La paradoja de una carga en un campo gravitatorio es una aparente paradoja física en el contexto de la relatividad general . Una partícula cargada en reposo en un campo gravitatorio, como en la superficie de la Tierra, debe estar sostenida por una fuerza para evitar que caiga. Según el principio de equivalencia , debería ser indistinguible de una partícula en el espacio-tiempo plano que está siendo acelerada por una fuerza. Las ecuaciones de Maxwell dicen que una carga acelerada debería irradiar ondas electromagnéticas , pero dicha radiación no se observa en partículas estacionarias en campos gravitatorios.
Uno de los primeros en estudiar este problema fue Max Born en su artículo de 1909 sobre las consecuencias de una carga en un sistema uniformemente acelerado. [1] Preocupaciones anteriores y posibles soluciones fueron planteadas por Wolfgang Pauli (1918), [2] Max von Laue (1919), [3] y otros, pero el trabajo más reconocido sobre el tema es la resolución de Thomas Fulton y Fritz Rohrlich en 1960. [4] [5]
Un resultado estándar de las ecuaciones de Maxwell de la electrodinámica clásica es que una carga acelerada irradia. Es decir, produce un campo eléctrico que se reduce además de su campo de Coulomb en el sistema de reposo . Este campo eléctrico de radiación tiene un campo magnético que lo acompaña, y todo el campo de radiación electromagnética oscilante se propaga independientemente de la carga acelerada, llevándose consigo momento y energía. La energía de la radiación la proporciona el trabajo que acelera la carga.
La teoría de la relatividad general se basa en el principio de equivalencia de la gravitación y la inercia. Este principio establece que es imposible distinguir mediante cualquier medición local si uno se encuentra en un campo gravitatorio o si está siendo acelerado. Un ascensor en el espacio profundo, lejos de cualquier planeta, podría imitar un campo gravitatorio para sus ocupantes si pudiera acelerarse continuamente "hacia arriba". El hecho de que la aceleración provenga del movimiento o de la gravedad no supone ninguna diferencia para las leyes de la física. También se puede entender en términos de la equivalencia de la llamada masa gravitatoria y la masa inercial . La masa en la ley de gravitación universal de Newton (masa gravitatoria) es la misma que la masa en la segunda ley de movimiento de Newton (masa inercial). Se anulan cuando se equiparan, con el resultado descubierto por Galileo Galilei en 1638, de que todos los cuerpos caen a la misma velocidad en un campo gravitatorio, independientemente de su masa. Una famosa demostración de este principio se realizó en la Luna durante la misión Apolo 15 , cuando un martillo y una pluma fueron lanzados al mismo tiempo y golpearon la superficie al mismo tiempo.
Estrechamente relacionado con esta equivalencia está el hecho de que la gravedad desaparece en caída libre. Para los objetos que caen en un ascensor cuyo cable está cortado, todas las fuerzas gravitacionales desaparecen y las cosas comienzan a parecerse a la ausencia de fuerzas que flotan libremente, como se ve en los videos de la Estación Espacial Internacional . Un eje de la relatividad general es que todo debe caer junto en caída libre. Al igual que con la aceleración frente a la gravedad, ningún experimento debería ser capaz de distinguir los efectos de la caída libre en un campo gravitacional y estar en el espacio profundo, lejos de cualquier fuerza.
Si juntamos estos dos hechos básicos de la relatividad general y la electrodinámica, parece que nos encontramos con una paradoja: si dejamos caer juntas una partícula neutra y una partícula cargada en un campo gravitatorio, la partícula cargada debería empezar a irradiar a medida que se acelera bajo la gravedad, perdiendo así energía y desacelerándose con respecto a la partícula neutra. En ese caso, un observador en caída libre podría distinguir la caída libre de la verdadera ausencia de fuerzas, porque una partícula cargada en un laboratorio en caída libre empezaría a ser atraída hacia arriba con respecto a las partes neutras del laboratorio, aunque no hubiera campos eléctricos evidentes.
De manera equivalente, podemos pensar en una partícula cargada en reposo en un laboratorio sobre la superficie de la Tierra. Para estar en reposo, debe estar sostenida por algo que ejerza una fuerza hacia arriba sobre ella. Este sistema es equivalente a estar en el espacio exterior acelerada constantemente hacia arriba a 1 g , y sabemos que una partícula cargada acelerada hacia arriba a 1 g irradiaría. Sin embargo, no vemos radiación de partículas cargadas en reposo en el laboratorio. Parecería que podríamos distinguir entre un campo gravitatorio y una aceleración, porque una carga eléctrica aparentemente solo irradia cuando se acelera a través del movimiento, pero no a través de la gravedad.
La resolución de esta paradoja, al igual que la paradoja de los gemelos y la paradoja de la escalera , se logra con el cuidado apropiado al distinguir los marcos de referencia . Esta sección sigue el análisis de Fritz Rohrlich (1965), [6] quien muestra que una partícula cargada y una partícula neutra caen igualmente rápido en un campo gravitatorio. Del mismo modo, una partícula cargada en reposo en un campo gravitatorio no irradia en su marco de reposo, pero sí lo hace en el marco de un observador en caída libre. [7] : 13–14 El principio de equivalencia se conserva para partículas cargadas.
