Motivación teórica para la relatividad general.

Se puede obtener una motivación teórica para la relatividad general , incluida la motivación para la ecuación geodésica y la ecuación de campo de Einstein , a partir de la relatividad especial examinando la dinámica de las partículas en órbitas circulares alrededor de la Tierra. Una ventaja clave al examinar órbitas circulares es que es posible conocer a priori la solución de la ecuación de campo de Einstein . Esto proporciona un medio para informar y verificar el formalismo.

La relatividad general aborda dos preguntas:

1. ¿Cómo afecta la curvatura del espacio-tiempo al movimiento de la materia ?
2. ¿Cómo afecta la presencia de materia a la curvatura del espacio-tiempo?

La primera pregunta se responde con la ecuación geodésica. La segunda pregunta se responde con la ecuación de campo de Einstein. La ecuación geodésica y la ecuación de campo están relacionadas mediante un principio de mínima acción . La motivación para la ecuación geodésica se proporciona en la sección Ecuación geodésica para órbitas circulares. La motivación para la ecuación de campo de Einstein se proporciona en la sección Tensor de tensión-energía.

Ecuación geodésica para órbitas circulares

Cinética de órbitas circulares.

Línea mundial de una órbita circular alrededor de la Tierra representada en dos dimensiones espaciales X e Y (el plano de la órbita) y una dimensión temporal, generalmente considerada como el eje vertical. Tenga en cuenta que la órbita alrededor de la Tierra es un círculo en el espacio, pero su línea mundial es una hélice en el espacio-tiempo.

Para mayor precisión, considere una órbita terrestre circular ( línea mundial helicoidal ) de una partícula. La partícula viaja con velocidad v. Un observador en la Tierra ve que la longitud se contrae en el marco de la partícula. Una vara de medir que viaja con la partícula parece más corta para el observador de la Tierra. Por lo tanto, la circunferencia de la órbita, que está en la dirección del movimiento, parece más larga que el diámetro de la órbita. ^[1] ${\displaystyle \pi }$

En relatividad especial , la velocidad propia de la partícula en el sistema inercial (sin aceleración) de la Tierra es

${\displaystyle u=\left(\gamma ,\gamma {\mathbf {v} \over c}\right)}$

donde c es la velocidad de la luz , es la velocidad 3 y es ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma ={1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}}}}}$.

La magnitud del vector de 4 velocidades es siempre constante.

${\displaystyle u_{\alpha }u^{\alpha }=-1}$

donde estamos usando una métrica de Minkowski

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$.

La magnitud de la velocidad 4 es, por tanto, un escalar de Lorentz .

La aceleración 4 en el marco de la Tierra (sin aceleración) es

${\displaystyle a\equiv {{du} \over {d\tau }}={d \over {d\tau }}{\left(\gamma ,\gamma {\mathbf {v} \over c}\right)}={\left(0,\gamma ^{2}{\mathbf {a} \over c^{2}}\right)}={\left(0,-\gamma ^{2}{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}{{\mathbf {r} } \over r^{2}}\right)}}$

donde es c multiplicado por el intervalo de tiempo adecuado medido en el marco de la partícula. Esto está relacionado con el intervalo de tiempo en el marco de la Tierra por ${\displaystyle d\tau }$

${\displaystyle cdt=\gamma d\tau }$.

Aquí, la aceleración 3 para una órbita circular es

${\displaystyle \mathbf {a} =-\omega ^{2}\mathbf {r} =-{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }{{\mathbf {r} } \over r^{2}}}$

donde es la velocidad angular de la partícula en rotación y es la posición 3 de la partícula. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

La magnitud de la velocidad 4 es constante. Esto implica que la aceleración 4 debe ser perpendicular a la velocidad 4. Por lo tanto, el producto interno de las 4 aceleraciones y las 4 velocidades es siempre cero. El producto interno es un escalar de Lorentz .

