Problema con el imán en movimiento y el conductor

Experimento mental en física.

Conductor que se mueve en un campo magnético.

El problema del imán en movimiento y del conductor es un famoso experimento mental , que se originó en el siglo XIX, sobre la intersección del electromagnetismo clásico y la relatividad especial . En él, la corriente en un conductor que se mueve con velocidad constante, v , con respecto a un imán se calcula en el marco de referencia del imán y en el marco de referencia del conductor. La cantidad observable en el experimento, la corriente, es la misma en ambos casos, de acuerdo con el principio básico de la relatividad , que establece: "Sólo es observable el movimiento relativo ; no existe un estándar absoluto de reposo". ^{[1] [ se necesita una mejor fuente ]} Sin embargo, según las ecuaciones de Maxwell, las cargas en el conductor experimentan una fuerza magnética en la estructura del imán y una fuerza eléctrica en la estructura del conductor. Un mismo fenómeno parecería tener dos descripciones diferentes según el marco de referencia del observador.

Este problema, junto con el experimento de Fizeau , la aberración de la luz y, más indirectamente, las pruebas negativas de deriva del éter , como el experimento de Michelson-Morley , formaron la base del desarrollo de la teoría de la relatividad por parte de Einstein. ^[2]

Introducción

El artículo de Einstein de 1905 que introdujo al mundo a la relatividad comienza con una descripción del problema imán/conductor: ^[3]

Se sabe que la electrodinámica de Maxwell, tal como se entiende actualmente, aplicada a los cuerpos en movimiento, conduce a asimetrías que no parecen inherentes a los fenómenos. Tomemos, por ejemplo, la acción electrodinámica recíproca de un imán y un conductor. El fenómeno observable aquí depende sólo del movimiento relativo del conductor y del imán, mientras que la visión habitual establece una clara distinción entre los dos casos en los que uno u otro de estos cuerpos está en movimiento. Porque si el imán está en movimiento y el conductor en reposo, en las proximidades del imán se genera un campo eléctrico con una determinada energía, que produce una corriente en los lugares donde se encuentran las partes del conductor. Pero si el imán está estacionario y el conductor en movimiento, no surge ningún campo eléctrico en las proximidades del imán. En el conductor, sin embargo, encontramos una fuerza electromotriz, a la que en sí misma no hay energía correspondiente, pero que da lugar –suponiendo igualdad de movimiento relativo en los dos casos discutidos– a corrientes eléctricas de la misma trayectoria e intensidad que las producidas. por las fuerzas eléctricas en el primer caso.

—  A. Einstein, Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento (1905)

Un requisito primordial sobre las descripciones en diferentes marcos es que sean coherentes . La coherencia es un problema porque la mecánica newtoniana predice una transformación (la llamada invariancia galileana ) para las fuerzas que impulsan las cargas y causan la corriente, mientras que la electrodinámica, expresada por las ecuaciones de Maxwell, predice que los campos que dan origen a estas fuerzas se transforman de manera diferente (según a la invariancia de Lorentz ). Las observaciones de la aberración de la luz, que culminaron en el experimento de Michelson-Morley , establecieron la validez de la invariancia de Lorentz y el desarrollo de la relatividad especial resolvió el desacuerdo resultante con la mecánica newtoniana. La relatividad especial revisó la transformación de fuerzas en sistemas de referencia en movimiento para que fuera consistente con la invariancia de Lorentz. Los detalles de estas transformaciones se analizan a continuación.

Además de la coherencia, sería bueno consolidar las descripciones para que parezcan independientes del marco. Una pista para una descripción independiente del marco es la observación de que los campos magnéticos en un marco de referencia se convierten en campos eléctricos en otro marco. Asimismo, la porción solenoidal de los campos eléctricos (la porción que no se origina por cargas eléctricas) se convierte en un campo magnético en otro marco: es decir, los campos eléctricos solenoidales y los campos magnéticos son aspectos de la misma cosa. ^[4] Eso significa que la paradoja de diferentes descripciones puede ser sólo semántica . Una descripción que utiliza potenciales escalares y vectoriales φ y A en lugar de B y E evita la trampa semántica. Un vector de cuatro invariantes de Lorentz A ^α = (φ / c , A ) reemplaza a E y B ^[5] y proporciona una descripción independiente del marco (aunque menos visceral que la descripción E – B ). ^[6] Una unificación alternativa de descripciones es pensar en la entidad física como el tensor del campo electromagnético , como se describe más adelante. Este tensor contiene los campos E y B como componentes y tiene la misma forma en todos los marcos de referencia.

