Relatividad especial

Teoría del espacio y el tiempo entrelazados de Albert Einstein

Albert Einstein alrededor de 1905, año en que se publicaron sus " artículos Annus Mirabilis ". Entre ellos se encontraba Zur Elektrodynamik bewegter Körper , el artículo que fundó la relatividad especial.

En física , la teoría especial de la relatividad , o relatividad especial para abreviar, es una teoría científica de la relación entre el espacio y el tiempo . En el tratamiento de Albert Einstein de 1905, la teoría se presenta basada en sólo dos postulados : ^{[p 1] [1] [2]}

1. Las leyes de la física son invariantes (idénticas) en todos los sistemas de referencia inerciales (es decir, sistemas de referencia sin aceleración ).
2. La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores, independientemente del movimiento de la fuente de luz o del observador.

El primer postulado fue formulado por primera vez por Galileo Galilei (ver Invariancia galileana ).

Orígenes y significado

La relatividad especial fue descrita por Albert Einstein en un artículo publicado el 26 de septiembre de 1905 titulado " Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento ". ^{[p 1]} Las ecuaciones de electromagnetismo de Maxwell parecían ser incompatibles con la mecánica newtoniana , y el resultado nulo de Michelson-Morley no logró detectar el movimiento de la Tierra contra el hipotético éter luminífero . Estos llevaron al desarrollo de las transformaciones de Lorentz , que ajustan distancias y tiempos para objetos en movimiento. La relatividad especial corrige las leyes hasta ahora de la mecánica para manejar situaciones que involucran todos los movimientos y especialmente aquellos a una velocidad cercana a la de la luz (conocida comovelocidades relativistas ). Hoy en día, se ha demostrado que la relatividad especial es el modelo más preciso de movimiento a cualquier velocidad cuando los efectos gravitacionales y cuánticos son insignificantes. ^[3][4]Aun así, el modelo newtoniano sigue siendo válido como una aproximación simple y precisa a velocidades bajas (en relación con la velocidad de la luz), por ejemplo, los movimientos cotidianos en la Tierra.

La relatividad especial tiene una amplia gama de consecuencias que han sido verificadas experimentalmente. ^[5] Incluyen la relatividad de la simultaneidad , la contracción de la longitud , la dilatación del tiempo , la fórmula relativista de la suma de la velocidad, el efecto Doppler relativista , la masa relativista , un límite de velocidad universal , la equivalencia masa-energía , la velocidad de la causalidad y la precesión de Thomas . ^{[1] [2]} Por ejemplo, ha reemplazado la noción convencional de un tiempo universal absoluto por la noción de un tiempo que depende del marco de referencia y la posición espacial . En lugar de un intervalo de tiempo invariante entre dos eventos, existe un intervalo de espacio-tiempo invariante . Combinados con otras leyes de la física, los dos postulados de la relatividad especial predicen la equivalencia de masa y energía , como se expresa en la fórmula de equivalencia masa-energía , donde es la velocidad de la luz en el vacío. ^{[6] [7]} También explica cómo se relacionan los fenómenos de la electricidad y el magnetismo. ^{[1] [2]} ${\displaystyle E=mc^{2}}$ ${\displaystyle c}$

Una característica definitoria de la relatividad especial es la sustitución de las transformaciones galileanas de la mecánica newtoniana por las transformaciones de Lorentz . El tiempo y el espacio no pueden definirse por separado (como se pensaba anteriormente). Más bien, el espacio y el tiempo están entrelazados en un único continuo conocido como "espaciotiempo" . Los acontecimientos que ocurren al mismo tiempo para un observador pueden ocurrir en momentos diferentes para otro.

Hasta varios años más tarde, cuando Einstein desarrolló la relatividad general , que introdujo un espacio-tiempo curvo para incorporar la gravedad, no se utilizó la frase "relatividad especial". Una traducción que a veces se utiliza es "relatividad restringida"; "especial" realmente significa "caso especial". ^{[p 2] [p 3] [p 4] [nota 1]} Parte del trabajo de Albert Einstein en relatividad especial se basa en el trabajo anterior de Hendrik Lorentz y Henri Poincaré . La teoría quedó esencialmente completa en 1907, con los artículos de Hermann Minkowski sobre el espacio-tiempo. ^[4]

La teoría es "especial" porque sólo se aplica en el caso especial donde el espacio-tiempo es "plano", es decir, donde la curvatura del espacio-tiempo (una consecuencia del tensor de energía-momento y que representa la gravedad ) es insignificante. ^{[8] [nota 2]} Para acomodar correctamente la gravedad, Einstein formuló la relatividad general en 1915. La relatividad especial, contrariamente a algunas descripciones históricas, se adapta tanto a las aceleraciones como a los marcos de referencia acelerados . ^{[9] [10]}

Así como ahora se acepta que la relatividad galileana es una aproximación de la relatividad especial válida para velocidades bajas, la relatividad especial se considera una aproximación de la relatividad general válida para campos gravitacionales débiles , es decir, a una escala suficientemente pequeña (por ejemplo, cuando las fuerzas de marea son insignificantes) y en condiciones de caída libre . Pero la relatividad general incorpora geometría no euclidiana para representar los efectos gravitacionales como la curvatura geométrica del espacio-tiempo. La relatividad especial está restringida al espaciotiempo plano conocido como espacio de Minkowski . Siempre que el universo pueda modelarse como una variedad pseudo-riemanniana , se puede definir un marco invariante de Lorentz que respete la relatividad especial para una vecindad suficientemente pequeña de cada punto en este espacio-tiempo curvo .

Galileo Galilei ya había postulado que no existe un estado de reposo absoluto y bien definido (ni marcos de referencia privilegiados ), principio que ahora se denomina principio de relatividad de Galileo . Einstein amplió este principio para que explicara la velocidad constante de la luz, ^[11] un fenómeno que se había observado en el experimento de Michelson-Morley. También postuló que es válido para todas las leyes de la física , incluidas tanto las leyes de la mecánica como las de la electrodinámica . ^[12]

Enfoque tradicional de "dos postulados" de la relatividad especial

"Reflexiones de este tipo me dejaron claro ya poco después de 1900, es decir, poco después del trabajo pionero de Planck, que ni la mecánica ni la electrodinámica podían (excepto en casos límite) pretender una validez exacta. Poco a poco, perdí la esperanza de descubrir las verdaderas leyes mediante esfuerzos constructivos basados ​​en hechos conocidos. Cuanto más y más desesperadamente lo intentaba, más llegaba a la convicción de que sólo el descubrimiento de un principio formal universal podría llevarnos a resultados seguros... ¿Cómo, entonces? , ¿podría encontrarse tal principio universal?"

Albert Einstein: Notas autobiográficas ^{[p 5]}

Einstein distinguió dos proposiciones fundamentales que parecían ser las más seguras, independientemente de la validez exacta de las leyes (entonces) conocidas de la mecánica o la electrodinámica. Estas proposiciones eran la constancia de la velocidad de la luz en el vacío y la independencia de las leyes físicas (especialmente la constancia de la velocidad de la luz) de la elección del sistema inercial. En su presentación inicial de la relatividad especial en 1905 expresó estos postulados como: ^{[p 1]}

• El principio de relatividad : las leyes por las cuales los estados de los sistemas físicos sufren cambios no se ven afectadas, ya sea que estos cambios de estado se refieran a uno u otro de dos sistemas en movimiento de traslación uniforme entre sí. ^{[página 1]}
• El principio de la velocidad invariante de la luz – "... la luz siempre se propaga en el espacio vacío con una determinada velocidad [velocidad] c , que es independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor" (del prefacio). ^{[p 1]} Es decir, la luz en el vacío se propaga con la velocidad c (una constante fija, independiente de la dirección) en al menos un sistema de coordenadas inerciales (el "sistema estacionario"), independientemente del estado de movimiento de la fuente de luz. .

La constancia de la velocidad de la luz fue motivada por la teoría del electromagnetismo ^{[ cita requerida ]} de Maxwell y la falta de evidencia a favor del éter luminífero . Existe evidencia contradictoria sobre hasta qué punto Einstein fue influenciado por el resultado nulo del experimento de Michelson-Morley . ^{[13] [14]} En cualquier caso, el resultado nulo del experimento de Michelson-Morley ayudó a que la noción de la constancia de la velocidad de la luz ganara una aceptación rápida y generalizada.

La derivación de la relatividad especial depende no sólo de estos dos postulados explícitos, sino también de varios supuestos tácitos ( hechos en casi todas las teorías de la física ), incluida la isotropía y homogeneidad del espacio y la independencia de las reglas de medición y los relojes de su historia pasada. ^{[página 6]}

Tras la presentación original de Einstein de la relatividad especial en 1905, se han propuesto muchos conjuntos diferentes de postulados en diversas derivaciones alternativas. ^[15] Pero el conjunto de postulados más común sigue siendo el empleado por Einstein en su artículo original. Una declaración más matemática del principio de relatividad hecha más tarde por Einstein, que introduce el concepto de simplicidad no mencionado anteriormente es:

Principio especial de la relatividad : si se elige un sistema de coordenadas K de modo que, en relación con él, las leyes físicas se cumplan en su forma más simple, las mismas leyes se aplicarán en relación con cualquier otro sistema de coordenadas K ′ que se mueva en traslación uniforme relativamente. a K. ^[16]

Henri Poincaré proporcionó el marco matemático para la teoría de la relatividad al demostrar que las transformaciones de Lorentz son un subconjunto de su grupo de transformaciones de simetría de Poincaré. Posteriormente, Einstein derivó estas transformaciones de sus axiomas.

Muchos de los artículos de Einstein presentan derivaciones de la transformación de Lorentz basadas en estos dos principios. ^{[pág. 7]}

Principio de relatividad

Marcos de referencia y movimiento relativo.

Figura 2–1. El sistema cebado está en movimiento relativo al sistema no cebado con velocidad constante v solo a lo largo del eje x , desde la perspectiva de un observador estacionario en el sistema no cebado. Según el principio de relatividad , un observador estacionario en el sistema cebado verá una estructura similar excepto que la velocidad que registra será −v . El cambio de la velocidad de propagación de la interacción de infinita en la mecánica no relativista a un valor finito requerirá una modificación de las ecuaciones de transformación que mapean eventos en un marco a otro.

Los marcos de referencia juegan un papel crucial en la teoría de la relatividad. El término marco de referencia, tal como se utiliza aquí, es una perspectiva de observación en el espacio que no sufre ningún cambio en el movimiento (aceleración), desde la cual se puede medir una posición a lo largo de 3 ejes espaciales (es decir, en reposo o a velocidad constante). Además, un sistema de referencia tiene la capacidad de determinar mediciones del tiempo de eventos utilizando un "reloj" (cualquier dispositivo de referencia con periodicidad uniforme).

Un evento es un suceso al que se le puede asignar un único momento y ubicación en el espacio con respecto a un marco de referencia: es un "punto" en el espacio-tiempo . Dado que la velocidad de la luz es constante en relatividad independientemente del marco de referencia, se pueden usar pulsos de luz para medir distancias sin ambigüedades y hacer referencia a las horas en que ocurrieron los eventos en el reloj, aunque la luz tarda en llegar al reloj después del evento. ha ocurrido.

Por ejemplo, la explosión de un petardo puede considerarse un "evento". Podemos especificar completamente un evento por sus cuatro coordenadas espacio-temporales: el momento en que ocurre y su ubicación espacial tridimensional definen un punto de referencia. Llamemos a este marco de referencia S.

En la teoría de la relatividad, a menudo queremos calcular las coordenadas de un evento a partir de diferentes marcos de referencia. Las ecuaciones que relacionan mediciones realizadas en diferentes marcos se denominan ecuaciones de transformación .

Configuración estándar

Para obtener una idea de cómo se comparan entre sí las coordenadas espacio-temporales medidas por los observadores en diferentes marcos de referencia , es útil trabajar con una configuración simplificada con marcos en una configuración estándar. ^{[17] : 107} Con cuidado, esto permite la simplificación de las matemáticas sin pérdida de generalidad en las conclusiones a las que se llega. En la figura 2-1 se muestran dos sistemas de referencia galileanos (es decir, sistemas convencionales de tres espacios) en movimiento relativo. El cuadro S pertenece a un primer observador O, y el cuadro S ′ (pronunciado "S primo" o "S guión") pertenece a un segundo observador O ′ .

• Los ejes x , y , z del marco S están orientados paralelos a los respectivos ejes preparados del marco S ' .
• El marco S ′ se mueve, por simplicidad, en una sola dirección: la dirección x del marco S con una velocidad constante v medida en el marco S.
• Los orígenes de los cuadros S y S ′ son coincidentes cuando el tiempo t = 0 para el cuadro S y t ′ = 0 para el cuadro S ′ .

Dado que no existe un marco de referencia absoluto en la teoría de la relatividad, no existe estrictamente el concepto de "movimiento", ya que todo puede estar en movimiento con respecto a algún otro marco de referencia. En cambio, se dice que dos cuadros cualesquiera que se mueven a la misma velocidad en la misma dirección se mueven comodamente . Por lo tanto, S y S ′ no son comoving .

Falta de un marco de referencia absoluto

El principio de relatividad , que establece que las leyes físicas tienen la misma forma en cada sistema de referencia inercial , se remonta a Galileo y fue incorporado a la física newtoniana. Pero a finales del siglo XIX la existencia de ondas electromagnéticas llevó a algunos físicos a sugerir que el universo estaba lleno de una sustancia a la que llamaron " éter ", que, postulaban, actuaría como medio a través del cual se propagarían estas ondas, o vibraciones ( en muchos aspectos similar a la forma en que el sonido se propaga a través del aire). Se pensaba que el éter era un marco de referencia absoluto contra el cual se podían medir todas las velocidades, y podía considerarse fijo e inmóvil en relación con la Tierra o algún otro punto de referencia fijo. Se suponía que el éter era lo suficientemente elástico para soportar ondas electromagnéticas, mientras que esas ondas podían interactuar con la materia, sin ofrecer resistencia a los cuerpos que lo atravesaban (su única propiedad era que permitía que las ondas electromagnéticas se propagaran). Los resultados de varios experimentos, incluido el experimento de Michelson-Morley en 1887 (posteriormente verificado con experimentos más precisos e innovadores), llevaron a la teoría de la relatividad especial, al demostrar que el éter no existía. ^[18] La solución de Einstein fue descartar la noción de éter y el estado absoluto de reposo. En relatividad, cualquier sistema de referencia que se mueva con movimiento uniforme observará las mismas leyes de la física. En particular, la velocidad de la luz en el vacío siempre se mide como c , incluso cuando se mide mediante múltiples sistemas que se mueven a velocidades diferentes (pero constantes).

Relatividad sin el segundo postulado

A partir del principio de la relatividad únicamente, sin asumir la constancia de la velocidad de la luz (es decir, utilizando la isotropía del espacio y la simetría implícita en el principio de la relatividad especial), se puede demostrar que las transformaciones espacio-temporales entre marcos inerciales son euclidianas o galileanas. , o lorentziano. En el caso de Lorentz, se puede entonces obtener una conservación del intervalo relativista y una cierta velocidad límite finita. Los experimentos sugieren que esta velocidad es la velocidad de la luz en el vacío. ^{[pág. 8] [19]}

La invariancia de Lorentz como núcleo esencial de la relatividad especial

Enfoques alternativos a la relatividad especial

Einstein basó sistemáticamente la derivación de la invariancia de Lorentz (el núcleo esencial de la relatividad especial) sólo en los dos principios básicos de la relatividad y la invariancia de la velocidad de la luz. El escribio:

La idea fundamental para la teoría especial de la relatividad es la siguiente: los supuestos de la relatividad y la invariancia de la velocidad de la luz son compatibles si se postulan relaciones de un nuevo tipo ("transformación de Lorentz") para la conversión de coordenadas y tiempos de eventos... El principio universal de la teoría especial de la relatividad está contenida en el postulado: Las leyes de la física son invariantes con respecto a las transformaciones de Lorentz (para la transición de un sistema inercial a cualquier otro sistema inercial elegido arbitrariamente). Este es un principio restrictivo para las leyes naturales... ^{[p 5]}

Así, muchos tratamientos modernos de la relatividad especial la basan en el postulado único de la covarianza universal de Lorentz o, de manera equivalente, en el postulado único del espaciotiempo de Minkowski . ^{[pág. 9] [pág. 10]}

En lugar de considerar la covarianza de Lorentz universal como un principio derivado, este artículo la considera el postulado fundamental de la relatividad especial. El enfoque tradicional de los dos postulados de la relatividad especial se presenta en innumerables libros de texto universitarios y presentaciones populares. ^[20] Los libros de texto que comienzan con el postulado único del espacio-tiempo de Minkowski incluyen los de Taylor y Wheeler ^[21] y Callahan. ^[22] Este es también el enfoque seguido por los artículos de Wikipedia Espacio-tiempo y Diagrama de Minkowski .

Transformación de Lorentz y su inversa.

Defina un evento para que tenga coordenadas espacio-temporales ( t , x , y , z ) en el sistema S y ( t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) en un sistema de referencia que se mueve a una velocidad v con respecto a ese sistema, S ′ . Entonces la transformación de Lorentz especifica que estas coordenadas están relacionadas de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \ (t-vx/c^{2})\\x'&=\gamma \ (x-vt)\\y'&=y\\z'&=z,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$$

factor de Lorentzcvelocidad de la luzvS ′Sxyz no se ven afectadas; xt . asignaciones lineales de un parámetrorapidez

Resolver las cuatro ecuaciones de transformación anteriores para las coordenadas no preparadas produce la transformación inversa de Lorentz:

$${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}$$

Esto muestra que el marco no preparado se mueve con la velocidad − v , medida en el marco preparado. ^[23]

No hay nada especial en el eje x . La transformación puede aplicarse al eje y o z , o incluso en cualquier dirección paralela al movimiento (que están deformadas por el factor γ ) y perpendicular; consulte el artículo Transformación de Lorentz para obtener más detalles.

