La rotación en matemáticas es un concepto con origen en la geometría . Cualquier rotación es un movimiento de un determinado espacio que conserva al menos un punto . Puede describir, por ejemplo, el movimiento de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo. La rotación puede tener un signo (como en el signo de un ángulo ): una rotación en el sentido de las agujas del reloj es una magnitud negativa, por lo que un giro en el sentido contrario a las agujas del reloj tiene una magnitud positiva. Una rotación es diferente de otros tipos de movimientos: traslaciones , que no tienen puntos fijos, y reflexiones (hiperplano) , cada una de las cuales tiene un plano completo ( n − 1) -dimensional de puntos fijos en un espacio n - dimensional .
Matemáticamente, una rotación es un mapa . Todas las rotaciones alrededor de un punto fijo forman un grupo bajo composición llamado grupo de rotación (de un espacio particular). Pero en mecánica y, más generalmente, en física , este concepto se entiende frecuentemente como una transformación de coordenadas (es importante, una transformación de base ortonormal ), porque para cualquier movimiento de un cuerpo hay una transformación inversa que, si se aplica al marco de La referencia da como resultado que el cuerpo esté en las mismas coordenadas. Por ejemplo, en dos dimensiones, girar un cuerpo en el sentido de las agujas del reloj alrededor de un punto manteniendo los ejes fijos equivale a girar los ejes en el sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del mismo punto mientras el cuerpo se mantiene fijo. Estos dos tipos de rotación se denominan transformaciones activas y pasivas . [1] [2]
El grupo de rotación es un grupo de Lie de rotaciones alrededor de un punto fijo . Este punto o centro fijo (común) se llama centro de rotación y suele identificarse con el origen . El grupo de rotación es un estabilizador puntual en un grupo más amplio de movimientos (que preservan la orientación) .
Para una rotación particular:
Una representación de rotaciones es un formalismo particular, ya sea algebraico o geométrico, que se utiliza para parametrizar un mapa de rotación. Este significado es de alguna manera inverso al significado de la teoría de grupos .
Las rotaciones de espacios (afines) de puntos y de los respectivos espacios vectoriales no siempre se distinguen claramente. Las primeras a veces se denominan rotaciones afines (aunque el término es engañoso), mientras que las segundas son rotaciones vectoriales . Consulte el artículo a continuación para obtener más detalles.
Un movimiento de un espacio euclidiano es lo mismo que su isometría : deja la distancia entre dos puntos cualesquiera sin cambios después de la transformación. Pero una rotación (adecuada) también debe preservar la estructura de orientación . El término " rotación inadecuada " se refiere a isometrías que invierten (invierten) la orientación. En el lenguaje de la teoría de grupos, la distinción se expresa como isometrías directas versus indirectas en el grupo euclidiano , donde las primeras comprenden el componente de identidad . Cualquier movimiento euclidiano directo se puede representar como una composición de una rotación alrededor del punto fijo y una traslación.
En el espacio unidimensional , sólo hay rotaciones triviales . En dos dimensiones , solo se necesita un ángulo para especificar una rotación alrededor del origen : el ángulo de rotación que especifica un elemento del grupo de círculos (también conocido como U(1) ). La rotación actúa para girar un objeto en sentido contrario a las agujas del reloj en un ángulo θ alrededor del origen ; consulte a continuación para obtener más detalles. La composición de las rotaciones suma sus ángulos módulo 1 vuelta , lo que implica que todas las rotaciones bidimensionales sobre el mismo punto conmutan . Las rotaciones sobre diferentes puntos, en general, no conmutan. Cualquier movimiento directo bidimensional es una traslación o una rotación; consulte Isometría del plano euclidiano para obtener más detalles.
