Motivaciones newtonianas para la relatividad general

Algunos de los conceptos básicos de la relatividad general pueden esbozarse fuera del dominio relativista . En particular, la idea de que masa-energía genera curvatura en el espacio y que la curvatura afecta el movimiento de las masas puede ilustrarse en un entorno newtoniano . Usamos órbitas circulares como nuestro prototipo. Esto tiene la ventaja de que conocemos la cinética de las órbitas circulares. Esto nos permite calcular la curvatura de las órbitas en el espacio directamente y comparar los resultados con fuerzas dinámicas.

La equivalencia de masa gravitacional e inercial.

Una característica única de la fuerza gravitacional es que todos los objetos masivos aceleran de la misma manera en un campo gravitacional. Esto a menudo se expresa como "La masa gravitacional es igual a la masa inercial". Esto nos permite pensar en la gravedad como una curvatura del espacio-tiempo . ^{[ cita necesaria ]}

Prueba de planitud en el espacio-tiempo

Si las trayectorias inicialmente paralelas de dos partículas en geodésicas cercanas permanecen paralelas con cierta precisión, entonces el espacio-tiempo es plano dentro de esa precisión. [Árbitro. 2, pág. 30]

Dos partículas cercanas en un campo gravitacional radial.

Mecánica newtoniana para órbitas circulares

Órbitas circulares del mismo radio.

Las ecuaciones geodésicas y de campo para órbitas circulares.

Considere la situación en la que hay dos partículas en órbitas polares circulares cercanas de la Tierra con radio y velocidad . Como las órbitas son circulares, la fuerza gravitacional sobre las partículas debe ser igual a la fuerza centrípeta , ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle {v^{2} \over r}={GM \over r^{2}}}$

donde G es la constante gravitacional y es la masa de la Tierra. ${\displaystyle M}$

Las partículas ejecutan un movimiento armónico simple alrededor de la Tierra y entre sí. Están a su máxima distancia entre sí cuando cruzan el ecuador. Sus trayectorias se cruzan en los polos.

A partir de la Ley de Gravitación de Newton, se puede demostrar que el vector de separación está dado por la "ecuación geodésica". ${\displaystyle \mathbf {h} }$

${\displaystyle {d^{2}\mathbf {h} \over d\tau ^{2}}+R\mathbf {h} =0}$

donde es la curvatura de la trayectoria y es la velocidad de la luz c multiplicada por el tiempo. ${\displaystyle R={1 \over r^{2}}{v^{2} \over c^{2}}}$ ${\displaystyle \tau =ct}$

La curvatura de la trayectoria es generada por la masa de la tierra . Esto está representado por la "ecuación de campo". ${\displaystyle M}$

${\displaystyle R={GM \over {r^{3}}}}$

En este ejemplo, la ecuación de campo es simplemente una declaración del concepto newtoniano de que la fuerza centrípeta es igual a la fuerza gravitacional para órbitas circulares. Nos referimos a esta expresión como ecuación de campo para resaltar las similitudes con la ecuación de campo de Einstein . Esta ecuación tiene una forma muy diferente a la ley de Gauss , que es la caracterización habitual de la ecuación de campo en la mecánica newtoniana.

La posición de la partícula en movimiento con respecto a la partícula en reposo en el sistema de referencia en movimiento conjunto.

Relación entre curvatura y densidad de masa.

La masa se puede escribir en términos de la densidad de masa promedio dentro de una esfera de radio mediante la expresión ${\displaystyle \rho (r)}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle M={4\pi \rho (r)r^{3} \over 3}}$.

La ecuación de campo se convierte en

${\displaystyle R={4\pi G \over {3}}\rho (r)}$.

La curvatura de las trayectorias de las partículas es proporcional a la densidad de masa.

Medidas locales

Un requisito de la Relatividad General es que todas las mediciones deben realizarse localmente. Imagine que las partículas están dentro de una nave espacial sin ventanas que coorbita la Tierra con el centro de masa de la nave coincidente con una de las partículas. Esa partícula estaría en reposo con respecto a la nave espacial. Un observador en la nave espacial no tendría ninguna indicación de que la nave estuviera orbitando la Tierra. El observador sólo puede medir el comportamiento de las partículas en el marco de la nave.

