En algunas teorías alternativas como la teoría de Einstein-Cartan , el tensor tensión-energía puede no ser perfectamente simétrico debido a un tensor de espín distinto de cero , que corresponde geométricamente a un tensor de torsión distinto de cero .
Componentes
Debido a que el tensor tensión-energía es de orden 2, sus componentes se pueden representar en forma de matriz de 4 × 4:
donde los índices μ y ν toman los valores 0, 1, 2, 3.
A continuación, k y ℓ varían de 1 a 3:
El componente tiempo-tiempo es la densidad de masa relativista, es decir, la densidad de energía dividida por la velocidad de la luz al cuadrado, mientras se encuentra en el marco de referencia en movimiento conjunto . [2] Tiene una interpretación física directa. En el caso de un fluido perfecto este componente es
¿Dónde está la masa relativista por unidad de volumen, y para un campo electromagnético en un espacio vacío, este componente es?
donde E y B son los campos eléctrico y magnético, respectivamente. [3]
El flujo de masa relativista a través de la superficie x k es equivalente a la densidad del k ésimo componente del momento lineal,
los componentes
representan el flujo de k -ésima componente del momento lineal a través de la superficie x ℓ . En particular,
(no sumado) representa la tensión normal en la k -ésima dirección de coordenadas ( k = 1, 2, 3 ), que se llama " presión " cuando es la misma en todas las direcciones, k . Los componentes restantes
La mayor parte de este artículo trabaja con la forma contravariante, T μν del tensor tensión-energía. Sin embargo, a menudo es necesario trabajar con la forma covariante,
La divergencia de la energía-estrés no gravitacional es cero. En otras palabras, la energía y el impulso no gravitacionales se conservan,
Cuando la gravedad es insignificante y se utiliza un sistema de coordenadas cartesiano para el espacio-tiempo, esto se puede expresar en términos de derivadas parciales como
La forma integral de la formulación no covariante es
donde N es cualquier región compacta de cuatro dimensiones del espacio-tiempo; es su límite, una hipersuperficie tridimensional; y es un elemento del límite considerado como la normal que apunta hacia afuera.
En el espacio-tiempo plano y usando coordenadas cartesianas, si se combina esto con la simetría del tensor tensión-energía, se puede demostrar que el momento angular también se conserva:
En consecuencia, si hay algún campo vectorial Killing , entonces la ley de conservación asociada con la simetría generada por el campo vectorial Killing se puede expresar como
La forma integral de esto es
En relatividad especial
En la relatividad especial , el tensor tensión-energía contiene información sobre las densidades de energía y de momento de un sistema determinado, además de las densidades de momento y de flujo de energía. [4]
Dada una densidad lagrangiana que es función de un conjunto de campos y sus derivadas, pero explícitamente no de ninguna de las coordenadas espacio-temporales, podemos construir el tensor canónico tensión-energía observando la derivada total con respecto a una de las coordenadas generalizadas. del sistema. Entonces, con nuestra condición
Usando la regla de la cadena, entonces tenemos
Escrito con taquigrafía útil,
Entonces, podemos usar la ecuación de Euler-Lagrange:
Y luego use el hecho de que las derivadas parciales conmutan de modo que ahora tenemos
Podemos reconocer el lado derecho como una regla de producto. Escribirlo como la derivada de un producto de funciones nos dice que
Ahora, en un espacio plano, se puede escribir . Hacer esto y moverlo al otro lado de la ecuación nos dice que
Y al reagrupar términos,
Es decir, la divergencia del tensor entre paréntesis es 0. Efectivamente, con esto definimos el tensor tensión-energía:
Por construcción tiene la propiedad de que
Tenga en cuenta que esta propiedad sin divergencia de este tensor es equivalente a cuatro ecuaciones de continuidad . Es decir, los campos tienen al menos cuatro conjuntos de cantidades que obedecen a la ecuación de continuidad. Como ejemplo, se puede ver que es la densidad de energía del sistema y que por tanto es posible obtener la densidad hamiltoniana a partir del tensor tensión-energía.
De hecho, dado que este es el caso, observando que , entonces tenemos
Entonces podemos concluir que los términos de representan la densidad de flujo de energía del sistema.
