Densidad tensorial

Generalización de campos tensoriales.

En geometría diferencial , una densidad tensorial o tensor relativo es una generalización del concepto de campo tensorial . Una densidad tensorial se transforma como un campo tensorial al pasar de un sistema de coordenadas a otro (ver campo tensorial ), excepto que además se multiplica o pondera por una potencia W del determinante jacobiano de la función de transición de coordenadas o su valor absoluto. Una densidad tensorial con un único índice se llama densidad vectorial . Se hace una distinción entre densidades tensoriales (auténticas), densidades pseudotensoriales, densidades tensoriales pares y densidades tensoriales impares. A veces, las densidades tensoriales con un peso negativo W se denominan capacidad tensorial. ^{[1] [2] [3]} Una densidad tensorial también se puede considerar como una sección del producto tensorial de un paquete tensorial con un paquete de densidad .

Motivación

En física y campos relacionados, suele ser útil trabajar con los componentes de un objeto algebraico en lugar del objeto en sí. Un ejemplo sería descomponer un vector en una suma de vectores base ponderados por algunos coeficientes como

$${\displaystyle {\vec {v}}=c_{1}{\vec {e}}_{1}+c_{2}{\vec {e}}_{2}+c_{3}{\vec {e}}_{3}}$$

el espacio euclidianola basetensoraplicaciones lineales ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} ^{1}{\text{ and }}{\vec {e}}_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

$${\displaystyle {\vec {u}}\times {\vec {v}}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}=u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}$$

Si ahora intentamos expresar esta misma expresión en una base distinta a la base estándar, entonces los componentes de los vectores cambiarán, digamos según dónde esté una matriz de números reales de 2 por 2. Dado que el área del paralelogramo extendido es una invariante geométrica, no puede haber cambiado con el cambio de base, por lo que la nueva representación de esta matriz debe ser: ${\textstyle {\begin{bmatrix}u'_{1}&u'_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}=A{\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \left(A^{-1}\right)^{\textsf {T}}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}A^{-1}}$$

densidades tensoriales ${\displaystyle A^{-1},}$ ${\textstyle {\frac {1}{\det A}}.}$ ${\textstyle {\frac {1}{\det A}},}$ ${\displaystyle n,n\times n}$ ${\displaystyle n}$

Definición

Algunos autores clasifican las densidades tensoriales en dos tipos llamados densidades tensoriales (auténticas) y densidades pseudotensoriales en este artículo. Otros autores los clasifican de manera diferente, en los tipos llamados densidades tensoriales pares y densidades tensoriales impares. Cuando el peso de la densidad del tensor es un número entero, existe una equivalencia entre estos enfoques que depende de si el número entero es par o impar.

Tenga en cuenta que estas clasificaciones aclaran las diferentes formas en que las densidades tensoriales pueden transformarse de manera algo patológica bajo transformaciones de coordenadas que invierten la orientación. Independientemente de sus clasificaciones en estos tipos, sólo hay una forma en que las densidades tensoriales se transforman bajo transformaciones de coordenadas que preservan la orientación.

En este artículo hemos elegido la convención que asigna un peso de +2 a , el determinante del tensor métrico expresado con índices covariantes . Con esta elección, las densidades clásicas, como la densidad de carga, estarán representadas por densidades tensoriales de peso +1. Algunos autores utilizan una convención de signos para los pesos que es la negación de la que se presenta aquí. ^[4] ${\displaystyle g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)}$

En contraste con el significado utilizado en este artículo, en la relatividad general " pseudotensor " a veces significa un objeto que no se transforma como un tensor o tensor relativo de ningún peso.