Fondo

Los campos electromagnéticos no son observables directamente. La existencia de campos electromagnéticos clásicos se puede deducir del movimiento de partículas cargadas, cuyas trayectorias son observables. Los campos electromagnéticos explican los movimientos observados de las partículas cargadas clásicas.

Un requisito importante en física es que todos los observadores del movimiento de una partícula estén de acuerdo sobre la trayectoria de la misma. Por ejemplo, si un observador nota que una partícula choca con el centro de una diana, entonces todos los observadores deben llegar a la misma conclusión. Este requisito impone limitaciones a la naturaleza de los campos electromagnéticos y a su transformación de un sistema de referencia a otro. También impone restricciones a la manera en que los campos afectan la aceleración y, por tanto, las trayectorias de las partículas cargadas.

Quizás el ejemplo más simple, al que Einstein hizo referencia en su artículo de 1905 introduciendo la relatividad especial , es el problema de un conductor que se mueve en el campo de un imán. En el marco del imán, un conductor experimenta una fuerza magnética . En la estructura de un conductor que se mueve con respecto al imán, el conductor experimenta una fuerza debido a un campo eléctrico . El campo magnético en el marco magnético y el campo eléctrico en el marco conductor deben generar resultados consistentes en el conductor. En la época de Einstein en 1905, las ecuaciones de campo representadas por las ecuaciones de Maxwell eran adecuadamente consistentes. Sin embargo, la ley del movimiento de Newton tuvo que modificarse para proporcionar trayectorias de partículas consistentes. ^[7]

Transformación de campos, asumiendo transformaciones galileanas.

Suponiendo que la estructura del imán y la estructura del conductor están relacionadas mediante una transformación de Galileo , es sencillo calcular los campos y las fuerzas en ambas estructuras. Esto demostrará que la corriente inducida es efectivamente la misma en ambos marcos. Como subproducto, este argumento también producirá una fórmula general para los campos eléctricos y magnéticos en un marco en términos de los campos en otro marco. ^[8]

En realidad, los marcos no están relacionados por una transformación galileana, sino por una transformación de Lorentz . Sin embargo, será una transformación galileana con una muy buena aproximación , a velocidades mucho menores que la de la luz.

Las cantidades no cebadas corresponden al marco de reposo del imán, mientras que las cantidades cebadas corresponden al marco de reposo del conductor. Sea v la velocidad del conductor, visto desde el marco del imán.

Marco magnético

En el marco de reposo del imán, el campo magnético es un campo fijo B ( r ), determinado por la estructura y forma del imán. El campo eléctrico es cero.

En general, la fuerza ejercida sobre una partícula de carga q en el conductor por el campo eléctrico y el campo magnético viene dada por (unidades SI):

$${\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),}$$

Ffuerza de Lorentz ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

Marco conductor

En la estructura conductora existe un campo magnético B ′ variable en el tiempo relacionado con el campo magnético B en la estructura magnética según: ^[9]

$${\displaystyle \mathbf {B} '(\mathbf {r'} ,t')=\mathbf {B} (\mathbf {r_{t'}} )}$$

${\displaystyle \mathbf {r_{t'}} =\mathbf {r'} +\mathbf {v} t'}$

En este marco, hay un campo eléctrico y su curvatura está dada por la ecuación de Maxwell-Faraday :

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} '=-{\frac {\partial \mathbf {B} '}{\partial t'}}.}$$

Esto produce:

$${\displaystyle \mathbf {E} '=\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

  Explicación de esta ecuación para . ${\displaystyle \mathbf {E} '}$

Para hacer esto explicable: si un conductor se mueve a través de un campo B con un gradiente , a lo largo del eje z con velocidad constante , se deduce que en el marco del conductor ${\displaystyle \partial B_{z}/\partial z}$ ${\displaystyle v_{z}=\partial z/\partial t}$

$${\displaystyle {\frac {\partial B'_{z}}{\partial t}}=v_{z}{\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}=-(\nabla \times \mathbf {E'} )_{z}={\frac {\partial E'_{x}}{\partial y}}-{\frac {\partial E'_{y}}{\partial x}}.}$$

Se puede observar que esta ecuación es consistente con

$${\displaystyle \mathbf {E'} =\mathbf {v} \times \mathbf {B} =v_{z}B_{x}{\hat {y}}-v_{z}B_{y}{\hat {x}},}$$

determinando y a partir de esta expresión y sustituyéndola en la primera expresión mientras se usa esa ${\displaystyle \partial E'_{x}/\partial y}$ ${\displaystyle \partial E_{y}'/\partial x}$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} ={\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial B_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}=0.}$$