En este ejemplo, podemos definir un sistema de coordenadas local tal que la dirección sea hacia el techo de la nave y esté dirigida a lo largo de . La dirección es hacia el frente de la nave y en la dirección de . La dirección es hacia el lado izquierdo de la nave. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle y}$

En este cuadro, el vector es el vector de posición de la segunda partícula. Un observador a bordo de la nave pensaría que la segunda partícula está oscilando en un pozo de potencial generado por un campo gravitacional. Este es un ejemplo de una aceleración coordinada debida a la elección de cuadros en contraposición a una aceleración física debida a fuerzas reales. ${\displaystyle \mathbf {h} }$

Movimiento general en el campo gravitacional terrestre.

Trayectorias elípticas e hiperbólicas.

Órbitas elípticas coplanares. La partícula en la órbita exterior viaja más lento que la partícula en la órbita interior. Se separarán con el tiempo.

De manera más general, las partículas se mueven en trayectorias elípticas o hiperbólicas en un plano que contiene el centro de la Tierra. Las órbitas no tienen por qué ser circulares . También se pueden obtener ecuaciones geodésicas y de campo intuitivas en esas situaciones [Ref 2, Capítulo 1]. Sin embargo, a diferencia de las órbitas circulares, la velocidad de las partículas en trayectorias elípticas o hiperbólicas no es constante. Por lo tanto, no tenemos una velocidad constante para escalar la curvatura. Por tanto, anticipándose a la transición a la mecánica relativista, las trayectorias y curvaturas se escalan con la velocidad de la luz . ${\displaystyle c}$

De la ley de gravitación de Newton

${\displaystyle {d^{2}\mathbf {r} \over dt^{2}}=-{GM \over r^{3}}\mathbf {r} }$

se puede obtener la ecuación geodésica para la separación de dos partículas en trayectorias cercanas

${\displaystyle {d^{2}\mathbf {h} \over d\tau ^{2}}+R\mathbf {h} =0}$

y la ecuación de campo

${\displaystyle R=R_{\perp }={GM \over {c^{2}r^{3}}}={4\pi G \over {3c^{2}}}\rho (r)}$

si la separación de partículas es perpendicular a y ${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle R=R_{\|}=-{2GM \over {c^{2}r^{3}}}=-{8\pi G \over {3c^{2}}}\rho (r)}$

si la separación es paralela a . En el cálculo del radio se amplió en términos de . Sólo se mantuvo el término lineal . ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle R_{\|}}$ ${\displaystyle \mathbf {h} }$

En el caso de que la separación de la partícula sea radial, la curvatura es negativa. Esto hará que las partículas se separen en lugar de ser atraídas unas hacia otras como en el caso en el que tienen el mismo radio. Esto es facil de entender. Las órbitas exteriores viajan más lentamente que las órbitas interiores. Esto conduce a la separación de partículas.

Sistema de coordenadas locales

Sistema de coordenadas "diagonal" local para una órbita elíptica.

De nuevo se puede definir un sistema de coordenadas local para una nave espacial que se mueve conjuntamente con una de las partículas. La dirección -, hacia el techo, es en la dirección de . La dirección, hacia el frente de la nave, es perpendicular pero aún está en el plano de la trayectoria. A diferencia de una órbita circular, esta nave ya no apunta necesariamente en la dirección de la velocidad. La dirección es hacia el lado izquierdo de la nave. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle y}$

Descripción del tensor

Marco diagonal simple

La ecuación geodésica en un campo gravitacional radial se puede describir sucintamente en notación tensorial [Ref. 2, pág. 37] en el marco co-móvil en el que el techo de la nave espacial está en la dirección ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

${\displaystyle {d^{2}h^{i} \over ds^{2}}+R_{j}^{i}h^{j}=0}$

donde los índices latinos están sobre las direcciones espaciales en el sistema de co-movimiento, y hemos utilizado la convención de suma de Einstein en la que se suman índices repetidos. El tensor de curvatura está dado por ${\displaystyle R_{j}^{i}}$