Densidades tensoriales y pseudotensoriales

Por ejemplo, una densidad de peso tensorial mixta de rango dos (auténtica) se transforma como: ^{[5] [6]} ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,}$     (densidad tensorial (auténtica) de peso (entero) W )

donde es la densidad del tensor de rango dos en el sistema de coordenadas, es la densidad del tensor transformada en el sistema de coordenadas; y utilizamos el determinante jacobiano . Debido a que el determinante puede ser negativo, como lo es para una transformación de coordenadas con inversión de orientación, esta fórmula es aplicable solo cuando es un número entero. (Sin embargo, consulte las densidades de tensores pares e impares a continuación). ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {T}}}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ ${\displaystyle {x}}$ ${\displaystyle W}$

Decimos que una densidad tensorial es una densidad pseudotensor cuando hay un cambio de signo adicional bajo una transformación de coordenadas con inversión de orientación. Una densidad de peso pseudotensor mixta de rango dos se transforma como ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatorname {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,}$     (densidad pseudotensor de peso (entero) W )

donde sgn ( ) ${\displaystyle \cdot }$ es una función que devuelve +1 cuando su argumento es positivo o −1 cuando su argumento es negativo.

Densidades tensoriales pares e impares

Las transformaciones para densidades tensoriales pares e impares tienen la ventaja de estar bien definidas incluso cuando no son un número entero. Así, se puede hablar de, digamos, una densidad tensorial impar de peso +2 o una densidad tensorial par de peso −1/2. ${\displaystyle W}$

Cuando es un número entero par, la fórmula anterior para una densidad tensorial (auténtica) se puede reescribir como ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,.}$     (densidad tensorial par de peso W )

De manera similar, cuando es un número entero impar, la fórmula para una densidad tensorial (auténtica) se puede reescribir como ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatorname {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,.}$     (densidad tensorial impar de peso W )

Pesos de cero y uno

A un tensor de densidad de cualquier tipo que tenga peso cero también se le llama tensor absoluto . Una densidad tensorial auténtica (par) de peso cero también se denomina tensor ordinario .

Si no se especifica un peso pero se usa la palabra "relativo" o "densidad" en un contexto donde se necesita un peso específico, generalmente se supone que el peso es +1.

Propiedades algebraicas

1. Una combinación lineal (también conocida como suma ponderada ) de densidades tensoriales del mismo tipo y peso es nuevamente una densidad tensorial de ese tipo y peso. ${\displaystyle W}$
2. Un producto de dos densidades tensoriales de cualquier tipo, y con pesos y , es una densidad tensorial de peso. ${\displaystyle W_{1}}$ ${\displaystyle W_{2}}$ ${\displaystyle W_{1}+W_{2}.}$

   Un producto de densidades tensoriales auténticas y densidades pseudotensoriales será una densidad tensorial auténtica cuando un número par de factores sean densidades pseudotensoriales; será una densidad pseudotensor cuando un número impar de factores sean densidades pseudotensor. De manera similar, un producto de densidades tensoriales pares y densidades tensoriales impares será una densidad tensorial par cuando un número par de factores son densidades tensoriales impares; será una densidad tensorial impar cuando un número impar de factores sean densidades tensoriales impares.

3. La contracción de índices en una densidad tensorial con peso produce nuevamente una densidad tensorial de peso ^[7] ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W.}$
4. Usando (2) y (3) se ve que subir y bajar índices usando el tensor métrico (peso 0) deja el peso sin cambios. ^[8]

Inversión matricial y determinante matricial de densidades tensoriales

Si es una matriz no singular y una densidad de peso tensorial de rango dos con índices covariantes, entonces su matriz inversa será una densidad de peso tensorial de rango dos, con índices contravariantes. Se aplican declaraciones similares cuando los dos índices son contravariantes o son covariantes y contravariantes mixtos. ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

Si es una densidad de peso del tensor de rango dos con índices covariantes, entonces el determinante de la matriz tendrá peso donde es el número de dimensiones espacio-temporales. Si es una densidad de peso del tensor de rango dos con índices contravariantes, entonces el determinante de la matriz tendrá peso. El determinante de la matriz tendrá peso. ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle NW+2,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {T}}^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle NW-2.}$ ${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}_{~\beta }^{\alpha }}$ ${\displaystyle NW.}$

