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Potencial de Liénard-Wiechert

Los potenciales de Liénard-Wiechert describen el efecto electromagnético clásico de una carga puntual eléctrica en movimiento en términos de un potencial vectorial y un potencial escalar en el calibre de Lorenz . Procedentes directamente de las ecuaciones de Maxwell , describen el campo electromagnético completo, relativistamente correcto y variable en el tiempo para una carga puntual en movimiento arbitrario, pero no están corregidos para efectos de la mecánica cuántica . A partir de estos potenciales se puede obtener radiación electromagnética en forma de ondas . Estas expresiones fueron desarrolladas en parte por Alfred-Marie Liénard en 1898 [1] e independientemente por Emil Wiechert en 1900. [2] [3]

Ecuaciones

Definición de potenciales de Liénard-Wiechert

El tiempo retardado se define, en el contexto de distribuciones de cargas y corrientes, como

donde es el punto de observación, y es el punto observado sujeto a las variaciones de cargas y corrientes fuente. Porque una carga puntual en movimiento cuya trayectoria dada es , ya no es fija, sino que se convierte en función del tiempo retardado mismo. En otras palabras, siguiendo la trayectoria de se obtiene la ecuación implícita

que proporciona el tiempo retrasado en función del tiempo actual (y de la trayectoria dada):

.

Los potenciales de Liénard-Wiechert (campo de potencial escalar) y (campo de potencial vectorial) son, para una carga puntual fuente en una posición que viaja con velocidad :

y

dónde:

Esto también se puede escribir de forma covariante , donde el cuatro potencial electromagnético en es: [4]

donde y es la posición de la fuente y son sus cuatro velocidades.

Computación de campo

Podemos calcular los campos eléctrico y magnético directamente a partir de los potenciales usando las definiciones:

El cálculo no es trivial y requiere varios pasos. Los campos eléctrico y magnético son (en forma no covariante):

factor de Lorentz

Tenga en cuenta que la parte del primer término actualiza la dirección del campo hacia la posición instantánea de la carga, si continúa moviéndose con velocidad constante . Este término está relacionado con la parte "estática" del campo electromagnético de la carga.

El segundo término, que está relacionado con la radiación electromagnética por la carga en movimiento, requiere aceleración de la carga y si esta es cero, el valor de este término es cero y la carga no irradia (emite radiación electromagnética). Este término requiere además que una componente de la aceleración de la carga esté en una dirección transversal a la línea que conecta la carga y el observador del campo . La dirección del campo asociado con este término radiativo es hacia la posición de la carga totalmente retardada en el tiempo (es decir, donde estaba la carga cuando fue acelerada).

Derivación

Los potenciales escalar y vectorial satisfacen la ecuación de onda electromagnética no homogénea donde las fuentes se expresan con las densidades de carga y corriente y

Dado que los potenciales no son únicos, sino que tienen libertad de calibre , estas ecuaciones se pueden simplificar fijando el calibre . Una opción común es la condición del calibre de Lorenz :

Entonces las ecuaciones de ondas no homogéneas se desacoplan y se vuelven simétricas en los potenciales:

Generalmente, las soluciones retardadas para los potenciales escalar y vectorial (unidades SI) son

donde es el tiempo retardado y satisface la ecuación de onda homogénea sin fuentes y las condiciones de contorno. En el caso de que no existan límites alrededor de las fuentes entonces y .

Para una carga puntual en movimiento cuya trayectoria está dada en función del tiempo por , las densidades de carga y corriente son las siguientes:

donde es la función delta de Dirac tridimensional y es la velocidad de la carga puntual.

Sustituyendo en las expresiones del potencial se obtiene

Estas integrales son difíciles de evaluar en su forma actual, por lo que las reescribiremos reemplazándolas e integrando sobre la distribución delta :

Intercambiamos el orden de integración:

Se selecciona la función delta que nos permite realizar la integración interna con facilidad. Tenga en cuenta que es una función de , por lo que esta integración también soluciona .

El tiempo retardado es función del punto de campo y de la trayectoria de la fuente y, por tanto, depende de . Por lo tanto, para evaluar esta integral necesitamos la identidad

Medidor de Lorenz, campos eléctricos y magnéticos.

Para calcular las derivadas de y es conveniente calcular primero las derivadas del tiempo retardado. Tomando las derivadas de ambos lados de su ecuación definitoria (recordando que ):

De manera similar, tomando el gradiente con respecto a y usando la regla de la cadena multivariable se obtiene

Resulta que

Estos se pueden utilizar para calcular las derivadas del potencial vectorial y las expresiones resultantes son

Estos muestran que se cumple el calibre de Lorenz, es decir, que .