${\displaystyle {\begin{Vmatrix}R_{1}^{1}&R_{1}^{2}&R_{1}^{3}\\R_{2}^{1}&R_{2}^{2}&R_{2}^{3}\\R_{3}^{1}&R_{3}^{2}&R_{3}^{3}\end{Vmatrix}}={\begin{Vmatrix}R_{\perp }&0&0\\0&R_{\perp }&0\\0&0&R_{\|}\end{Vmatrix}}}$

y el vector de separación viene dado por

${\displaystyle {\begin{Vmatrix}h^{1}&h^{2}&h^{3}\end{Vmatrix}}={\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \cdot \mathbf {\hat {x}} &\mathbf {h} \cdot \mathbf {\hat {y}} &\mathbf {h} \cdot \mathbf {\hat {z}} \end{Vmatrix}}}$

donde es el componente de en la dirección, es el componente en la dirección y es el componente en la dirección. ${\displaystyle \mathbf {h} \cdot \mathbf {\hat {x}} }$ ${\displaystyle \mathbf {h} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }$ ${\displaystyle \mathbf {h} \cdot \mathbf {\hat {y}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {y}} }$ ${\displaystyle \mathbf {h} \cdot \mathbf {\hat {z}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$

En este sistema de coordenadas en movimiento conjunto, el tensor de curvatura es diagonal. Esto no es cierto en general.

Orientación arbitraria del marco local.

La nave espacial en movimiento conjunto no tiene ventanas. Un observador no es capaz de decir en qué dirección es la dirección, ni tampoco puede saber en qué dirección está la velocidad con respecto a la Tierra. La orientación de la nave espacial puede ser bastante diferente del sistema de coordenadas simple en el que el techo está en la dirección y el frente de la nave está en una dirección coplanar con el radio y la velocidad. Podemos transformar nuestras coordenadas simples en un sistema de coordenadas orientado arbitrariamente mediante rotaciones . Sin embargo, esto destruye la naturaleza diagonal de la matriz de curvatura. ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

Las rotaciones se realizan con una matriz de rotación tal que el vector de separación está relacionado con el vector de separación antes de la rotación por la relación ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\bar {h}} }$ ${\displaystyle \mathbf {h} }$

${\displaystyle {\bar {h}}^{i}={\mathcal {M}}_{j}^{i}h^{j}}$.

La inversa de está definida por ${\displaystyle {\bar {\mathcal {M}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle {\bar {\mathcal {M}}}_{j}^{i}{\mathcal {M}}_{k}^{j}=\delta _{k}^{i}}$,

cuyos rendimientos

${\displaystyle h^{i}={\bar {\mathcal {M}}}_{j}^{i}{\bar {h}}^{j}}$.

Aquí está el delta del Kronecker . ${\displaystyle \delta _{k}^{i}}$

Una matriz de rotación simple que gira el eje de coordenadas en un ángulo alrededor del eje es ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{Vmatrix}{\mathcal {M}}_{1}^{1}&{\mathcal {M}}_{1}^{2}&{\mathcal {M}}_{1}^{3}\\{\mathcal {M}}_{2}^{1}&{\mathcal {M}}_{2}^{2}&{\mathcal {M}}_{2}^{3}\\{\mathcal {M}}_{3}^{1}&{\mathcal {M}}_{3}^{2}&{\mathcal {M}}_{3}^{3}\end{Vmatrix}}={\begin{Vmatrix}1&0&0\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )\\0&-\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{Vmatrix}}}$.

Esta es una rotación en el plano yz. Lo inverso se obtiene cambiando el signo de . ${\displaystyle \theta }$

Si la matriz de rotación no depende del tiempo, entonces la ecuación geodésica se convierte, al girar

${\displaystyle {d^{2}{\bar {h}}^{i} \over ds^{2}}+{\bar {R}}_{j}^{i}{\bar {h}}^{j}=0}$

dónde

${\displaystyle {\bar {R}}_{j}^{i}={\mathcal {M}}_{k}^{i}R_{l}^{k}{\bar {\mathcal {M}}}_{j}^{l}}$.