Curvatura del espacio-tiempo: ecuación geodésica

La ecuación para la aceleración se puede generalizar, dando como resultado la ecuación geodésica

${\displaystyle {{du^{\mu }} \over {d\tau }}-a^{\mu }=0}$

${\displaystyle {{du^{\mu }} \over {d\tau }}+{R^{\mu }}_{\alpha \nu \beta }u^{\alpha }x^{\nu }u^{\beta }=0}$

donde es la posición 4 de la partícula y es el tensor de curvatura dado por ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle {R^{\mu }}_{\alpha \nu \beta }}$

${\displaystyle {R^{\mu }}_{\alpha \nu \beta }={1 \over r^{2}}\eta _{\alpha \beta }{\delta ^{\mu }}_{\nu }}$

¿Dónde está la función delta de Kronecker y tenemos las restricciones? ${\displaystyle {\delta ^{\mu }}_{\nu }}$

${\displaystyle u_{\alpha }u^{\alpha }=-1}$

y

${\displaystyle a_{\alpha }u^{\alpha }=0}$.

Se verifica fácilmente que las órbitas circulares satisfacen la ecuación geodésica. La ecuación geodésica es en realidad más general. Las órbitas circulares son una solución particular de la ecuación. Son permitidas y válidas soluciones distintas de las órbitas circulares.

Tensor y traza de curvatura de Ricci.

El tensor de curvatura de Ricci es un tensor de curvatura especial dado por la contracción

${\displaystyle R_{\alpha \beta }\equiv {R^{\nu }}_{\alpha \nu \beta }}$.

La traza del tensor de Ricci, llamada curvatura escalar , es

${\displaystyle R\equiv {R^{\alpha }}_{\alpha }}$.

La ecuación geodésica en un sistema de coordenadas local.

Órbitas circulares con el mismo radio.

Considere la situación en la que ahora hay dos partículas en órbitas polares circulares cercanas de la Tierra con radio y velocidad . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle v}$

Las partículas ejecutan un movimiento armónico simple alrededor de la Tierra y entre sí. Están a su máxima distancia entre sí cuando cruzan el ecuador. Sus trayectorias se cruzan en los polos.

Imagine una nave espacial que se mueve junto con una de las partículas. El techo de la nave, la dirección, coincide con la dirección. El frente de la nave está en la dirección y la dirección está a la izquierda de la nave. La nave espacial es pequeña en comparación con el tamaño de la órbita, por lo que el marco local es un marco local de Lorentz. La separación en 4 de las dos partículas viene dada por . En el marco local de la nave espacial, la ecuación geodésica viene dada por ${\displaystyle {\acute {\mathbf {z} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\acute {\mathbf {x} }}}$ ${\displaystyle {\acute {\mathbf {y} }}}$ ${\displaystyle {\acute {x}}^{\mu }}$

${\displaystyle {{d^{2}{\acute {x}}^{\mu }} \over {d\tau ^{2}}}+{\acute {{R}^{\mu }}}_{\alpha \nu \beta }{\acute {u}}^{\alpha }{\acute {x}}^{\nu }{\acute {u}}^{\beta }=0}$

dónde

${\displaystyle {\acute {u}}^{\mu }={{d{\acute {x}}^{\mu }} \over {d\tau }}}$

y

${\displaystyle {\acute {{R}^{\mu }}}_{\alpha \nu \beta }}$

es el tensor de curvatura en el marco local.

Ecuación geodésica como derivada covariante

La ecuación del movimiento de una partícula en el espacio-tiempo plano y en ausencia de fuerzas es

${\displaystyle {{d{u}^{\mu }} \over {d\tau }}=0}$.

Si requerimos que una partícula viaje a lo largo de una geodésica en el espacio-tiempo curvo, entonces la expresión análoga en el espacio-tiempo curvo es

${\displaystyle {{D{\acute {u}}^{\mu }} \over {D\tau }}={{d{\acute {u}}^{\mu }} \over {d\tau }}+{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }{\acute {u}}^{\alpha }{\acute {u}}^{\beta }=0}$

donde la derivada de la izquierda es la derivada covariante , que es la generalización de la derivada normal a una derivada en el espacio-tiempo curvo. Aquí

${\displaystyle {\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }}$

Es un símbolo de Christoffel .