De manera similar se calcula:

Al observar que para cualquier vector , , :

De manera similar se da la expresión del campo magnético mencionada anteriormente:

Trascendencia

El estudio de la electrodinámica clásica fue fundamental para el desarrollo de la teoría de la relatividad por parte de Albert Einstein . El análisis del movimiento y la propagación de ondas electromagnéticas condujo a la descripción del espacio y el tiempo mediante la relatividad especial . La formulación de Liénard-Wiechert es una importante plataforma de lanzamiento hacia un análisis más profundo de las partículas en movimiento relativistas.

La descripción de Liénard-Wiechert es precisa para una partícula grande que se mueve independientemente (es decir, el tratamiento es "clásico" y la aceleración de la carga se debe a una fuerza independiente del campo electromagnético). La formulación de Liénard-Wiechert siempre proporciona dos conjuntos de soluciones: las cargas absorben los campos avanzados y se emiten campos retardados. Schwarzschild y Fokker consideraron el campo avanzado de un sistema de cargas en movimiento y el campo retardado de un sistema de cargas que tienen la misma geometría y cargas opuestas. La linealidad de las ecuaciones de Maxwell en el vacío permite sumar ambos sistemas, de modo que las cargas desaparecen: este truco permite que las ecuaciones de Maxwell se vuelvan lineales en la materia. La multiplicación de los parámetros eléctricos de ambos problemas por constantes reales arbitrarias produce una interacción coherente de la luz con la materia que generaliza la teoría de Einstein [5] , que ahora se considera la teoría fundacional de los láseres: no es necesario estudiar un gran conjunto de moléculas idénticas para obtener coherencia. amplificación en el modo obtenido por multiplicaciones arbitrarias de campos avanzados y retardados. Para calcular la energía, es necesario utilizar los campos absolutos que incluyen el campo de punto cero; de lo contrario, aparece un error, por ejemplo en el recuento de fotones.

Es importante tener en cuenta el campo de punto cero descubierto por Planck. [6] Reemplaza el coeficiente "A" de Einstein y explica que el electrón clásico es estable en las órbitas clásicas de Rydberg. Además, la introducción de las fluctuaciones del campo del punto cero produce la corrección de los niveles del átomo de H de Willis E. Lamb.

La electrodinámica cuántica ayudó a unir el comportamiento radiativo con las limitaciones cuánticas. Introduce la cuantificación de los modos normales del campo electromagnético en resonadores ópticos supuestos perfectos.

Límite de velocidad universal

La fuerza sobre una partícula en un lugar r determinado y en un tiempo t depende de manera complicada de la posición de las partículas fuente en un momento anterior t r debido a la velocidad finita, c , a la que viaja la información electromagnética. Una partícula en la Tierra "ve" una partícula cargada acelerarse en la Luna como sucedió hace 1,5 segundos, y la aceleración de una partícula cargada en el Sol como sucedió hace 500 segundos. Este momento anterior en el que ocurre un evento tal que una partícula en la ubicación r 've' este evento en un momento posterior t se llama tiempo retardado , t r . El tiempo de retardo varía según la posición; por ejemplo, el tiempo retrasado en la Luna es 1,5 segundos antes de la hora actual y el tiempo retrasado en el Sol es 500 s antes de la hora actual en la Tierra. El tiempo retardado t r = t r ( r , t ) está definido implícitamente por

¿Dónde es la distancia de la partícula a la fuente en el tiempo retardado? Sólo los efectos de las ondas electromagnéticas dependen plenamente del tiempo de retardo.

Una característica novedosa del potencial de Liénard-Wiechert se observa en la división de sus términos en dos tipos de términos de campo (ver más abajo), de los cuales sólo uno depende completamente del tiempo retardado. El primero de ellos es el término del campo eléctrico (o magnético) estático que depende sólo de la distancia a la carga en movimiento, y no depende en absoluto del tiempo retardado, si la velocidad de la fuente es constante. El otro término es dinámico, ya que requiere que la carga en movimiento se acelere con una componente perpendicular a la línea que conecta la carga y el observador y no aparece a menos que la fuente cambie de velocidad. Este segundo término está relacionado con la radiación electromagnética.