Una cantidad invariante bajo transformaciones de Lorentz se conoce como escalar de Lorentz .

Escribiendo la transformación de Lorentz y su inversa en términos de diferencias de coordenadas, donde un evento tiene coordenadas ( x ₁ , t ₁ ) y ( x ′ ₁ , t ′ ₁ ) , otro evento tiene coordenadas ( x ₂ , t ₂ ) y ( x ′ ₂ , t ′ ₂ ) , y las diferencias se definen como

• Ec. 1:    ${\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ .}$
• Ec. 2:    ${\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ .}$

obtenemos

• Ec. 3:    ${\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ }$ ${\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ .}$
• Ec. 4:    ${\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ }$ ${\displaystyle \Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ .}$

Si tomamos diferenciales en lugar de diferencias, obtenemos

• Ec. 5:    ${\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ }$ ${\displaystyle dt'=\gamma \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ .}$
• Ec. 6:    ${\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ }$ ${\displaystyle dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ .}$

Representación gráfica de la transformación de Lorentz.

Figura 3-1. Dibujar un diagrama espacio-temporal de Minkowski para ilustrar una transformación de Lorentz.

Los diagramas de espacio-tiempo ( diagramas de Minkowski ) son una ayuda extremadamente útil para visualizar cómo se transforman las coordenadas entre diferentes sistemas de referencia. Aunque no es tan fácil realizar cálculos exactos usándolas como invocando directamente las transformaciones de Lorentz, su principal poder es su capacidad para proporcionar una comprensión intuitiva de los resultados de un escenario relativista. ^[19]

Para dibujar un diagrama espacio-temporal, comience considerando dos sistemas de referencia galileanos, S y S', en configuración estándar, como se muestra en la figura 2-1. ^{[19] [24] : 155-199}

Figura 3-1a. Dibuja los ejes y del cuadro S. El eje es horizontal y el eje (en realidad ) es vertical, lo cual es lo opuesto a la convención habitual en cinemática. El eje se escala mediante un factor de de modo que ambos ejes tengan unidades de longitud comunes. En el diagrama que se muestra, las líneas de la cuadrícula están espaciadas una unidad de distancia. Las líneas diagonales de 45° representan las líneas de mundo de dos fotones que pasan por el origen en el tiempo. La pendiente de estas líneas de mundo es 1 porque los fotones avanzan una unidad en el espacio por unidad de tiempo. Dos eventos, y se han trazado en este gráfico para que sus coordenadas puedan compararse en los marcos S y S'. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ct}$ ${\displaystyle ct}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t=0.}$ ${\displaystyle {\text{A}}}$ ${\displaystyle {\text{B}},}$

Figura 3-1b. Dibuje los ejes y del marco S'. El eje representa la línea mundial del origen del sistema de coordenadas S' medido en el cuadro S. En esta figura, tanto los ejes como están inclinados respecto de los ejes no preparados en un ángulo en el que los ejes preparados y no preparados comparten un origen común porque los cuadros S y S' se habían configurado en configuración estándar, de modo que cuando ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle ct'}$ ${\displaystyle ct'}$ ${\displaystyle v=c/2.}$ ${\displaystyle ct'}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle \alpha =\tan ^{-1}(\beta ),}$ ${\displaystyle \beta =v/c.}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle t'=0.}$

Figura 3-1c. Las unidades en los ejes preparados tienen una escala diferente a la de las unidades en los ejes no preparados. A partir de las transformaciones de Lorentz, observamos que las coordenadas de en el sistema de coordenadas preparado se transforman en el sistema de coordenadas no preparado. Del mismo modo, las coordenadas del sistema de coordenadas preparado se transforman en el sistema no preparado. Dibuje líneas de cuadrícula paralelas al eje que pasa por los puntos medidos en el marco no preparado, donde es un número entero. Del mismo modo, dibuje líneas de cuadrícula paralelas al eje medido en el marco sin imprimación. Utilizando el teorema de Pitágoras, observamos que el espacio entre unidades es igual a multiplicado por el espacio entre unidades, medido en el cuadro S. Esta relación es siempre mayor que 1 y, en última instancia, tiende al infinito como ${\displaystyle (x',ct')}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (\beta \gamma ,\gamma )}$ ${\displaystyle (x',ct')}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle (\gamma ,\beta \gamma )}$ ${\displaystyle ct'}$ ${\displaystyle (k\gamma ,k\beta \gamma )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle (k\beta \gamma ,k\gamma )}$ ${\displaystyle ct'}$ ${\textstyle {\sqrt {(1+\beta ^{2})/(1-\beta ^{2})}}}$ ${\displaystyle ct}$ ${\displaystyle \beta \to 1.}$

Figura 3-1d. Dado que la velocidad de la luz es invariante, las líneas de mundo de dos fotones que pasan por el origen en el tiempo todavía se trazan como líneas diagonales de 45°. Las coordenadas preparadas de y están relacionadas con las coordenadas no preparadas a través de las transformaciones de Lorentz y podrían medirse aproximadamente a partir del gráfico (suponiendo que se haya trazado con suficiente precisión), pero el verdadero mérito de un diagrama de Minkowski es que nos otorga una vista geométrica de el escenario. Por ejemplo, en esta figura, observamos que los dos eventos separados en el tiempo que tenían diferentes coordenadas x en el marco no preparado ahora están en la misma posición en el espacio. ${\displaystyle t'=0}$ ${\displaystyle {\text{A}}}$ ${\displaystyle {\text{B}}}$

Mientras que el marco no preparado se dibuja con ejes de espacio y tiempo que se encuentran en ángulos rectos, el marco preparado se dibuja con ejes que se encuentran en ángulos agudos u obtusos. Esta asimetría se debe a distorsiones inevitables en cómo las coordenadas del espacio-tiempo se asignan a un plano cartesiano , pero los marcos son en realidad equivalentes.

Consecuencias derivadas de la transformación de Lorentz

Las consecuencias de la relatividad especial pueden derivarse de las ecuaciones de transformación de Lorentz . ^[25] Estas transformaciones, y por tanto la relatividad especial, conducen a predicciones físicas diferentes a las de la mecánica newtoniana en todas las velocidades relativas, y más pronunciadas cuando las velocidades relativas se vuelven comparables a la velocidad de la luz. La velocidad de la luz es mucho mayor que cualquier cosa que la mayoría de los humanos encuentren, por lo que algunos de los efectos predichos por la relatividad son inicialmente contrarios a la intuición .

Intervalo invariante

En la relatividad galileana, la longitud de un objeto ( ) ^{[nota 3]} y la separación temporal entre dos eventos ( ) son invariantes independientes, cuyos valores no cambian cuando se observan desde diferentes marcos de referencia. ^{[nota 4] [nota 5]} ${\displaystyle \Delta r}$ ${\displaystyle \Delta t}$

En la relatividad especial, sin embargo, el entrelazamiento de coordenadas espaciales y temporales genera el concepto de intervalo invariante , denotado como : ^{[nota 6]} ${\displaystyle \Delta s^{2}}$

$${\displaystyle \Delta s^{2}\;{\overset {\text{def}}{=}}\;c^{2}\Delta t^{2}-(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2})}$$

El entrelazamiento del espacio y el tiempo revoca los conceptos implícitamente asumidos de simultaneidad absoluta y sincronización a través de marcos no móviles.

La forma de ser la diferencia del lapso de tiempo al cuadrado y la distancia espacial al cuadrado demuestra una discrepancia fundamental entre las distancias euclidianas y el espacio-temporal. ^{[nota 7]} La ​​invariancia de este intervalo es una propiedad de la transformada general de Lorentz (también llamada transformación de Poincaré ), convirtiéndola en una isometría del espacio-tiempo. La transformada de Lorentz general extiende la transformada de Lorentz estándar (que se ocupa de traslaciones sin rotación, es decir, impulsos de Lorentz , en la dirección x) con todas las demás traslaciones , reflexiones y rotaciones entre cualquier marco inercial cartesiano. ^{[29] : 33–34} ${\displaystyle \Delta s^{2},}$

En el análisis de escenarios simplificados, como los diagramas espacio-temporales, a menudo se emplea una forma de dimensionalidad reducida del intervalo invariante:

$${\displaystyle \Delta s^{2}\,=\,c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}}$$

Demostrar que el intervalo es invariante es sencillo para el caso de dimensionalidad reducida y con marcos en configuración estándar: ^[19]

$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}&=c^{2}\gamma ^{2}\left(\Delta t'+{\dfrac {v\Delta x'}{c^{2}}}\right)^{2}-\gamma ^{2}\ (\Delta x'+v\Delta t')^{2}\\&=\gamma ^{2}\left(c^{2}\Delta t'^{\,2}+2v\Delta x'\Delta t'+{\dfrac {v^{2}\Delta x'^{\,2}}{c^{2}}}\right)-\gamma ^{2}\ (\Delta x'^{\,2}+2v\Delta x'\Delta t'+v^{2}\Delta t'^{\,2})\\&=\gamma ^{2}c^{2}\Delta t'^{\,2}-\gamma ^{2}v^{2}\Delta t'^{\,2}-\gamma ^{2}\Delta x'^{\,2}+\gamma ^{2}{\dfrac {v^{2}\Delta x'^{\,2}}{c^{2}}}\\&=\gamma ^{2}c^{2}\Delta t'^{\,2}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)-\gamma ^{2}\Delta x'^{\,2}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\\&=c^{2}\Delta t'^{\,2}-\Delta x'^{\,2}\end{aligned}}}$$

Por tanto , el valor de es independiente del marco en el que se mide. ${\displaystyle \Delta s^{2}}$

Al considerar el significado físico de , hay tres casos a tener en cuenta: ^{[19] [30] : 25–39} ${\displaystyle \Delta s^{2}}$

• Δs ² > 0: En este caso, los dos eventos están separados por más tiempo que espacio y, por lo tanto, se dice que están separados en el tiempo . Esto implica que , dada la transformación de Lorentz , es evidente que existe un menor que para el cual (en particular, ). En otras palabras, dados dos eventos que están separados en el tiempo, es posible encontrar un marco en el que los dos eventos suceden en el mismo lugar. En este marco, a la separación en el tiempo, se le llama tiempo propio . ${\displaystyle |\Delta x/\Delta t|<c,}$ ${\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t),}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \Delta x'=0}$ ${\displaystyle v=\Delta x/\Delta t}$ ${\displaystyle \Delta s/c,}$
• Δs ² < 0: En este caso, los dos eventos están separados por más espacio que tiempo y, por lo tanto, se dice que están separados en forma espacial . Esto implica que , dada la transformación de Lorentz , existe un menor que para el cual (en particular, ). En otras palabras, dados dos eventos que están separados como un espacio, es posible encontrar un marco en el que los dos eventos sucedan al mismo tiempo. En este marco, la separación en el espacio, se llama distancia propia , o longitud propia . Para valores mayores que y menores que el signo de los cambios, lo que significa que el orden temporal de los eventos separados en forma de espacio cambia dependiendo del marco en el que se ven los eventos. Pero el orden temporal de los eventos separados en el tiempo es absoluto, ya que la única forma en que podría ser mayor de lo que sería si ${\displaystyle |\Delta x/\Delta t|>c,}$ ${\displaystyle \Delta t'=\gamma \ (\Delta t-v\Delta x/c^{2}),}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \Delta t'=0}$ ${\displaystyle v=c^{2}\Delta t/\Delta x}$ ${\textstyle {\sqrt {-\Delta s^{2}}},}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c^{2}\Delta t/\Delta x,}$ ${\displaystyle \Delta t'}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c^{2}\Delta t/\Delta x}$ ${\displaystyle v>c.}$
• Δs ² = 0: En este caso, se dice que los dos eventos están separados como una luz . Esto implica que y esta relación es independiente del marco debido a la invariancia de A partir de esto, observamos que la velocidad de la luz está en cada marco inercial. En otras palabras, partiendo del supuesto de la covarianza universal de Lorentz, la velocidad constante de la luz es un resultado derivado, más que un postulado como en la formulación de dos postulados de la teoría especial. ${\displaystyle |\Delta x/\Delta t|=c,}$ ${\displaystyle s^{2}.}$ ${\displaystyle c}$

Relatividad de la simultaneidad

Figura 4–1. Los tres eventos (A, B , C) son simultáneos en el sistema de referencia de algún observador O. En un sistema de referencia que se mueve en v = 0,3 c , medido por O , los eventos ocurren en el orden C, B, A. En un sistema de referencia que se mueve en v = −0,5 c con respecto a O , los eventos ocurren en el orden A, B, C. Las líneas blancas, las líneas de simultaneidad , se mueven del pasado al futuro en los cuadros respectivos (ejes de coordenadas verdes), resaltando los eventos que residen en ellos. Son el lugar de todos los eventos que ocurren al mismo tiempo en el marco respectivo. El área gris es el cono de luz con respecto al origen de todos los fotogramas considerados.

Considere dos eventos que suceden en dos lugares diferentes y que ocurren simultáneamente en el sistema de referencia de un observador inercial. Pueden ocurrir de manera no simultánea en el marco de referencia de otro observador inercial (falta de simultaneidad absoluta ).

De la Ecuación 3 (la transformación directa de Lorentz en términos de diferencias de coordenadas)

$${\displaystyle \Delta t'=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)}$$

Está claro que los dos eventos que son simultáneos en el marco S (que satisface Δ t = 0 ), no son necesariamente simultáneos en otro marco inercial S ′ (que satisface Δ t ′ = 0 ). Sólo si estos eventos son además co-locales en el marco S (que satisfacen Δ x = 0 ), serán simultáneos en otro marco S ′ .

El efecto Sagnac puede considerarse una manifestación de la relatividad de la simultaneidad. ^[31] Dado que la relatividad de la simultaneidad es un efecto de primer orden en , ^[19] los instrumentos basados ​​en el efecto Sagnac para su funcionamiento, como los giroscopios láser de anillo y los giroscopios de fibra óptica , son capaces de alcanzar niveles extremos de sensibilidad. ^{[pág. 14]} ${\displaystyle v}$

Dilatación del tiempo

El lapso de tiempo entre dos eventos no es invariante de un observador a otro, sino que depende de las velocidades relativas de los marcos de referencia de los observadores.

Supongamos que un reloj está en reposo en el sistema no preparado S. La ubicación del reloj en dos tics diferentes se caracteriza entonces por Δ x = 0 . Para encontrar la relación entre los tiempos entre estos ticks medidos en ambos sistemas, se puede usar la Ecuación 3 para encontrar:

${\displaystyle \Delta t'=\gamma \,\Delta t}$ para eventos satisfactorios  ${\displaystyle \Delta x=0\ .}$

Esto muestra que el tiempo (Δ t ′ ) entre los dos tics como se ve en el cuadro en el que se mueve el reloj ( S ′ ), es más largo que el tiempo (Δ t ) entre estos tics medido en el cuadro de reposo del reloj ( S ). La dilatación del tiempo explica una serie de fenómenos físicos; por ejemplo, la vida útil de los muones de alta velocidad creados por la colisión de rayos cósmicos con partículas en la atmósfera exterior de la Tierra y que se mueven hacia la superficie es mayor que la vida útil de los muones que se mueven lentamente, creados y en descomposición en un laboratorio. ^[32]

Figura 4-2. Conjunto hipotético infinito de relojes sincronizados asociados con el marco de referencia de un observador

Cada vez que uno escucha una afirmación en el sentido de que "los relojes en movimiento funcionan lento", uno debería imaginar un sistema de referencia inercial densamente poblado con relojes idénticos y sincronizados. A medida que un reloj en movimiento viaja a través de este conjunto, su lectura en cualquier punto particular se compara con la de un reloj estacionario en el mismo punto. ^{[33] : 149-152}

Las medidas que obtendríamos si realmente miráramos un reloj en movimiento no serían, en general, las mismas, porque el tiempo que veríamos se retrasaría por la velocidad finita de la luz, es decir, los tiempos que veríamos serían ser distorsionado por el efecto Doppler . Siempre debe entenderse que las mediciones de los efectos relativistas se han realizado después de haber excluido los efectos finitos de la velocidad de la luz. ^{[33] : 149-152}

El reloj de luz de Langevin

Figura 4–3. Experimento mental utilizando un reloj de luz para explicar la dilatación del tiempo.