La curvatura está relacionada con el símbolo de Christoffel por

${\displaystyle {\acute {{R}^{\mu }}}_{\alpha \nu \beta }={{\partial {{\Gamma }^{\mu }}}_{\alpha \beta } \over {\partial x^{\nu }}}-{{\partial {{\Gamma }^{\mu }}}_{\alpha \nu } \over {\partial x^{\beta }}}+{{\Gamma }^{\mu }}_{\gamma \nu }{{\Gamma }^{\gamma }}_{\alpha \beta }-{{\Gamma }^{\mu }}_{\gamma \beta }{{\Gamma }^{\gamma }}_{\alpha \nu }}$.

Tensor métrico en el marco local.

El intervalo en el marco local es

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\equiv g_{\mu \nu }d{\acute {x}}^{\mu }d{\acute {x}}^{\nu }}$

${\displaystyle =d{\acute {x}}^{2}+d{\acute {y}}^{2}+d{\acute {z}}^{2}-c^{2}d{\acute {t}}^{2}+2\gamma \cos(\theta )\cos(\phi )\,v\,d{\acute {t}}\,d{\acute {x}}+2\gamma \cos(\theta )\sin(\phi )v\,d{\acute {t}}\,d{\acute {y}}-2\gamma \sin(\theta )v\,d{\acute {t}}\,d{\acute {z}}}$

dónde

${\displaystyle \theta }$es el ángulo con el eje (longitud) y ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \phi }$es el ángulo con el eje (latitud). ${\displaystyle x}$

Esto da una métrica de

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&\gamma \cos(\theta )\cos(\phi ){\frac {v}{c}}&\gamma \cos(\theta )\sin(\phi ){\frac {v}{c}}&-\gamma \sin(\theta ){\frac {v}{c}}\\\gamma \cos(\theta )\cos(\phi ){\frac {v}{c}}&1&0&0\\\gamma \cos(\theta )\sin(\phi ){\frac {v}{c}}&0&1&0\\-\gamma \sin(\theta ){\frac {v}{c}}&0&0&1\end{pmatrix}}}$

en el marco local.

La inversa del tensor métrico se define tal que ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$

${\displaystyle g_{\mu \alpha }g^{\alpha \nu }=\delta _{\mu }^{\nu }}$

donde el término de la derecha es el delta de Kronecker .

La transformación del 4 volumen infinitesimal es ${\displaystyle d\Omega }$

${\displaystyle d{\acute {\Omega }}={\sqrt {-g}}d{\Omega }}$

donde g es el determinante del tensor métrico.

El diferencial del determinante del tensor métrico es

${\displaystyle dg=gg^{\mu \nu }dg_{\mu \nu }=-gg_{\mu \nu }dg^{\mu \nu }}$.

La relación entre los símbolos de Christoffel y el tensor métrico es

${\displaystyle {{\Gamma }^{\alpha }}_{\mu \nu }=g^{\alpha \beta }{\Gamma }_{\beta \mu \nu }}$

${\displaystyle {\Gamma }_{\beta \mu \nu }={\frac {1}{2}}\left({{\partial {g}}_{\beta \nu } \over {\partial x^{\mu }}}+{{\partial {g}}_{\beta \mu } \over {\partial x^{\nu }}}-{{\partial {g}}_{\mu \nu } \over {\partial x^{\beta }}}\right)}$.

Principio de mínima acción en la relatividad general.

El principio de acción mínima establece que la línea mundial entre dos eventos en el espacio-tiempo es aquella línea mundial que minimiza la acción entre los dos eventos. En la mecánica clásica, el principio de acción mínima se utiliza para derivar las leyes del movimiento de Newton y es la base de la dinámica lagrangiana . En relatividad se expresa como

${\displaystyle S=\int _{1}^{2}{\mathcal {L}}\,d\Omega }$

entre los eventos 1 y 2 es un mínimo. Aquí S es un escalar y

${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

se conoce como densidad lagrangiana . La densidad lagrangiana se divide en dos partes, la densidad de la partícula en órbita y la densidad del campo gravitacional generado por todas las demás partículas, incluidas las que componen la Tierra. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{e}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{p}+{\mathcal {L}}_{e}}$.

