Ecuación de onda electromagnética no homogénea

Ecuación en física

En electromagnetismo y sus aplicaciones, una ecuación de onda electromagnética no homogénea , o ecuación de onda electromagnética no homogénea , es una de un conjunto de ecuaciones de onda que describen la propagación de ondas electromagnéticas generadas por corrientes y cargas fuente distintas de cero . Los términos fuente en las ecuaciones de onda hacen que las ecuaciones diferenciales parciales sean no homogéneas ; si los términos fuente son cero, las ecuaciones se reducen a las ecuaciones de onda electromagnética homogéneas , que se derivan de las ecuaciones de Maxwell .

Ecuaciones de Maxwell

Como referencia, las ecuaciones de Maxwell se resumen a continuación en unidades del SI y unidades gaussianas . Regulan el campo eléctrico E y el campo magnético B debido a una densidad de carga de fuente ρ y una densidad de corriente J :

donde ε ₀ es la permitividad del vacío y μ ₀ es la permeabilidad del vacío . En todo momento, también se utiliza la relación . $${\displaystyle \varepsilon _{0}\mu _{0}={\dfrac {1}{c^{2}}}}$$

Unidades del SI

Campos E y B

Las ecuaciones de Maxwell pueden dar directamente ecuaciones de onda no homogéneas para el campo eléctrico E y el campo magnético B. ^[1] Sustituyendo la ley de Gauss para la electricidad y la ley de Ampère en el rizo de la ley de inducción de Faraday , y usando el rizo de la identidad del rizo ∇ × (∇ × X ) = ∇(∇ ⋅ X ) − ∇ ² X (El último término en el lado derecho es el laplaciano vectorial , no el laplaciano aplicado a funciones escalares), se obtiene la ecuación de onda para el campo eléctrico E : $${\displaystyle {\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =-\left({\dfrac {1}{\varepsilon _{0}}}\nabla \rho +\mu _{0}{\dfrac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}\right)\,.}$$

De manera similar, sustituyendo la ley de Gauss para el magnetismo en el rizo de la ley circuital de Ampère (con el término adicional dependiente del tiempo de Maxwell), y usando el rizo de la identidad del rizo, se obtiene la ecuación de onda para el campo magnético B : $${\displaystyle {\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =\mu _{0}\nabla \times \mathbf {J} \,.}$$

Los lados izquierdos de cada ecuación corresponden al movimiento ondulatorio (el operador D'Alembert que actúa sobre los campos), mientras que los lados derechos son las fuentes de las ondas. Las ecuaciones implican que se generan ondas electromagnéticas si hay gradientes en la densidad de carga ρ , circulaciones en la densidad de corriente J , densidad de corriente variable en el tiempo o cualquier combinación de estas.

Estas formas de las ecuaciones de onda no se utilizan a menudo en la práctica, ya que los términos originales son complicados. Una formulación más sencilla que se encuentra con más frecuencia en la literatura y se utiliza en teoría es la formulación del potencial electromagnético , que se presenta a continuación.

A yφcampos potenciales

Introduciendo el potencial eléctrico φ (un potencial escalar ) y el potencial magnético A (un potencial vectorial ) definidos a partir de los campos E y B por: $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,.}$$

Las cuatro ecuaciones de Maxwell en el vacío con fuentes de carga ρ y corriente J se reducen a dos ecuaciones, la ley de Gauss para la electricidad es: donde aquí es el laplaciano aplicado a funciones escalares, y la ley de Ampère-Maxwell es: donde aquí es el laplaciano vectorial aplicado a campos vectoriales. Los términos de fuente son ahora mucho más simples, pero los términos de onda son menos obvios. Dado que los potenciales no son únicos, sino que tienen libertad de calibre , estas ecuaciones se pueden simplificar mediante la fijación de calibre . Una opción común es la condición de calibre de Lorenz : $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho \,,}$$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}-\nabla \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\mu _{0}\mathbf {J} \,}$$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} =0}$$

Entonces las ecuaciones de onda no homogéneas se desacoplan y se vuelven simétricas en los potenciales: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho \,,\\[2.75ex]\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}&=-\mu _{0}\mathbf {J} \,.\end{aligned}}}$$

Como referencia, en unidades cgs estas ecuaciones son con la condición de calibre de Lorenz $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=-4\pi \rho \\[2ex]\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}&=-{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} =0\,.}$$

Forma covariante de la ecuación de onda no homogénea

Dilatación del tiempo en el movimiento transversal. El requisito de que la velocidad de la luz sea constante en todo sistema de referencia inercial conduce a la teoría de la relatividad.

Las ecuaciones relativistas de Maxwell se pueden escribir en forma covariante como donde es el operador d'Alembert , es la cuadricorriente , es el cuadrigradiente y es el cuadripotencial electromagnético con la condición de calibre de Lorenz. $${\displaystyle {\begin{aligned}\Box A^{\mu }&\ {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}\ \partial _{\beta }\partial ^{\beta }A^{\mu }\ {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}\ {A^{\mu ,\beta }}_{\beta }=-\mu _{0}J^{\mu }&&{\text{SI}}\\[1.15ex]\Box A^{\mu }&\ {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}\ \partial _{\beta }\partial ^{\beta }A^{\mu }\ {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}\ {A^{\mu ,\beta }}_{\beta }=-{\tfrac {4\pi }{c}}J^{\mu }&&{\text{cgs}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \Box =\partial _{\beta }\partial ^{\beta }=\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}$$ $${\displaystyle J^{\mu }=\left(c\rho ,\mathbf {J} \right)}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{a}}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \partial _{a}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {}_{,a}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (\partial /\partial ct,\nabla )}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A^{\mu }&=(\varphi /c,\mathbf {A} )&&{\text{SI}}\\[1ex]A^{\mu }&=(\varphi ,\mathbf {A} )&&{\text{cgs}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0\,.}$$