Paul Langevin , uno de los primeros defensores de la teoría de la relatividad, hizo mucho para popularizar la teoría frente a la resistencia de muchos físicos a los conceptos revolucionarios de Einstein. Entre sus numerosas contribuciones a los fundamentos de la relatividad especial se encuentran trabajos independientes sobre la relación masa-energía, un examen exhaustivo de la paradoja de los gemelos e investigaciones sobre sistemas de coordenadas giratorias. Su nombre se asocia con frecuencia a una construcción hipotética llamada "reloj de luz" (desarrollada originalmente por Lewis y Tolman en 1909 ^[34] ) que utilizó para realizar una novedosa derivación de la transformación de Lorentz. ^[35]

Se imagina un reloj de luz como una caja de paredes perfectamente reflectantes en las que una señal luminosa se refleja hacia adelante y hacia atrás desde caras opuestas. El concepto de dilatación del tiempo se enseña frecuentemente utilizando un reloj de luz que viaja en un movimiento inercial uniforme perpendicular a una línea que conecta los dos espejos. ^{[36] [37] [38] [39]} (El propio Langevin hizo uso de un reloj de luz orientado paralelo a su línea de movimiento. ^[35] )

Considere el escenario ilustrado en la figura 4-3A. El observador A sostiene un reloj de luz de longitud así como un cronómetro electrónico con el que mide cuánto tiempo le toma a un pulso hacer un viaje de ida y vuelta hacia arriba y hacia abajo a lo largo del reloj de luz. Aunque el observador A viaja rápidamente a lo largo de un tren, desde su punto de vista la emisión y recepción del pulso ocurren en el mismo lugar, y mide el intervalo utilizando un único reloj ubicado en la posición precisa de estos dos eventos. Para el intervalo entre estos dos eventos, el observador A encuentra. Un intervalo de tiempo medido usando un solo reloj que está inmóvil en un marco de referencia particular se llama intervalo de tiempo propio . ^[40] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle t_{A}=2L/c.}$

La figura 4-3B ilustra estos mismos dos eventos desde el punto de vista del observador B, quien está estacionado junto a las vías mientras el tren pasa a una velocidad de En lugar de hacer movimientos rectos hacia arriba y hacia abajo, el observador B ve los pulsos moviéndose a lo largo. una línea en zigzag. Sin embargo, debido al postulado de la constancia de la velocidad de la luz, la velocidad de los pulsos a lo largo de estas líneas diagonales es la misma que vio el observador A para sus pulsos hacia arriba y hacia abajo. B mide la velocidad del componente vertical de estos pulsos de modo que el tiempo total de ida y vuelta de los pulsos sea. Tenga en cuenta que para el observador B, la emisión y recepción del pulso de luz ocurrió en diferentes lugares, y midió el intervalo usando dos relojes estacionarios y sincronizados ubicados en dos posiciones diferentes en su sistema de referencia. Por lo tanto, el intervalo que B midió no era un intervalo de tiempo adecuado porque no lo midió con un solo reloj en reposo. ^[40] ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle c}$ ${\textstyle \pm {\sqrt {c^{2}-v^{2}}},}$ ${\textstyle t_{B}=2L{\big /}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}={}}$ ${\textstyle t_{A}{\big /}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$

Dilatación recíproca del tiempo

En la descripción anterior del reloj de luz de Langevin, etiquetar a un observador como estacionario y al otro como en movimiento era completamente arbitrario. También se podría tener al observador B llevando el reloj de luz y moviéndose a una velocidad de hacia la izquierda, en cuyo caso el observador A percibiría que el reloj de B funciona más lento que su reloj local. ${\displaystyle v}$

No hay aquí ninguna paradoja, porque no hay ningún observador independiente C que esté de acuerdo tanto con A como con B. El observador C necesariamente realiza sus mediciones desde su propio sistema de referencia. Si ese sistema de referencia coincide con el sistema de referencia de A, entonces C estará de acuerdo con la medida del tiempo de A. Si el sistema de referencia de C coincide con el sistema de referencia de B, entonces C coincidirá con la medición del tiempo de B. Si el marco de referencia de C no coincide ni con el marco de A ni con el marco de B, entonces la medición del tiempo de C no estará de acuerdo con la medición del tiempo de A y B. ^[41]

Paradoja de los gemelos

La reciprocidad de la dilatación del tiempo entre dos observadores en marcos inerciales separados conduce a la llamada paradoja de los gemelos , articulada en su forma actual por Langevin en 1911. ^[42] Langevin imaginó a un aventurero que deseaba explorar el futuro de la Tierra. Este viajero sube a bordo de un proyectil capaz de viajar al 99,995% de la velocidad de la luz. Después de realizar un viaje de ida y vuelta hacia y desde una estrella cercana que duró sólo dos años de su propia vida, regresa a una Tierra que es doscientos años mayor.

Este resultado parece desconcertante porque tanto el viajero como un observador terrestre verían al otro en movimiento y, por lo tanto, debido a la reciprocidad de la dilatación del tiempo, inicialmente se podría esperar que cada uno hubiera descubierto que el otro había envejecido menos. En realidad, no hay ninguna paradoja, porque para que los dos observadores comparen sus tiempos correctos, la simetría de la situación debe romperse: al menos uno de los dos observadores debe cambiar su estado de movimiento para igualarlo al del otro. ^[43]

Figura 4-4. Análisis Doppler de la paradoja de los gemelos.

Sin embargo, conocer la resolución general de la paradoja no permite calcular inmediatamente resultados cuantitativos correctos. En la literatura se han proporcionado muchas soluciones a este enigma y se han revisado en el artículo sobre la paradoja de los gemelos . A continuación examinaremos una de esas soluciones a la paradoja.

Nuestro objetivo básico será demostrar que, tras el viaje, ambos gemelos están perfectamente de acuerdo sobre quién envejece y cuánto, independientemente de sus diferentes experiencias. La figura 4-4 ilustra un escenario en el que el gemelo viajero vuela a 0,6 c hacia y desde una estrella a 3 ly de distancia. Durante el viaje, cada gemelo envía señales horarias anuales (medidas en sus propios tiempos) al otro. Después del viaje, se comparan los recuentos acumulados. En la fase de ida del viaje, cada gemelo recibe las señales del otro a la velocidad reducida de Inicialmente, la situación es perfectamente simétrica: obsérvese que cada gemelo recibe la señal anual del otro a los dos años medidos en su propio reloj. La simetría se rompe cuando la gemela viajera da la vuelta en la marca de los cuatro años medida por su reloj. Durante los cuatro años restantes de su viaje, recibe señales a una frecuencia aumentada. La situación es bastante diferente con el gemelo estacionario. Debido al retraso en la velocidad de la luz, no ve a su hermana darse la vuelta hasta que han pasado ocho años en su propio reloj. Por lo tanto, recibe señales de frecuencia mejorada de su hermana sólo durante un período relativamente breve. Aunque los gemelos no están de acuerdo en sus respectivas medidas de tiempo total, vemos en la siguiente tabla, así como por simple observación del diagrama de Minkowski, que cada gemelo está totalmente de acuerdo con el otro en cuanto al número total de señales enviadas desde uno. al otro. Por tanto, no hay ninguna paradoja. ^{[33] : 152-159} ${\textstyle f'=f{\sqrt {(1-\beta )/(1+\beta )}}.}$ ${\textstyle f''=f{\sqrt {(1+\beta )/(1-\beta )}}.}$

Contracción de longitud

Las dimensiones (p. ej., longitud) de un objeto medidas por un observador pueden ser menores que los resultados de las mediciones del mismo objeto realizadas por otro observador (p. ej., la paradoja de la escalera implica una escalera larga que viaja cerca de la velocidad de la luz y está contenida dentro de un garaje más pequeño).

De manera similar, supongamos que una varilla de medición está en reposo y alineada a lo largo del eje x en el sistema no cebado S. En este sistema, la longitud de esta varilla se escribe como Δ x . Para medir la longitud de esta varilla en el sistema S ′ en el que se mueve la varilla, se deben medir simultáneamente las distancias x ′ a los puntos extremos de la varilla en ese sistema S ′ . En otras palabras, la medición se caracteriza por Δ t ′ = 0 , que se puede combinar con la Ecuación 4 para encontrar la relación entre las longitudes Δ x y Δ x ′ :

${\displaystyle \Delta x'={\frac {\Delta x}{\gamma }}}$  para eventos satisfactorios  ${\displaystyle \Delta t'=0\ .}$

Esto muestra que la longitud (Δ x ′ ) de la varilla medida en el marco en el que se mueve ( S ′ ) es más corta que su longitud (Δ x ) en su propio marco de reposo ( S ).

La dilatación del tiempo y la contracción de la longitud no son meras apariencias. La dilatación del tiempo está explícitamente relacionada con nuestra forma de medir intervalos de tiempo entre eventos que ocurren en el mismo lugar en un sistema de coordenadas determinado (llamados eventos "co-locales"). Estos intervalos de tiempo (que pueden ser, y en realidad son, medidos experimentalmente por observadores relevantes) son diferentes en otro sistema de coordenadas que se mueve con respecto al primero, a menos que los eventos, además de ser co-locales, también sean simultáneos. De manera similar, la contracción de longitud se relaciona con nuestras distancias medidas entre eventos separados pero simultáneos en un sistema de coordenadas dado de elección. Si estos eventos no son co-locales, sino que están separados por una distancia (espacio), no ocurrirán a la misma distancia espacial entre sí cuando se los vea desde otro sistema de coordenadas en movimiento.

Transformación de velocidades de Lorentz

Considere dos marcos S y S ′ en configuración estándar. Una partícula en S se mueve en la dirección x con un vector velocidad ¿ Cuál es su velocidad en el marco S ′ ? ${\displaystyle \mathbf {u} .}$ ${\displaystyle \mathbf {u'} }$

Podemos escribir

Sustituyendo expresiones de y de la Ecuación 5 en la Ecuación 8 , seguidas de manipulaciones matemáticas sencillas y sustitución inversa de la Ecuación 7 , se obtiene la transformación de Lorentz de la velocidad a : ${\displaystyle dx'}$ ${\displaystyle dt'}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u'}$

La relación inversa se obtiene intercambiando los símbolos primos y no primos y reemplazándolos con ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle -v\ .}$

Para no alineado a lo largo del eje x, escribimos: ^{[12] : 47–49} ${\displaystyle \mathbf {u} }$

Las transformaciones directa e inversa para este caso son:

Se puede interpretar que las ecuaciones 10 y 14 dan la resultante de las dos velocidades y reemplazan la fórmula que es válida en la relatividad galileana. Interpretadas de esta manera, se las conoce comúnmente como fórmulas relativistas de suma (o composición) de velocidades , válidas para que los tres ejes de S y S ′ estén alineados entre sí (aunque no necesariamente en la configuración estándar). ^{[12] : 47–49} ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u'} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {u=u'+v} }$

Tomamos nota de los siguientes puntos:

• Si un objeto (por ejemplo, un fotón ) se moviera a la velocidad de la luz en un cuadro (es decir, u = ± c o u ′ = ± c ), entonces también se movería a la velocidad de la luz en cualquier otro cuadro, moviéndose en | v | < c .
• La velocidad resultante de dos velocidades con magnitud menor que c es siempre una velocidad con magnitud menor que c .
• Si ambos | tu | y | v | (y luego también | u ′ | y | v ′ |) son pequeños con respecto a la velocidad de la luz (es decir, por ejemplo, |tu/C| ≪ 1 ), entonces las transformaciones intuitivas de Galileo se recuperan de las ecuaciones de transformación para la relatividad especial
• Adjuntar un marco a un fotón ( montar un haz de luz como lo considera Einstein) requiere un tratamiento especial de las transformaciones.

No hay nada especial en la dirección x en la configuración estándar. El formalismo anterior se aplica a cualquier dirección; y tres direcciones ortogonales permiten tratar todas las direcciones en el espacio descomponiendo los vectores de velocidad en sus componentes en estas direcciones. Consulte Fórmula de suma de velocidades para obtener más detalles.

rotación de thomas

Figura 4-5. Rotación Thomas-Wigner

La composición de dos impulsos de Lorentz no colineales (es decir, dos transformaciones de Lorentz no colineales, ninguna de las cuales implica rotación) da como resultado una transformación de Lorentz que no es un impulso puro sino la composición de un impulso y una rotación.

La rotación de Thomas resulta de la relatividad de la simultaneidad. En la figura 4-5a, una varilla de longitud en su marco de reposo (es decir, que tiene una longitud adecuada de ) se eleva verticalmente a lo largo del eje y en el marco del suelo. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

En la figura 4-5b, se observa la misma varilla desde la estructura de un cohete que se mueve con velocidad hacia la derecha. Si imaginamos dos relojes situados en los extremos izquierdo y derecho de la varilla que están sincronizados en el marco de la varilla, la relatividad de la simultaneidad hace que el observador en el marco del cohete observe (no vea) el reloj en el extremo derecho de la varilla. avanza en el tiempo y se observa correspondientemente que la varilla está inclinada. ^{[30] : 98–99} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Lv/c^{2},}$

A diferencia de los efectos relativistas de segundo orden, como la contracción de la longitud o la dilatación del tiempo, este efecto se vuelve bastante significativo incluso a velocidades bastante bajas. Por ejemplo, esto se puede ver en el giro de partículas en movimiento , donde la precesión de Thomas es una corrección relativista que se aplica al giro de una partícula elemental o a la rotación de un giroscopio macroscópico , relacionando la velocidad angular del giro de una partícula siguiendo una órbita curvilínea a la velocidad angular del movimiento orbital. ^{[30] : 169-174}

La rotación de Thomas proporciona la resolución a la conocida "paradoja del metro y el agujero". ^{[pág. 15] [30] : 98–99}

Causalidad y prohibición del movimiento más rápido que la luz.

Figura 4–6. Cono de luz

En la figura 4-6, el intervalo de tiempo entre los eventos A (la "causa") y B (el "efecto") es "temporal"; es decir, existe un marco de referencia en el que los eventos A y B ocurren en el mismo lugar en el espacio , separados sólo por ocurrir en momentos diferentes. Si A precede a B en ese cuadro, entonces A precede a B en todos los cuadros accesibles mediante una transformación de Lorentz. Es posible que la materia (o información) viaje (por debajo de la velocidad de la luz) desde la ubicación de A, comenzando en el momento de A, hasta la ubicación de B, llegando en el momento de B, por lo que puede haber una relación causal ( siendo A la causa y B el efecto).

El intervalo AC en el diagrama es "parecido a un espacio"; es decir, existe un marco de referencia en el que los eventos A y C ocurren simultáneamente, separados sólo en el espacio. También hay cuadros en los que A precede a C (como se muestra) y cuadros en los que C precede a A. Pero no se puede acceder a ningún cuadro mediante una transformación de Lorentz, en la que los eventos A y C ocurren en el mismo lugar. Si fuera posible que existiera una relación de causa y efecto entre los eventos A y C, se producirían paradojas de causalidad.

Por ejemplo, si las señales pudieran enviarse más rápido que la luz, entonces las señales podrían enviarse al pasado del emisor (observador B en los diagramas). ^{[44] [p 16]} Entonces se podrían construir una variedad de paradojas causales.

Figura 4-7. Violación de causalidad por el uso de
"comunicadores instantáneos" ficticios

Considere los diagramas espacio-temporales de la figura 4-7. A y B se encuentran junto a una vía de ferrocarril, cuando pasa un tren de alta velocidad, con C viajando en el último vagón del tren y D viajando en el vagón principal. Las líneas mundiales de A y B son verticales ( ct ), lo que distingue la posición estacionaria de estos observadores en el suelo, mientras que las líneas mundiales de C y D están inclinadas hacia adelante ( ct ′ ), reflejando el rápido movimiento de los observadores C y D. parados en su tren, observados desde el suelo.

1. Figura 4-7a. El evento en el que "B pasa un mensaje a D", cuando pasa el automóvil que va en cabeza, está en el origen del cuadro de D. D envía el mensaje a lo largo del tren a C en el vagón trasero, utilizando un "comunicador instantáneo" ficticio. La línea mundial de este mensaje es la flecha roja gruesa a lo largo del eje, que es una línea de simultaneidad en los cuadros preparados de C y D. En el cuadro terrestre (no preparado), la señal llega antes de lo que fue enviada. ${\displaystyle -x'}$
2. Figura 4-7b. El evento en el que "C pasa el mensaje a A", que está parado junto a las vías del tren, está en el origen de sus fotogramas. Ahora A envía el mensaje a lo largo de las vías a B a través de un "comunicador instantáneo". La línea mundial de este mensaje es la flecha gruesa azul, a lo largo del eje, que es una línea de simultaneidad para los fotogramas de A y B. Como se ve en el diagrama espacio-temporal, B recibirá el mensaje antes de haberlo enviado, una violación de causalidad. ^[45] ${\displaystyle +x}$

No es necesario que las señales sean instantáneas para violar la causalidad. Incluso si la señal de D a C fuera ligeramente más superficial que el eje (y la señal de A a B ligeramente más pronunciada que el eje), aún sería posible que B recibiera su mensaje antes de enviarlo. Al aumentar la velocidad del tren a velocidades cercanas a la de la luz, los ejes y se pueden acercar mucho a la línea discontinua que representa la velocidad de la luz. Con esta configuración modificada, se puede demostrar que incluso señales sólo un poco más rápidas que la velocidad de la luz darán lugar a una violación de la causalidad. ^[46] ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ct'}$ ${\displaystyle x'}$

Por lo tanto, si se quiere preservar la causalidad , una de las consecuencias de la relatividad especial es que ninguna señal de información u objeto material puede viajar más rápido que la luz en el vacío.

Esto no quiere decir que todo lo que sea más rápido que la velocidad de la luz sea imposible. Se pueden describir varias situaciones triviales en las que algunas "cosas" (no materia o energía reales) se mueven más rápido que la luz. ^[47] Por ejemplo, el lugar donde el haz de una luz de búsqueda incide en la parte inferior de una nube puede moverse más rápido que la luz cuando la luz de búsqueda se gira rápidamente (aunque esto no viola la causalidad ni ningún otro fenómeno relativista). ^{[48] ​​[49]}

Efectos ópticos

Efectos de arrastre

Figura 5–1. Diagrama muy simplificado del experimento de Fizeau de 1851.

En 1850, Hippolyte Fizeau y Léon Foucault establecieron de forma independiente que la luz viaja más lentamente en el agua que en el aire, validando así una predicción de la teoría ondulatoria de la luz de Fresnel e invalidando la predicción correspondiente de la teoría corpuscular de Newton . ^[50] La velocidad de la luz se midió en aguas tranquilas. ¿Cuál sería la velocidad de la luz en el agua que fluye?

