R_{be}F^{e}{}_{a}+J_{a;b}-J_{b;a},}$

donde R _acbd es la forma covariante del tensor de Riemann y es una generalización del operador d'Alembertiano para derivadas covariantes. Usando ${\displaystyle \Box }$

${\displaystyle \Box A^{a}={{A^{a;}}^{b}}_{b},}$

Las ecuaciones fuente de Maxwell se pueden escribir en términos de 4 potenciales [ref. 2 ^{[ se necesita aclaración ]} , pág. 569] como

${\displaystyle \Box A^{a}-{A^{b;a}}_{b}=-\mu _{0}J^{a}}$

o, asumiendo la generalización del calibre de Lorenz en el espacio-tiempo curvo,

${\displaystyle {\begin{aligned}{A^{a}}_{;a}&=0,\\\Box A^{a}&=-\mu _{0}J^{a}+{R^{a}}_{b}A^{b},\end{aligned}}}$

¿Dónde está el tensor de curvatura de Ricci ? ${\displaystyle R_{ab}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {R^{s}}_{asb}}$

Esta es la misma forma de ecuación de onda que en el espacio-tiempo plano, excepto que las derivadas se reemplazan por derivadas covariantes y hay un término adicional proporcional a la curvatura. La ecuación de onda en esta forma también tiene cierta semejanza con la fuerza de Lorentz en el espacio-tiempo curvo, donde A ^a desempeña el papel de la posición 4.

Para el caso de una firma métrica en la forma (+, −, −, −), la derivación de la ecuación de onda en el espacio-tiempo curvo se lleva a cabo en el artículo. ^{[ cita necesaria ]}

No linealidad de las ecuaciones de Maxwell en un espacio-tiempo dinámico.

Cuando las ecuaciones de Maxwell se tratan de manera independiente del fondo , es decir, cuando la métrica del espacio-tiempo se considera una variable dinámica dependiente del campo electromagnético, entonces la ecuación de la onda electromagnética y las ecuaciones de Maxwell son no lineales. Esto se puede ver al observar que el tensor de curvatura depende del tensor tensión-energía a través de la ecuación de campo de Einstein.

${\displaystyle G_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{ab},}$

dónde

${\displaystyle G_{ab}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}}$

es el tensor de Einstein , G es la constante gravitacional , g _ab es el tensor métrico y R ( curvatura escalar ) es la traza del tensor de curvatura de Ricci. El tensor tensión-energía se compone de la tensión-energía de las partículas, pero también de la tensión-energía del campo electromagnético. Esto genera la no linealidad.

formulación geométrica

En la formulación geométrica diferencial del campo electromagnético, el tensor de Faraday antisimétrico puede considerarse como la forma 2 de Faraday . Desde este punto de vista, una de las dos ecuaciones de Maxwell es ${\displaystyle \mathbf {F} }$

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0,}$

donde está el operador derivado exterior . Esta ecuación es completamente independiente de coordenadas y métricas y dice que el flujo electromagnético a través de una superficie bidimensional cerrada en el espacio-tiempo es topológico, más precisamente, depende sólo de su clase de homología (una generalización de la forma integral de la ley de Gauss y Ecuación de Maxwell-Faraday, ya que la clase de homología en el espacio de Minkowski es automáticamente 0). Según el lema de Poincaré , esta ecuación implica (al menos localmente) que existe una forma 1 que satisface ${\displaystyle \mathrm {d} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} .}$

La otra ecuación de Maxwell es

${\displaystyle \mathrm {d} \star \mathbf {F} =\mathbf {J} .}$

En este contexto, es la forma 3 actual (o incluso más precisa, la forma 3 retorcida), y la estrella denota el operador estrella de Hodge . La dependencia de la ecuación de Maxwell de la métrica del espacio-tiempo radica en el operador estelar de Hodge en 2 formas, que es conformemente invariante . Escrita de esta manera, la ecuación de Maxwell es la misma en cualquier espacio-tiempo, manifiestamente invariante en coordenadas y conveniente de usar (incluso en el espacio de Minkowski o en el espacio y tiempo euclidianos, especialmente con coordenadas curvilíneas). ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star }$

Una interpretación geométrica alternativa es que la forma 2 de Faraday es (hasta un factor ) la forma 2 de curvatura de una conexión U (1) en un haz principal U (1) cuyas secciones representan campos cargados. La conexión es muy parecida al potencial vectorial, ya que cada conexión se puede escribir como una conexión "base" , y ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle F(\nabla )}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla =\nabla _{0}+iA}$ ${\displaystyle \nabla _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} _{0}+\mathrm {d} \mathbf {A} .}$

Desde este punto de vista, la "ecuación" de Maxwell es una identidad matemática conocida como identidad de Bianchi . La ecuación es la única ecuación con algún contenido físico en esta formulación. Este punto de vista es particularmente natural cuando se consideran campos cargados o mecánica cuántica. Puede interpretarse en el sentido de que, al igual que la gravedad puede entenderse como el resultado de la necesidad de una conexión a vectores de transporte paralelos en diferentes puntos, también pueden entenderse los fenómenos electromagnéticos o efectos cuánticos más sutiles como el efecto Aharonov-Bohm . debido a la necesidad de una conexión a campos cargados de transporte paralelo o secciones de ondas en diferentes puntos. De hecho, así como el tensor de Riemann es la holonomía de la conexión Levi-Civita a lo largo de una curva cerrada infinitesimal, la curvatura de la conexión es la holonomía de la conexión U(1). ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \star \mathbf {F} =\mathbf {J} }$

Ver también

• Ecuación de ondas electromagnéticas
• Ecuación de ondas electromagnéticas no homogéneas.
• Descripciones matemáticas del campo electromagnético.
• Formulación covariante del electromagnetismo clásico.
• Motivación teórica para la relatividad general.
• Introducción a las matemáticas de la relatividad general.
• Solución de electrovacío
• Paradoja de la radiación de partículas cargadas en un campo gravitacional.

Notas

1. Salón, GS (1984). "La importancia de la curvatura en la relatividad general". Relatividad General y Gravitación . 16 (5): 495–500. Código Bib : 1984GReGr..16..495H. doi :10.1007/BF00762342. S2CID  123346295.
2. Ehlers J. Campos nulos electromagnéticos generalizados y óptica geométrica, en Perspectives in Geometry and Relativity, ed. por B. Hoffmann, pág. 127–133, Indiana University Press, Bloomington y Londres, 1966.

Referencias

• Einstein, A. (1961). Relatividad: la teoría especial y general . Nueva York: Corona. ISBN 0-517-02961-8.
• Misner, Charles W .; Thorne, Kip S .; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman . ISBN 0-7167-0344-0.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975). Teoría clásica de campos (Cuarta edición revisada en inglés). Oxford: Pérgamo. ISBN 0-08-018176-7.
• Feynman, RP ; Moringo, FB; Wagner, WG (1995). Conferencias de Feynman sobre gravitación . Addison-Wesley . ISBN 0-201-62734-5.

enlaces externos

• Campos electromagnéticos en espacios-tiempos curvos.