En matemáticas , la teoría de Galois , introducida originalmente por Évariste Galois , proporciona una conexión entre la teoría de campos y la teoría de grupos . Esta conexión, teorema fundamental de la teoría de Galois , permite reducir ciertos problemas de la teoría de campos a la teoría de grupos, lo que los hace más simples y fáciles de entender.
Galois introdujo el tema del estudio de raíces de polinomios . Esto le permitió caracterizar las ecuaciones polinómicas que se pueden resolver mediante radicales en términos de propiedades del grupo de permutación de sus raíces: una ecuación se puede resolver mediante radicales si sus raíces pueden expresarse mediante una fórmula que incluya sólo números enteros , raíces n -ésimas y las cuatro operaciones aritméticas básicas . Esto generaliza ampliamente el teorema de Abel-Ruffini , que afirma que un polinomio general de grado al menos cinco no puede resolverse mediante radicales.
La teoría de Galois se ha utilizado para resolver problemas clásicos, incluido mostrar que dos problemas de la antigüedad no se pueden resolver como se plantearon ( duplicar el cubo y trisecar el ángulo ), y caracterizar los polígonos regulares que son construibles (esta caracterización fue dada anteriormente por Gauss , pero todas las pruebas conocidas de que esta caracterización es completa requieren la teoría de Galois).
La obra de Galois fue publicada por Joseph Liouville catorce años después de su muerte. La teoría tardó más en hacerse popular entre los matemáticos y en ser bien comprendida.
La teoría de Galois se ha generalizado a las conexiones de Galois y a la teoría de Galois de Grothendieck .
El nacimiento y desarrollo de la teoría de Galois se debió a la siguiente pregunta, que fue una de las principales cuestiones matemáticas abiertas hasta principios del siglo XIX:
¿Existe una fórmula para las raíces de una ecuación polinómica de quinto (o superior) grado en términos de los coeficientes del polinomio, utilizando sólo las operaciones algebraicas habituales (suma, resta, multiplicación, división) y aplicación de radicales (raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc)?
El teorema de Abel-Ruffini proporciona un contraejemplo que demuestra que existen ecuaciones polinómicas para las que no puede existir tal fórmula. La teoría de Galois proporciona una respuesta mucho más completa a esta pregunta, al explicar por qué es posible resolver algunas ecuaciones, incluidas todas las de grado cuatro o inferior, de la manera anterior, y por qué no es posible para la mayoría de las ecuaciones de grado cinco. o mas alto. Además, proporciona un medio para determinar si una ecuación particular puede resolverse que sea conceptualmente clara y fácil de expresar como un algoritmo .
La teoría de Galois también proporciona una visión clara de cuestiones relativas a problemas en la construcción con compás y regla . Proporciona una caracterización elegante de las proporciones de longitudes que se pueden construir con este método. Usando esto, resulta relativamente fácil responder a problemas clásicos de geometría como
La teoría de Galois se originó en el estudio de funciones simétricas : los coeficientes de un polinomio mónico son ( hasta el signo) los polinomios simétricos elementales en las raíces. Por ejemplo, ( x – a )( x – b ) = x 2 – ( a + b ) x + ab , donde 1, a + b y ab son los polinomios elementales de grado 0, 1 y 2 en dos variables.
Esto fue formalizado por primera vez por el matemático francés del siglo XVI François Viète , en las fórmulas de Viète , para el caso de raíces reales positivas. En opinión del matemático británico del siglo XVIII Charles Hutton , [2] la expresión de los coeficientes de un polinomio en términos de las raíces (no sólo para raíces positivas) fue entendida por primera vez por el matemático francés del siglo XVII Albert Girard ; Huton escribe:
...[Girard fue] la primera persona que entendió la doctrina general de la formación de los coeficientes de las potencias a partir de la suma de las raíces y sus productos. Fue el primero en descubrir las reglas para sumar las potencias de las raíces de cualquier ecuación.
En este sentido, el discriminante es una función simétrica en las raíces que refleja las propiedades de las raíces: es cero si y sólo si el polinomio tiene una raíz múltiple, y para polinomios cuadráticos y cúbicos es positivo si y sólo si todas las raíces son real y distinta, y negativa si y sólo si hay un par de raíces conjugadas complejas distintas. Ver Discriminante: Naturaleza de las raíces para más detalles.