Incluso en el límite de gradientes pequeños infinitesimales estas relaciones se mantienen y, por lo tanto, la ecuación de fuerza de Lorentz también es válida si el campo magnético en la estructura conductora no varía en el tiempo. A velocidades relativistas se necesita un factor de corrección, ver más abajo y Electromagnetismo clásico y relatividad especial y transformación de Lorentz. ${\displaystyle \partial B_{z}/\partial z}$

Una carga q en el conductor estará en reposo en la estructura del conductor. Por lo tanto, el término de fuerza magnética de la fuerza de Lorentz no tiene ningún efecto y la fuerza sobre la carga viene dada por

$${\displaystyle \mathbf {F} '=q\mathbf {E} '=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

Esto demuestra que la fuerza es la misma en ambos marcos (como sería de esperar) y, por lo tanto, cualquier consecuencia observable de esta fuerza, como la corriente inducida, también sería la misma en ambos marcos. Esto a pesar de que se considera que la fuerza es una fuerza eléctrica en la estructura del conductor, pero una fuerza magnética en la estructura del imán.

Fórmula de transformación galileana para campos.

Se puede presentar un argumento similar si la estructura del imán también contiene campos eléctricos. (La ecuación de Ampere-Maxwell también entra en juego, explicando cómo, en la estructura del conductor, este campo eléctrico en movimiento contribuirá al campo magnético). El resultado es que, en general,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} '&=\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \\[1ex]\mathbf {B} '&=\mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} ,\end{aligned}}}$$

cvelocidad de la luzel espacio libre

Al conectar estas reglas de transformación a las ecuaciones de Maxwell completas, se puede ver que si las ecuaciones de Maxwell son verdaderas en un marco, entonces son casi verdaderas en el otro, pero contienen términos incorrectos proporcionales a la cantidad v/c elevada al segundo o mayor potencia. En consecuencia, estas no son reglas de transformación exactas, pero son una aproximación cercana a bajas velocidades. A grandes velocidades cercanas a la velocidad de la luz, la transformación de Galileo debe ser reemplazada por la transformación de Lorentz, y las ecuaciones de transformación de campo también deben cambiarse, de acuerdo con las expresiones que se dan a continuación.

Transformación de campos según lo predicho por las ecuaciones de Maxwell.

En un marco que se mueve a velocidad v , el campo E en el marco en movimiento cuando no hay campo E en el marco magnético estacionario. Las ecuaciones de Maxwell se transforman como: ^[10]

$${\displaystyle \mathbf {E} '=\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {B} }$$

$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{(v/c)}^{2}}}}}$$

factor de Lorentzclos sistemas inercialesc

En consecuencia, la fuerza sobre la carga es

$${\displaystyle \mathbf {F} '=q\mathbf {E} '=q\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

Esta expresión difiere de la expresión obtenida de la ley del movimiento de Newton no relativista por un factor de . La relatividad especial modifica el espacio y el tiempo de tal manera que las fuerzas y los campos se transforman consistentemente. ${\displaystyle \gamma }$

Modificación de la dinámica para mantener la coherencia con las ecuaciones de Maxwell.

Figura 1: Barra conductora vista desde dos marcos inerciales; en un cuadro la barra se mueve con velocidad v ; en el marco preparado la barra está estacionaria porque el marco preparado se mueve a la misma velocidad que la barra. El campo B varía con la posición en la dirección x .

La fuerza de Lorentz tiene la misma forma en ambos marcos, aunque los campos difieren, a saber:

$${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right].}$$

Vea la Figura 1. Para simplificar, deje que el campo magnético apunte en la dirección z y varíe con la ubicación x , y deje que el conductor se traslade en la dirección x positiva con velocidad v . En consecuencia, en el marco del imán donde se mueve el conductor, la fuerza de Lorentz apunta en la dirección y negativa , perpendicular tanto a la velocidad como al campo B. La fuerza sobre una carga, aquí debida sólo al campo B , es

$${\displaystyle F_{y}=-qvB,}$$

yE

$${\displaystyle {F_{y}}'=qE'=-q\gamma vB.}$$

Las dos fuerzas se diferencian por el factor de Lorentz γ. Sin embargo, esta diferencia es esperable en una teoría relativista debido al cambio en el espacio-tiempo entre fotogramas, como se analiza a continuación.