Relatividad general

Relación del determinante jacobiano y el tensor métrico

Cualquier tensor ordinario no singular se transforma como ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$

$${\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\kappa }}{\partial {x}^{\mu }}}{\bar {T}}_{\kappa \lambda }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\lambda }}{\partial {x}^{\nu }}}\,,}$$

donde el lado derecho puede verse como el producto de tres matrices. Tomando el determinante de ambos lados de la ecuación (usando que el determinante de un producto matricial es el producto de los determinantes), dividiendo ambos lados por y tomando su raíz cuadrada se obtiene ${\displaystyle \det \left({\bar {T}}_{\kappa \lambda }\right),}$

$${\displaystyle \left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ={\sqrt {\frac {\det({T}_{\mu \nu })}{\det \left({\bar {T}}_{\kappa \lambda }\right)}}}\,.}$$

Cuando el tensor es el tensor métrico y es un sistema de coordenadas localmente inercial donde diag(−1,+1,+1,+1), la métrica de Minkowski , entonces −1 y así ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {g}_{\kappa \lambda },}$ ${\displaystyle {\bar {x}}^{\iota }}$ ${\displaystyle {\bar {g}}_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda }=}$  ${\displaystyle \det \left({\bar {g}}_{\kappa \lambda }\right)=\det(\eta _{\kappa \lambda })=}$ 

$${\displaystyle \left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ={\sqrt {-{g}}}\,,}$$

¿Dónde está el determinante del tensor métrico? ${\displaystyle {g}=\det \left({g}_{\mu \nu }\right)}$ ${\displaystyle {g}_{\mu \nu }.}$

Uso del tensor métrico para manipular densidades tensoriales.

En consecuencia, una densidad tensorial par, de peso W , se puede escribir en la forma ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots },}$

$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,,}$$

donde es un tensor ordinario. En un sistema de coordenadas localmente inercial, donde se dará el caso de que y se representarán con los mismos números. ${\displaystyle T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,}$ ${\displaystyle g_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda },}$ ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }}$ ${\displaystyle T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,}$

Cuando se utiliza la conexión métrica ( conexión Levi-Civita ), la derivada covariante de una densidad tensorial par se define como

$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}T_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}\left({\sqrt {-g}}\;^{-W}{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }\right)_{;\alpha }\,.}$$

Para una conexión arbitraria, la derivada covariante se define agregando un término adicional, a saber

$${\displaystyle -W\,\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }\,{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }}$$

De manera equivalente, se obedece la regla del producto.

$${\displaystyle \left({\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }{\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots }\right)_{;\alpha }=\left({\mathfrak {T}}_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }\right){\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots }+{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }\left({\mathfrak {S}}_{\tau \dots ;\alpha }^{\sigma \dots }\right)\,,}$$

donde, para la conexión métrica, la derivada covariante de cualquier función de es siempre cero, ${\displaystyle g_{\kappa \lambda }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\kappa \lambda ;\alpha }&=0\\\left({\sqrt {-g}}\;^{W}\right)_{;\alpha }&=\left({\sqrt {-g}}\;^{W}\right)_{,\alpha }-W\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }{\sqrt {-g}}\;^{W}={\frac {W}{2}}g^{\kappa \lambda }g_{\kappa \lambda ,\alpha }{\sqrt {-g}}\;^{W}-W\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }{\sqrt {-g}}\;^{W}=0\,.\end{aligned}}}$$

Ejemplos

La expresión es una densidad escalar. Según la convención de este artículo tiene un peso de +1. ${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$

