En geometría diferencial , la forma de curvatura describe la curvatura de una conexión en un fibrado principal . El tensor de curvatura de Riemann en geometría riemanniana puede considerarse un caso especial.
Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie y P → B un fibrado principal de G. Sea ω una conexión de Ehresmann en P (que es una forma unidimensional de valor α en P ).
Entonces la forma de curvatura es la forma 2-valorada en P definida por
(En otra convención, 1/2 no aparece.) Aquí representa la derivada exterior , se define en el artículo " Forma de álgebra de Lie valorada " y D denota la derivada covariante exterior . En otros términos, [1]
donde X , Y son vectores tangentes a P.
También hay otra expresión para Ω: si X , Y son campos vectoriales horizontales en P , entonces [2]
donde hZ significa el componente horizontal de Z , a la derecha identificamos un campo vectorial vertical y un elemento del álgebra de Lie que lo genera ( campo vectorial fundamental ), y es el inverso del factor de normalización utilizado por convención en la fórmula para la derivada exterior .
Se dice que una conexión es plana si su curvatura desaparece: Ω = 0. De manera equivalente, una conexión es plana si el grupo de estructura puede reducirse al mismo grupo subyacente pero con la topología discreta.
Si E → B es un fibrado vectorial, entonces también se puede pensar en ω como una matriz de 1-formas y la fórmula anterior se convierte en la ecuación de estructura de E. Cartan:
donde es el producto de cuña . Más precisamente, si y denotan componentes de ω y Ω correspondientemente (por lo que cada uno es una forma 1 habitual y cada uno es una forma 2 habitual), entonces
Por ejemplo, para el fibrado tangente de una variedad de Riemann , el grupo de estructura es O( n ) y Ω es una 2-forma con valores en el álgebra de Lie de O( n ), es decir, las matrices antisimétricas . En este caso, la forma Ω es una descripción alternativa del tensor de curvatura , es decir
utilizando la notación estándar para el tensor de curvatura de Riemann.
Si es la forma 1 con valor vectorial canónico en el fibrado del marco , la torsión de la forma de conexión es la forma 2 con valor vectorial definida por la ecuación de estructura
donde como arriba D denota la derivada covariante exterior .
La primera identidad de Bianchi toma la forma
La segunda identidad de Bianchi toma la forma
y es válido de manera más general para cualquier conexión en un haz principal .
Las identidades de Bianchi se pueden escribir en notación tensorial como:
Las identidades de Bianchi contraídas se utilizan para derivar el tensor de Einstein en las ecuaciones de campo de Einstein , la mayor parte de la teoría general de la relatividad . [ aclaración necesaria ]