Cálculo k de Bondi

Método de enseñanza de la relatividad especial

El k -cálculo de Bondi es un método de enseñanza de la relatividad especial popularizado por Sir Hermann Bondi , que se ha utilizado en clases de física de nivel universitario (por ejemplo, en la Universidad de Oxford ^[1] ), y en algunos libros de texto de relatividad. ^{[2] : 58–65  [3]}

La utilidad del cálculo k es su simplicidad. Muchas introducciones a la relatividad comienzan con el concepto de velocidad y una derivación de la transformación de Lorentz . Otros conceptos como la dilatación del tiempo , la contracción de la longitud , la relatividad de la simultaneidad , la resolución de la paradoja de los gemelos y el efecto Doppler relativista se derivan de la transformación de Lorentz, todos como funciones de la velocidad.

Bondi, en su libro Relatividad y sentido común , ^[4] publicado por primera vez en 1964 y basado en artículos publicados en The Illustrated London News en 1962, invierte el orden de presentación. Comienza con lo que él llama "una relación fundamental" denotada por la letra (que resulta ser el factor Doppler radial). ^{[3] : 40} A partir de esto, explica la paradoja de los gemelos y la relatividad de la simultaneidad, la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud, todo en términos de . No es hasta más adelante en la exposición que proporciona un vínculo entre la velocidad y la relación fundamental . La transformación de Lorentz aparece hacia el final del libro. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Historia

El método de cálculo k había sido utilizado previamente por EA Milne en 1935. ^[5] Milne utilizó la letra para denotar un factor Doppler constante, pero también consideró un caso más general que involucraba movimiento no inercial (y por lo tanto un factor Doppler variable). Bondi utilizó la letra en lugar de y simplificó la presentación ( solo para constante), e introdujo el nombre " cálculo k ". ^{[4] : 109} ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$

De Bondia-factor

Diagrama espacio-temporal para la definición del factor k

  Alicia

  Chelín

  Destello de luz

Consideremos dos observadores inerciales, Alice y Bob, que se alejan uno del otro a una velocidad relativa constante. Alice envía un destello de luz azul hacia Bob una vez cada segundos, según lo mide su propio reloj. Como Alice y Bob están separados por una distancia, hay un retraso entre el momento en que Alice envía un destello y el momento en que Bob lo recibe. Además, la distancia de separación aumenta constantemente a una tasa constante, por lo que el retraso sigue aumentando. Esto significa que el intervalo de tiempo entre que Bob recibe los destellos, según lo mide su reloj, es mayor que segundos, digamos segundos para alguna constante . (Si Alice y Bob, en cambio, se estuvieran moviendo directamente uno hacia el otro, se aplicaría un argumento similar, pero en ese caso .) ^{[4] : 80} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle kT}$ ${\displaystyle k>1}$ ${\displaystyle k<1}$

Bondi lo describe como “una relación fundamental”, ^{[4] : 88} y otros autores lo han llamado desde entonces “el factor k de Bondi ” o “ el factor k de Bondi ”. ^{[2] : 63} ${\displaystyle k}$

Los destellos de Alice se transmiten a una frecuencia de Hz, por su reloj, y Bob los recibe a una frecuencia de Hz, por su reloj. Esto implica un factor Doppler de . Por lo tanto, el factor k de Bondi es otro nombre para el factor Doppler (cuando la fuente Alice y el observador Bob se alejan o se acercan directamente el uno al otro). ^{[3] : 40} ${\displaystyle f_{s}=1/T}$ ${\displaystyle f_{o}=1/(kT)}$ ${\displaystyle f_{s}/f_{o}=k}$

Si Alice y Bob intercambiaran sus papeles y Bob enviara destellos de luz a Alice, el Principio de Relatividad (el primer postulado de Einstein) implica que el factor k de Bob a Alice sería el mismo que el factor k de Alice a Bob, ya que todos los observadores inerciales son equivalentes. Por lo tanto, el factor k depende únicamente de la velocidad relativa entre los observadores y de nada más. ^{[4] : 80}

El recíprocoa-factor

Diagrama espacio-temporal para el factor k recíproco

  Alicia

  Chelín

  Dave

  Destello de luz

Consideremos ahora un tercer observador inercial, Dave, que se encuentra a una distancia fija de Alice y que Bob se encuentra en la línea recta entre Alice y Dave. Como Alice y Dave están mutuamente en reposo, el retraso entre Alice y Dave es constante. Esto significa que Dave recibe los destellos azules de Alice a una velocidad de una vez cada segundo, según su reloj, la misma velocidad con la que Alice los envía. En otras palabras, el factor k entre Alice y Dave es igual a uno. ^{[4] : 77} ${\displaystyle T}$