Rastro
Tenga en cuenta que la traza del tensor tensión-energía se define como , por lo que
En la relatividad general, las derivadas parciales utilizadas en la relatividad especial se reemplazan por derivadas covariantes . Lo que esto significa es que la ecuación de continuidad ya no implica que la energía no gravitacional y el momento expresados por el tensor se conserven absolutamente, es decir, que el campo gravitacional pueda realizar trabajo sobre la materia y viceversa. En el límite clásico de la gravedad newtoniana , esto tiene una interpretación simple: la energía cinética se intercambia con la energía potencial gravitacional , que no está incluida en el tensor, y el impulso se transfiere a través del campo a otros cuerpos. En relatividad general, el pseudotensor de Landau-Lifshitz es una forma única de definir la energía del campo gravitacional y las densidades de momento. Se puede hacer que cualquier pseudotensor de tensión-energía desaparezca localmente mediante una transformación de coordenadas.
En el espacio-tiempo curvo, la integral espacial ahora depende de la porción espacial, en general. De hecho, no hay manera de definir un vector energía-momento global en un espacio-tiempo curvo general.
Ecuaciones de campo de Einstein
En la relatividad general, el tensor tensión-energía se estudia en el contexto de las ecuaciones de campo de Einstein, que a menudo se escriben como
donde es la densidad de masa-energía ( kilogramos por metro cúbico), es la presión hidrostática ( pascales ), es la velocidad de cuatro del fluido y es la matriz inversa del tensor métrico . Por lo tanto, la traza está dada por
El teorema de Noether implica que existe una corriente conservada asociada con las traslaciones a través del espacio y el tiempo; para obtener más detalles, consulte la sección anterior sobre el tensor tensión-energía en la relatividad especial. Esto se llama tensor canónico tensión-energía. Generalmente, esto no es simétrico y si tenemos alguna teoría de calibre, puede que no sea invariante de calibre porque las transformaciones de calibre dependientes del espacio no conmutan con las traslaciones espaciales.
En la relatividad general , las traslaciones son con respecto al sistema de coordenadas y como tal, no se transforman covariantemente. Consulte la sección siguiente sobre el pseudotensor de energía-estrés gravitacional.
Tensor de tensión-energía de Belinfante-Rosenfeld
En presencia de espín u otro momento angular intrínseco, el tensor tensión-energía canónico de Noether no logra ser simétrico. El tensor tensión-energía de Belinfante-Rosenfeld se construye a partir del tensor canónico tensión-energía y la corriente de espín de tal manera que sea simétrico y aún se conserve. En la relatividad general, este tensor modificado concuerda con el tensor tensión-energía de Hilbert.
Estrés gravitacional – energía
Según el principio de equivalencia, la tensión-energía gravitacional siempre desaparecerá localmente en cualquier punto elegido en algún marco elegido, por lo tanto, la tensión-energía gravitacional no puede expresarse como un tensor distinto de cero; en su lugar tenemos que usar un pseudotensor .
En la relatividad general, existen muchas definiciones distintas posibles del pseudotensor de tensión-energía-momento gravitacional. Estos incluyen el pseudotensor de Einstein y el pseudotensor de Landau-Lifshitz . El pseudotensor de Landau-Lifshitz se puede reducir a cero en cualquier evento del espacio-tiempo eligiendo un sistema de coordenadas apropiado.
^ En las páginas 141-142 de Misner, Thorne y Wheeler , la sección 5.7 "Simetría del tensor tensión-energía" comienza con "Todos los tensores tensión-energía explorados anteriormente eran simétricos. Se ve que no podrían haber sido de otra manera". sigue."
^ Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John A. (1973). Gravitación . San Francisco, CA: WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-0334-3.
^ d'Inverno, RA (1992). Presentando la Relatividad de Einstein . Nueva York, Nueva York: Oxford University Press. ISBN978-0-19-859686-8.
^ Landau, LD; Lifshitz, EM (2010). La teoría clásica de los campos (4ª ed.). Butterworth-Heinemann. págs. 84–85. ISBN978-0-7506-2768-9.
^ Panadero, señor; Kiriushcheva, N.; Kuzmín, S. (2021). "Los tensores de energía-momento (métricos) de Noether y Hilbert no son, en general, equivalentes". Física Nuclear B. 962 (1): 115240. arXiv : 2011.10611 . Código Bib : 2021NuPhB.96215240B. doi : 10.1016/j.nuclphysb.2020.115240. S2CID 227127490.
W. Wyss (2005). "El tensor energía-momento en la teoría de campos clásica" (PDF) . Colorado, Estados Unidos.
Enlaces externos
Conferencia, Stephan Waner
Tutorial de Caltech sobre relatividad: una discusión simple sobre la relación entre el tensor tensión-energía de la relatividad general y la métrica