Densidad de corriente

Cantidad de carga que fluye a través de una unidad de área de sección transversal por unidad de tiempo

En electromagnetismo , la densidad de corriente es la cantidad de carga por unidad de tiempo que fluye a través de una unidad de área de una sección transversal elegida . ^[1] El vector de densidad de corriente se define como un vector cuya magnitud es la corriente eléctrica por área de sección transversal en un punto dado en el espacio, siendo su dirección la del movimiento de las cargas positivas en este punto. En unidades básicas del SI , la densidad de corriente eléctrica se mide en amperios por metro cuadrado . ^[2]

Definición

Supongamos que A (unidad SI: m ² ) es una superficie pequeña centrada en un punto dado M y ortogonal al movimiento de las cargas en M . Si I _A (unidad SI: A ) es la corriente eléctrica que fluye a través de A , entonces la densidad de corriente eléctrica j en M está dada por el límite : ^[3]

$${\displaystyle j=\lim _{A\to 0}{\frac {I_{A}}{A}}=\left.{\frac {\partial I}{\partial A}}\right|_{A=0},}$$

con la superficie A permaneciendo centrada en M y ortogonal al movimiento de las cargas durante el proceso límite.

El vector de densidad de corriente j es el vector cuya magnitud es la densidad de corriente eléctrica y cuya dirección es la misma que el movimiento de las cargas positivas en M.

En un tiempo dado t , si v es la velocidad de las cargas en M , y dA es una superficie infinitesimal centrada en M y ortogonal a v , entonces durante un tiempo dt , solo la carga contenida en el volumen formado por dA y fluirá a través de dA . Esta carga es igual a donde ρ es la densidad de carga en M . La corriente eléctrica es , se deduce que el vector de densidad de corriente es el vector normal (es decir, paralelo a v ) y de magnitud ${\displaystyle v\,dt}$ ${\displaystyle dq=\rho \,v\,dt\,dA,}$ ${\displaystyle dI=dq/dt=\rho vdA}$ ${\displaystyle dA}$ ${\displaystyle dI/dA=\rho v}$

$${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {v} .}$$

La integral de superficie de j sobre una superficie S , seguida de una integral sobre la duración de tiempo t ₁ a t ₂ , da la cantidad total de carga que fluye a través de la superficie en ese tiempo ( t ₂ − t ₁ ):

$${\displaystyle q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA\,dt.}$$

Más concisamente, esta es la integral del flujo de j a través de S entre t ₁ y t ₂ .

El área necesaria para calcular el flujo es real o imaginaria, plana o curva, ya sea como área de sección transversal o como superficie. Por ejemplo, para los portadores de carga que pasan por un conductor eléctrico , el área es la sección transversal del conductor, en la sección considerada.

El área vectorial es una combinación de la magnitud del área por la que pasan los portadores de carga, A , y un vector unitario normal al área, La relación es ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} .}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} .}$

El área del vector diferencial se deduce de manera similar de la definición dada anteriormente: ${\displaystyle d\mathbf {A} =dA\mathbf {\hat {n}} .}$

Si la densidad de corriente j pasa a través del área en un ángulo θ con respecto a la normal del área , entonces ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} ,}$

$${\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta }$$

donde ⋅ es el producto escalar de los vectores unitarios. Es decir, el componente de la densidad de corriente que pasa a través de la superficie (es decir, normal a ella) es j cos θ , mientras que el componente de la densidad de corriente que pasa tangencialmente al área es j sen θ , pero no hay ninguna densidad de corriente que pase realmente a través del área en la dirección tangencial. El único componente de la densidad de corriente que pasa normal al área es el componente coseno.

Importancia

La densidad de corriente es importante para el diseño de sistemas eléctricos y electrónicos .

El rendimiento del circuito depende en gran medida del nivel de corriente diseñado, y la densidad de corriente se determina entonces por las dimensiones de los elementos conductores. Por ejemplo, a medida que se reducen los tamaños de los circuitos integrados , a pesar de la menor corriente que demandan los dispositivos más pequeños , existe una tendencia hacia densidades de corriente más altas para lograr un mayor número de dispositivos en áreas de chip cada vez más pequeñas . Véase la ley de Moore .

A frecuencias altas, la región conductora de un cable queda confinada cerca de su superficie, lo que aumenta la densidad de corriente en esta región. Esto se conoce como efecto pelicular .