La cúbica fue resuelta parcialmente por primera vez por el matemático italiano de los siglos XV y XVI Scipione del Ferro , quien sin embargo no publicó sus resultados; Sin embargo, este método sólo resolvió un tipo de ecuación cúbica. Esta solución fue redescubierta de forma independiente en 1535 por Niccolò Fontana Tartaglia , quien la compartió con Gerolamo Cardano , pidiéndole que no la publicara. Cardano luego extendió esto a muchos otros casos, utilizando argumentos similares; ver más detalles en Método de Cardano . Después del descubrimiento del trabajo de Del Ferro, sintió que el método de Tartaglia ya no era secreto y, por ello, publicó su solución en su Ars Magna de 1545 . [3] Su alumno Lodovico Ferrari resolvió el polinomio cuártico; su solución también se incluyó en Ars Magna. En este libro, sin embargo, Cardano no proporcionó una "fórmula general" para la solución de una ecuación cúbica, ya que no tenía números complejos a su disposición ni la notación algebraica para poder describir una ecuación cúbica general. Con el beneficio de la notación moderna y los números complejos, las fórmulas de este libro funcionan en el caso general, pero Cardano no lo sabía. Fue Rafael Bombelli quien logró entender cómo trabajar con números complejos para poder resolver todas las formas de ecuaciones cúbicas.
Un paso más fue el artículo de 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations del matemático franco-italiano Joseph Louis Lagrange , en su método de resolutivos de Lagrange , donde analizó la solución de cúbicas y cuárticas de Cardano y Ferrari considerándolas en términos de permutaciones de las raíces, que produjeron un polinomio auxiliar de menor grado, proporcionando una comprensión unificada de las soluciones y sentando las bases para la teoría de grupos y la teoría de Galois. Sin embargo, lo más importante es que no consideró la composición de las permutaciones. El método de Lagrange no se extendió a ecuaciones quínticas o superiores, porque el resolutivo tenía un grado mayor.
Los radicales Paolo Ruffini en 1799 casi demostraron que la quíntica no tenía soluciones generales , cuya idea clave fue utilizar grupos de permutaciones , no solo una permutación única. Su solución contenía una brecha, que Cauchy consideraba menor, aunque no fue reparada hasta el trabajo del matemático noruego Niels Henrik Abel , quien publicó una prueba en 1824, estableciendo así el teorema de Abel-Ruffini .
Si bien Ruffini y Abel establecieron que la quíntica general no se podía resolver, algunas quínticas particulares sí se pueden resolver, como x 5 - 1 = 0 , y el criterio preciso mediante el cual se puede determinar si una quíntica determinada o un polinomio superior tiene solución o no fue dada por Évariste Galois , quien demostró que si un polinomio era resoluble o no era equivalente a si el grupo de permutación de sus raíces –en términos modernos, su grupo de Galois– tenía o no una determinada estructura –en términos modernos, tuviera o no Era un grupo solucionable . Este grupo siempre fue resoluble para polinomios de grado cuatro o menos, pero no siempre así para polinomios de grado cinco y mayores, lo que explica por qué no existe una solución general en grados superiores.
En 1830, Galois (a la edad de 18 años) presentó a la Academia de Ciencias de París una memoria sobre su teoría de la solubilidad por radicales; El artículo de Galois fue finalmente rechazado en 1831 por ser demasiado incompleto y por dar una condición en términos de las raíces de la ecuación en lugar de sus coeficientes. Luego, Galois murió en un duelo en 1832, y su artículo, " Mémoire sur les condition de résolubilité des équations par radicaux ", permaneció inédito hasta 1846, cuando fue publicado por Joseph Liouville acompañado de algunas de sus propias explicaciones. [4] Antes de esta publicación, Liouville anunció el resultado de Galois a la Academia en un discurso que pronunció el 4 de julio de 1843. [5] Según Allan Clark, la caracterización de Galois "reemplaza dramáticamente el trabajo de Abel y Ruffini". [6]
La teoría de Galois era notablemente difícil de entender para sus contemporáneos, especialmente hasta el punto de poder ampliarla. Por ejemplo, en su comentario de 1846, Liouville pasó por alto por completo el núcleo de la teoría de grupos del método de Galois. [7] Joseph Alfred Serret , que asistió a algunas de las charlas de Liouville, incluyó la teoría de Galois en la tercera edición de su libro de texto Cours d'algèbre supérieure de 1866 . La alumna de Serret, Camille Jordan , tenía una comprensión aún mejor reflejada en su libro de 1870 Traité des substitutions et des équations algébriques . Fuera de Francia, la teoría de Galois permaneció más oscura durante un período más largo. En Gran Bretaña, Cayley no logró captar su profundidad y los populares libros de texto de álgebra británicos ni siquiera mencionaron la teoría de Galois hasta mucho después del cambio de siglo. En Alemania, los escritos de Kronecker se centraron más en el resultado de Abel. Dedekind escribió poco sobre la teoría de Galois, pero dio una conferencia sobre ella en Göttingen en 1858, demostrando una muy buena comprensión. [8] Los libros de Eugen Netto de la década de 1880, basados en el Traité de Jordan , hicieron que la teoría de Galois fuera accesible a una audiencia alemana y estadounidense más amplia, al igual que el libro de texto de álgebra de 1895 de Heinrich Martin Weber . [9]
Dado un polinomio, puede ser que algunas de las raíces estén conectadas por varias ecuaciones algebraicas . Por ejemplo, puede ser que para dos de las raíces, digamos A y B , A 2 + 5 B 3 = 7 . La idea central de la teoría de Galois es considerar permutaciones (o reordenamientos) de las raíces de modo que cualquier ecuación algebraica satisfecha por las raíces siga satisfaciéndose después de que las raíces hayan sido permutadas. Originalmente, la teoría había sido desarrollada para ecuaciones algebraicas cuyos coeficientes son números racionales . Naturalmente, se extiende a ecuaciones con coeficientes en cualquier campo , pero esto no se considerará en los ejemplos simples siguientes.