Las rotaciones en el espacio tridimensional difieren de las de dos dimensiones en varios aspectos importantes. Las rotaciones en tres dimensiones generalmente no son conmutativas , por lo que el orden en que se aplican las rotaciones es importante incluso sobre el mismo punto. Además, a diferencia del caso bidimensional, un movimiento directo tridimensional, en posición general , no es una rotación sino una operación de tornillo . Las rotaciones sobre el origen tienen tres grados de libertad (ver formalismos de rotación en tres dimensiones para más detalles), al igual que el número de dimensiones. Una rotación tridimensional se puede especificar de varias maneras. Los métodos más habituales son:
Una rotación general en cuatro dimensiones tiene un solo punto fijo, el centro de rotación, y ningún eje de rotación; consulte rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones para obtener más detalles. En cambio, la rotación tiene dos planos de rotación mutuamente ortogonales, cada uno de los cuales es fijo en el sentido de que los puntos en cada plano permanecen dentro de los planos. La rotación tiene dos ángulos de rotación, uno para cada plano de rotación , a través de los cuales giran los puntos de los planos. Si estos son ω 1 y ω 2 , entonces todos los puntos que no están en los planos giran formando un ángulo entre ω 1 y ω 2 . Las rotaciones en cuatro dimensiones alrededor de un punto fijo tienen seis grados de libertad. Un movimiento directo de cuatro dimensiones en posición general es una rotación alrededor de cierto punto (como en todas las dimensiones euclidianas), pero también existen operaciones de tornillo.
Cuando se consideran movimientos del espacio euclidiano que preservan el origen , la distinción entre puntos y vectores , importante en matemáticas puras, puede borrarse porque existe una correspondencia canónica uno a uno entre puntos y vectores de posición . Lo mismo ocurre con geometrías distintas de la euclidiana , pero cuyo espacio es un espacio afín con una estructura suplementaria ; vea un ejemplo a continuación. Alternativamente, la descripción vectorial de rotaciones puede entenderse como una parametrización de rotaciones geométricas hasta su composición con traslaciones. En otras palabras, una rotación vectorial presenta muchas rotaciones equivalentes sobre todos los puntos del espacio.
Un movimiento que conserva el origen es lo mismo que un operador lineal sobre vectores que conserva la misma estructura geométrica pero expresada en términos de vectores. Para los vectores euclidianos , esta expresión es su magnitud ( norma euclidiana ). En componentes , dicho operador se expresa con una matriz ortogonal n × n que se multiplica por vectores columna .
Como ya se dijo, una rotación (propia) se diferencia de un movimiento arbitrario de punto fijo en que conserva la orientación del espacio vectorial. Por lo tanto, el determinante de una matriz ortogonal de rotación debe ser 1. La única otra posibilidad para el determinante de una matriz ortogonal es −1 , y este resultado significa que la transformación es una reflexión hiperplana , una reflexión puntual (para n impar ), u otra tipo de rotación inadecuada . Las matrices de todas las rotaciones propias forman el grupo ortogonal especial .
En dos dimensiones, para realizar una rotación usando una matriz, el punto ( x , y ) a rotar en sentido antihorario se escribe como un vector columna, luego se multiplica por una matriz de rotación calculada a partir del ángulo θ :
Las coordenadas del punto después de la rotación son x′ , y′ , y las fórmulas para x′ e y′ son
Los vectores y tienen la misma magnitud y están separados por un ángulo θ como se esperaba.
Los puntos en el plano R 2 también se pueden presentar como números complejos : el punto ( x , y ) en el plano está representado por el número complejo
Esto se puede girar en un ángulo θ multiplicándolo por e iθ y luego expandiendo el producto usando la fórmula de Euler de la siguiente manera:
y equiparar las partes reales e imaginarias da el mismo resultado que una matriz bidimensional:
Dado que los números complejos forman un anillo conmutativo , las rotaciones vectoriales en dos dimensiones son conmutativas, a diferencia de las de dimensiones superiores. Tienen sólo un grado de libertad , ya que dichas rotaciones están totalmente determinadas por el ángulo de rotación. [3]
Como en dos dimensiones, se puede utilizar una matriz para rotar un punto ( x , y , z ) a un punto ( x′ , y′ , z′ ) . La matriz utilizada es una matriz de 3 × 3 ,
Esto se multiplica por un vector que representa el punto para dar el resultado.