La relatividad toma la transformación de Lorentz del espacio-tiempo sugerida por la invariancia de las ecuaciones de Maxwell y la impone también a la dinámica (una revisión de las leyes del movimiento de Newton ). En este ejemplo, la transformación de Lorentz afecta solo a la dirección x (el movimiento relativo de los dos cuadros es a lo largo de la dirección x ). Las relaciones que conectan el tiempo y el espacio son ( los primos denotan el marco conductor en movimiento): ^[11]

$${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\gamma \left(x-vt\right),&x&=\gamma \left(x'+vt'\right),\\[1ex]t'&=\gamma \left(t-{\tfrac {vx}{c^{2}}}\right),&t&=\gamma \left(t'+{\tfrac {vx'}{c^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

Estas transformaciones conducen a un cambio en la componente y de una fuerza :

$${\displaystyle {F_{y}}'=\gamma F_{y}.}$$

Es decir, dentro de la invariancia de Lorentz , la fuerza no es la misma en todos los marcos de referencia, a diferencia de la invariancia galileana. Pero, del análisis anterior basado en la ley de fuerza de Lorentz:

$${\displaystyle \gamma F_{y}=-q\gamma vB,\quad {F_{y}}'=-q\gamma vB,}$$

no

Ver también

• Papeles del Annus Mirabilis
• Darwin Lagrangiano
• corrientes de Foucault
• Motor eléctrico
• Los experimentos mentales de Einstein
• ley de faraday
• paradoja de faraday
• invariancia galileana
• Sistema inercial
• ley de lenz
• Transformación de Lorentz
• Principio de relatividad
• Electromagnetismo relativista
• Teoría especial de la relatividad

Referencias y notas

1. Las Leyes de la Física son las mismas en todos los sistemas inerciales .
2. Norton, John D. (2004), "Investigaciones de Einstein sobre la electrodinámica covariante galileana antes de 1905", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 59 (1): 45–105, Bibcode :2004AHES...59...45N, doi :10.1007/s00407-004-0085-6, S2CID  17459755
3. Saha, Meghnad (1920). El principio de la relatividad: artículos originales de A. Einstein y H. Minkowski. Universidad de Calcuta.
4. Hay dos constituyentes del campo eléctrico: un campo solenoidal (o campo incompresible ) y un campo conservador (o campo irrotacional ). El primero es transformable en campo magnético cambiando el marco de referencia, el segundo se origina en carga eléctrica, y se transforma siempre en campo eléctrico, aunque de distinta magnitud.
5. El símbolo c representa la velocidad de la luz en el espacio libre .
6. Sin embargo, φ y A no están completamente separados, por lo que los dos tipos de campo E no están completamente separados. Ver Jackson De Lorenz a Coulomb y otras transformaciones de calibre explícitas. El autor enfatiza que Lorenz no es un error tipográfico.
7. Roger Penrose (Martin Gardner: prólogo) (1999). La nueva mente del emperador: sobre las computadoras, la mente y las leyes de la física. Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 248.ISBN​ 0-19-286198-0.
8. Véase Jackson, Electrodinámica clásica , Sección 5.15.
9. Esta expresión puede considerarse como una suposición basada en nuestra experiencia con los imanes, de que sus campos son independientes de su velocidad. A velocidades relativistas, o en presencia de un campo eléctrico en el marco del imán, esta ecuación no sería correcta.
10. Tai L. Chow (2006). Teoría electromagnética. Sudbury MA: Jones y Bartlett. Capítulo 10.21, pág. 402–403 y sigs. ISBN 0-7637-3827-1.
11. Tai L. Chow (2006). Teoría electromagnética. Sudbury MA: Jones y Bartlett. Capítulo 10.5, pág. 368 y sigs. ISBN 0-7637-3827-1.

Otras lecturas

• Einstein, A. (1916). Relatividad: la teoría especial y general. Nueva York: Corona. ISBN 0-517-02961-8.
• Feynman, Richard P .; Leighton, Robert B .; Arenas, Mateo (2006). Las conferencias Feynman sobre física . vol. 2. Pearson/Addison-Wesley. Págs. 13-6 Capítulo 13. ISBN 0-8053-9045-6.(La relatividad de los campos magnéticos y eléctricos)
• Misner, Charles; Thorne, Kip S. y Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Landau, LD y Lifshitz, EM (1975). Teoría clásica de campos (Cuarta edición revisada en inglés). Oxford: Pérgamo. ISBN 0-08-018176-7.
• Jackson, John D. (1998). Electrodinámica clásica (3ª ed.) . Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• C. Moller (1976). La teoría de la relatividad (Segunda ed.). Oxford Reino Unido: Oxford University Press. ISBN 0-19-560539-X. OCLC  220221617.

enlaces externos

• Imanes y conductores en relatividad especial.