En 1851, Fizeau llevó a cabo un experimento para responder a esta pregunta, cuya representación simplificada se ilustra en la figura 5-1. Un haz de luz se divide mediante un divisor de haz, y los haces divididos pasan en direcciones opuestas a través de un tubo de agua que fluye. Se recombinan para formar franjas de interferencia, lo que indica una diferencia en la longitud del camino óptico, que un observador puede ver. El experimento demostró que el arrastre de la luz por el agua que fluía provocaba un desplazamiento de las franjas, lo que demuestra que el movimiento del agua había afectado la velocidad de la luz.

Según las teorías predominantes en la época, la luz que viaja a través de un medio en movimiento sería una simple suma de su velocidad a través del medio más la velocidad del medio. Contrariamente a lo esperado, Fizeau descubrió que aunque la luz parecía ser arrastrada por el agua, la magnitud del arrastre era mucho menor de lo esperado. Si es la velocidad de la luz en aguas tranquilas, y es la velocidad del agua, y es la velocidad de la luz transmitida por el agua en el marco del laboratorio con el flujo de agua sumando o restando a la velocidad de la luz, entonces ${\displaystyle u'=c/n}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u_{\pm }}$

$${\displaystyle u_{\pm }={\frac {c}{n}}\pm v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\ .}$$

Los resultados de Fizeau, aunque consistentes con la hipótesis anterior de Fresnel sobre el arrastre parcial del éter , fueron extremadamente desconcertantes para los físicos de la época. Entre otras cosas, la presencia de un índice de refracción significaba que, dado que depende de la longitud de onda, el éter debe ser capaz de sostener diferentes movimientos al mismo tiempo. ^{[nota 8]} Se propusieron una variedad de explicaciones teóricas para explicar el coeficiente de arrastre de Fresnel , que estaban completamente en desacuerdo entre sí. Incluso antes del experimento de Michelson-Morley , los resultados experimentales de Fizeau se encontraban entre una serie de observaciones que crearon una situación crítica para explicar la óptica de los cuerpos en movimiento. ^[51] ${\displaystyle n}$

Desde el punto de vista de la relatividad especial, el resultado de Fizeau no es más que una aproximación a la Ecuación 10 , la fórmula relativista para la composición de velocidades. ^[29]

${\displaystyle u_{\pm }={\frac {u'\pm v}{1\pm u'v/c^{2}}}=}$ ${\displaystyle {\frac {c/n\pm v}{1\pm v/cn}}\approx }$ ${\displaystyle c\left({\frac {1}{n}}\pm {\frac {v}{c}}\right)\left(1\mp {\frac {v}{cn}}\right)\approx }$ ${\displaystyle {\frac {c}{n}}\pm v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$

Aberración relativista de la luz.

Figura 5–2. Ilustración de la aberración estelar

Debido a la velocidad finita de la luz, si los movimientos relativos de una fuente y un receptor incluyen una componente transversal, entonces la dirección desde la cual llega la luz al receptor se desplazará de la posición geométrica en el espacio de la fuente con respecto al receptor. El cálculo clásico del desplazamiento adopta dos formas y realiza predicciones diferentes dependiendo de si el receptor, la fuente o ambos están en movimiento con respecto al medio. (1) Si el receptor está en movimiento, el desplazamiento sería consecuencia de la aberración de la luz . El ángulo de incidencia del haz con respecto al receptor se podría calcular a partir de la suma vectorial de los movimientos del receptor y la velocidad de la luz incidente. ^[52] (2) Si la fuente está en movimiento, el desplazamiento sería consecuencia de la corrección del tiempo de luz . El desplazamiento de la posición aparente de la fuente respecto de su posición geométrica sería el resultado del movimiento de la fuente durante el tiempo que tarda su luz en llegar al receptor. ^[53]

La explicación clásica no pasó la prueba experimental. Dado que el ángulo de aberración depende de la relación entre la velocidad del receptor y la velocidad de la luz incidente, el paso de la luz incidente a través de un medio refractivo debería cambiar el ángulo de aberración. En 1810, Arago utilizó este fenómeno esperado en un intento fallido de medir la velocidad de la luz, ^[54] y en 1870, George Airy probó la hipótesis usando un telescopio lleno de agua y descubrió que, contra lo esperado, la aberración medida era idéntica a la aberración medida con un telescopio lleno de aire. ^[55] Un intento "engorroso" de explicar estos resultados utilizó la hipótesis de arrastre de éter parcial, ^[56] pero fue incompatible con los resultados del experimento de Michelson-Morley , que aparentemente exigía un arrastre de éter completo . ^[57]

Suponiendo marcos inerciales, la expresión relativista para la aberración de la luz es aplicable tanto al caso del receptor en movimiento como al de la fuente en movimiento. Se han publicado una variedad de fórmulas trigonométricamente equivalentes. Expresadas en términos de las variables de la figura 5-2, estas incluyen ^{[29] : 57-60}

${\displaystyle \cos \theta '={\frac {\cos \theta +v/c}{1+(v/c)\cos \theta }}}$   O    O ${\displaystyle \sin \theta '={\frac {\sin \theta }{\gamma [1+(v/c)\cos \theta ]}}}$      ${\displaystyle \tan {\frac {\theta '}{2}}=\left({\frac {c-v}{c+v}}\right)^{1/2}\tan {\frac {\theta }{2}}}$

Efecto Doppler relativista

Efecto Doppler longitudinal relativista

El efecto Doppler clásico depende de si la fuente, el receptor o ambos están en movimiento con respecto al medio. El efecto Doppler relativista es independiente de cualquier medio. Sin embargo, el desplazamiento Doppler relativista para el caso longitudinal, con la fuente y el receptor acercándose o alejándose directamente uno del otro, puede derivarse como si fuera el fenómeno clásico, pero modificado añadiendo un término de dilatación del tiempo , y ese es el tratamiento. descrito aquí. ^{[58] [59]}

Suponga que el receptor y la fuente se están alejando uno del otro con una velocidad relativa medida por un observador en el receptor o la fuente (la convención de signos adoptada aquí es negativa si el receptor y la fuente se están moviendo uno hacia el otro). Suponga que la fuente está estacionaria en el medio. Entonces ${\displaystyle v\,}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle f_{r}=\left(1-{\frac {v}{c_{s}}}\right)f_{s}}$$

${\displaystyle c_{s}}$

Para la luz, y con el receptor moviéndose a velocidades relativistas, los relojes del receptor están dilatados en relación con los relojes de la fuente. El receptor medirá la frecuencia recibida para ser

$${\displaystyle f_{r}=\gamma \left(1-\beta \right)f_{s}={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,f_{s}.}$$

• ${\displaystyle \beta =v/c}$  y
• ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$es el factor de Lorentz .

Se obtiene una expresión idéntica para el desplazamiento Doppler relativista cuando se realiza el análisis en el marco de referencia del receptor con una fuente en movimiento. ^{[60] [19]}

Efecto Doppler transversal

Figura 5–3. Efecto Doppler transversal para dos escenarios: (a) receptor que se mueve en círculo alrededor de la fuente; (b) fuente que se mueve en círculo alrededor del receptor.

El efecto Doppler transversal es una de las principales predicciones novedosas de la teoría especial de la relatividad.

Clásicamente, uno podría esperar que si la fuente y el receptor se mueven transversalmente uno con respecto al otro sin ningún componente longitudinal en sus movimientos relativos, no debería haber ningún desplazamiento Doppler en la luz que llega al receptor.

La relatividad especial predice lo contrario. La figura 5-3 ilustra dos variantes comunes de este escenario. Ambas variantes pueden analizarse utilizando argumentos simples de dilatación del tiempo. ^[19] En la figura 5-3a, el receptor observa que la luz de la fuente está desplazada hacia el azul en un factor de . En la figura 5-3b, la luz se desplaza al rojo en el mismo factor. ${\displaystyle \gamma }$

Medición versus apariencia visual

Figura 5–4. Comparación de la contracción de la longitud medida de un cubo versus su apariencia visual.

La dilatación del tiempo y la contracción de la longitud no son ilusiones ópticas, sino efectos genuinos. Las mediciones de estos efectos no son un artefacto del desplazamiento Doppler , ni son el resultado de no tener en cuenta el tiempo que tarda la luz en viajar desde un evento hasta un observador.

Los científicos hacen una distinción fundamental entre medición u observación , por un lado, y apariencia visual , o lo que uno ve . La forma medida de un objeto es una instantánea hipotética de todos los puntos del objeto tal como existen en un único momento en el tiempo. Pero la apariencia visual de un objeto se ve afectada por los diferentes tiempos que tarda la luz en viajar desde diferentes puntos del objeto hasta el ojo.

Figura 5–5. Comparación de la contracción de la longitud medida de un globo con su apariencia visual, visto desde una distancia de tres diámetros del globo desde el ojo hasta la cruz roja.

Durante muchos años, la distinción entre los dos no había sido apreciada en general, y en general se pensaba que un objeto de longitud contraída que pasara por un observador en realidad sería visto como de longitud contraída. En 1959, James Terrell y Roger Penrose señalaron de forma independiente que los efectos diferenciales de retardo de tiempo en las señales que llegan al observador desde las diferentes partes de un objeto en movimiento dan como resultado que la apariencia visual de un objeto en movimiento rápido sea bastante diferente de su forma medida. Por ejemplo, un objeto que se aleja parecería contraído , un objeto que se acerca parecería alargado y un objeto que pasa tendría una apariencia oblicua que se ha comparado con una rotación. ^{[p 19] [p 20] [61] [62]} Una esfera en movimiento conserva el contorno circular para todas las velocidades, para cualquier distancia y para todos los ángulos de visión, aunque la superficie de la esfera y las imágenes en ella aparecerán distorsionadas. . ^{[63] [64]}

Figura 5-6. La galaxia M87 emite un chorro de electrones y otras partículas subatómicas impulsado por un agujero negro que viaja casi a la velocidad de la luz.

Tanto la Fig. 5-4 como la Fig. 5-5 ilustran objetos que se mueven transversalmente a la línea de visión. En la figura 5-4, se ve un cubo desde una distancia de cuatro veces la longitud de sus lados. A altas velocidades, los lados del cubo que son perpendiculares a la dirección del movimiento tienen forma hiperbólica. En realidad, el cubo no gira. Más bien, la luz de la parte posterior del cubo tarda más en llegar a los ojos en comparación con la luz del frente, tiempo durante el cual el cubo se ha movido hacia la derecha. A altas velocidades, la esfera de la figura 5-5 adquiere la apariencia de un disco aplanado inclinado hasta 45° desde la línea de visión. Si los movimientos de los objetos no son estrictamente transversales sino que incluyen un componente longitudinal, se pueden observar distorsiones exageradas en la perspectiva. ^[65] Esta ilusión se conoce como rotación de Terrell o efecto Terrell-Penrose . ^{[nota 9]}

Otro ejemplo en el que la apariencia visual está reñida con la medición proviene de la observación del movimiento superluminal aparente en varias radiogalaxias , objetos BL Lac , cuásares y otros objetos astronómicos que expulsan chorros de materia de velocidad relativista en ángulos estrechos con respecto al espectador. Se produce una aparente ilusión óptica que da la apariencia de un viaje más rápido que la luz. ^{[66] [67] [68]} En la Fig. 5-6, la galaxia M87 lanza un chorro de partículas subatómicas a alta velocidad casi directamente hacia nosotros, pero la rotación de Penrose-Terrell hace que el chorro parezca moverse lateralmente en la misma dirección. manera que la apariencia del cubo en la figura 5-4 se ha alargado. ^[69]

Dinámica

La sección Consecuencias derivadas de la transformación de Lorentz trataba estrictamente de la cinemática , el estudio del movimiento de puntos, cuerpos y sistemas de cuerpos sin considerar las fuerzas que provocaban el movimiento. Esta sección analiza masas, fuerzas, energía, etc., y como tal requiere la consideración de efectos físicos más allá de los abarcados por la propia transformación de Lorentz.

Equivalencia de masa y energía.

A medida que la velocidad de un objeto se acerca a la velocidad de la luz desde el punto de vista de un observador, su masa relativista aumenta, lo que hace cada vez más difícil acelerarlo desde dentro del marco de referencia del observador.

El contenido de energía de un objeto en reposo con masa m es igual a mc ² . La conservación de energía implica que, en cualquier reacción, una disminución de la suma de las masas de las partículas debe ir acompañada de un aumento de las energías cinéticas de las partículas después de la reacción. De manera similar, la masa de un objeto se puede aumentar absorbiendo energías cinéticas.

Además de los artículos mencionados anteriormente, que dan derivaciones de la transformación de Lorentz y describen los fundamentos de la relatividad especial, Einstein también escribió al menos cuatro artículos dando argumentos heurísticos para la equivalencia (y transmutabilidad) de masa y energía, para E = mc ² .

La equivalencia masa-energía es una consecuencia de la relatividad especial. La energía y el momento, que en la mecánica newtoniana están separados, forman un vector de cuatro en la relatividad, y esto relaciona la componente temporal (la energía) con la componente espacial (el momento) de una manera no trivial. Para un objeto en reposo, el cuatro vector energía-momento es ( E / c , 0, 0, 0) : tiene una componente de tiempo que es la energía y tres componentes espaciales que son cero. Al cambiar de marco con una transformación de Lorentz en la dirección x con un valor pequeño de la velocidad v, el cuatro-vector del momento de energía se convierte en ( E / c , Ev / c ² , 0, 0) . El impulso es igual a la energía multiplicada por la velocidad dividida por c ² . Como tal, la masa newtoniana de un objeto, que es la relación entre el impulso y la velocidad para velocidades lentas, es igual a E / c ² .

La energía y el momento son propiedades de la materia y la radiación, y es imposible deducir que formen un cuádruple vector sólo a partir de los dos postulados básicos de la relatividad especial por sí solos, porque estos no hablan de materia ni de radiación, sólo hablan de espacio y tiempo. Por lo tanto, la derivación requiere algún razonamiento físico adicional. En su artículo de 1905, Einstein utilizó los principios adicionales que la mecánica newtoniana debería mantener para velocidades lentas, de modo que haya un escalar de energía y un momento de tres vectores a velocidades lentas, y que la ley de conservación de la energía y el momento es exactamente cierta en la relatividad. . Además, supuso que la energía de la luz se transforma mediante el mismo factor de desplazamiento Doppler que su frecuencia, algo que ya había demostrado anteriormente basándose en las ecuaciones de Maxwell. ^{[p 1]} El primero de los artículos de Einstein sobre este tema fue "¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido energético?" en 1905. ^{[p 21]} Aunque el argumento de Einstein en este artículo es aceptado casi universalmente por los físicos como correcto, incluso evidente, muchos autores a lo largo de los años han sugerido que está equivocado. ^[70] Otros autores sugieren que el argumento simplemente no fue concluyente porque se basó en algunos supuestos implícitos. ^[71]

Einstein reconoció la controversia sobre su derivación en su artículo de 1907 sobre la relatividad especial. Allí señala que es problemático confiar en las ecuaciones de Maxwell para el argumento heurístico masa-energía. El argumento de su artículo de 1905 se puede llevar a cabo con la emisión de cualquier partícula sin masa, pero las ecuaciones de Maxwell se utilizan implícitamente para hacer obvio que la emisión de luz en particular sólo puede lograrse realizando trabajo. Para emitir ondas electromagnéticas lo único que hay que hacer es agitar una partícula cargada, y esta claramente está haciendo trabajo, por lo que la emisión es de energía. ^{[pág. 22] [nota 10]}

Demostración de Einstein en 1905 de E = mc 2

En el cuarto de sus artículos Annus mirabilis de 1905 , ^{[p 21]} Einstein presentó un argumento heurístico para la equivalencia de masa y energía. Aunque, como se discutió anteriormente, estudios posteriores han establecido que sus argumentos no alcanzaron una prueba ampliamente definitiva, las conclusiones a las que llegó en este artículo han resistido la prueba del tiempo.

Einstein tomó como supuestos iniciales su fórmula recientemente descubierta para el desplazamiento Doppler relativista , las leyes de conservación de la energía y la conservación del momento , y la relación entre la frecuencia de la luz y su energía, como lo implican las ecuaciones de Maxwell .

Figura 6-1 (arriba). Considere un sistema de ondas planas de luz cuya frecuencia viaja en dirección relativa al eje x del sistema de referencia S. La frecuencia (y por lo tanto la energía) de las ondas medidas en el cuadro S ′ que se mueve a lo largo del eje x a velocidad viene dada por la fórmula relativista de desplazamiento Doppler que Einstein había desarrollado en su artículo de 1905 sobre la relatividad especial: ^{[p 1]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}={\frac {1-(v/c)\cos {\phi }}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

Figura 6-1 (abajo). Considere un cuerpo arbitrario que está estacionario en el sistema de referencia S. Supongamos que este cuerpo emita un par de pulsos de luz de igual energía en direcciones opuestas formando un ángulo con respecto al eje x. Cada pulso tiene energía . Debido a la conservación del impulso, el cuerpo permanece estacionario en S después de la emisión de los dos pulsos. Sea la energía del cuerpo antes de la emisión de los dos pulsos y después de su emisión. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle L/2}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle E_{1}}$

A continuación, considere el mismo sistema observado desde el cuadro S ′ que se mueve a lo largo del eje x a una velocidad relativa al cuadro S. En este cuadro, la luz de los pulsos directos e inversos tendrá un desplazamiento Doppler relativista. Sea la energía del cuerpo medida en el sistema de referencia S ′ antes de la emisión de los dos pulsos y después de su emisión. Obtenemos las siguientes relaciones: ^{[p 21]} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle H_{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}&=E_{1}+{\tfrac {1}{2}}L+{\tfrac {1}{2}}L=E_{1}+L\\[5mu]H_{0}&=H_{1}+{\tfrac {1}{2}}L{\frac {1-(v/c)\cos {\phi }}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+{\tfrac {1}{2}}L{\frac {1+(v/c)\cos {\phi }}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=H_{1}+{\frac {L}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\end{aligned}}}$

De las ecuaciones anteriores obtenemos lo siguiente:

Las dos diferencias de forma que se ven en la ecuación anterior tienen una interpretación física sencilla. Dado que y son las energías de un cuerpo arbitrario en los marcos móvil y estacionario, y representa las energías cinéticas de los cuerpos antes y después de la emisión de luz (excepto por una constante aditiva que fija el punto cero de la energía y que convencionalmente se establece en cero ). Por eso, ${\displaystyle H-E}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H_{0}-E_{0}}$ ${\displaystyle H_{1}-E_{1}}$

Tomando una expansión en serie de Taylor y despreciando términos de orden superior, obtuvo

Comparando la expresión anterior con la expresión clásica de energía cinética, KE  = 1/2mv ² , Einstein observó entonces: "Si un cuerpo emite la energía L en forma de radiación, su masa disminuye en L/c ² ".