Ahora supongamos que cada vez que Bob recibe un destello azul de Alice, envía inmediatamente su propio destello rojo hacia Dave, una vez cada segundos (según el reloj de Bob). El segundo postulado de Einstein, que la velocidad de la luz es independiente del movimiento de su fuente, implica que el destello azul de Alice y el destello rojo de Bob viajan a la misma velocidad, sin adelantarse entre sí, y por lo tanto llegan a Dave al mismo tiempo. Por lo tanto, Dave recibe un destello rojo de Bob cada segundos, según el reloj de Dave, que Bob envía cada segundos según el reloj de Bob. Esto implica que el factor k de Bob a Dave es . ^{[4] : 80} ${\displaystyle kT}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle kT}$ ${\displaystyle 1/k}$

Esto establece que el factor k para observadores que se alejan directamente (desplazamiento hacia el rojo) es el recíproco del factor k para observadores que se mueven directamente uno hacia el otro a la misma velocidad (desplazamiento hacia el azul).  

La paradoja de los gemelos

Diagrama espacio-temporal para la paradoja de los gemelos

  Alicia

  Chelín

  Villancico

  Dave

  Destello de luz

Consideremos ahora un cuarto observador inercial, Carol, que viaja de Dave a Alice exactamente a la misma velocidad que Bob viaja de Alice a Dave. El viaje de Carol está cronometrado de tal manera que sale de Dave exactamente al mismo tiempo que llega Bob. Denotemos los tiempos registrados por los relojes de Alice, Bob y Carol con . ${\displaystyle t_{A},t_{B},t_{C}}$

Cuando Bob pasa a Alice, ambos sincronizan sus relojes con . Cuando Carol pasa a Bob, sincroniza su reloj con el de Bob, . Finalmente, cuando Carol pasa a Alice, comparan sus relojes entre sí. En física newtoniana, la expectativa sería que, en la comparación final, los relojes de Alice y Carol coincidieran, . Se demostrará a continuación que en relatividad esto no es cierto. Esta es una versión de la conocida " paradoja de los gemelos ", en la que gemelos idénticos se separan y se reúnen, solo para descubrir que uno ahora es mayor que el otro. ${\displaystyle t_{A}=t_{B}=0}$ ${\displaystyle t_{C}=t_{B}}$ ${\displaystyle t_{C}=t_{A}}$

Si Alice envía un destello de luz a las horas hacia Bob, entonces, según la definición del factor k , Bob lo recibirá a las horas . El destello está programado para que llegue a Bob justo en el momento en que Bob se encuentra con Carol, por lo que Carol sincroniza su reloj para que marque . ${\displaystyle t_{A}=T}$ ${\displaystyle t_{B}=kT}$ ${\displaystyle t_{C}=t_{B}=kT}$

Además, cuando Bob y Carol se encuentran, ambos envían simultáneamente destellos a Alice, que son recibidos simultáneamente por Alice. Teniendo en cuenta, en primer lugar, el destello de Bob, enviado en el momento , debe ser recibido por Alice en el momento , utilizando el hecho de que el factor k de Alice a Bob es el mismo que el factor k de Bob a Alice. ${\displaystyle t_{B}=kT}$ ${\displaystyle t_{A}=k^{2}T}$

Como el viaje de ida de Bob tuvo una duración de , según su reloj, se deduce por simetría que el viaje de regreso de Carol a lo largo de la misma distancia a la misma velocidad también debe tener una duración de , según su reloj, y por lo tanto, cuando Carol se encuentra con Alice, el reloj de Carol marca . El factor k para esta etapa del viaje debe ser el recíproco (como se discutió anteriormente), por lo que, considerando el destello de Carol hacia Alice, un intervalo de transmisión de corresponde a un intervalo de recepción de . Esto significa que el tiempo final en el reloj de Alice, cuando Carol y Alice se encuentran, es . Esto es mayor que el tiempo del reloj de Carol ya que se proporcionó y . ^{[4] : 80–90} ${\displaystyle kT}$ ${\displaystyle kT}$ ${\displaystyle t_{C}=2kT}$ ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle kT}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t_{A}=(k^{2}+1)T}$ ${\displaystyle t_{C}=2kT}$ $${\displaystyle t_{A}-t_{C}=(k^{2}-2k+1)T=(k-1)^{2}T>0,}$$ ${\displaystyle k\neq 1}$ ${\displaystyle T>0}$ 