El conjunto de todas las matrices apropiadas junto con la operación de multiplicación de matrices es el grupo de rotación SO(3) . La matriz A es miembro del grupo ortogonal especial tridimensional , SO(3) , es decir, es una matriz ortogonal con determinante 1. Que sea una matriz ortogonal significa que sus filas son un conjunto de vectores unitarios ortogonales (por lo que son una base ortonormal ) al igual que sus columnas, lo que facilita detectar y comprobar si una matriz es una matriz de rotación válida.
Los ángulos de Euler y las representaciones de eje-ángulo mencionados anteriormente se pueden convertir fácilmente en una matriz de rotación.
Otra posibilidad para representar una rotación de vectores euclidianos tridimensionales son los cuaterniones que se describen a continuación.
Los cuaterniones unitarios , o versores , son en cierto modo la representación menos intuitiva de rotaciones tridimensionales. No son el ejemplo tridimensional de un enfoque general. Son más compactos que las matrices y más fáciles de trabajar que todos los demás métodos, por lo que a menudo se prefieren en aplicaciones del mundo real. [ cita necesaria ]
Un versor (también llamado cuaternión de rotación ) consta de cuatro números reales, restringidos de modo que la norma del cuaternión sea 1. Esta restricción limita los grados de libertad del cuaternión a tres, según sea necesario. A diferencia de las matrices y los números complejos se necesitan dos multiplicaciones:
donde q es el versor, q −1 es su inverso y x es el vector tratado como un cuaternión con parte escalar cero . El cuaternión se puede relacionar con la forma del vector de rotación de la rotación del ángulo del eje mediante el mapa exponencial sobre los cuaterniones,
donde v es el vector de rotación tratado como un cuaternión.
Una sola multiplicación por un versor, ya sea hacia la izquierda o hacia la derecha , es en sí misma una rotación, pero en cuatro dimensiones. Cualquier rotación de cuatro dimensiones alrededor del origen se puede representar con dos multiplicaciones de cuaterniones: una hacia la izquierda y otra hacia la derecha, por dos cuaterniones unitarios diferentes .
De manera más general, las rotaciones de coordenadas en cualquier dimensión están representadas por matrices ortogonales. El conjunto de todas las matrices ortogonales en n dimensiones que describen rotaciones propias (determinante = +1), junto con la operación de multiplicación de matrices, forma el grupo ortogonal especial SO( n ) .
Las matrices se utilizan a menudo para realizar transformaciones, especialmente cuando se transforma una gran cantidad de puntos, ya que son una representación directa del operador lineal . Las rotaciones representadas de otras formas a menudo se convierten en matrices antes de usarse. Se pueden ampliar para representar rotaciones y transformaciones al mismo tiempo utilizando coordenadas homogéneas . Las transformaciones proyectivas están representadas por matrices de 4 × 4 . No son matrices de rotación, pero una transformación que representa una rotación euclidiana tiene una matriz de rotación de 3 × 3 en la esquina superior izquierda.
La principal desventaja de las matrices es que son más caras de calcular y hacer cálculos. Además, en los cálculos en los que la inestabilidad numérica es un problema, las matrices pueden ser más propensas a sufrirla, por lo que los cálculos para restaurar la ortonormalidad , que son costosos para las matrices, deben realizarse con más frecuencia.
Como se demostró anteriormente, existen tres formalismos de rotación de álgebra multilineal : uno con U(1), o números complejos, para dos dimensiones, y otros dos con versores, o cuaterniones, para tres y cuatro dimensiones.
En general (incluso para vectores equipados con una forma cuadrática de Minkowski no euclidiana ) la rotación de un espacio vectorial se puede expresar como un bivector . Este formalismo se utiliza en álgebra geométrica y, más generalmente, en la representación de grupos de Lie en álgebra de Clifford .