Las densidades de corriente elevadas tienen consecuencias indeseables. La mayoría de los conductores eléctricos tienen una resistencia finita y positiva , lo que hace que disipen potencia en forma de calor. La densidad de corriente debe mantenerse lo suficientemente baja para evitar que el conductor se derrita o se queme, que el material aislante falle o que las propiedades eléctricas deseadas cambien. A densidades de corriente elevadas, el material que forma las interconexiones en realidad se mueve, un fenómeno llamado electromigración . En los superconductores, una densidad de corriente excesiva puede generar un campo magnético lo suficientemente fuerte como para provocar la pérdida espontánea de la propiedad superconductora.

El análisis y la observación de la densidad de corriente también se utilizan para investigar la física subyacente a la naturaleza de los sólidos, incluidos no solo los metales, sino también los semiconductores y los aislantes. Se ha desarrollado un formalismo teórico elaborado para explicar muchas observaciones fundamentales. ^{[4] [5]}

La densidad de corriente es un parámetro importante en la ley circuital de Ampère (una de las ecuaciones de Maxwell ), que relaciona la densidad de corriente con el campo magnético .

En la teoría de la relatividad especial , la carga y la corriente se combinan en un 4-vector .

Cálculo de densidades de corriente en la materia

Corrientes libres

Los portadores de carga que son libres de moverse constituyen una densidad de corriente libre , que se da mediante expresiones como las de esta sección.

La corriente eléctrica es una cantidad media aproximada que indica lo que está sucediendo en un cable entero. En la posición r en el tiempo t , la distribución del flujo de carga se describe mediante la densidad de corriente: ^[6]

$${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)=\rho (\mathbf {r} ,t)\;\mathbf {v} _{\text{d}}(\mathbf {r} ,t)}$$

dónde

• j ( r , t ) es el vector de densidad de corriente;
• v _d ( r , t ) es la velocidad de deriva promedio de las partículas(unidad SI: m ∙ s ⁻¹ );
• ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=q\,n(\mathbf {r} ,t)}$es la densidad de carga (unidad SI: culombios por metro cúbico ), en la que
  • n ( r , t ) es el número de partículas por unidad de volumen ("densidad numérica") (unidad SI: m ⁻³ );
  • q es la carga de las partículas individuales con densidad n (unidad SI: culombios ).

Una aproximación común a la densidad de corriente supone que la corriente simplemente es proporcional al campo eléctrico, como se expresa por:

$${\displaystyle \mathbf {j} =\sigma \mathbf {E} }$$

donde E es el campo eléctrico y σ es la conductividad eléctrica .

La conductividad σ es el recíproco ( inverso ) de la resistividad eléctrica y tiene las unidades SI de siemens por metro (S⋅m ⁻¹ ), y E tiene las unidades SI de newtons por culombio (N⋅C ⁻¹ ) o, equivalentemente, voltios por metro (V⋅m ⁻¹ ).

Un enfoque más fundamental para el cálculo de la densidad de corriente se basa en: $${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{t}\left[\int _{V}\sigma (\mathbf {r} -\mathbf {r} ',t-t')\;\mathbf {E} (\mathbf {r} ',t')\;{\text{d}}^{3}\mathbf {r} '\,\right]{\text{d}}t'}$$

indicando el retraso en la respuesta por la dependencia temporal de σ , y la naturaleza no local de la respuesta al campo por la dependencia espacial de σ , ambos calculados en principio a partir de un análisis microscópico subyacente, por ejemplo, en el caso de campos suficientemente pequeños, la función de respuesta lineal para el comportamiento conductivo en el material. Véase, por ejemplo, Giuliani & Vignale (2005) ^[7] o Rammer (2007). ^[8] La integral se extiende sobre toda la historia pasada hasta el momento actual.

La conductividad anterior y su densidad de corriente asociada reflejan los mecanismos fundamentales que subyacen al transporte de carga en el medio, tanto en el tiempo como en la distancia.

Una transformada de Fourier en el espacio y el tiempo da como resultado: $${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {k} ,\omega )=\sigma (\mathbf {k} ,\omega )\;\mathbf {E} (\mathbf {k} ,\omega )}$$

donde σ ( k , ω ) es ahora una función compleja .

En muchos materiales, por ejemplo, en los materiales cristalinos, la conductividad es un tensor y la corriente no tiene por qué ir necesariamente en la misma dirección que el campo aplicado. Además de las propiedades del material en sí, la aplicación de campos magnéticos puede alterar el comportamiento conductivo.