En el espacio-tiempo curvo , la línea del mundo "más corta" es aquella geodésica que minimiza la curvatura a lo largo de la geodésica. La acción entonces es proporcional a la curvatura de la línea mundial. Dado que S es un escalar, la curvatura escalar es la medida apropiada de curvatura. Por lo tanto, la acción de la partícula es

${\displaystyle S_{p}=C\int _{1}^{2}{\acute {R}}\,d{\acute {\Omega }}=C\int _{1}^{2}{\acute {R}}{\sqrt {-g}}\,d{\Omega }=C\int _{1}^{2}g^{\alpha \beta }{\acute {R}}_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,d{\Omega }}$

donde es una constante desconocida. Esta constante se determinará exigiendo que la teoría se reduzca a la ley de gravitación de Newton en el límite no relativista. ${\displaystyle C}$

Por tanto, la densidad lagrangiana de la partícula es

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{p}=Cg^{\alpha \beta }{\acute {R}}_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}}$.

La acción de la partícula y la Tierra es

${\displaystyle S=\int _{1}^{2}Cg^{\alpha \beta }{\acute {R}}_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,d\Omega +\int _{1}^{2}{\mathcal {L}}_{e}\,d\Omega }$.

De ahí la línea mundial que se encuentra en la superficie de la esfera de radio r variando el tensor métrico. La minimización y negligencia de los términos que desaparecen en los límites, incluidos los términos de segundo orden en la derivada de g, produce

${\displaystyle 0=\delta S=\int _{1}^{2}C\left({\acute {R}}_{\alpha \beta }-{1 \over 2}{\acute {R}}g^{\alpha \beta }\right)\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,d\Omega -\int _{1}^{2}{\acute {T}}_{\alpha \beta }\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,d\Omega }$

donde ^[2]

${\displaystyle {\acute {T}}_{\alpha \beta }={1 \over {\sqrt {-g}}}\left({d \over {dx^{\nu }}}{{\partial {\mathcal {L}}_{e}} \over {\partial \left({{dg^{\alpha \beta }} \over {dx^{\nu }}}\right)}}-{{\partial {\mathcal {L}}_{e}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}\right)}$

es el tensor tensión-energía de Hilbert del campo generado por la Tierra.

La relación, dentro de un factor constante desconocido, entre la energía de tensión y la curvatura es

${\displaystyle {\acute {T}}_{\alpha \beta }=C\left({\acute {R}}_{\alpha \beta }-{1 \over 2}{\acute {R}}\,g_{\alpha \beta }\right)}$.

Tensor estrés-energía

La ley de gravitación de Newton.

Diagrama 1. Vistas cambiantes del espacio-tiempo a lo largo de la línea mundial de un observador que se acelera rápidamente. En esta animación, la línea discontinua es la trayectoria espacio-temporal (" línea mundial ") de una partícula. Las bolas se colocan a intervalos regulares de tiempo adecuado a lo largo de la línea mundial. Las líneas diagonales continuas son los conos de luz del evento actual del observador y se cruzan en ese evento. Los pequeños puntos son otros eventos arbitrarios en el espacio-tiempo. Para el marco de referencia inercial instantáneo actual del observador, la dirección vertical indica el tiempo y la dirección horizontal indica la distancia. La pendiente de la línea mundial (desviación de la vertical) es la velocidad de la partícula en esa sección de la línea mundial. Entonces, en una curva de la línea mundial, la partícula se acelera. Observe cómo cambia la visión del espacio-tiempo cuando el observador acelera, cambiando el marco de referencia inercial instantáneo. Estos cambios se rigen por las transformaciones de Lorentz. También tenga en cuenta que: * las bolas en la línea mundial antes/después de aceleraciones futuras/pasadas están más espaciadas debido a la dilatación del tiempo. * los eventos que eran simultáneos antes de una aceleración ocurren en momentos diferentes después (debido a la relatividad de la simultaneidad ), * los eventos pasan a través de las líneas de los conos de luz debido a la progresión del tiempo propio, pero no debido al cambio de vistas causado por las aceleraciones , y * la línea mundial siempre permanece dentro de los conos de luz futuros y pasados ​​del evento actual.