Estas permutaciones juntas forman un grupo de permutaciones , también llamado grupo de Galois del polinomio, que se describe explícitamente en los siguientes ejemplos.
Considere la ecuación cuadrática
Usando la fórmula cuadrática , encontramos que las dos raíces son
Ejemplos de ecuaciones algebraicas satisfechas por A y B incluyen
y
Si intercambiamos A y B en cualquiera de las dos últimas ecuaciones obtenemos otro enunciado verdadero. Por ejemplo, la ecuación A + B = 4 se convierte en B + A = 4 . En términos más generales, es cierto que esto se cumple para toda relación algebraica posible entre A y B tal que todos los coeficientes sean racionales ; es decir, en cualquier relación de este tipo, intercambiar A y B produce otra relación verdadera. Esto resulta de la teoría de los polinomios simétricos , que, en este caso, puede ser reemplazada por manipulaciones de fórmulas que involucran el teorema del binomio .
Se podría objetar que A y B están relacionados por la ecuación algebraica A − B − 2 √ 3 = 0 , lo que no sigue siendo cierto cuando A y B se intercambian. Sin embargo, esta relación no se considera aquí porque tiene el coeficiente −2 √ 3 que no es racional .
Concluimos que el grupo de Galois del polinomio x 2 − 4 x + 1 consta de dos permutaciones: la permutación de identidad que deja A y B intactos, y la permutación de transposición que intercambia A y B. Como todos los grupos con dos elementos son isomorfos , este grupo de Galois es isomorfo al grupo multiplicativo {1, −1} .
Una discusión similar se aplica a cualquier polinomio cuadrático ax 2 + bx + c , donde a , b y c son números racionales.
Considere el polinomio
que también se puede escribir como
Deseamos describir el grupo de Galois de este polinomio, nuevamente sobre el campo de los números racionales . El polinomio tiene cuatro raíces:
Hay 24 formas posibles de permutar estas cuatro raíces, pero no todas estas permutaciones son miembros del grupo de Galois. Los miembros del grupo de Galois deben preservar cualquier ecuación algebraica con coeficientes racionales que involucren A , B , C y D.
Entre estas ecuaciones tenemos:
De ello se deduce que, si φ es una permutación que pertenece al grupo de Galois, debemos tener:
Esto implica que la permutación está bien definida por la imagen de A , y que el grupo de Galois tiene 4 elementos, que son:
Esto implica que el grupo de Galois es isomorfo al grupo de cuatro de Klein .
En el enfoque moderno, se comienza con una extensión de campo L / K (léase " L sobre K ") y se examina el grupo de automorfismos de L que fijan K. Consulte el artículo sobre grupos de Galois para obtener más explicaciones y ejemplos.
La conexión entre los dos enfoques es la siguiente. Los coeficientes del polinomio en cuestión deben elegirse del campo base K. El campo superior L debe ser el campo obtenido al unir las raíces del polinomio en cuestión al campo base K. Cualquier permutación de las raíces que respete las ecuaciones algebraicas descritas anteriormente da lugar a un automorfismo de L / K , y viceversa.
En el primer ejemplo anterior, estábamos estudiando la extensión Q ( √ 3 )/ Q , donde Q es el campo de los números racionales y Q ( √ 3 ) es el campo obtenido de Q al unir √ 3 . En el segundo ejemplo, estábamos estudiando la extensión Q ( A , B , C , D )/ Q .
El enfoque moderno tiene varias ventajas sobre el enfoque de grupo de permutación.
La noción de grupo soluble en teoría de grupos permite determinar si un polinomio se puede resolver en radicales, dependiendo de si su grupo de Galois tiene la propiedad de solubilidad. En esencia, cada extensión de campo L / K corresponde a un grupo de factores en una serie de composición del grupo de Galois. Si un grupo de factores en la serie de composición es cíclico de orden n , y si en la correspondiente extensión de campo L / K el campo K ya contiene una primitiva n- ésima raíz de la unidad , entonces es una extensión radical y los elementos de L pueden entonces expresarse usando la n- ésima raíz de algún elemento de K.