En el caso de una forma cuadrática euclidiana definida positiva, el grupo de doble cobertura del grupo de isometría se conoce como grupo de Spin . Puede describirse convenientemente en términos del álgebra de Clifford. Los cuaterniones unitarios dan el grupo .
En geometría esférica , un movimiento directo [ se necesita aclaración ] de la n -esfera (un ejemplo de geometría elíptica ) es lo mismo que una rotación del espacio euclidiano ( n + 1) -dimensional alrededor del origen ( SO ( n + 1) ). Para n impar , la mayoría de estos movimientos no tienen puntos fijos en la n -esfera y, estrictamente hablando, no son rotaciones de la esfera ; Estas mociones a veces se denominan traducciones de Clifford . [ cita necesaria ] Las rotaciones alrededor de un punto fijo en geometrías elípticas e hiperbólicas no son diferentes de las euclidianas. [ se necesita aclaración ]
La geometría afín y la geometría proyectiva no tienen una noción distinta de rotación.
Se aplica una generalización de una rotación en la relatividad especial , donde se puede considerar que opera en un espacio de cuatro dimensiones, el espaciotiempo , abarcado por tres dimensiones espaciales y una de tiempo. En la relatividad especial, este espacio se llama espacio de Minkowski , y las rotaciones cuatridimensionales, llamadas transformaciones de Lorentz , tienen una interpretación física. Estas transformaciones conservan una forma cuadrática llamada intervalo espacio-temporal .
Si una rotación del espacio de Minkowski se produce en un plano espacial, entonces esta rotación es lo mismo que una rotación espacial en el espacio euclidiano. Por el contrario, una rotación en un plano abarcado por una dimensión similar al espacio y una dimensión similar al tiempo es una rotación hiperbólica , y si este plano contiene el eje temporal del sistema de referencia, se denomina "impulso de Lorentz". Estas transformaciones demuestran la naturaleza pseudoeuclidiana del espacio de Minkowski. Las rotaciones hiperbólicas a veces se describen como mapeos de compresión y aparecen con frecuencia en diagramas de Minkowski que visualizan geometría pseudoeuclidiana (1 + 1) dimensional en dibujos planos. El estudio de la relatividad se ocupa del grupo de Lorentz generado por las rotaciones espaciales y las rotaciones hiperbólicas. [4]
Mientras que las rotaciones SO (3) , en física y astronomía, corresponden a rotaciones de la esfera celeste como una 2 esferas en el espacio 3 euclidiano, las transformaciones de Lorentz de SO (3; 1) + inducen transformaciones conformes de la esfera celeste. Es una clase más amplia de transformaciones de esfera conocidas como transformaciones de Möbius .
Las rotaciones definen clases importantes de simetría : la simetría rotacional es una invariancia con respecto a una rotación particular . La simetría circular es una invariancia con respecto a toda rotación alrededor del eje fijo.
Como se indicó anteriormente, las rotaciones euclidianas se aplican a la dinámica de cuerpos rígidos . Además, la mayor parte del formalismo matemático en física (como el cálculo vectorial ) es invariante en rotación; ver rotación para más aspectos físicos. Se cree que las rotaciones euclidianas y, más en general, la simetría de Lorentz descrita anteriormente son leyes de simetría de la naturaleza . Por el contrario, la simetría reflexiva no es una ley de simetría precisa de la naturaleza.
Las matrices de valores complejos análogas a las matrices ortogonales reales son las matrices unitarias , que representan rotaciones en un espacio complejo. El conjunto de todas las matrices unitarias en una dimensión dada n forma un grupo unitario de grado n ; y su subgrupo que representa las rotaciones propias (las que preservan la orientación del espacio) es el grupo unitario especial de grado n . Estas rotaciones complejas son importantes en el contexto de los espinores . Los elementos de se utilizan para parametrizar rotaciones euclidianas tridimensionales (ver arriba), así como las respectivas transformaciones del espín (ver teoría de representación de SU(2) ).