La curvatura en el nuevo sistema de coordenadas no es diagonal. El problema inverso de transformar un sistema de coordenadas arbitrario en un sistema diagonal se puede resolver matemáticamente con el proceso de diagonalización .

Diagrama 1. Vistas cambiantes del espacio-tiempo a lo largo de la línea mundial de un observador que se acelera rápidamente. En esta animación, la línea discontinua es la trayectoria espacio-temporal (" línea mundial ") de una partícula. Las bolas se colocan a intervalos regulares de tiempo adecuado a lo largo de la línea mundial. Las líneas diagonales continuas son los conos de luz del evento actual del observador y se cruzan en ese evento. Los pequeños puntos son otros eventos arbitrarios en el espacio-tiempo. Para el marco de referencia inercial instantáneo actual del observador, la dirección vertical indica el tiempo y la dirección horizontal indica la distancia. La pendiente de la línea mundial (desviación de la vertical) es la velocidad de la partícula en esa sección de la línea mundial. Entonces, en una curva de la línea mundial, la partícula se acelera. Observe cómo cambia la visión del espacio-tiempo cuando el observador acelera, cambiando el marco de referencia inercial instantáneo. Estos cambios se rigen por las transformaciones de Lorentz. Tenga en cuenta también que:
• las bolas en la línea mundial antes/después de aceleraciones futuras/pasadas están más espaciadas debido a la dilatación del tiempo.
• los eventos que eran simultáneos antes de una aceleración ocurren en momentos diferentes después (debido a la relatividad de la simultaneidad ),
• los eventos pasan a través de las líneas del cono de luz debido a la progresión del tiempo propio, pero no debido al cambio de vistas causado por las aceleraciones , y
• la línea mundial siempre permanece dentro de los conos de luz futuros y pasados ​​del evento actual.

Rotación dependiente del tiempo del marco local: símbolos de Christoffel

La nave espacial podría caer sobre su centro de masa. En ese caso, la matriz de rotación depende del tiempo. Si la matriz de rotación depende del tiempo, entonces no conmuta con la derivada del tiempo.

En ese caso, la rotación de la velocidad de separación se puede escribir

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}^{k}{dh^{i} \over ds}={\mathcal {M}}_{i}^{k}{d{\bar {\mathcal {M}}}_{j}^{i}{\bar {h}}^{j} \over ds}}$

que se convierte

${\displaystyle {d{\bar {h}}^{k} \over ds}+\Gamma _{j}^{k}{\bar {h}}^{j}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {D{\bar {h}}^{k} \over Ds}}$

dónde

${\displaystyle \Gamma _{j}^{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\mathcal {M}}_{i}^{k}{d{\bar {\mathcal {M}}}_{j}^{i} \over ds}}$

Se conoce como símbolo de Christoffel .

La ecuación geodésica se convierte en

${\displaystyle {D^{2}{\bar {h}}^{i} \over Ds^{2}}+{\bar {R}}_{j}^{i}{\bar {h}}^{j}=0}$,

que es lo mismo que antes con la excepción de que las derivadas se han generalizado.

Arbitrariedad en la curvatura

La velocidad en el marco de la nave espacial se puede escribir

${\displaystyle {\bar {u}}^{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {D{\bar {h}}^{i} \over Ds}}$.

La ecuación geodésica se convierte en

${\displaystyle {d{\bar {u}}^{i} \over ds}+\Gamma _{j}^{i}{\bar {u}}^{j}+{\bar {R}}_{j}^{i}{\bar {h}}^{j}=0}$.

${\displaystyle {d^{2}{\bar {h}}^{i} \over ds^{2}}+2\Gamma _{j}^{i}{d{\bar {h}}^{i} \over ds}+{d\Gamma _{j}^{i} \over ds}{\bar {h}}^{j}+\Gamma _{j}^{i}\Gamma _{k}^{j}{\bar {h}}^{k}+{\bar {R}}_{j}^{i}{\bar {h}}^{j}=0}$.