Mediciones de radar y velocidad

Diagrama espacio-temporal para mediciones de radar

  Alicia

  Chelín

  Dave

  Pulso de radar

En la metodología del cálculo k , las distancias se miden utilizando un radar . Un observador envía un pulso de radar hacia un objetivo y recibe un eco de él. El pulso de radar (que viaja a , la velocidad de la luz) recorre una distancia total, ida y vuelta, que es el doble de la distancia al objetivo, y tarda un tiempo , donde y son los tiempos registrados por el reloj del observador en la transmisión y recepción del pulso de radar. Esto implica que la distancia al objetivo es ^{[2] : 60} ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle T_{2}-T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ $${\displaystyle x_{A}={\tfrac {1}{2}}c(T_{2}-T_{1}).}$$

Además, como la velocidad de la luz es la misma en ambas direcciones, el tiempo en el que el pulso del radar llega al objetivo debe estar, según el observador, a medio camino entre los tiempos de transmisión y recepción, es decir ^{[2] : 60} $${\displaystyle t_{A}={\tfrac {1}{2}}(T_{2}+T_{1}).}$$

En el caso particular donde el observador del radar es Alice y el objetivo es Bob (momentáneamente ubicado junto a Dave) como se describió anteriormente, por cálculo k tenemos , y por lo tanto ${\displaystyle T_{2}=k^{2}T_{1}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{A}&={\tfrac {1}{2}}c(k^{2}-1)T_{1}\\t_{A}&={\tfrac {1}{2}}(k^{2}+1)T_{1}.\end{aligned}}}$$

Como Alice y Bob estaban ubicados en el mismo punto , la velocidad de Bob con respecto a Alice está dada por ^{[4] : 103  [2] : 64} ${\displaystyle t_{A}=0,x_{A}=0}$

$${\displaystyle v={\frac {x_{A}}{t_{A}}}={\frac {{\tfrac {1}{2}}c(k^{2}-1)T_{1}}{{\tfrac {1}{2}}(k^{2}+1)T_{1}}}=c{\frac {k^{2}-1}{k^{2}+1}}=c{\frac {k-k^{-1}}{k+k^{-1}}}.}$$

Esta ecuación expresa la velocidad como una función del factor k de Bondi . Puede resolverse para obtener como una función de : ^{[4] : 103  [2] : 65} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle k={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}}.}$$

Composición de la velocidad

Diagrama del espacio-tiempo que muestra la composición del factor k

  Alicia

  Chelín

  Ed

  Destello de luz

Consideremos tres observadores inerciales, Alice, Bob y Ed, dispuestos en ese orden y moviéndose a diferentes velocidades a lo largo de la misma línea recta. En esta sección, se utilizará la notación para indicar el factor k de Alice a Bob (y de manera similar entre otros pares de observadores). ${\displaystyle k_{AB}}$

Como antes, Alice envía un destello azul hacia Bob y Ed cada segundo, según su reloj, que Bob recibe cada segundo, según el reloj de Bob, y Ed recibe cada segundo, según el reloj de Ed. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k_{AB}T}$ ${\displaystyle k_{AE}T}$

Ahora supongamos que cada vez que Bob recibe un destello azul de Alice, envía inmediatamente su propio destello rojo hacia Ed, una vez cada segundos según el reloj de Bob, por lo que Ed recibe un destello rojo de Bob cada segundos, según el reloj de Ed. El segundo postulado de Einstein, que la velocidad de la luz es independiente del movimiento de su fuente, implica que el destello azul de Alice y el destello rojo de Bob viajan a la misma velocidad, sin adelantarse entre sí, y por lo tanto llegan a Ed al mismo tiempo. Por lo tanto, medido por Ed, el intervalo del destello rojo y el intervalo del destello azul deben ser iguales. Por lo tanto, la regla para combinar k -factores es simplemente la multiplicación: ^{[4] : 105} ${\displaystyle k_{AB}T}$ ${\displaystyle k_{BE}(k_{AB}T)}$ ${\displaystyle k_{BE}(k_{AB}T)}$ ${\displaystyle k_{AE}T}$ $${\displaystyle k_{AE}=k_{AB}k_{BE}.}$$

Finalmente, sustituyendo se obtiene la fórmula de composición de velocidad ^{[4] : ​​105} $${\displaystyle k_{AB}={\sqrt {\frac {1+v_{AB}/c}{1-v_{AB}/c}}},\,k_{BE}={\sqrt {\frac {1+v_{BE}/c}{1-v_{BE}/c}}},\,v_{AE}=c{\frac {k_{AE}^{2}-1}{k_{AE}^{2}+1}}}$$ $${\displaystyle v_{AE}={\frac {v_{AB}+v_{BE}}{1+v_{AB}v_{BE}/c^{2}}}.}$$