Si todos los grupos de factores en su serie de composición son cíclicos, el grupo de Galois se llama soluble y todos los elementos del campo correspondiente se pueden encontrar tomando raíces, productos y sumas de elementos repetidamente del campo base (generalmente Q ). .
Uno de los grandes triunfos de la teoría de Galois fue la demostración de que para cada n > 4 , existen polinomios de grado n que no se pueden resolver mediante radicales (esto lo demostró de forma independiente, utilizando un método similar, Niels Henrik Abel unos años antes, y es el teorema de Abel-Ruffini ), y una forma sistemática de probar si un polinomio específico se puede resolver mediante radicales. El teorema de Abel-Ruffini resulta del hecho de que para n > 4 el grupo simétrico S n contiene un subgrupo normal simple , no cíclico , es decir , el grupo alterno An .
Van der Waerden [10] cita el polinomio f ( x ) = x 5 − x − 1 .
Según el teorema de la raíz racional , esto no tiene ceros racionales.
Tampoco tiene factores lineales módulo 2 o 3.
El grupo de Galois de f ( x ) módulo 2 es cíclico de orden 6, porque f ( x ) módulo 2 se factoriza en polinomios de órdenes 2 y 3, ( x 2 + x + 1)( x 3 + x 2 + 1 ) .
f ( x ) módulo 3 no tiene factor lineal o cuadrático y, por tanto, es irreducible. Por tanto, su grupo de Galois de módulo 3 contiene un elemento de orden 5.
Se sabe [11] que un grupo de Galois módulo primo es isomorfo a un subgrupo del grupo de Galois sobre los racionales. Un grupo de permutación de 5 objetos con elementos de orden 6 y 5 debe ser el grupo simétrico S 5 , que por tanto es el grupo de Galois de f ( x ) .
Este es uno de los ejemplos más simples de un polinomio quíntico no soluble. Según Serge Lang , a Emil Artin le gustaba este ejemplo. [12]
El problema inverso de Galois consiste en encontrar una extensión de campo con un grupo de Galois dado.
Mientras no se especifique también el campo fundamental , el problema no es muy difícil y todos los grupos finitos ocurren como grupos de Galois. Para demostrar esto, se puede proceder de la siguiente manera. Elija un campo K y un grupo finito G. El teorema de Cayley dice que G es ( hasta el isomorfismo) un subgrupo del grupo simétrico S sobre los elementos de G. Elija indeterminados { x α } , uno para cada elemento α de G , y únalos a K para obtener el campo F = K ({ x α }) . Contenido dentro de F está el campo L de funciones racionales simétricas en { x α } . El grupo Galois de F / L es S , por un resultado básico de Emil Artin. G actúa sobre F por restricción de acción de S. Si el campo fijo de esta acción es M , entonces, según el teorema fundamental de la teoría de Galois , el grupo de Galois de F / M es G.
Por otro lado, es un problema abierto si todo grupo finito es el grupo de Galois de una extensión de campo del campo Q de los números racionales. Igor Shafarevich demostró que todo grupo finito soluble es el grupo de Galois de alguna extensión de Q. Varias personas han resuelto el problema inverso de Galois para grupos simples no abelianos seleccionados . Se ha demostrado la existencia de soluciones para todos menos posiblemente uno ( grupo Mathieu M 23 ) de los 26 grupos simples esporádicos. Incluso existe un polinomio con coeficientes integrales cuyo grupo de Galois es el grupo Monster .
En la forma mencionada anteriormente, incluido en particular el teorema fundamental de la teoría de Galois , la teoría sólo considera extensiones de Galois, que son en particular separables. Las extensiones de campo generales se pueden dividir en una extensión de campo separable, seguida de una extensión de campo puramente inseparable . Para una extensión puramente inseparable F / K , existe una teoría de Galois donde el grupo de Galois se reemplaza por el espacio vectorial de derivaciones , es decir, K - endomorfismos lineales de F que satisfacen la regla de Leibniz. En esta correspondencia se asigna un campo intermedio E. Por el contrario, un subespacio que satisface condiciones adicionales apropiadas se asigna a . Bajo el supuesto , Jacobson (1944) demostró que esto establece una correspondencia uno a uno. La condición impuesta por Jacobson ha sido eliminada por Brantner & Waldron (2020), al dar una correspondencia utilizando nociones de geometría algebraica derivada .
La definición del diccionario de la teoría de Galois en Wikcionario
Medios relacionados con la teoría de Galois en Wikimedia Commons