Rindler ha observado que el argumento heurístico de Einstein sugería simplemente que la energía contribuye a la masa. En 1905, la cautelosa expresión de Einstein de la relación masa-energía permitió la posibilidad de que pudiera existir masa "dormida" que permaneciera después de que se eliminara toda la energía de un cuerpo. Sin embargo, en 1907, Einstein estaba dispuesto a afirmar que toda masa inercial representaba una reserva de energía. "Para equiparar toda masa con energía se requería un acto de fe estética, muy característico de Einstein". ^{[12] : 81–84} La audaz hipótesis de Einstein ha sido ampliamente confirmada en los años posteriores a su propuesta original.

Por diversas razones, la derivación original de Einstein rara vez se enseña en la actualidad. Además del vigoroso debate que continúa hasta el día de hoy sobre la corrección formal de su derivación original, el reconocimiento de la relatividad especial como lo que Einstein llamó una "teoría de principios" ha llevado a un alejamiento de la dependencia de los fenómenos electromagnéticos hacia métodos puramente dinámicos de prueba. ^[72]

Colisiones elásticas

El examen de los productos de colisión generados por los aceleradores de partículas en todo el mundo proporciona a los científicos pruebas de la estructura del mundo subatómico y las leyes naturales que lo gobiernan. El análisis de los productos de colisión, cuya suma de masas puede exceder ampliamente las masas de las partículas incidentes, requiere una relatividad especial. ^[73]

En la mecánica newtoniana, el análisis de colisiones implica el uso de las leyes de conservación de la masa , el momento y la energía . En la mecánica relativista, la masa no se conserva independientemente porque ha sido subsumida en la energía relativista total. Ilustramos las diferencias que surgen entre los tratamientos newtoniano y relativista de las colisiones de partículas examinando el caso simple de dos partículas perfectamente elásticas de igual masa en colisión. ( Las colisiones inelásticas se analizan en Leyes de conservación del espacio-tiempo . La desintegración radiactiva puede considerarse una especie de colisión inelástica invertida en el tiempo. ^[73] )

La dispersión elástica de partículas elementales cargadas se desvía de la idealidad debido a la producción de radiación Bremsstrahlung . ^{[74] [75]}

análisis newtoniano

Figura 6-2. Análisis newtoniano de la colisión elástica de una partícula en movimiento con una partícula estacionaria de igual masa

La figura 6-2 proporciona una demostración del resultado, familiar para los jugadores de billar, de que si una bola estacionaria es golpeada elásticamente por otra de la misma masa (suponiendo que no haya efecto lateral o "inglés"), luego de la colisión, las trayectorias divergentes de las dos bolas subtenderá un ángulo recto. (a) En el marco estacionario, una esfera incidente que viaja a 2 v choca contra una esfera estacionaria. (b) En el centro del marco de momento, las dos esferas se acercan simétricamente en ± v . Después de la colisión elástica, las dos esferas rebotan entre sí con velocidades iguales y opuestas ± u . La conservación de energía requiere que |u| = |v|. (c) Volviendo al marco estacionario, las velocidades de rebote son v ± u. El producto escalar ( v + u ) • ( v − u ) = v ² − u ² = 0, indica que los vectores son ortogonales. ^{[12] : 26-27}

Análisis relativista

Figura 6-3. Colisión elástica relativista entre una partícula en movimiento que incide sobre una partícula estacionaria de igual masa

Considere el escenario de colisión elástica de la figura 6-3 entre una partícula en movimiento que choca con una partícula estacionaria de igual masa. A diferencia del caso newtoniano, el ángulo entre las dos partículas después de la colisión es inferior a 90°, depende del ángulo de dispersión y se vuelve cada vez más pequeño a medida que la velocidad de la partícula incidente se acerca a la velocidad de la luz:

El momento relativista y la energía relativista total de una partícula están dados por

La conservación del momento dicta que la suma de los momentos de la partícula entrante y la partícula estacionaria (que inicialmente tiene momento = 0) es igual a la suma de los momentos de las partículas emergentes:

Asimismo, la suma de las energías relativistas totales de la partícula entrante y la partícula estacionaria (que inicialmente tiene energía total mc ² ) es igual a la suma de las energías totales de las partículas emergentes:

Descomponer ( 6-5 ) en sus componentes, reemplazarlos con los adimensionales y factorizar los términos comunes de ( 6-5 ) y ( 6-6 ) produce lo siguiente: ^{[p 23]} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \beta }$

De estos obtenemos las siguientes relaciones: ^{[p 23]}

Para el caso simétrico en el que y ( 6-12 ) adopta la forma más simple: ^{[p 23]} ${\displaystyle \phi =\theta }$ ${\displaystyle \beta _{2}=\beta _{3},}$

¿A qué distancia puedes viajar de la Tierra?

Dado que nada puede viajar más rápido que la luz, se podría concluir que un ser humano nunca puede viajar más lejos de la Tierra que ~100 años luz. Se podría pensar fácilmente que un viajero nunca podría llegar a más que los pocos sistemas solares que existen dentro del límite de 100 años luz de la Tierra. Sin embargo, debido a la dilatación del tiempo, una hipotética nave espacial puede viajar miles de años luz durante la vida de un pasajero. Si se pudiera construir una nave espacial que acelerara a una velocidad constante de 1 g , después de un año viajaría casi a la velocidad de la luz vista desde la Tierra. Esto se describe por:

$${\displaystyle v(t)={\frac {at}{\sqrt {1+a^{2}t^{2}/c^{2}}}}}$$

donde v ( t ) es la velocidad en un momento t , a es la aceleración de la nave espacial y t es el tiempo coordinado medido por personas en la Tierra. ^{[p 24]} Por lo tanto, después de un año de acelerar a 9,81 m/s ² , la nave espacial viajará a v = 0,712 c y 0,946 c después de tres años, en relación con la Tierra. Después de tres años de esta aceleración, con la nave espacial alcanzando una velocidad del 94,6% de la velocidad de la luz en relación con la Tierra, la dilatación del tiempo dará como resultado que cada segundo experimentado en la nave espacial corresponda a 3,1 segundos de regreso a la Tierra. Durante su viaje, los habitantes de la Tierra experimentarán más tiempo que ellos, ya que sus relojes (todos fenómenos físicos) funcionarían realmente 3,1 veces más rápido que los de la nave espacial. Un viaje de ida y vuelta de cinco años le llevará 6,5 años terrestres y cubrirá una distancia de más de 6 años luz. Un viaje de ida y vuelta de 20 años para ellos (5 años acelerando, 5 desacelerando, dos veces cada uno) los llevará de regreso a la Tierra después de haber viajado durante 335 años terrestres y una distancia de 331 años luz. ^[76] Un viaje completo de 40 años a 1 g parecerá que en la Tierra durará 58.000 años y cubrirá una distancia de 55.000 años luz. Un viaje de 40 años a 1,1 g tardará 148.000 años terrestres y cubrirá unos 140.000 años luz. Un viaje de ida de 28 años (14 años acelerando, 14 desacelerando según lo medido con el reloj del astronauta) con una aceleración de 1 g podría alcanzar 2.000.000 de años luz hasta la galaxia de Andrómeda. ^[76] Esta misma dilatación del tiempo es la razón por la que se observa que un muón que viaja cerca de c viaja mucho más lejos que c veces su vida media (cuando está en reposo). ^[77]

Relatividad y electromagnetismo unificador.

La investigación teórica del electromagnetismo clásico condujo al descubrimiento de la propagación de ondas. Las ecuaciones que generalizan los efectos electromagnéticos encontraron que la velocidad de propagación finita de los campos E y B requería ciertos comportamientos en las partículas cargadas. El estudio general de las cargas en movimiento forma el potencial de Liénard-Wiechert , que es un paso hacia la relatividad especial.

La transformación de Lorentz del campo eléctrico de una carga en movimiento en el marco de referencia de un observador inmóvil da como resultado la aparición de un término matemático comúnmente llamado campo magnético . Por el contrario, el campo magnético generado por una carga en movimiento desaparece y se convierte en un campo puramente electrostático en un marco de referencia en movimiento. Por tanto , las ecuaciones de Maxwell son simplemente un ajuste empírico a los efectos relativistas especiales en un modelo clásico del Universo. Como los campos eléctricos y magnéticos dependen del marco de referencia y, por lo tanto, están entrelazados, se habla de campos electromagnéticos . La relatividad especial proporciona las reglas de transformación de cómo un campo electromagnético en un sistema inercial aparece en otro sistema inercial.

Las ecuaciones de Maxwell en forma tridimensional ya son consistentes con el contenido físico de la relatividad especial, aunque son más fáciles de manipular en una forma manifiestamente covariante , es decir, en el lenguaje del cálculo tensorial . ^[78]

Teorías de la relatividad y la mecánica cuántica.

La relatividad especial se puede combinar con la mecánica cuántica para formar la mecánica cuántica relativista y la electrodinámica cuántica . Cómo unificar la relatividad general y la mecánica cuántica es uno de los problemas no resueltos de la física ; La gravedad cuántica y una " teoría del todo ", que requieren una unificación que incluya también la relatividad general, son áreas activas y en curso en la investigación teórica.

El primer modelo atómico de Bohr-Sommerfeld explicaba la estructura fina de los átomos de metales alcalinos utilizando tanto la relatividad especial como los conocimientos preliminares sobre la mecánica cuántica de la época. ^[79]

En 1928, Paul Dirac construyó una influyente ecuación de onda relativista , ahora conocida como ecuación de Dirac en su honor, ^{[p. 25]} que es totalmente compatible tanto con la relatividad especial como con la versión final de la teoría cuántica existente después de 1926. Esta ecuación no sólo describió el momento angular intrínseco de los electrones llamado espín , también condujo a la predicción de la antipartícula del electrón (el positrón ), ^{[p 25] [p 26]} y la estructura fina sólo pudo explicarse completamente con la relatividad especial. Fue el primer fundamento de la mecánica cuántica relativista .

Por otro lado, la existencia de antipartículas lleva a la conclusión de que la mecánica cuántica relativista no es suficiente para una teoría más precisa y completa de las interacciones entre partículas. En cambio, se hace necesaria una teoría de partículas interpretadas como campos cuantificados, llamada teoría cuántica de campos ; en el que se pueden crear y destruir partículas a lo largo del espacio y el tiempo.

Estado

La relatividad especial en su espacio-tiempo de Minkowski es exacta sólo cuando el valor absoluto del potencial gravitacional es mucho menor que c ² en la región de interés. ^[80] En un campo gravitacional fuerte, se debe utilizar la relatividad general . La relatividad general se convierte en relatividad especial en el límite de un campo débil. En escalas muy pequeñas, como la longitud de Planck e inferiores, se deben tener en cuenta los efectos cuánticos que dan como resultado la gravedad cuántica . Pero a escalas macroscópicas y en ausencia de campos gravitacionales fuertes, la relatividad especial se prueba experimentalmente con un grado de precisión extremadamente alto (10 ⁻²⁰ ) ^[81] y, por lo tanto, es aceptada por la comunidad física. Los resultados experimentales que parecen contradecirlo no son reproducibles y, por lo tanto, se cree ampliamente que se deben a errores experimentales.

La relatividad especial es matemáticamente autoconsistente y es una parte orgánica de todas las teorías físicas modernas, más notablemente la teoría cuántica de campos , la teoría de cuerdas y la relatividad general (en el caso límite de campos gravitacionales insignificantes).

La mecánica newtoniana se deriva matemáticamente de la relatividad especial a velocidades pequeñas (en comparación con la velocidad de la luz); por lo tanto, la mecánica newtoniana puede considerarse como una relatividad especial de cuerpos que se mueven lentamente. Consulte la mecánica clásica para una discusión más detallada.

Varios experimentos anteriores al artículo de Einstein de 1905 se interpretan ahora como evidencia de la relatividad. De estos, se sabe que Einstein estaba al tanto del experimento de Fizeau antes de 1905, ^[82] y los historiadores han concluido que Einstein al menos estaba al tanto del experimento de Michelson-Morley ya en 1899, a pesar de las afirmaciones que hizo en sus últimos años de que no desempeñaba ningún papel. papel en el desarrollo de la teoría. ^[14]

• El experimento de Fizeau (1851, repetido por Michelson y Morley en 1886) midió la velocidad de la luz en medios en movimiento, con resultados que son consistentes con la suma relativista de velocidades colineales.
• El famoso experimento de Michelson-Morley (1881, 1887) apoyó aún más el postulado de que no era posible detectar una velocidad de referencia absoluta. Cabe señalar aquí que, contrariamente a muchas afirmaciones alternativas, decía poco sobre la invariancia de la velocidad de la luz con respecto a la fuente y la velocidad del observador, ya que tanto la fuente como el observador viajaban juntos a la misma velocidad en todo momento.
• El experimento de Trouton-Noble (1903) demostró que el par sobre un condensador es independiente de la posición y del sistema de referencia inercial.
• Los experimentos de Rayleigh y Brace (1902, 1904) demostraron que la contracción de longitud no conduce a birrefringencia para un observador en movimiento conjunto, de acuerdo con el principio de relatividad.

Los aceleradores de partículas rutinariamente aceleran y miden las propiedades de las partículas que se mueven a una velocidad cercana a la de la luz, donde su comportamiento es completamente consistente con la teoría de la relatividad e inconsistente con la mecánica newtoniana anterior . Estas máquinas simplemente no funcionarían si no estuvieran diseñadas según principios relativistas. Además, se han realizado un número considerable de experimentos modernos para comprobar la relatividad especial. Algunos ejemplos:

• Pruebas de energía y momento relativistas : prueba de la velocidad límite de las partículas
• Experimento de Ives-Stilwell : prueba del efecto Doppler relativista y la dilatación del tiempo
• Prueba experimental de dilatación del tiempo : efectos relativistas en la vida media de una partícula que se mueve rápidamente
• Experimento Kennedy-Thorndike : dilatación del tiempo según transformaciones de Lorentz
• Experimento de Hughes-Drever : prueba de isotropía del espacio y la masa
• Búsquedas modernas de violación de Lorentz : varias pruebas modernas
• Los experimentos para probar la teoría de la emisión demostraron que la velocidad de la luz es independiente de la velocidad del emisor.
• Experimentos para probar la hipótesis del arrastre del éter : no hay "obstrucción del flujo del éter".

Discusión técnica del espacio-tiempo.

Geometría del espacio-tiempo

Comparación entre el espacio euclidiano plano y el espacio de Minkowski

Figura 10-1. Ortogonalidad y rotación de sistemas de coordenadas comparadas entre izquierda: espacio euclidiano a través del ángulo circular φ , derecha: en el espacio-tiempo de Minkowski a través del ángulo hiperbólico φ (las líneas rojas etiquetadas con c denotan las líneas mundiales de una señal luminosa, un vector es ortogonal a sí mismo si se encuentra en este línea). ^[83]

La relatividad especial utiliza un espacio de Minkowski "plano" de 4 dimensiones, un ejemplo de espacio-tiempo . El espacio-tiempo de Minkowski parece ser muy similar al espacio euclidiano tridimensional estándar , pero existe una diferencia crucial con respecto al tiempo.

En el espacio 3D, el diferencial de distancia (elemento lineal) ds está definido por

$${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2},}$$

donde d x = ( dx ₁ , dx ₂ , dx ₃ ) son los diferenciales de las tres dimensiones espaciales. En la geometría de Minkowski, hay una dimensión extra con coordenada X ⁰ derivada del tiempo, de modo que el diferencial de distancia cumple

$${\displaystyle ds^{2}=-dX_{0}^{2}+dX_{1}^{2}+dX_{2}^{2}+dX_{3}^{2},}$$

donde d X = ( dX ₀ , dX ₁ , dX ₂ , dX ₃ ) son los diferenciales de las cuatro dimensiones del espacio-tiempo. Esto sugiere una idea teórica profunda: la relatividad especial es simplemente una simetría rotacional de nuestro espacio-tiempo, análoga a la simetría rotacional del espacio euclidiano (ver figura 10-1). ^[84] Así como el espacio euclidiano utiliza una métrica euclidiana , el espacio-tiempo utiliza una métrica de Minkowski .Básicamente, la relatividad especial se puede expresar como la invariancia de cualquier intervalo de espacio-tiempo (es decir, la distancia 4D entre dos eventos cualesquiera) cuando se ve desde cualquier sistema de referencia inercial . Todas las ecuaciones y efectos de la relatividad especial pueden derivarse de esta simetría rotacional (el grupo de Poincaré ) del espaciotiempo de Minkowski.