La Ley de Gravitación de Newton en mecánica no relativista establece que la aceleración sobre un objeto de masa debida a otro objeto de masa es igual a ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathbf {f} ={d^{2}\mathbf {r} \over d\tau ^{2}}=-{GM \over {c^{2}r^{3}}}\mathbf {r} }$

donde es la constante gravitacional , es un vector de masa a masa y es la magnitud de ese vector. El tiempo t se escala con la velocidad de la luz c ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \tau \equiv ct}$.

La aceleración es independiente de . ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle m}$

Por definición. Consideremos una partícula de masa que orbita en el campo gravitacional de la Tierra con masa . La ley de la gravitación se puede escribir. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathbf {f} =-{4\pi G \over {3c^{2}}}\rho (r)\mathbf {r} }$

donde es la densidad de masa promedio dentro de una esfera de radio . ${\displaystyle \rho (r)}$ ${\displaystyle r}$

Fuerza gravitacional en términos del componente 00 del tensor tensión-energía

La ley de Newton se puede escribir.

${\displaystyle \mathbf {f} =-{4\pi G \over {3c^{4}}}\left({Mc^{2} \over V}\right)\mathbf {r} }$.

¿Dónde está el volumen de una esfera de radio ? La cantidad será reconocida según la relatividad especial como la energía en reposo del gran cuerpo, la Tierra. Esta es la suma de las energías en reposo de todas las partículas que componen la Tierra. La cantidad entre paréntesis es entonces la densidad de energía en reposo promedio de una esfera de radio alrededor de la Tierra. El campo gravitacional es proporcional a la densidad de energía promedio dentro de un radio r. Este es el componente 00 del tensor tensión-energía en relatividad para el caso especial en el que toda la energía es energía en reposo. Más generalmente ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle Mc^{2}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle T_{00}=-{T^{0}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}\left({\gamma _{i}m_{i}c^{2} \over V}\right)}$

dónde

${\displaystyle \gamma _{i}\equiv {1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}} \over c^{2}}}}}}$

y es la velocidad de la partícula i que constituye la Tierra y en reposo la masa de la partícula i. Hay N partículas en total que forman la Tierra. ${\displaystyle \mathbf {v_{i}} }$ ${\displaystyle m_{i}}$

Generalización relativista de la densidad de energía.

Los componentes del tensor tensión-energía.

Hay dos entidades relativistas simples que se reducen al componente 00 del tensor tensión-energía en el límite no relativista

${\displaystyle u^{\alpha }T_{\alpha \beta }u^{\beta }\rightarrow T_{00}}$

y el rastro

${\displaystyle T\equiv {T^{\alpha }}_{\alpha }=-u_{\alpha }u^{\alpha }T=-u^{\alpha }T\eta _{\alpha \beta }u^{\beta }\rightarrow -T_{00}}$

¿Dónde está la 4-velocidad? ${\displaystyle u^{\alpha }}$

El componente 00 del tensor tensión-energía se puede generalizar al caso relativista como una combinación lineal de los dos términos.

${\displaystyle T_{00}\rightarrow u^{\alpha }\left(AT_{\alpha \beta }+BT\eta _{\alpha \beta }\right)u^{\beta }}$

dónde

${\displaystyle A+B=1}$

4-aceleración debido a la gravedad

La aceleración de la gravedad se puede escribir.

${\displaystyle f^{\mu }=-8\pi {G \over {3c^{4}}}\left({A \over 2}T_{\alpha \beta }+{B \over 2}T\eta _{\alpha \beta }\right)\delta _{\nu }^{\mu }u^{\alpha }x^{\nu }u^{\beta }}$.

Desafortunadamente, esta aceleración es distinta de cero, como se requiere para las órbitas circulares. Dado que la magnitud de la velocidad 4 es constante, sólo la componente de la fuerza perpendicular a la velocidad 4 contribuye a la aceleración. Por lo tanto, debemos restar la componente de fuerza paralela a la velocidad 4. Esto se conoce como transporte Fermi-Walker . ^[3] En otras palabras, ${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle f^{\mu }\rightarrow f^{\mu }+u^{\mu }u_{\nu }f^{\nu }}$.