El intervalo invariante

Diagrama espacio-temporal para la derivación del intervalo invariante y la transformación de Lorentz

  Alicia

  Chelín

  Pulso de radar

Utilizando el método de radar descrito anteriormente, el observador inercial Alice asigna coordenadas a un evento transmitiendo un pulso de radar en el tiempo y recibiendo su eco en el tiempo , según lo mide su reloj. ${\displaystyle (t_{A},x_{A})}$ ${\displaystyle t_{A}-x_{A}/c}$ ${\displaystyle t_{A}+x_{A}/c}$

De manera similar, el observador inercial Bob puede asignar coordenadas al mismo evento transmitiendo un pulso de radar en el tiempo y recibiendo su eco en el tiempo , medido por su reloj. Sin embargo, como muestra el diagrama, no es necesario que Bob genere su propia señal de radar, ya que simplemente puede tomar los tiempos de la señal de Alice. ${\displaystyle (t_{B},x_{B})}$ ${\displaystyle t_{B}-x_{B}/c}$ ${\displaystyle t_{B}+x_{B}/c}$

Ahora, aplicando el método de cálculo k a la señal que viaja de Alice a Bob $${\displaystyle k={\frac {t_{B}-x_{B}/c}{t_{A}-x_{A}/c}}.}$$

De manera similar, aplicando el método de cálculo k a la señal que viaja de Bob a Alice $${\displaystyle k={\frac {t_{A}+x_{A}/c}{t_{B}+x_{B}/c}}.}$$

Igualando las dos expresiones para y reordenando, ^{[4] : 118} ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle c^{2}t_{A}^{2}-x_{A}^{2}=c^{2}t_{B}^{2}-x_{B}^{2}.}$$

Esto establece que la cantidad es invariante: toma el mismo valor en cualquier sistema de coordenadas inerciales y se conoce como intervalo invariante . ${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}}$

La transformación de Lorentz

Las dos ecuaciones de la sección anterior se pueden resolver como ecuaciones simultáneas para obtener: ^{[4] : 118  [2] : 67} ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}ct_{B}&={\tfrac {1}{2}}(k+k^{-1})ct_{A}-{\tfrac {1}{2}}(k-k^{-1})x_{A}\\x_{B}&={\tfrac {1}{2}}(k+k^{-1})x_{A}-{\tfrac {1}{2}}(k-k^{-1})ct_{A}\end{aligned}}}$$

Estas ecuaciones son la transformación de Lorentz expresada en términos del factor k de Bondi en lugar de en términos de velocidad. Sustituyendo se obtiene la forma más tradicional . ^{[4] : 118  [2] : 67} $${\displaystyle k={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}},}$$ $${\displaystyle t_{B}={\frac {t_{A}-vx_{A}/c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}};\,x_{B}={\frac {x_{A}-vt_{A}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$$

Rapidez

La rapidez se puede definir a partir del factor k por ^{[2] : 71} y así ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \varphi =\log _{e}k,\,k=e^{\varphi },}$$ $${\displaystyle v=c{\frac {k-k^{-1}}{k+k^{-1}}}=c\tanh \varphi .}$$

La versión del factor k de la transformada de Lorentz se convierte en $${\displaystyle {\begin{aligned}ct_{B}&=ct_{A}\cosh \varphi -x_{A}\sinh \varphi \\x_{B}&=x_{A}\cosh \varphi -ct_{A}\sinh \varphi \end{aligned}}}$$

De la regla de composición para , , se deduce que la regla de composición para las rapideces es la adición: ^{[2] : 71} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{AE}=k_{AB}k_{BE}}$ $${\displaystyle \varphi _{AE}=\varphi _{AB}+\varphi _{BE}.}$$

Referencias

1. Mason, LJ; Woodhouse, NMJ "Relatividad y electromagnetismo" (PDF) . Consultado el 20 de febrero de 2021 .
2. Woodhouse, NMJ (2003). Relatividad especial . Springer. ISBN 1-85233-426-6.
3. Ray d'Inverno (1992). "Capítulo 2: El cálculo k ". Introducción a la relatividad de Einstein . Clarendon Press. ISBN 0-19-859686-3.
4. Bondi, Hermann (1964). Relatividad y sentido común. Nueva York: Doubleday & Company.(También publicado en 1965 en Gran Bretaña por Heinemann y reimpreso en 1980 por Dover.)
5. Milne, EA (1935). Relatividad, gravitación y estructura del mundo. Oxford University Press. págs. 36–38.

Enlaces externos

• Reseña de Bondi K-Calculus