La forma real de ds anterior depende de la métrica y de las elecciones para la coordenada X ⁰ . Para que la coordenada de tiempo se parezca a las coordenadas del espacio, se puede tratar como imaginaria : X ₀ = ict (esto se llama rotación de Wick ). Según Misner, Thorne y Wheeler (1971, §2.3), en última instancia, la comprensión más profunda de la relatividad especial y general vendrá del estudio de la métrica de Minkowski (descrita a continuación) y de tomar X ⁰ = ct , en lugar de una "disfrazada". "Métrica euclidiana utilizando las tic como coordenada temporal.

Algunos autores utilizan X ⁰ = t , con factores de c en otros lugares para compensar; por ejemplo, las coordenadas espaciales se dividen por c o se incluyen factores de c ^{±2 en el tensor métrico. [85]} Estas numerosas convenciones pueden ser reemplazadas mediante el uso de unidades naturales donde c = 1 . Entonces el espacio y el tiempo tienen unidades equivalentes y no aparecen factores de c en ninguna parte.

espacio-tiempo 3D

Figura 10–2. Doble cono tridimensional.

Si reducimos las dimensiones espaciales a 2, para que podamos representar la física en un espacio 3D

$${\displaystyle ds^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-c^{2}dt^{2},}$$

vemos que las geodésicas nulas se encuentran a lo largo de un cono dual (ver Fig. 10-2) definido por la ecuación;

$${\displaystyle ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-c^{2}dt^{2}}$$

o simplemente

$${\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}=c^{2}dt^{2},}$$

 que es la ecuación de un círculo de radio  c dt .

espacio-tiempo 4D

Si ampliamos esto a tres dimensiones espaciales, las geodésicas nulas son el cono de 4 dimensiones:

$${\displaystyle ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}-c^{2}dt^{2}}$$

entonces

$${\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}=c^{2}dt^{2}.}$$

Figura 10–3. Esferas concéntricas, que ilustran en 3 espacios las geodésicas nulas de un cono de 4 dimensiones en el espacio-tiempo.

Como se ilustra en la figura 10-3, las geodésicas nulas se pueden visualizar como un conjunto de esferas concéntricas continuas con radios =  c dt .

Este cono dual nulo representa la "línea de visión" de un punto en el espacio. Es decir, cuando miramos las estrellas y decimos "La luz de esa estrella que estoy recibiendo tiene X años", estamos mirando hacia abajo en esta línea de visión: una geodésica nula. Estamos ante un evento lejano y en un tiempo d/c en el pasado. Por este motivo, el cono dual nulo también se conoce como "cono de luz". (El punto en la parte inferior izquierda de la Fig. 10-2 representa la estrella, el origen representa al observador y la línea representa la "línea de visión" geodésica nula). ${\textstyle d={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}}$

El cono en la región − t es la información que el punto está "recibiendo", mientras que el cono en la sección + t es la información que el punto está "enviando".

La geometría del espacio de Minkowski se puede representar utilizando diagramas de Minkowski , que también son útiles para comprender muchos de los experimentos mentales de la relatividad especial.

Física en el espacio-tiempo

Transformaciones de cantidades físicas entre sistemas de referencia.

Arriba, la transformación de Lorentz para la coordenada temporal y tres coordenadas espaciales ilustra que están entrelazadas. Esto es cierto en términos más generales: ciertos pares de cantidades "temporales" y "espaciales" se combinan naturalmente en pie de igualdad bajo la misma transformación de Lorentz.

La transformación de Lorentz en la configuración estándar anterior, es decir, para un impulso en la dirección x , se puede reformular en forma matricial de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ct-\gamma \beta x\\\gamma x-\beta \gamma ct\\y\\z\end{pmatrix}}.}$$

En la mecánica newtoniana, las cantidades que tienen magnitud y dirección se describen matemáticamente como vectores tridimensionales en el espacio euclidiano y, en general, están parametrizadas por el tiempo. En la relatividad especial, esta noción se amplía sumando la cantidad temporal apropiada a una cantidad vectorial espacial, y tenemos vectores 4d, o " cuatro vectores ", en el espacio-tiempo de Minkowski. Las componentes de los vectores se escriben utilizando notación de índice tensorial , ya que esto tiene numerosas ventajas. La notación deja claro que las ecuaciones son manifiestamente covariantes bajo el grupo de Poincaré , evitando así los tediosos cálculos para comprobar este hecho. Al construir tales ecuaciones, a menudo encontramos que ecuaciones que antes se pensaba que no estaban relacionadas, en realidad están estrechamente relacionadas y forman parte de la misma ecuación tensorial. Reconocer otras cantidades físicas como tensores simplifica sus leyes de transformación. En todo momento, los índices superiores (superíndices) son índices contravariantes en lugar de exponentes, excepto cuando indican un cuadrado (esto debe quedar claro por el contexto), y los índices inferiores (subíndices) son índices covariantes. Por simplicidad y coherencia con las ecuaciones anteriores, se utilizarán coordenadas cartesianas.

El ejemplo más simple de un cuatro vectores es la posición de un evento en el espacio-tiempo, que constituye un componente temporal ct y un componente espacial x = ( x , y , z ) , en un cuatro-vector de posición contravariante con componentes:

$${\displaystyle X^{\nu }=(X^{0},X^{1},X^{2},X^{3})=(ct,x,y,z)=(ct,\mathbf {x} ).}$$

X ⁰ = ct^{[86] [87] [88]}

$${\displaystyle X^{\mu '}=\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }X^{\nu }}$$

donde hay una suma implícita de 0 a 3, y es una matriz . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }}$

De manera más general, todos los componentes contravariantes de una transformación de cuatro vectores de un cuadro a otro mediante una transformación de Lorentz : ${\displaystyle T^{\nu }}$

$${\displaystyle T^{\mu '}=\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }T^{\nu }}$$

Ejemplos de otros 4 vectores incluyen las cuatro velocidades definidas como la derivada del 4 vector de posición con respecto al tiempo propio : ${\displaystyle U^{\mu },}$

$${\displaystyle U^{\mu }={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}=\gamma (v)(c,v_{x},v_{y},v_{z})=\gamma (v)(c,\mathbf {v} ).}$$

$${\displaystyle \gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\qquad v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}.}$$

La energía relativista y el impulso relativista de un objeto son, respectivamente, los componentes temporales y espaciales de un vector contravariante de cuatro momentos : ${\displaystyle E=\gamma (v)mc^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (v)m\mathbf {v} }$

$${\displaystyle P^{\mu }=mU^{\mu }=m\gamma (v)(c,v_{x},v_{y},v_{z})=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right)=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right).}$$

mmasa invariante

La cuarta aceleración es la derivada temporal propia de la cuarta velocidad:

$${\displaystyle A^{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}.}$$

Las reglas de transformación para velocidades y aceleraciones tridimensionales son muy complicadas; Incluso arriba, en la configuración estándar, las ecuaciones de velocidad son bastante complicadas debido a su no linealidad. Por otro lado, la transformación de cuatro velocidades y cuatro aceleraciones es más sencilla mediante la matriz de transformación de Lorentz.

El cuatro gradiente de un campo escalar φ se transforma de forma covariante en lugar de contravariante:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\dfrac {1}{c}}{\dfrac {\partial \phi }{\partial t'}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial x'}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial y'}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial z'}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\dfrac {1}{c}}{\dfrac {\partial \phi }{\partial t}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial x}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial y}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma &+\beta \gamma &0&0\\+\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

que es la transpuesta de:

$${\displaystyle (\partial _{\mu '}\phi )=\Lambda _{\mu '}{}^{\nu }(\partial _{\nu }\phi )\qquad \partial _{\mu }\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}.}$$

sólo en coordenadas cartesianas. Es la derivada covariante la que se transforma en covarianza manifiesta, en coordenadas cartesianas esto se reduce a las derivadas parciales, pero no en otras coordenadas.

De manera más general, los componentes covariantes de una transformada de 4 vectores según la transformación inversa de Lorentz:

$${\displaystyle T_{\mu '}=\Lambda _{\mu '}{}^{\nu }T_{\nu },}$$

${\displaystyle \Lambda _{\mu '}{}^{\nu }}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }}$

Los postulados de la relatividad especial limitan la forma exacta que toman las matrices de transformación de Lorentz.

De manera más general, la mayoría de las cantidades físicas se describen mejor como (componentes de) tensores . Entonces, para transformar de un marco a otro, utilizamos la conocida ley de transformación tensorial ^[89]

$${\displaystyle T_{\theta '\iota '\cdots \kappa '}^{\alpha '\beta '\cdots \zeta '}=\Lambda ^{\alpha '}{}_{\mu }\Lambda ^{\beta '}{}_{\nu }\cdots \Lambda ^{\zeta '}{}_{\rho }\Lambda _{\theta '}{}^{\sigma }\Lambda _{\iota '}{}^{\upsilon }\cdots \Lambda _{\kappa '}{}^{\phi }T_{\sigma \upsilon \cdots \phi }^{\mu \nu \cdots \rho }}$$

${\displaystyle \Lambda _{\chi '}{}^{\psi }}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\chi '}{}_{\psi }}$

Un ejemplo de tensor antisimétrico de segundo orden de cuatro dimensiones es el momento angular relativista , que tiene seis componentes: tres son el momento angular clásico , y los otros tres están relacionados con el impulso del centro de masa del sistema. La derivada del momento angular relativista con respecto al tiempo propio es el par relativista, también tensor antisimétrico de segundo orden .

El tensor de campo electromagnético es otro tensor de campo antisimétrico de segundo orden , con seis componentes: tres para el campo eléctrico y otros tres para el campo magnético . También existe el tensor de tensión-energía para el campo electromagnético, es decir, el tensor de tensión-energía electromagnética .

Métrico

El tensor métrico permite definir el producto interno de dos vectores, lo que a su vez permite asignar una magnitud al vector. Dada la naturaleza cuatridimensional del espacio-tiempo, la métrica de Minkowski η tiene componentes (válidos con coordenadas elegidas adecuadamente) que pueden organizarse en una matriz de 4 × 4 :

$${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$

métricos de Minkowski ${\displaystyle \eta ^{\alpha \beta }}$

El grupo de Poincaré es el grupo de transformaciones más general que conserva la métrica de Minkowski:

$${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }=\eta _{\mu '\nu '}\Lambda ^{\mu '}{}_{\alpha }\Lambda ^{\nu '}{}_{\beta }}$$

y ésta es la simetría física que subyace a la relatividad especial.

La métrica se puede utilizar para subir y bajar índices en vectores y tensores. Las invariantes se pueden construir usando la métrica, el producto interno de un T de 4 vectores con otro S de 4 vectores es:

$${\displaystyle T^{\alpha }S_{\alpha }=T^{\alpha }\eta _{\alpha \beta }S^{\beta }=T_{\alpha }\eta ^{\alpha \beta }S_{\beta }={\text{invariant scalar}}}$$

Invariante significa que toma el mismo valor en todos los marcos inerciales, porque es un escalar (tensor de rango 0), por lo que no aparece Λ en su transformación trivial. La magnitud del 4-vector T es la raíz cuadrada positiva del producto interno consigo mismo:

$${\displaystyle |\mathbf {T} |={\sqrt {T^{\alpha }T_{\alpha }}}}$$

Se puede extender esta idea a tensores de orden superior; para un tensor de segundo orden podemos formar las invariantes:

$${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\alpha },T^{\alpha }{}_{\beta }T^{\beta }{}_{\alpha },T^{\alpha }{}_{\beta }T^{\beta }{}_{\gamma }T^{\gamma }{}_{\alpha }={\text{invariant scalars}},}$$

Cinemática relativista e invariancia.

Los diferenciales de coordenadas se transforman también de forma contravariante:

$${\displaystyle dX^{\mu '}=\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }dX^{\nu }}$$

dX ^μ

$${\displaystyle d\mathbf {X} ^{2}=dX^{\mu }\,dX_{\mu }=\eta _{\mu \nu }\,dX^{\mu }\,dX^{\nu }=-(c\,dt)^{2}+(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}$$

elemento lineal d X ²√ − d X ²tiempo propiod X ²√ d X ²distancia adecuada

La U ^μ de 4 velocidades tiene una forma invariante:

$${\displaystyle \mathbf {U} ^{2}=\eta _{\nu \mu }U^{\nu }U^{\mu }=-c^{2}\,,}$$

cτ

$${\displaystyle 2\eta _{\mu \nu }A^{\mu }U^{\nu }=0.}$$

Dinámica relativista e invariancia.

La magnitud invariante del 4-vector de impulso genera la relación energía-momento :

$${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}=\eta ^{\mu \nu }P_{\mu }P_{\nu }=-\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}+p^{2}.}$$

Podemos determinar cuál es esta invariante argumentando primero que, dado que es un escalar, no importa en qué marco de referencia lo calculemos, y luego transformándolo a un marco donde el impulso total sea cero.

$${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}=-\left({\frac {E_{\text{rest}}}{c}}\right)^{2}=-(mc)^{2}.}$$

Vemos que la energía en reposo es un invariante independiente. Se puede calcular una energía en reposo incluso para partículas y sistemas en movimiento, traduciéndola a un marco en el que el impulso es cero.

La energía en reposo está relacionada con la masa según la célebre ecuación comentada anteriormente:

$${\displaystyle E_{\text{rest}}=mc^{2}.}$$

La masa de los sistemas medida en su marco de impulso (donde el impulso total es cero) viene dada por la energía total del sistema en este marco. Puede que no sea igual a la suma de las masas individuales del sistema medidas en otros marcos.

Para utilizar la tercera ley del movimiento de Newton , ambas fuerzas deben definirse como la tasa de cambio del impulso con respecto a la misma coordenada de tiempo. Es decir, requiere la fuerza 3D definida anteriormente. Desafortunadamente, no existe ningún tensor en 4D que contenga entre sus componentes las componentes del vector de fuerza 3D.

Si una partícula no viaja en c , se puede transformar la fuerza 3D del sistema de referencia en movimiento conjunto de la partícula al sistema de referencia del observador. Esto produce un vector de 4 llamado cuatro fuerzas . Es la tasa de cambio del cuatro vector de impulso de energía anterior con respecto al tiempo adecuado. La versión covariante de las cuatro fuerzas es:

$${\displaystyle F_{\nu }={\frac {dP_{\nu }}{d\tau }}=mA_{\nu }}$$

En el marco de reposo del objeto, el componente de tiempo de las cuatro fuerzas es cero a menos que la " masa invariante " del objeto esté cambiando (esto requiere un sistema no cerrado en el que la energía/masa se agrega o elimina directamente del objeto). objeto) en cuyo caso es el negativo de esa tasa de cambio de masa, multiplicado por c . Sin embargo, en general, las componentes de las cuatro fuerzas no son iguales a las componentes de las tres fuerzas, porque las tres fuerzas se definen por la tasa de cambio del impulso con respecto al tiempo coordinado, es decir, dp / dt mientras las cuatro fuerzas se definen por la tasa de cambio del impulso con respecto al tiempo adecuado, es decir, dp / dτ .

En un medio continuo, la densidad de fuerza 3D se combina con la densidad de potencia para formar un 4-vector covariante. La parte espacial es el resultado de dividir la fuerza sobre una celda pequeña (en 3 espacios) por el volumen de esa celda. El componente de tiempo es −1/ c veces la potencia transferida a esa celda dividida por el volumen de la celda. Esto se utilizará más adelante en la sección sobre electromagnetismo.