Esto produce

${\displaystyle f^{\mu }=-8\pi {G \over {3c^{4}}}\left({A \over 2}T_{\alpha \beta }+{B \over 2}T\eta _{\alpha \beta }\right)\left(\delta _{\nu }^{\mu }+u^{\mu }u_{\nu }\right)u^{\alpha }x^{\nu }u^{\beta }}$.

La fuerza en el sistema local es

${\displaystyle {\acute {f}}^{\mu }=-8\pi {G \over {3c^{4}}}\left({A \over 2}{\acute {T}}_{\alpha \beta }+{B \over 2}{\acute {T}}g_{\alpha \beta }\right)\left(\delta _{\nu }^{\mu }+{\acute {u}}^{\mu }{\acute {u}}_{\nu }\right){\acute {u}}^{\alpha }{\acute {x}}^{\nu }{\acute {u}}^{\beta }}$.

Ecuación de campo de Einstein

Visualización bidimensional de la distorsión espacio-temporal. La presencia de materia cambia la geometría del espacio-tiempo, interpretándose esta geometría (curva) como gravedad.

La ecuación de campo de Einstein se obtiene ^[4] igualando la aceleración requerida para órbitas circulares con la aceleración debida a la gravedad.

${\displaystyle a^{\mu }=f^{\mu }}$

${\displaystyle {\acute {{R}^{\mu }}}_{\alpha \nu \beta }{\acute {u}}^{\alpha }{\acute {x}}^{\nu }{\acute {u}}^{\beta }=-{\acute {f}}^{\mu }}$.

Ésta es la relación entre la curvatura del espacio-tiempo y el tensor tensión-energía.

El tensor de Ricci se convierte en

${\displaystyle {\acute {R}}_{\alpha \beta }=8\pi {G \over {c^{4}}}\left({A \over 2}{\acute {T}}_{\alpha \beta }+{B \over 2}{\acute {T}}g_{\alpha \beta }\right)}$.

La traza del tensor de Ricci es

${\displaystyle {\acute {R}}={\acute {R}}_{\alpha }^{\alpha }=8\pi {G \over {c^{4}}}\left({A \over 2}{\acute {T}}_{\alpha }^{\alpha }+{B \over 2}{\acute {T}}\delta _{\alpha }^{\alpha }\right)=8\pi {G \over {c^{4}}}\left({A \over 2}+2B\right){\acute {T}}}$.

Comparación del tensor de Ricci con el tensor de Ricci calculado a partir del principio de mínima acción, Motivación teórica para la relatividad general#Principio de mínima acción en la relatividad general identificando el tensor tensión-energía con la tensión-energía de Hilbert, y recordando que A+B= 1 elimina la ambigüedad en A, B y C.

${\displaystyle A=2}$

${\displaystyle B=-1}$

y

${\displaystyle C=\left(8\pi {G \over {c^{4}}}\right)^{-1}}$.

Esto da

${\displaystyle {\acute {R}}=-8\pi {G \over {c^{4}}}{\acute {T}}}$.

La ecuación de campo se puede escribir

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }=8\pi {G \over {c^{4}}}{\acute {T}}_{\alpha \beta }}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }\equiv {\acute {R}}_{\alpha \beta }-{1 \over 2}{\acute {R}}g_{\alpha \beta }}$.

Esta es la ecuación de campo de Einstein que describe la curvatura del espacio-tiempo que resulta de la densidad de energía de tensión. Esta ecuación, junto con la ecuación geodésica, han sido motivadas por la cinética y dinámica de una partícula que orbita la Tierra en una órbita circular. Son ciertas en general.

Resolviendo la ecuación de campo de Einstein

Resolver la ecuación de campo de Einstein requiere un proceso iterativo. La solución se representa en el tensor métrico.

${\displaystyle g_{\mu \nu }}$.

Normalmente hay una suposición inicial para el tensor. La conjetura se utiliza para calcular los símbolos de Christoffel , que se utilizan para calcular la curvatura. Si no se satisface la ecuación de campo de Einstein, se repite el proceso.