Espacio-tiempo curvado

La ecuación de onda electromagnética se modifica de dos maneras en el espacio-tiempo curvo , se sustituye la derivada por la derivada covariante y aparece un nuevo término que depende de la curvatura (unidades SI). donde es el tensor de curvatura de Ricci . Aquí el punto y coma indica diferenciación covariante. Para obtener la ecuación en unidades cgs, se sustituye la permeabilidad por 4 π / c . $${\displaystyle -{A^{\alpha ;\beta }}_{\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=\mu _{0}J^{\alpha }}$$ $${\displaystyle {R^{\alpha }}_{\beta }}$$

Se supone la condición de calibre de Lorenz en el espacio-tiempo curvo: $${\displaystyle {A^{\mu }}_{;\mu }=0\,.}$$

Soluciones a la ecuación de onda electromagnética no homogénea

Onda esférica retardada. La fuente de la onda se produce en el instante t ' . El frente de onda se aleja de la fuente a medida que aumenta el tiempo para t > t ' . En soluciones avanzadas, el frente de onda se mueve hacia atrás en el tiempo desde la fuente t < t ' .

En el caso de que no existan límites que rodeen las fuentes, las soluciones (unidades cgs) de las ecuaciones de onda no homogéneas son y donde es una función delta de Dirac . $${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {1}{c}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}-t\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\rho (\mathbf {r} ',t')\,d^{3}\mathbf {r} 'dt'}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {1}{c}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}-t\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t')}{c}}\,d^{3}\mathbf {r} 'dt'}$$ $${\displaystyle \delta \left(t'+{\tfrac {1}{c}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}-t\right)}$$

Estas soluciones se conocen como potenciales de calibre de Lorenz retardados y representan una superposición de ondas de luz esféricas que viajan hacia afuera desde las fuentes de las ondas, desde el presente hacia el futuro.

También existen soluciones avanzadas (unidades cgs) y $${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\delta \left(t'-{\tfrac {1}{c}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}-t\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\rho (\mathbf {r} ',t')\,d^{3}\mathbf {r} 'dt'}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\delta \left(t'-{\tfrac {1}{c}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}-t\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}{\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t') \over c}\,d^{3}\mathbf {r} 'dt'\,.}$$

Estas representan una superposición de ondas esféricas que viajan desde el futuro hacia el presente.

Véase también

• Ecuación de onda
• Soluciones de ondas planas sinusoidales de la ecuación de onda electromagnética
• Fórmula de Larmor
• Formulación covariante del electromagnetismo clásico
• Las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo
• Fuerza de Abraham-Lorentz
• Función de Green

Referencias

1. Jackson 1998, pág. 246

Electromagnetismo

Artículos de revistas

• James Clerk Maxwell, " Una teoría dinámica del campo electromagnético ", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155 , 459-512 (1865). (Este artículo acompañaba una presentación que Maxwell realizó el 8 de diciembre de 1864 ante la Royal Society.)

Libros de texto de nivel de pregrado

• Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Tipler, Paul (2004). Física para científicos e ingenieros: electricidad, magnetismo, luz y física moderna elemental (5.ª ed.). WH Freeman. ISBN 0-7167-0810-8.
• Purcell, Edward M. (1985). Electricidad y magnetismo . Nueva York: McGraw-Hill.
• Haus, Hermann A.; Melcher, James R. (1989). Campos electromagnéticos y energía . Prentice-Hall. ISBN 0-13-249020-X.
• Banesh Hoffman (1983). La relatividad y sus raíces . Nueva York: Freeman.
• David H. Staelin; Ann W. Morgenthaler; Jin Au Kong (1994). Ondas electromagnéticas . Prentice-Hall. ISBN 0-13-225871-4.
• Stevens, Charles F. (1995). Las seis teorías fundamentales de la física moderna . MIT Press. ISBN 0-262-69188-4..

Libros de texto de nivel de posgrado

• Robert Wald, Electromagnetismo clásico avanzado, (2022).
• Jackson, John D. (1998). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• Landau, LD , La teoría clásica de campos (Curso de física teórica: Volumen 2), (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987).
• Maxwell, James C. (1954). Tratado sobre electricidad y magnetismo . Dover. ISBN 0-486-60637-6.
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S. (1970). Gravitación . Nueva York: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.. (Proporciona un tratamiento de las ecuaciones de Maxwell en términos de formas diferenciales).

Cálculo vectorial y otros temas

• Schey, Harry Moritz (2005). Div, Grad, Curl y todo eso: Un texto informal sobre cálculo vectorial (4.ª ed.). Norton. ISBN 978-0-393-92516-6.
• Arfken et al., Mathematical Methods for Physicists, 6.ª edición (2005). Los capítulos 1 y 2 tratan el cálculo vectorial y el cálculo tensorial respectivamente.
• David Tong, Lectures on Vector Calculus . Notas de clase disponibles gratuitamente que se pueden encontrar aquí: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/vc.html