Ver también

• Gente :
  • Max Planck
  • Hermann Minkowski
  • Max von Laue
  • Arnoldo Sommerfeld
  • Max nacido
  • Mileva Marić
• Relatividad :
  • Historia de la relatividad especial
  • Relatividad doblemente especial
  • Cálculo k de Bondi
  • Sincronización de Einstein
  • Argumento de Rietdijk-Putnam
  • Relatividad especial (formulaciones alternativas)
  • Disputa de prioridad de la relatividad
• Física :
  • Los experimentos mentales de Einstein
  • cosmología física
  • Ecuaciones relativistas de Euler
  • Teoría del éter de Lorentz
  • Problema con el imán en movimiento y el conductor
  • Ondas de forma
  • Conducción de calor relativista
  • Disco relativista
  • Rigidez nacida
  • Coordenadas nacidas
• Matemáticas :
  • grupo lorentz
  • Relatividad en el formalismo APS
• Filosofía :
  • actualismo
  • convencionalismo
• Paradojas :
  • Paradoja de Ehrenfest
  • La paradoja de la nave espacial de Bell
  • Paradoja de la composición de la velocidad
  • Paradoja del faro

Notas

1. El propio Einstein, en Los fundamentos de la teoría general de la relatividad, Ann. Física. 49 (1916), escribe "La palabra 'especial' pretende dar a entender que el principio está restringido al caso ...". Ver pág. 111 de El principio de la relatividad, A. Einstein, HA Lorentz, H. Weyl, H. Minkowski, reimpresión de Dover de la traducción de 1923 de Methuen and Company.]
2. Wald, Relatividad general, pag. 60: "... la teoría especial de la relatividad afirma que el espacio-tiempo es la variedad con una métrica plana de la firma de Lorentz definida en ella. Por el contrario, todo el contenido de la relatividad especial... está contenido en esta afirmación..." ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$
3. En un entorno de espacio-tiempo, la longitud de un objeto rígido en movimiento es la distancia espacial entre los extremos del objeto medida al mismo tiempo. En el marco de reposo del objeto no se requiere la simultaneidad.
4. Los resultados del experimento de Michelson-Morley llevaron a George Francis FitzGerald y Hendrik Lorentz a proponer de forma independiente el fenómeno de la contracción de la longitud . Lorentz creía que la contracción de longitud representaba una contracción física de los átomos que formaban un objeto. No previó ningún cambio fundamental en la naturaleza del espacio y el tiempo. ^{[26] : 62–68}
     Lorentz esperaba que la contracción de la longitud provocaría tensiones de compresión en un objeto que deberían dar lugar a efectos mensurables. Dichos efectos incluirían efectos ópticos en medios transparentes, como la rotación óptica ^{[p 11]} y la inducción de doble refracción, ^{[p 12]} y la inducción de pares de torsión en condensadores cargados que se mueven en ángulo con respecto al éter. ^{[p 12]} Lorentz estaba perplejo por experimentos como el experimento de Trouton-Noble y los experimentos de Rayleigh y Brace que no validaron sus expectativas teóricas. ^[26]
5. Para mayor coherencia matemática, Lorentz propuso una nueva variable de tiempo, la "hora local", llamada así porque dependía de la posición de un cuerpo en movimiento, siguiendo la relación . ^{[p 13]} Lorentz consideraba que la hora local no era "real"; más bien, representó un cambio ad hoc de variable. ^{[27] : 51, 80} Impresionado por la "idea más ingeniosa" de Lorentz, Poincaré vio en la hora local algo más que un mero truco matemático. Representaba la hora real que se mostraría en los relojes de un observador en movimiento. Por otra parte, Poincaré no consideró que este tiempo medido fuera el "tiempo verdadero" que exhibirían los relojes en reposo en el éter. Poincaré no hizo ningún intento de redefinir los conceptos de espacio y tiempo. Para Poincaré, la transformación de Lorentz describía los estados aparentes del campo para un observador en movimiento. Los verdaderos estados siguieron siendo aquellos definidos con respecto al éter. ^[28] ${\displaystyle t'=t-vx/c^{2}}$
    
6. Este concepto es contrario a la intuición al menos por el hecho de que, a diferencia de los conceptos habituales de distancia , puede asumir valores negativos (no es definido positivo para eventos no coincidentes) y que la denotación cuadrada es engañosa. Este cuadrado negativo conduce a conceptos de tiempo imaginario , que ahora no se utilizan ampliamente . Es inmediato que el negativo de es también una invariante, generada por una variante de la firma métrica del espacio-tiempo. ${\displaystyle \Delta s^{2}}$
7. La invariancia de Δs ² bajo la transformación estándar de Lorentz es análoga a la invariancia de distancias al cuadrado Δr ² bajo rotaciones en el espacio euclidiano. Aunque el espacio y el tiempo tienen igualdad de condiciones en la relatividad, el signo menos delante de los términos espaciales marca que el espacio y el tiempo son de carácter esencialmente diferente. Ellos no son los mismos. Debido a que trata el tiempo de manera diferente a las 3 dimensiones espaciales, el espacio de Minkowski difiere del espacio euclidiano de cuatro dimensiones .
8. La dependencia del índice de refracción del presunto arrastre parcial del éter fue finalmente confirmada por Pieter Zeeman en 1914-1915, mucho después de que la relatividad especial fuera aceptada por la corriente principal. Utilizando una versión ampliada del aparato de Michelson conectado directamente al conducto principal de agua de Ámsterdam , Zeeman pudo realizar mediciones ampliadas utilizando luz monocromática que iba desde violeta (4358 Å) hasta roja (6870 Å). ^{[pág. 17] [pág. 18]}
9. Aunque han pasado muchas décadas desde que Terrell y Penrose publicaron sus observaciones, los escritos populares continúan combinando medidas con apariencia. Por ejemplo, Michio Kaku escribió en Einstein's Cosmos (WW Norton & Company, 2004. p. 65): "... imagina que la velocidad de la luz es de sólo 20 millas por hora. Si un automóvil fuera por la calle, podría parecer comprimido en la dirección del movimiento, comprimido como un acordeón hasta quizás 1 pulgada de largo".
10. En una carta a Carl Seelig en 1955, Einstein escribió: "Ya había descubierto anteriormente que la teoría de Maxwell no tenía en cuenta la microestructura de la radiación y, por lo tanto, no podía tener validez general". Carta de Einstein a Carl Seelig, 1955.

Fuentes primarias

1. Albert Einstein (1905) "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik 17: 891; traducción al inglés Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento de George Barker Jeffery y Wilfrid Perrett (1923); Otra traducción al inglés Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento de Megh Nad Saha (1920).
2. "Ciencia y sentido común", PW Bridgman, The Scientific Monthly , vol. 79, núm. 1 (julio de 1954), págs.
3. La masa electromagnética y el momento de un electrón giratorio, G. Breit, Actas de la Academia Nacional de Ciencias, vol. 12, p.451, 1926
4. Cinemática de un electrón con eje. Fil. revista 3:1-22. LH Tomás.]
5. Einstein, Notas autobiográficas, 1949.
6. Einstein, "Ideas y métodos fundamentales de la teoría de la relatividad", 1920
7. Einstein, Sobre el principio de la relatividad y las conclusiones que se derivan de él, 1907; "El principio de la relatividad y sus consecuencias en la física moderna", 1910; "La Teoría de la Relatividad", 1911; Manuscrito sobre la teoría especial de la relatividad, 1912; Teoría de la Relatividad, 1913; Einstein, Relatividad, la teoría general y especial, 1916; Las ideas principales de la teoría de la relatividad, 1916; ¿Qué es la teoría de la relatividad?, 1919; El principio de la relatividad (Conferencias de Princeton), 1921; Física y Realidad, 1936; La teoría de la relatividad, 1949.
8. Yaakov Friedman (2004). Aplicaciones físicas de bolas homogéneas . Progresos en Física Matemática. vol. 40, págs. 1-21. ISBN 978-0-8176-3339-4.
9. Das, A. (1993) La teoría especial de la relatividad, una exposición matemática , Springer, ISBN 0-387-94042-1 . 
10. Schutz, J. (1997) Axiomas independientes para el espacio-tiempo de Minkowski, Addison Wesley Longman Limited, ISBN 0-582-31760-6 . 
11. Lorentz, HA (1902). "La rotación del plano de polarización en medios en movimiento" (PDF) . Instituto Huygens - Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos (KNAW) . 4 : 669–678. Código Bib : 1901KNAB....4..669L . Consultado el 15 de noviembre de 2018 .
12. Lorentz, HA (1904). "Fenómenos electromagnéticos en un sistema que se mueve con una velocidad menor que la de la luz" (PDF) . Instituto Huygens - Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos (KNAW) . 6 : 809–831. Código Bib : 1903KNAB....6..809L . Consultado el 15 de noviembre de 2018 .
13. Lorentz, Hendrik (1895). "Investigación de oscilaciones excitadas por iones oscilantes". Intento de teoría de los fenómenos eléctricos y ópticos de los cuerpos en movimiento (Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern). Leiden: EJ Brill. (inciso § 31).
14. Lin, Shih-Chun; Giallorenzi, Thomas G. (1979). "Análisis de sensibilidad del interferómetro de anillo de fibra óptica de efecto Sagnac". Óptica Aplicada . 18 (6): 915–931. Código Bib : 1979ApOpt..18..915L. doi :10.1364/AO.18.000915. PMID  20208844. S2CID  5343180.
15. Shaw, R. (1962). "Paradoja de la contracción de la longitud". Revista Estadounidense de Física . 30 (1): 72. Código bibliográfico : 1962AmJPh..30...72S. doi :10.1119/1.1941907. S2CID  119855914.
16. GA Benford; Libro DL y WA Newcomb (1970). "El antiteléfono taquiónico". Revisión física D. 2 (2): 263–265. Código bibliográfico : 1970PhRvD...2..263B. doi : 10.1103/PhysRevD.2.263. S2CID  121124132.
17. Zeeman, Pieter (1914). "Coeficiente de Fresnel para luz de diferentes colores. (Primera parte)". Proc. Kon. Acad. Van Weten . 17 : 445–451. Código bibliográfico : 1914KNAB...17..445Z.
18. Zeeman, Pieter (1915). "Coeficiente de Fresnel para luz de diferentes colores. (Segunda parte)". Proc. Kon. Acad. Van Weten . 18 : 398–408. Código bibliográfico : 1915KNAB...18..398Z.
19. Terrell, James (15 de noviembre de 1959). "Invisibilidad de la contracción de Lorentz". Revisión física . 116 (4): 1041-1045. Código bibliográfico : 1959PhRv..116.1041T. doi : 10.1103/PhysRev.116.1041.
20. Penrose, Roger (24 de octubre de 2008). "La forma aparente de una esfera en movimiento relativista". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 55 (1): 137-139. Código Bib : 1959PCPS...55..137P. doi :10.1017/S0305004100033776. S2CID  123023118.
21. ¿La inercia de un cuerpo depende de su contenido de energía? A. Einstein, Annalen der Physik. 18 :639, 1905 (traducción al inglés de W. Perrett y GB Jeffery)
22. Sobre la inercia de la energía requerida por el principio de la relatividad, A. Einstein, Annalen der Physik 23 (1907): 371–384
23. Campeón de abc, Frank Clive (1932). "Sobre algunas colisiones cercanas de partículas β rápidas con electrones, fotografiadas mediante el método de expansión". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter físico y matemático . Publicaciones de la Royal Society. 136 (830): 630–637. Código bibliográfico : 1932RSPSA.136..630C. doi : 10.1098/rspa.1932.0108 . S2CID  123018629.
24. Baglio, Julien (26 de mayo de 2007). "Aceleración en la relatividad especial: ¿Cuál es el significado de" movimiento uniformemente acelerado "?" (PDF) . Departamento de Física, ENS Cachan . Consultado el 22 de enero de 2016 .
25. PAM Dirac (1930). "Una teoría de electrones y protones". Actas de la Royal Society . A126 (801): 360–365. Código bibliográfico : 1930RSPSA.126..360D. doi : 10.1098/rspa.1930.0013 . JSTOR  95359.
26. CD Anderson (1933). "El electrón positivo". Física. Rdo . 43 (6): 491–494. Código bibliográfico : 1933PhRv...43..491A. doi : 10.1103/PhysRev.43.491 .