En una nave espacial que gira arbitrariamente, la curvatura del espacio se debe a dos términos, uno debido a la densidad de masa y otro a la rotación arbitraria de la nave espacial. La rotación arbitraria no es física y debe eliminarse en cualquier teoría física real de la gravitación. En la Relatividad General esto se hace con un proceso llamado transporte de Fermi-Walker . En un sentido euclidiano , el transporte Fermi-Walker es simplemente una declaración de que a la nave espacial no se le permite caer.

${\displaystyle \Gamma _{j}^{i}=0}$

para todo i y j. Las únicas rotaciones permitidas dependientes del tiempo son las generadas por la densidad de masa.

Ecuaciones geodésicas y de campo generales en un entorno newtoniano

ecuación geodésica

${\displaystyle {D^{2}{\bar {h}}^{i} \over Ds^{2}}+{\bar {R}}_{j}^{i}{\bar {h}}^{j}=0}$

dónde

${\displaystyle {D \over Ds}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {d \over ds}+\Gamma }$

y es un símbolo de Christoffel . ${\displaystyle \Gamma }$

Ecuación de campo

${\displaystyle {\bar {R}}_{j}^{i}={\mathcal {M}}_{k}^{i}R_{l}^{k}{\bar {\mathcal {M}}}_{j}^{l}}$

donde es una matriz de rotación y el tensor de curvatura es ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{j}^{i}}$

${\displaystyle {\begin{Vmatrix}R_{1}^{1}&R_{1}^{2}&R_{1}^{3}\\R_{2}^{1}&R_{2}^{2}&R_{2}^{3}\\R_{3}^{1}&R_{3}^{2}&R_{3}^{3}\end{Vmatrix}}={\begin{Vmatrix}R_{\perp }&0&0\\0&R_{\perp }&0\\0&0&R_{\|}\end{Vmatrix}}}$.

La curvatura es proporcional a la densidad de masa.

${\displaystyle R_{\perp }={4\pi G \over {3c^{2}}}\rho (r)}$

${\displaystyle R_{\|}=-{8\pi G \over {3c^{2}}}\rho (r)}$.

Descripción general de la imagen newtoniana

Las ecuaciones geodésica y de campo son simplemente una reformulación de la Ley de Gravitación de Newton vista desde un marco de referencia local que se mueve conjuntamente con la masa dentro del marco local. Esta imagen contiene muchos de los elementos de la Relatividad General, incluido el concepto de que las partículas viajan a lo largo de geodésicas en un espacio curvo (espaciotiempo en el caso relativista) y que la curvatura se debe a la presencia de densidad de masa (densidad de masa/energía en el caso relativista). caso). Esta imagen también contiene parte de la maquinaria matemática de la Relatividad General, como los tensores , los símbolos de Christoffel y el transporte de Fermi-Walker .

Generalización relativista

Línea mundial de una órbita circular alrededor de la Tierra representada en dos dimensiones espaciales X e Y (el plano de la órbita) y una dimensión temporal, generalmente considerada como el eje vertical. Tenga en cuenta que la órbita alrededor de la Tierra es (casi) un círculo en el espacio, pero su línea mundial es una hélice en el espacio-tiempo.

La relatividad general generaliza la ecuación geodésica y la ecuación de campo al ámbito relativista en el que las trayectorias en el espacio son reemplazadas por líneas mundiales en el espacio-tiempo . Las ecuaciones también se generalizan a curvaturas más complicadas.

Ver también

Biografías

Albert Einstein

Élie Cartan

Bernhard Riemann

Enrico Fermi

Matemáticas relacionadas

Matemáticas de la relatividad general.

Introducción básica a las matemáticas del espacio-tiempo curvo.

tensor de marea

Campos de marco en relatividad general

Referencias

[1] Einstein, A. (1961). Relatividad: la teoría especial y general . Nueva York: Corona. ISBN 0-517-02961-8.

[2] Misner, Charles; Thorne, Kip S. y Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman . ISBN 0-7167-0344-0.

[3] Landau, LD y Lifshitz, EM (1975). Teoría clásica de campos (Cuarta edición revisada en inglés). Oxford: Pérgamo. ISBN 0-08-018176-7.

[4] PAM Dirac (1996). Teoría General de la Relatividad . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 0-691-01146-X.