En matemáticas , la teoría de Galois de Grothendieck es una aproximación abstracta a la teoría de campos de Galois, desarrollada alrededor de 1960 para proporcionar una forma de estudiar el grupo fundamental de la topología algebraica en el contexto de la geometría algebraica . Proporciona, en el marco clásico de la teoría de campos , una perspectiva alternativa a la de Emil Artin basada en el álgebra lineal , que se convirtió en estándar aproximadamente a partir de la década de 1930.
El enfoque de Alexander Grothendieck se ocupa de las propiedades de la teoría de categorías que caracterizan las categorías de conjuntos G finitos para un grupo profinito fijo G. Por ejemplo, G podría ser el grupo denotado (ver entero profinito ), que es el límite inverso de los grupos aditivos cíclicos Z / n Z , o de manera equivalente, la compleción del grupo cíclico infinito Z para la topología de subgrupos de índice finito . Un conjunto G finito es entonces un conjunto finito X sobre el cual G actúa a través de un grupo cíclico finito cociente, de modo que se especifica dando alguna permutación de X.
En el ejemplo anterior, se puede ver una conexión con la teoría clásica de Galois al considerar como grupo finito de Galois Gal( F / F ) de la clausura algebraica F de cualquier campo finito F , sobre F . Es decir, los automorfismos de F que fijan F se describen mediante el límite inverso, a medida que tomamos campos de división finitos cada vez más grandes sobre F. La conexión con la geometría se puede ver cuando observamos los espacios de cobertura del disco unitario en el plano complejo sin el origen: la cobertura finita realizada por el mapa z n del disco, pensado mediante una variable numérica compleja z , corresponde al subgrupo n . Z del grupo fundamental del disco pinchado.
La teoría de Grothendieck, publicada en SGA1 , muestra cómo reconstruir la categoría de conjuntos G a partir de un funtor de fibra Φ, que en la configuración geométrica toma la fibra de una cubierta sobre un punto base fijo (como un conjunto). De hecho existe un isomorfismo demostrado del tipo
siendo este último el grupo de automorfismos ( equivalencias autonaturales ) de Φ. Se proporciona una clasificación abstracta de categorías con un funtor para la categoría de conjuntos, mediante la cual se pueden reconocer categorías de G -conjuntos para G profinito.
Para ver cómo se aplica esto al caso de los campos, hay que estudiar el producto tensorial de los campos . En la teoría del topos, esto es parte del estudio de los topos atómicos .