Referencias

1. Griffiths, David J. (2013). "Electrodinámica y Relatividad". Introducción a la electrodinámica (4ª ed.). Pearson. Capítulo 12. ISBN 978-0-321-85656-2.
2. Jackson, John D. (1999). "Teoría especial de la relatividad". Electrodinámica clásica (3ª ed.). John Wiley & Sons, Inc. Capítulo 11. ISBN 0-471-30932-X.
3. Goldstein, Herbert (1980). "Capítulo 7: Relatividad especial en la mecánica clásica". Mecánica clásica (2ª ed.). Compañía editorial Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
4. Lanczos, Cornelio (1970). "Capítulo IX: Mecánica Relativista". Los principios variacionales de la mecánica (4ª ed.). Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-65067-8.
5. Tom Roberts y Siegmar Schleif (octubre de 2007). "¿Cuál es la base experimental de la Relatividad Especial?". Preguntas frecuentes sobre física de Usenet . Consultado el 17 de septiembre de 2008 .
6. Albert Einstein (2001). Relatividad: la teoría especial y general (Reimpresión de la traducción de 1920 de Robert W. Lawson ed.). Rutledge. pag. 48.ISBN _ 978-0-415-25384-0.
7. Las conferencias Feynman sobre física vol. Yo cap. 15-9: Equivalencia de masa y energía
8. Sean Carroll, Apuntes de conferencias sobre relatividad general, cap. 1, "Relatividad especial y espacio-tiempo plano", http://ned.ipac.caltech.edu/level5/March01/Carroll3/Carroll1.html
9. Koks, Don (2006). Exploraciones en física matemática: los conceptos detrás de un lenguaje elegante (edición ilustrada). Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 234.ISBN _ 978-0-387-32793-8.Extracto de la página 234
10. Steane, Andrew M. (2012). La relatividad es relativamente fácil (edición ilustrada). OUP Oxford. pag. 226.ISBN _ 978-0-19-966286-9.Extracto de la página 226
11. Edwin F. Taylor y John Archibald Wheeler (1992). Física del espacio-tiempo: Introducción a la relatividad especial. WH Freeman. ISBN 978-0-7167-2327-1.
12. Rindler, Wolfgang (1977). Relatividad esencial: especial, general y cosmológica (edición ilustrada). Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. §1,11 pág. 7.ISBN _ 978-3-540-07970-5.
13. Michael Polanyi (1974) Conocimiento personal: hacia una filosofía poscrítica , ISBN 0-226-67288-3 , nota al pie de la página 10-11: Einstein informa, a través del Dr. N Balzas en respuesta a la pregunta de Polanyi, que "El modelo Michelson-Morley El experimento no tuvo ningún papel en la fundación de la teoría." y "... la teoría de la relatividad no estaba fundada para explicar su resultado en absoluto". [1] 
14. Jeroen van Dongen (2009). "Sobre el papel del experimento de Michelson-Morley: Einstein en Chicago". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 63 (6): 655–663. arXiv : 0908.1545 . Código Bib : 2009arXiv0908.1545V. doi :10.1007/s00407-009-0050-5. S2CID  119220040.
15. Para un estudio de tales derivaciones, consulte Lucas y Hodgson, Spacetime and Electromagnetism, 1990.
16. Einstein, A., Lorentz, HA, Minkowski, H. y Weyl, H. (1952). El principio de la relatividad: una colección de memorias originales sobre la teoría general y especial de la relatividad. Publicaciones de Courier Dover. pag. 111.ISBN _ 978-0-486-60081-9.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
17. Collier, Peter (2017). Lo más incomprensible: notas para una introducción muy suave a las matemáticas de la relatividad (3ª ed.). Libros incomprensibles. ISBN 9780957389465.
18. Staley, Richard (2009), "Albert Michelson, la velocidad de la luz y la deriva del éter", la generación de Einstein. Los orígenes de la revolución de la relatividad, Chicago: University of Chicago Press, ISBN 0-226-77057-5 
19. David Morin (2007) Introducción a la mecánica clásica , Cambridge University Press, Cambridge, capítulo 11, Apéndice I, ISBN 1-139-46837-5 . 
20. Molinero, DJ (2010). "Una aproximación constructiva a la teoría especial de la relatividad". Revista Estadounidense de Física . 78 (6): 633–638. arXiv : 0907.0902 . Código Bib : 2010AmJPh..78..633M. doi : 10.1119/1.3298908. S2CID  20444859.
21. Taylor, Edwin; Wheeler, John Archibald (1992). Física del espacio-tiempo (2ª ed.). WH Freeman & Co. ISBN 978-0-7167-2327-1.
22. Callahan, James J. (2011). La geometría del espacio-tiempo: una introducción a la relatividad general y especial . Nueva York: Springer. ISBN 9781441931429.
23. PG Bergmann (1976) Introducción a la teoría de la relatividad , edición de Dover, capítulo IV, página 36 ISBN 0-486-63282-2 . 
24. Mermín, N. David (1968). Espacio y tiempo en la relatividad especial . McGraw-Hill. ISBN 978-0881334203.
25. Robert Resnick (1968). Introducción a la relatividad especial. Wiley. págs. 62–63. ISBN 9780471717249.
26. Miller, Arthur I. (1998). Teoría especial de la relatividad de Albert Einstein: aparición (1905) e interpretación temprana (1905-1911) . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94870-6.
27. Bernstein, Jeremy (2006). Secretos del Viejo: Einstein, 1905 . Copernicus Books (sello de Springer Science + Business Media). ISBN 978-0387-26005-1.
28. Darrigol, Olivier (2005). "La Génesis de la Teoría de la Relatividad" (PDF) . Seminario Poincaré . 1 : 1–22. Código Bib : 2006eins.book....1D . Consultado el 15 de noviembre de 2018 .
29. Rindler, Wolfgang (1977). Relatividad esencial (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-10090-6.
30. Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald (1966). Física del espacio-tiempo (1ª ed.). San Francisco: WH Freeman and Company.
31. Ashby, Neil (2003). "Relatividad en el sistema de posicionamiento global". Reseñas vivas en relatividad . 6 (1): 1. Código Bib : 2003LRR.....6....1A. doi :10.12942/lrr-2003-1. PMC 5253894 . PMID  28163638. 
32. Daniel Kleppner y David Kolenkow (1973). Introducción a la mecánica. McGraw-Hill. págs. 468–70. ISBN 978-0-07-035048-9.
33. francés, AP (1968). Relatividad especial . Nueva York: WW Norton & Company. ISBN 0-393-09793-5.
34. Lewis, Gilbert Newton; Tolman, Richard Chase (1909). "El principio de la relatividad y la mecánica no newtoniana". Actas de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias . 44 (25): 709–726. doi :10.2307/20022495. JSTOR  20022495 . Consultado el 22 de agosto de 2023 .
35. Cuvaj, Camillo (1971). "Paul Langeyin y la teoría de la relatividad" (PDF) . Estudios japoneses en la historia de la ciencia . 10 : 113–142 . Consultado el 12 de junio de 2023 .
36. Cassidy, David C.; Holton, Gerald James; Rutherford, Floyd James (2002). Comprensión de la física. Springer-Verlag . pag. 422.ISBN _ 978-0-387-98756-9.
37. Cutner, Mark Leslie (2003). Astronomía, una perspectiva física. Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 128.ISBN _ 978-0-521-82196-4.
38. Ellis, George FR; Williams, Ruth M. (2000). Espacio-tiempo plano y curvo (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford . págs. 28 y 29. ISBN 978-0-19-850657-7.
39. Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Arenas, Mateo (2011). El feynman da conferencias sobre física; vol I: La edición del nuevo milenio. Libros básicos. pag. 15-5. ISBN 978-0-465-02414-8. Consultado el 12 de junio de 2023 .
40. Halliday, David; Resnick, Robert (1988). Física fundamental: tercera edición ampliada . Nueva York: John Wiley e hijos. págs. 958–959. ISBN 0-471-81995-6.
41. Adams, Steve (1997). Relatividad: una introducción a la física del espacio-tiempo. Prensa CRC . pag. 54.ISBN _ 978-0-7484-0621-0.
42. Langevin, Paul (1911). "La evolución del espacio y el tiempo". Ciencia . 10 : 31–54 . Consultado el 20 de junio de 2023 .
43. Debs, Talal A.; Pelirroja, Michael LG (1996). "La "paradoja" de los gemelos y la convencionalidad de la simultaneidad". Revista Estadounidense de Física . 64 (4): 384–392. Código Bib : 1996AmJPh..64..384D. doi :10.1119/1.18252.
44. Tolman, Richard C. (1917). La teoría de la relatividad del movimiento. Berkeley: Prensa de la Universidad de California. pag. 54.
45. Takeuchi, Tatsu. "Notas de la conferencia sobre la relatividad especial - Sección 10". Virginia Tech . Consultado el 31 de octubre de 2018 .
46. Morín, David (2017). Relatividad especial para principiantes entusiastas . Plataforma de publicación independiente CreateSpace. págs. 90–92. ISBN 9781542323512.
47. Gibbs, Felipe. "¿Es posible viajar o comunicarse más rápido que la luz?". Preguntas frecuentes sobre física . Departamento de Matemáticas, Universidad de California, Riverside . Consultado el 31 de octubre de 2018 .
48. Ginsburg, David (1989). Aplicaciones de la electrodinámica en física teórica y astrofísica (edición ilustrada). Prensa CRC. pag. 206. Bibcode : 1989aetp.book.....G. ISBN 978-2-88124-719-4.Extracto de la página 206
49. Wesley C. Salmón (2006). Cuatro décadas de explicación científica. Universidad de Pittsburgh. pag. 107.ISBN _ 978-0-8229-5926-7., Sección 3.7 página 107
50. Lauginie, P. (2004). "Medición de la velocidad de la luz: ¿Por qué? ¿Velocidad de qué?" (PDF) . Actas de la Quinta Conferencia Internacional de Historia de la Ciencia en la Educación Científica . Archivado desde el original (PDF) el 4 de julio de 2015 . Consultado el 3 de julio de 2015 .
51. Stachel, J. (2005). "El coeficiente (de arrastre) de Fresnel como un desafío a la óptica de los cuerpos en movimiento del siglo XIX". En Kox, AJ; Eisenstaedt, J (eds.). El universo de la relatividad general . Boston: Birkhäuser. págs. 1-13. ISBN 978-0-8176-4380-5. Consultado el 17 de abril de 2012 .
52. Richard A. Molde (2001). Relatividad básica (2ª ed.). Saltador. pag. 8.ISBN _ 978-0-387-95210-9.
53. Seidelmann, P. Kenneth, ed. (1992). Suplemento Explicativo del Almanaque Astronómico. ill Valley, California: Libros de ciencias universitarias. pag. 393.ISBN _ 978-0-935702-68-2.
54. Ferraro, Rafael; Sforza, Daniel M. (2005). "Logotipo de la Sociedad Europea de Física Arago (1810): el primer resultado experimental contra el éter". Revista Europea de Física . 26 (1): 195–204. arXiv : física/0412055 . Código Bib : 2005EJPh...26..195F. doi :10.1088/0143-0807/26/1/020. S2CID  119528074.
55. Dolan, Graham. "Telescopio acuático de Airy (1870)". El Real Observatorio de Greenwich . Consultado el 20 de noviembre de 2018 .
56. Hollis, HP (1937). "Telescopio acuático de Airy". El Observatorio . 60 : 103-107. Código Bib : 1937Obs....60..103H . Consultado el 20 de noviembre de 2018 .
57. Janssen, Michel; Stachel, John (2004). "La óptica y la electrodinámica de los cuerpos en movimiento" (PDF) . En Stachel, John (ed.). Volviéndose crítico . Saltador. ISBN 978-1-4020-1308-9.
58. Sher, D. (1968). "El efecto Doppler relativista". Revista de la Real Sociedad Astronómica de Canadá . 62 : 105-111. Código bibliográfico : 1968JRASC..62..105S . Consultado el 11 de octubre de 2018 .
59. Gill, TP (1965). El efecto Doppler . Londres: Logos Press Limited. págs. 6–9. OL  5947329M.
60. Feynman, Richard P .; Leighton, Robert B .; Sands, Matthew (febrero de 1977). "Efectos relativistas de la radiación". Las conferencias Feynman sobre física: volumen 1 . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley . págs. 34–7 y siguientes. ISBN 9780201021165. LCCN  2010938208.
61. Cocinera, Helena. "Distorsión relativista". Departamento de Matemáticas, Universidad de Columbia Británica . Consultado el 12 de abril de 2017 .
62. Signell, Peter. "Apariciones a velocidades relativistas" (PDF) . Proyecto PHYSNET . Universidad Estatal de Michigan, East Lansing, MI. Archivado desde el original (PDF) el 13 de abril de 2017 . Consultado el 12 de abril de 2017 .
63. Kraus, Ute. "La pelota es redonda". Viajes en el espacio-tiempo: la relatividad visualizada . Instituto de Física Universitaria de Hildesheim. Archivado desde el original el 12 de mayo de 2017 . Consultado el 16 de abril de 2017 .
64. Boas, María L. (1961). "Forma aparente de objetos grandes a velocidades relativistas". Revista Estadounidense de Física . 29 (5): 283. Código bibliográfico : 1961AmJPh..29..283B. doi :10.1119/1.1937751.
65. Muller, Thomas; Boblest, Sebastián (2014). "Aspecto visual de objetos de estructura alámbrica en relatividad especial". Revista Europea de Física . 35 (6): 065025. arXiv : 1410.4583 . Código Bib : 2014EJPh...35f5025M. doi :10.1088/0143-0807/35/6/065025. S2CID  118498333.
66. Zensus, J. Anton; Pearson, Timothy J. (1987). Fuentes de radio superluminales (1ª ed.). Cambridge, Nueva York: Cambridge University Press. pag. 3.ISBN _ 9780521345606.
67. Chase, Scott I. "Velocidad superluminal aparente de las galaxias". Preguntas frecuentes sobre física original de Usenet . Departamento de Matemáticas, Universidad de California, Riverside . Consultado el 12 de abril de 2017 .
68. Richmond, Michael. "Movimientos " superluminales "en fuentes astronómicas". Física 200 notas de clase . Escuela de Física y Astronomía, Instituto de Tecnología de Rochester. Archivado desde el original el 16 de febrero de 2017 . Consultado el 20 de abril de 2017 .
69. Quilla, Bill. "Chorros, movimiento superluminal y explosiones de rayos gamma". Galaxias y el Universo - Notas del curso WWW . Departamento de Física y Astronomía, Universidad de Alabama. Archivado desde el original el 1 de marzo de 2017 . Consultado el 29 de abril de 2017 .
70. Max Jammer (1997). Conceptos de masa en física clásica y moderna. Publicaciones de Courier Dover. págs. 177-178. ISBN 978-0-486-29998-3.
71. John J. Stachel (2002). Einstein de la B a la Z. Springer. pag. 221.ISBN _ 978-0-8176-4143-6.
72. Fernflores, Francisco (2018). Ecuación masa-energía de Einstein, volumen I: historia temprana y fundamentos filosóficos . Nueva York: Momentum Pres. ISBN 978-1-60650-857-2.
73. Idema, Timón (17 de abril de 2019). "Mecánica y Relatividad. Capítulo 14: Colisiones Relativistas". LibreTexts Física . Programa de soluciones de aprendizaje asequibles de la Universidad Estatal de California . Consultado el 2 de enero de 2023 .
74. Nakel, Werner (1994). "El proceso elemental de bremsstrahlung". Informes de Física . 243 (6): 317–353. Código bibliográfico : 1994PhR...243..317N. doi :10.1016/0370-1573(94)00068-9.
75. Halbert, ML (1972). "Revisión de experimentos sobre Nucleon-Nucleon Bremsstrahlung". En Austin, SM; Crawley, GM (eds.). La fuerza de los dos cuerpos en los núcleos . Boston, MA.: Springer.
76. Philip Gibbs y Don Koks. "El cohete relativista" . Consultado el 30 de agosto de 2012 .
77. La teoría especial de la relatividad muestra que el tiempo y el espacio se ven afectados por el movimiento Archivado el 21 de octubre de 2012 en Wayback Machine . Biblioteca.thinkquest.org. Recuperado el 24 de abril de 2013.
78. Publicación de EJ (1962). Estructura formal del electromagnético: covarianza general y electromagnético . Publicaciones de Dover Inc. ISBN 978-0-486-65427-0.
79. R. Resnick; R. Eisberg (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2ª ed.). John Wiley e hijos. págs. 114-116. ISBN 978-0-471-87373-0.
80. Øyvind Grøn y Sigbjørn Hervik (2007). La teoría general de la relatividad de Einstein: con aplicaciones modernas en cosmología. Saltador. pag. 195.ISBN _ 978-0-387-69199-2.Extracto de la página 195 (con unidades donde c=1)
81. El número de obras es enorme, véase como ejemplo: Sidney Coleman; Sheldon L. Glashow (1997). "Pruebas de relatividad especial de rayos cósmicos y neutrinos". Letras de Física B. 405 (3–4): 249–252. arXiv : hep-ph/9703240 . Código Bib : 1997PhLB..405..249C. doi :10.1016/S0370-2693(97)00638-2. S2CID  17286330.
    
    Puede encontrar una descripción general en esta página.
82. John D. Norton, John D. (2004). "Investigaciones de Einstein sobre la electrodinámica covariante galileana antes de 1905". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 59 (1): 45-105. Código Bib : 2004AHES...59...45N. doi :10.1007/s00407-004-0085-6. S2CID  17459755.
83. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. pág. 58.ISBN _ 978-0-7167-0344-0.
84. J.R. Forshaw; AG Smith (2009). Dinámica y Relatividad . Wiley. pag. 247.ISBN _ 978-0-470-01460-8.
85. R. Penrose (2007). El camino a la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-679-77631-4.
86. Jean-Bernard Zuber y Claude Itzykson, Teoría cuántica de campos , página 5, ISBN 0-07-032071-3 
87. Charles W. Misner , Kip S. Thorne y John A. Wheeler , Gravitación , página 51, ISBN 0-7167-0344-0 
88. George Sterman , Introducción a la teoría cuántica de campos , página 4, ISBN 0-521-31132-2 
89. Sean M. Carroll (2004). Espaciotiempo y geometría: una introducción a la relatividad general. Addison Wesley. pag. 22.ISBN _ 978-0-8053-8732-2.

Otras lecturas

Textos de Einstein y texto sobre historia de la relatividad especial

• Einstein, Alberto (1920). Relatividad: la teoría especial y general .
• Einstein, Alberto (1996). El significado de la relatividad . Bellas Comunicaciones. ISBN 1-56731-136-9 
• Logunov, Anatoly A. (2005). Henri Poincaré y la teoría de la relatividad (traducción del ruso por G. Pontocorvo y VO Soloviev, editado por VA Petrov). Nauka, Moscú.

Libros de texto

• Charles Misner , Kip Thorne y John Archibald Wheeler (1971) Gravitación . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0334-3 
• Post, EJ, 1997 (1962) Estructura formal del electromagnético: covarianza general y electromagnético . Publicaciones de Dover.
• Wolfgang Rindler (1991). Introducción a la relatividad especial (2ª ed.), Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853952-0 ; ISBN 0-19-853952-5  
• Harvey R. Brown (2005). Relatividad física: estructura espacio-temporal desde una perspectiva dinámica, Oxford University Press, ISBN 0-19-927583-1 ; ISBN 978-0-19-927583-0  
• Qadir, Asghar (1989). Relatividad: una introducción a la teoría especial. Singapur: Publicaciones científicas mundiales . pag. 128. Bibcode : 1989rist.book.....P. ISBN 978-9971-5-0612-4.
• Francés, AP (1968). Relatividad especial (Introducción a la física del MIT) (1ª ed.). WW Norton & Company. ISBN 978-0393097931.
• Silberstein, Ludwik (1914). La teoría de la relatividad .
• Lawrence Sklar (1977). Espacio, Tiempo y Espaciotiempo. Prensa de la Universidad de California. ISBN 978-0-520-03174-6.
• Lawrence Sklar (1992). Filosofía de la Física. Prensa de Westview. ISBN 978-0-8133-0625-4.^{[ enlace muerto permanente ]}
• Serguéi Stepanov (2018). Mundo relativista. De Gruyter. ISBN 9783110515879.
• Taylor, Edwin y John Archibald Wheeler (1992). Física del espacio-tiempo (2ª ed.). WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-2327-1 . 
• Tipler, Paul y Llewellyn, Ralph (2002). Física moderna (4ª ed.). WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-4345-0 . 

artículos periodísticos

• Alvager, T.; Farley, FJM; Kjellman, J.; Wallin, L.; et al. (1964). "Prueba del Segundo Postulado de la Relatividad Especial en la región GeV". Letras de Física . 12 (3): 260–262. Código bibliográfico : 1964PhL....12..260A. doi :10.1016/0031-9163(64)91095-9.
• Darrigol, Olivier (2004). "El misterio de la conexión Poincaré-Einstein". Isis . 95 (4): 614–26. doi :10.1086/430652. PMID  16011297. S2CID  26997100.
• Lobo, Pedro; Pequeño, Gerard (1997). "Prueba de satélites de Relatividad Especial utilizando el Sistema de Posicionamiento Global". Revisión física A. 56 (6): 4405–09. Código Bib : 1997PhRvA..56.4405W. doi :10.1103/PhysRevA.56.4405.
• Scholarpedia de la relatividad especial
• Rindler, Wolfgang (2011). "Relatividad especial: cinemática". Scholarpedia . 6 (2): 8520. Código bibliográfico : 2011SchpJ...6.8520R. doi : 10.4249/scholarpedia.8520 .

enlaces externos

Obras originales

• Zur Elektrodynamik bewegter Körper Obra original de Einstein en alemán, Annalen der Physik , Berna 1905
• Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento Traducción al inglés publicada en el libro de 1923 El principio de la relatividad .

Relatividad especial para una audiencia general (no se requieren conocimientos matemáticos)

• Einstein Light Una introducción no técnica galardonada (clips de películas y demostraciones) respaldada por docenas de páginas de explicaciones y animaciones adicionales, en niveles con o sin matemáticas.
• Einstein Online Archivado el 1 de febrero de 2010 en Wayback Machine Introducción a la teoría de la relatividad, del Instituto Max Planck de Física Gravitacional.
• Audio: Caín/Gay (2006) – Elenco de Astronomía. La teoría de la relatividad especial de Einstein

Explicación de la relatividad especial (usando matemáticas simples o más avanzadas)

• Bondi K-Calculus: una sencilla introducción a la teoría especial de la relatividad.
• Los fundamentos de Greg Egan.
• Las notas de Hogg sobre la relatividad especial Una buena introducción a la relatividad especial a nivel universitario, utilizando el cálculo.
• Calculadora de relatividad: Relatividad especial: una derivación de cálculo algebraico e integral para E = mc ² .
• MathPages – Reflexiones sobre la Relatividad Un libro completo en línea sobre la relatividad con una extensa bibliografía.
• Relatividad Especial Una introducción a la relatividad especial a nivel universitario.
• Relatividad: la teoría especial y general en el Proyecto Gutenberg , de Albert Einstein
• Special Relativity Lecture Notes es una introducción estándar a la relatividad especial que contiene explicaciones ilustrativas basadas en dibujos y diagramas de espacio-tiempo del Instituto Politécnico de Virginia y la Universidad Estatal.
• Comprender la relatividad especial La teoría de la relatividad especial de una manera fácilmente comprensible.
• Introducción a la teoría especial de la relatividad (1964) de Robert Katz, "una introducción... accesible a cualquier estudiante que haya tenido una introducción a la física general y un ligero conocimiento del cálculo" (130 páginas; formato pdf) .
• Notas de conferencias sobre relatividad especial por JD Cresser Departamento de Física de la Universidad Macquarie.
• SpecialRelativity.net: una descripción general con visualizaciones y matemáticas mínimas.
• Relatividad 4-¿alguna vez? El problema del movimiento superlumínico se analiza de forma entretenida.

Visualización

• Software de Raytracing de Relatividad Especial que visualiza varios escenarios bajo la influencia de la relatividad especial.
• Relatividad en tiempo real Archivado el 8 de mayo de 2013 en Wayback Machine. Universidad Nacional de Australia. Efectos visuales relativistas experimentados a través de un programa interactivo.
• Viajes en el espacio-tiempo Una variedad de visualizaciones de efectos relativistas, desde movimientos relativistas hasta agujeros negros.
• A través de los ojos de Einstein Archivado el 14 de mayo de 2013 en la Wayback Machine . La Universidad Nacional de Australia. Efectos visuales relativistas explicados con películas e imágenes.
• Warp Special Relativity Simulator Un programa informático para mostrar los efectos de viajar cerca de la velocidad de la luz.
• Clip de animación en YouTube que visualiza la transformación de Lorentz.
• Animaciones FLASH interactivas originales de John de Pillis que ilustran los marcos de Lorentz y Galileo, la paradoja del tren y el túnel, la paradoja de los gemelos, la propagación de ondas, la sincronización del reloj, etc.
• lightspeed Un programa basado en OpenGL desarrollado para ilustrar los efectos de la relatividad especial en la apariencia de los objetos en movimiento.
• Animación que muestra las estrellas cercanas a la Tierra, vistas desde una nave espacial que acelera rápidamente hasta la velocidad de la luz.