Las soluciones se presentan en dos formas: soluciones al vacío y soluciones sin vacío. Una solución de vacío es aquella en la que el tensor tensión-energía es cero. La solución de vacío relevante para órbitas circulares es la métrica de Schwarzschild . También hay una serie de soluciones exactas que no son soluciones de vacío, soluciones en las que el tensor de tensión no es cero.

Resolviendo la ecuación geodésica

Resolver las ecuaciones geodésicas requiere el conocimiento del tensor métrico obtenido mediante la solución de la ecuación de campo de Einstein. Los símbolos de Christoffel o la curvatura se calculan a partir del tensor métrico. Luego, la ecuación geodésica se integra con las condiciones de contorno apropiadas .

Electrodinámica en el espacio-tiempo curvo.

Las ecuaciones de Maxwell , las ecuaciones de la electrodinámica, en el espacio-tiempo curvo son una generalización de las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo plano (ver Formulación de las ecuaciones de Maxwell en la relatividad especial ). La curvatura del espacio-tiempo afecta la electrodinámica. Las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo se pueden obtener reemplazando las derivadas de las ecuaciones en el espacio-tiempo plano con derivadas covariantes . Las ecuaciones con fuente y sin fuente se convierten en (unidades cgs):

${\displaystyle {4\pi \over c}J^{b}=\partial _{a}F^{ab}+{\Gamma ^{a}}_{\mu a}F^{\mu b}+{\Gamma ^{b}}_{\mu a}F^{a\mu }\equiv D_{a}F^{ab}\equiv {F^{ab}}_{;a}\,\!}$,

y

${\displaystyle 0=\partial _{c}F_{ab}+\partial _{b}F_{ca}+\partial _{a}F_{bc}=D_{c}F_{ab}+D_{b}F_{ca}+D_{a}F_{bc}}$

donde está la corriente de 4 , es el tensor de intensidad de campo , es el símbolo de Levi-Civita y ${\displaystyle \,J^{a}}$ ${\displaystyle \,F^{ab}}$ ${\displaystyle \,\epsilon _{abcd}}$

${\displaystyle {\partial \over {\partial x^{a}}}\equiv \partial _{a}\equiv {}_{,a}\equiv (\partial /\partial ct,\nabla )}$

es el 4-gradiente . Los índices repetidos se suman según la convención de suma de Einstein . Hemos mostrado los resultados en varias notaciones comunes.

La primera ecuación tensorial es una expresión de las dos ecuaciones de Maxwell no homogéneas, la ley de Gauss y la ley de Ampère con la corrección de Maxwell . La segunda ecuación es una expresión de las ecuaciones homogéneas, la ley de inducción de Faraday y la ley de Gauss para el magnetismo .

La ecuación de ondas electromagnéticas se modifica a partir de la ecuación en el espaciotiempo plano de dos maneras, se reemplaza la derivada por la derivada covariante y aparece un nuevo término que depende de la curvatura.

${\displaystyle -{A^{\alpha ;\beta }}_{;\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }={4\pi \over c}J^{\alpha }}$

donde el potencial 4 se define de manera que

${\displaystyle F^{ab}=\partial ^{b}A^{a}-\partial ^{a}A^{b}\,\!}$.

Hemos asumido la generalización del calibre de Lorenz en el espacio-tiempo curvo.

${\displaystyle {A^{\mu }}_{;\mu }=0}$.

Ver también

• Motivaciones newtonianas para la relatividad general

Referencias

1. Einstein, A. (1961). Relatividad: la teoría especial y general . Nueva York: Corona. ISBN 0-517-02961-8.
2. Landau, LD y Lifshitz, EM (1975). Teoría clásica de campos (Cuarta edición revisada en inglés). Oxford: Pérgamo. ISBN 0-08-018176-7.
3. Misner, Charles; Thorne, Kip S. y Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman. págs.170, 171. ISBN 0-7167-0344-0.
4. Landau 1975, pag. 276

• RP Feynman; FB Moringo y WG Wagner (1995). Conferencias de Feynman sobre gravitación . Addison-Wesley . ISBN 0-201-62734-5.
• PAM Dirac (1996). Teoría General de la Relatividad . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 0-691-01146-X.