La clave es darse cuenta de que las leyes de la electrodinámica, las ecuaciones de Maxwell, se cumplen sólo dentro de un marco inercial , es decir, en un marco en el que todas las fuerzas actúan localmente y no hay aceleración neta cuando las fuerzas locales netas son cero. El marco podría ser la caída libre bajo la acción de la gravedad, o estar muy lejos en el espacio, lejos de cualquier fuerza. La superficie de la Tierra no es un marco inercial, ya que está siendo acelerada constantemente. Sabemos que la superficie de la Tierra no es un marco inercial porque un objeto en reposo allí puede no permanecer en reposo: los objetos en reposo caen al suelo cuando se los suelta. La gravedad es una “fuerza” ficticia no local dentro del marco de la superficie de la Tierra, al igual que la “fuerza” centrífuga. Por lo tanto, no podemos formular ingenuamente expectativas basadas en las ecuaciones de Maxwell en este marco. Es notable que ahora entendamos que las ecuaciones de Maxwell relativistas especiales no se cumplen, estrictamente hablando, en la superficie de la Tierra, a pesar de que fueron descubiertas en experimentos eléctricos y magnéticos realizados en laboratorios en la superficie de la Tierra. (Esto es similar a cómo el concepto de mecánica en un marco inercial no es aplicable a la superficie de la Tierra incluso ignorando la gravedad debido a su rotación - cf. por ejemplo el péndulo de Foucault , aunque originalmente se encontraron al considerar experimentos e intuiciones en tierra). Por lo tanto, en este caso, no podemos aplicar las ecuaciones de Maxwell a la descripción de una carga que cae en relación con un observador "apoyado", no inercial.
Las ecuaciones de Maxwell se pueden aplicar en relación con un observador en caída libre, porque la caída libre es un sistema inercial. Por lo tanto, el punto de partida de las consideraciones es trabajar en el sistema de caída libre en un campo gravitatorio, es decir, un observador "que cae". En el sistema de caída libre, las ecuaciones de Maxwell tienen su forma habitual, de espacio-tiempo plano, para el observador que cae. En este sistema, los campos eléctrico y magnético de la carga son simples: el campo eléctrico que cae es simplemente el campo de Coulomb de una carga en reposo, y el campo magnético es cero. Como acotación al margen, cabe señalar que estamos incorporando el principio de equivalencia desde el principio, incluida la suposición de que una partícula cargada cae con la misma rapidez que una partícula neutra.
Los campos medidos por un observador situado sobre la superficie de la Tierra son diferentes. Dados los campos eléctricos y magnéticos en el sistema de referencia descendente, tenemos que transformar esos campos en el sistema de referencia del observador situado sobre la superficie. Esta manipulación no es una transformación de Lorentz, porque los dos sistemas de referencia tienen una aceleración relativa. En su lugar, se debe utilizar la maquinaria de la relatividad general .
En este caso, el campo gravitatorio es ficticio porque se puede "transformar" mediante la elección adecuada del sistema de coordenadas en el marco descendente. A diferencia del campo gravitatorio total de la Tierra, aquí estamos asumiendo que el espacio-tiempo es localmente plano, de modo que el tensor de curvatura se desvanece. De manera equivalente, las líneas de aceleración gravitatoria son paralelas en todas partes, sin convergencias medibles en el laboratorio. Entonces, la métrica y el elemento de línea cilíndrico estático más general, de espacio plano, se pueden escribir:
donde es la velocidad de la luz, es el tiempo propio, son las coordenadas usuales del espacio y el tiempo, es la aceleración del campo gravitatorio, y es una función arbitraria de la coordenada pero debe aproximarse al valor newtoniano observado de . Esta fórmula es la métrica para el campo gravitatorio medido por el observador apoyado.
Mientras tanto, la métrica en el marco del observador que cae es simplemente la métrica de Minkowski :
A partir de estas dos métricas, Rohrlich construye la transformación de coordenadas entre ellas:
Cuando se aplica esta transformación de coordenadas a los campos eléctricos y magnéticos de la carga en el marco de referencia en reposo, se descubre que irradia . Rohrlich enfatiza que esta carga permanece en reposo en su marco de referencia en caída libre, tal como lo haría una partícula neutra. Además, la tasa de radiación para esta situación es invariante respecto de Lorentz, pero no es invariante bajo la transformación de coordenadas anterior porque no es una transformación de Lorentz.
Para ver si la carga soportada debe irradiar, comenzamos nuevamente en el marco descendente.
Como se observa desde el marco en caída libre, la carga sostenida parece estar acelerada uniformemente hacia arriba. Rohrlich trata el caso de la aceleración constante de una carga. [8] Encuentra que una carga uniformemente acelerada a una velocidad tiene una tasa de radiación dada por el invariante de Lorentz:
Los campos eléctricos y magnéticos correspondientes de una carga acelerada también se dan en Rohrlich. [8] Para encontrar los campos de la carga en el marco de soporte, los campos de la carga uniformemente acelerada se transforman de acuerdo con la transformación de coordenadas dada anteriormente. Cuando se hace eso, no se encuentra radiación en el marco de soporte desde una carga soportada, porque el campo magnético es cero en este marco. Rohrlich nota que el campo gravitacional distorsiona ligeramente el campo de Coulomb de la carga soportada, pero no lo suficiente como para ser observable. Entonces, aunque la ley de Coulomb fue descubierta en un marco de soporte, la relatividad general nos dice que el campo de tal carga no es precisamente .
La radiación de la carga soportada vista en el marco de caída libre (o viceversa) es algo curioso: uno podría preguntarse a dónde va. David G. Boulware (1980) [9] descubre que la radiación va hacia una región del espacio-tiempo inaccesible para el observador coacelerado y soportado. En efecto, un observador uniformemente acelerado tiene un horizonte de sucesos, y hay regiones del espacio-tiempo inaccesibles para este observador. Camila de Almeida y Alberto Saa (2006) [10] tienen un tratamiento más accesible del horizonte de sucesos del observador acelerado.