El primer término describe los efectos del campo cercano de la carga, y su dirección en el espacio se actualiza con un término que corrige cualquier movimiento de velocidad constante de la carga en su campo estático distante, de modo que el campo estático distante aparece a una distancia de la carga. , sin aberración de luz ni corrección de tiempo de luz . Este término, que corrige los retrasos en el tiempo en la dirección del campo estático, es requerido por la invariancia de Lorentz. Una carga que se mueve con velocidad constante debe aparecer ante un observador distante exactamente de la misma manera que una carga estática aparece ante un observador en movimiento, y en el último caso, la dirección del campo estático debe cambiar instantáneamente, sin demora. Por lo tanto, los campos estáticos (el primer término) apuntan exactamente a la verdadera posición instantánea (no retardada) del objeto cargado si su velocidad no ha cambiado durante el retardo de tiempo retardado. Esto es cierto sobre cualquier distancia que separe los objetos.

El segundo término, sin embargo, que contiene información sobre la aceleración y otros comportamientos únicos de la carga que no pueden eliminarse cambiando el marco de Lorentz (marco de referencia inercial del observador), depende totalmente para su dirección de la posición retardada en el tiempo de la carga. fuente. Por lo tanto, la radiación electromagnética (descrita por el segundo término) siempre parece provenir de la dirección de la posición de la carga emisora ​​en el tiempo retardado . Sólo este segundo término describe la transferencia de información sobre el comportamiento de la carga, cuya transferencia se produce (irradia desde la carga) a la velocidad de la luz. A distancias "lejanas" (más largas que varias longitudes de onda de radiación), la dependencia 1/R de este término hace que los efectos del campo electromagnético (el valor de este término de campo) sean más potentes que los efectos de campo "estáticos", que se describen mediante el 1/ R 2 del primer término (estático) y, por tanto, decae más rápidamente con la distancia a la carga.

Existencia y singularidad del tiempo retrasado.

Existencia

No se garantiza que el tiempo retrasado exista en general. Por ejemplo, si en un marco de referencia determinado se acaba de crear un electrón, en ese mismo momento otro electrón aún no siente en absoluto su fuerza electromagnética. Sin embargo, bajo ciertas condiciones, siempre existe un tiempo retrasado. Por ejemplo, si la carga fuente ha existido durante un período de tiempo ilimitado, durante el cual siempre ha viajado a una velocidad que no excede , entonces existe un tiempo retardado válido . Esto se puede ver considerando la función . En el presente ; . La derivada viene dada por

Por el teorema del valor medio , . Al hacerlo lo suficientemente grande, esto puede volverse negativo, es decir , en algún momento del pasado . Según el teorema del valor intermedio , existe un intermedio con , la ecuación que define el tiempo retardado. Intuitivamente, a medida que la carga fuente retrocede en el tiempo, la sección transversal de su cono de luz en el momento actual se expande más rápido de lo que puede retroceder, por lo que eventualmente debe llegar al punto . Esto no es necesariamente cierto si se permite que la velocidad de la carga fuente sea arbitrariamente cercana a , es decir , si para cualquier velocidad dada hubo algún tiempo en el pasado en el que la carga se movía a esta velocidad. En este caso, la sección transversal del cono de luz se acerca actualmente al punto cuando el observador retrocede en el tiempo, pero no necesariamente llega a él.

Unicidad

Para un punto y una trayectoria dados de la fuente puntual , existe como máximo un valor del tiempo retardado , es decir , un valor tal que . Esto se puede realizar suponiendo que hay dos tiempos retrasados ​​y , con . Entonces y . Restar da

desigualdad del triángulo

La conclusión es que, bajo ciertas condiciones, el tiempo retrasado existe y es único.

Ver también

Referencias

  1. ^ Liénard, A. (1898). "Champ électrique et magnétique produit par una carga concentrada en un punto y animación de un movimiento quelconque". L'Éclairage Électrique . 16 (27, 28, 29): 5–14, 53–59, 106–112.
  2. ^ Wiechert, E. (1901). "Elektrodynamische Elementargesetze". Annalen der Physik . 309 (4): 667–689. Código bibliográfico : 1901AnP...309..667W. doi : 10.1002/andp.19013090403.
  3. ^ Algunos aspectos en Emil Wiechert
  4. ^ David Tong: Conferencias sobre electromagnetismo, Conferencia 5: 4. Electromagnetismo y relatividad, Universidad de Cambridge
  5. ^ Einstein, A. (1917). "Zur Quantentheorie der Strahlung". Physikalische Zeitschrift (en alemán). 18 : 121-128. Código bibliográfico : 1917PhyZ...18..121E.
  6. ^ Planck, M. (1911). "Eine neue Strahlungshypothese". Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft (en alemán). 13 : 138-175.

enlaces externos