La densidad de la corriente eléctrica (por ejemplo, es la cantidad de carga eléctrica que cruza el elemento de 3 volúmenes dividida por ese elemento; no utilice la métrica en este cálculo) es una densidad vectorial contravariante de peso +1. Suele escribirse como o donde y la forma diferencial son tensores absolutos, y donde está el símbolo de Levi-Civita ; vea abajo. ${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{\mu }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{2}}$ ${\displaystyle dx^{3}\,dx^{4}\,dx^{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{\mu }=J^{\mu }{\sqrt {-g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{\mu }=\varepsilon ^{\mu \alpha \beta \gamma }{\mathcal {J}}_{\alpha \beta \gamma }/3!,}$ ${\displaystyle J^{\mu }\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{\alpha \beta \gamma }}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{\mu \alpha \beta \gamma }}$

La densidad de la fuerza de Lorentz (es decir, el momento lineal transferido del campo electromagnético a la materia dentro de un elemento de 4 volúmenes dividido por ese elemento; no utilice la métrica en este cálculo) es una densidad vectorial covariante de peso +1. ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{\mu }}$ ${\displaystyle dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}\,dx^{4}}$

En el espacio-tiempo N -dimensional, el símbolo de Levi-Civita puede considerarse como una densidad tensor auténtica de peso −1 covariante de rango N (impar) ( ε _{α 1 ⋯ α N} ) o una contravariante de rango N (impar) auténtica densidad tensorial de peso +1 ( ε ^{α ₁ ⋯ α _N} ). Observe que el símbolo de Levi-Civita (así considerado) no obedece la convención habitual para subir o bajar índices con el tensor métrico. Es decir, es cierto que

$${\displaystyle \varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\,g_{\alpha \kappa }\,g_{\beta \lambda }\,g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }\,=\,\varepsilon _{\kappa \lambda \mu \nu }\,g\,,}$$

${\displaystyle g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\kappa \lambda \mu \nu }.}$

El determinante del tensor métrico,

$${\displaystyle g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)={\frac {1}{4!}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }\,,}$$

Ver también

• Acción (física)  - Cantidad física de dimensión energía × tiempo
• Derecho de conservación  : derecho científico sobre la conservación de una propiedad física.
• Teorema de Noether  : afirmación que relaciona simetrías diferenciables con cantidades conservadas
• Pseudotensor  – Tipo de cantidad física
• escalar relativo
• Principio variacional  : principios científicos que permiten el uso del cálculo de variaciones.

Notas

1. Weinreich, Gabriel (6 de julio de 1998). Vectores Geométricos . Prensa de la Universidad de Chicago. págs.112, 115. ISBN 978-0226890487.
2. Papastavridis, John G. (18 de diciembre de 1998). Cálculo tensorial y dinámica analítica . Prensa CRC . ISBN 978-0849385148.
3. Ruiz-Tolosa, Castillo, Juan R., Enrique (30 de marzo de 2006). De vectores a tensores . Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3540228875.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Por ejemplo, Weinberg 1972 pág. 98. La convención elegida implica en las fórmulas siguientes el determinante jacobiano de la transición inversa x → x , mientras que la convención opuesta considera la transición directa x → x, lo que resulta en un cambio de signo del peso.
5. Señor Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Análisis vectorial (2ª ed.). Nueva York: Serie de esquemas de Schaum. pag. 198.ISBN​ 978-0-07-161545-7.
6. CB Parker (1994). Enciclopedia de Física McGraw Hill (2ª ed.). McGraw-Hill. pag. 1417.ISBN​ 0-07-051400-3.
7. Weinberg 1972 pág.100.
8. Weinberg 1972 pág.100.

Referencias

• Spivak, Michael (1999), Una introducción completa a la geometría diferencial, Vol I (3ª ed.), pág. 134.
• Kuptsov, LP (2001) [1994], "Tensor Density", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Carlos Misner ; Kip S. Thorne y John Archibald Wheeler (1973). Gravitación . WH Freeman . pag. 501 y siguientes. ISBN 0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Weinberg, Steven (1972), Gravitación y cosmología, John Wiley & sons, Inc, ISBN 0-471-92567-5