Corrientes de polarización y magnetización

Las corrientes surgen en los materiales cuando hay una distribución no uniforme de carga. ^[9]

En los materiales dieléctricos , existe una densidad de corriente correspondiente al movimiento neto de momentos dipolares eléctricos por unidad de volumen, es decir, la polarización P :

$${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {P} }={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$$

De manera similar, con los materiales magnéticos , las circulaciones de los momentos dipolares magnéticos por unidad de volumen, es decir, la magnetización M , conducen a corrientes de magnetización : ^[10]

$${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {M} }=\nabla \times \mathbf {M} }$$

En conjunto, estos términos se suman para formar la densidad de corriente ligada en el material (corriente resultante debido a los movimientos de los momentos dipolares eléctricos y magnéticos por unidad de volumen):

$${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {b} }=\mathbf {j} _{\mathrm {P} }+\mathbf {j} _{\mathrm {M} }}$$

Corriente total en materiales

La corriente total es simplemente la suma de las corrientes libres y limitadas: $${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{\mathrm {f} }+\mathbf {j} _{\mathrm {b} }}$$

Corriente de desplazamiento

También existe una corriente de desplazamiento correspondiente al campo de desplazamiento eléctrico variable en el tiempo D : ^{[11] [12]}

$${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {D} }={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$$

que es un término importante en la ley circuital de Ampere , una de las ecuaciones de Maxwell, ya que la ausencia de este término no predeciría la propagación de las ondas electromagnéticas , o la evolución temporal de los campos eléctricos en general.

Ecuación de continuidad

Como la carga se conserva, la densidad de corriente debe satisfacer una ecuación de continuidad . A continuación se presenta una derivación a partir de los primeros principios. ^[9]

El flujo neto que sale de un volumen V (que puede tener una forma arbitraria pero fija para el cálculo) debe ser igual al cambio neto en la carga contenida dentro del volumen:

$${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} }=-{\frac {d}{dt}}\int _{V}{\rho \;dV}=-\int _{V}{{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;dV}}$$

donde ρ es la densidad de carga y d A es un elemento de superficie de la superficie S que encierra el volumen V. La integral de superficie de la izquierda expresa la corriente que sale del volumen y la integral de volumen con signo negativo de la derecha expresa la disminución de la carga total dentro del volumen. Del teorema de divergencia :

$${\displaystyle \oint _{S}{\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} }=\int _{V}{{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {j} \;dV}}$$

Por eso:

$${\displaystyle \int _{V}{{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {j} \;dV}\ =-\int _{V}{{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;dV}}$$

Esta relación es válida para cualquier volumen, independientemente del tamaño o ubicación, lo que implica que:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$$

y esta relación se llama ecuación de continuidad . ^{[13] [14]}

En la práctica

En el cableado eléctrico , la densidad de corriente máxima (para una clasificación de temperatura dada ) puede variar de 4 A⋅mm ⁻² para un cable sin circulación de aire a su alrededor, a más de 6 A⋅mm ⁻² para un cable al aire libre. Las regulaciones para el cableado de edificios enumeran la corriente máxima permitida de cada tamaño de cable en diferentes condiciones. Para diseños compactos, como los devanados de los transformadores SMPS , el valor puede ser tan bajo como 2 A⋅mm ⁻² . ^[15] Si el cable transporta corrientes alternas de alta frecuencia , el efecto pelicular puede afectar la distribución de la corriente a través de la sección al concentrar la corriente en la superficie del conductor . En transformadores diseñados para altas frecuencias, la pérdida se reduce si se utiliza cable Litz para los devanados. Este está hecho de múltiples cables aislados en paralelo con un diámetro del doble de la profundidad de la piel . Los hilos aislados se trenzan juntos para aumentar el área total de la piel y reducir la resistencia debido a los efectos peliculares.

En las capas superior e inferior de las placas de circuito impreso , la densidad de corriente máxima puede ser de hasta 35 A⋅mm ⁻² con un espesor de cobre de 35 μm. Las capas internas no pueden disipar tanto calor como las externas; los diseñadores de placas de circuito evitan colocar trazas de alta corriente en las capas internas.

En el campo de los semiconductores , las densidades de corriente máximas para los distintos elementos las proporciona el fabricante. Superar esos límites plantea los siguientes problemas:

• El efecto Joule que aumenta la temperatura del componente.
• El efecto de electromigración erosionará la interconexión y eventualmente provocará un circuito abierto.
• El efecto de difusión lenta que, si se expone a altas temperaturas de forma continua, desplazará los iones metálicos y los dopantes de donde deberían estar. Este efecto también es sinónimo de envejecimiento.

La siguiente tabla da una idea de la densidad de corriente máxima para varios materiales.

Aunque los fabricantes añaden algún margen a sus cifras, se recomienda, al menos, duplicar la sección calculada para mejorar la fiabilidad, especialmente en el caso de productos electrónicos de alta calidad. También se puede observar la importancia de mantener los dispositivos electrónicos refrigerados para evitar exponerlos a la electromigración y la difusión lenta .

En los organismos biológicos , los canales iónicos regulan el flujo de iones (por ejemplo, sodio , calcio , potasio ) a través de la membrana en todas las células . Se supone que la membrana de una célula actúa como un condensador. ^[17] Las densidades de corriente se expresan generalmente en pA⋅pF ⁻¹ ( picoamperios por picofaradio ) (es decir, corriente dividida por capacitancia ). Existen técnicas para medir empíricamente la capacitancia y el área de superficie de las células, lo que permite el cálculo de densidades de corriente para diferentes células. Esto permite a los investigadores comparar corrientes iónicas en células de diferentes tamaños. ^[18]

En las lámparas de descarga de gas , como las lámparas de destellos , la densidad de corriente juega un papel importante en el espectro de salida producido. Las densidades de corriente bajas producen emisión de línea espectral y tienden a favorecer longitudes de onda más largas . Las densidades de corriente altas producen emisión continua y tienden a favorecer longitudes de onda más cortas. ^[19] Las densidades de corriente bajas para lámparas de destellos son generalmente alrededor de 10 A⋅mm ⁻² . Las densidades de corriente altas pueden ser más de 40 A⋅mm ⁻² .

Véase también

• Efecto Hall
• Efecto Hall cuántico
• Superconductividad
• Movilidad electrónica
• Velocidad de deriva
• Masa efectiva
• Resistencia eléctrica
• Resistencia de lámina
• Velocidad de la electricidad
• Conducción eléctrica
• Relaciones entre Green y Kubo
• Función de Green (teoría de muchos cuerpos)

Referencias

1. Walker, Jearl; Halliday, David; Resnick, Robert (2014). Fundamentos de física (10.ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. pág. 749. ISBN 9781118230732.OCLC 950235056  .
2. Lerner, RG; Trigg, GL (1991). Enciclopedia de Física (2.ª ed.). Editorial VHC. ISBN 0895737523.
3. Whelan, PM; Hodgeson, MJ (1978). Principios esenciales de física (2.ª ed.). John Murray. ISBN 0719533821.
4. Richard P Martin (2004). Estructura electrónica: teoría básica y métodos prácticos. Cambridge University Press. ISBN 0521782856.
5. Altland, Alexander; Simons, Ben (2006). Teoría de campos de materia condensada. Cambridge University Press. ISBN 9780521845083.
6. Woan, G. (2010). Manual de fórmulas de física de Cambridge . Cambridge University Press. ISBN 9780521575072.
7. Giuliani, Gabriele; Vignale, Giovanni (2005). Teoría cuántica del líquido electrónico. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 111.ISBN​ 0521821126. teoría de respuesta lineal capacitancia O conductancia.
8. Rammer, Jørgen (2007). Teoría cuántica de campos de estados de no equilibrio. Cambridge University Press. pág. 158. ISBN 9780521874991.
9. Grant, IS; Phillips, WR (2008). Electromagnetismo (2.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 9780471927129.
10. Herczynski, Andrzej (2013). "Cargas y corrientes ligadas" (PDF) . American Journal of Physics . 81 (3). Asociación Estadounidense de Profesores de Física: 202–205. Código Bibliográfico : 2013AmJPh..81..202H. doi : 10.1119/1.4773441. Archivado desde el original (PDF) el 2020-09-20 . Consultado el 2017-04-23 .
11. Griffiths, DJ (2007). Introducción a la electrodinámica (3.ª edición). Pearson Education. ISBN 978-8177582932.
12. Tipler, PA; Mosca, G. (2008). Física para científicos e ingenieros: con física moderna (6.ª ed.). WH Freeman. ISBN 978-0716789642.
13. Tai L Chow (2006). Introducción a la teoría electromagnética: una perspectiva moderna. Jones & Bartlett. págs. 130-131. ISBN 0-7637-3827-1.
14. Griffiths, DJ (1999). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.). Pearson/Addison-Wesley. pág. 213. ISBN 0-13-805326-X.
15. A. Pressman; et al. (2009). Diseño de fuentes de alimentación conmutadas (3.ª ed.). McGraw-Hill. pág. 320. ISBN 978-0-07-148272-1.
16. Murali, Raghunath; Yang, Yinxiao; Brenner, Kevin; Beck, Thomas; Meindl, James D. (2009). "Densidad de corriente de ruptura de nanocintas de grafeno". Applied Physics Letters . 94 (24): 243114. arXiv : 0906.4156 . Código Bibliográfico :2009ApPhL..94x3114M. doi :10.1063/1.3147183. ISSN  0003-6951. S2CID  55785299.
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19. "Fotocátodos de lámparas de xenón" (PDF) .