Matriz de rotación infinitesimal

Una matriz de rotación infinitesimal o matriz de rotación diferencial es una matriz que representa una rotación infinitamente pequeña .

Mientras que una matriz de rotación es una matriz ortogonal que representa un elemento de (el grupo ortogonal especial ), el diferencial de una rotación es una matriz simétrica sesgada en el espacio tangente (el álgebra de Lie ortogonal especial ), que no es en sí misma una matriz de rotación. ${\displaystyle R^{\mathsf {T}}=R^{-1}}$ ${\displaystyle SO(n)}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$

Una matriz de rotación infinitesimal tiene la forma

${\displaystyle I+d\theta \,A,}$

donde está la matriz identidad, es extremadamente pequeña y ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle A\in {\mathfrak {so}}(n).}$

Por ejemplo, si se representa una rotación tridimensional infinitesimal alrededor del eje x , un elemento base de ${\displaystyle A=L_{x},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3),}$

${\displaystyle dL_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$

Las reglas de cálculo para matrices de rotación infinitesimales son las habituales, excepto que los infinitesimales de segundo orden se eliminan habitualmente. Con estas reglas, estas matrices no satisfacen las mismas propiedades que las matrices de rotación finita ordinarias bajo el tratamiento habitual de infinitesimales. ^[1] Resulta que el orden en el que se aplican las rotaciones infinitesimales es irrelevante .

Discusión

Una matriz de rotación infinitesimal es una matriz simétrica sesgada donde:

• Como cualquier matriz de rotación tiene un único valor propio real, que es igual a +1, el vector propio correspondiente define el eje de rotación .
• Su módulo define un desplazamiento angular infinitesimal .

La forma de la matriz es la siguiente: $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&1&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&1\\\end{pmatrix}}}$$

Cantidades asociadas

Asociado a una matriz de rotación infinitesimal hay un tensor de rotación infinitesimal : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d\Phi (t)=A-I}$

$${\displaystyle d\Phi (t)={\begin{pmatrix}0&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&0&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}}$$

Dividiéndolo por la diferencia de tiempo se obtiene el tensor de velocidad angular :

${\displaystyle \Omega ={\frac {d\Phi (t)}{dt}}={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}(t)&\omega _{y}(t)\\\omega _{z}(t)&0&-\omega _{x}(t)\\-\omega _{y}(t)&\omega _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}}$

Orden de rotaciones

Estas matrices no satisfacen las mismas propiedades que las matrices de rotación finita ordinarias bajo el tratamiento habitual de infinitesimales. ^[2] Para entender lo que esto significa, considere

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$

Primero, pruebe la condición de ortogonalidad , Q ^T Q = I. El producto es

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }^{\textsf {T}}\,dA_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1+d\theta ^{2}&0\\0&0&1+d\theta ^{2}\end{bmatrix}},}$

que difiere de una matriz identidad por infinitesimales de segundo orden, descartados aquí. Entonces, de primer orden, una matriz de rotación infinitesimal es una matriz ortogonal.

A continuación, examine el cuadrado de la matriz,

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }^{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1-d\theta ^{2}&-2d\theta \\0&2\,d\theta &1-d\theta ^{2}\end{bmatrix}}.}$

Descartando nuevamente los efectos de segundo orden, observe que el ángulo simplemente se duplica. Esto sugiere la diferencia más esencial en el comportamiento, que podemos exhibir con la ayuda de una segunda rotación infinitesimal,

${\displaystyle dA_{\mathbf {y} }={\begin{bmatrix}1&0&d\phi \\0&1&0\\-d\phi &0&1\end{bmatrix}}.}$

Compare los productos dA _x  dA _y con dA _y dA _x ,

${\displaystyle {\begin{aligned}dA_{\mathbf {x} }\,dA_{\mathbf {y} }&={\begin{bmatrix}1&0&d\phi \\d\theta \,d\phi &1&-d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}\\dA_{\mathbf {y} }\,dA_{\mathbf {x} }&={\begin{bmatrix}1&d\theta \,d\phi &d\phi \\0&1&-d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}.\\\end{aligned}}}$

Como es de segundo orden, lo descartamos: así, para primer orden, la multiplicación de matrices de rotación infinitesimales es conmutativa . De hecho, ${\displaystyle d\theta \,d\phi }$

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }\,dA_{\mathbf {y} }=dA_{\mathbf {y} }\,dA_{\mathbf {x} },}$

nuevamente al primer orden. En otras palabras, el orden en el que se aplican las rotaciones infinitesimales es irrelevante .

Este hecho útil hace, por ejemplo, que la derivación de la rotación de un cuerpo rígido sea relativamente simple. Pero siempre hay que tener cuidado de distinguir (el tratamiento de primer orden de) estas matrices de rotación infinitesimales tanto de las matrices de rotación finitas como de los elementos del álgebra de Lie. Al contrastar el comportamiento de las matrices de rotación finitas en la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff anterior con el de las matrices de rotación infinitesimales, donde todos los términos del conmutador serán infinitesimales de segundo orden, se encuentra un espacio vectorial genuino. Técnicamente, este rechazo de cualquier término de segundo orden equivale a una contracción del grupo .

Generadores de rotaciones

Supongamos que especificamos un eje de rotación mediante un vector unitario [ x , y , z ], y supongamos que tenemos una rotación infinitamente pequeña de ángulo Δ θ alrededor de ese vector. Expandiendo la matriz de rotación como una suma infinita y adoptando el enfoque de primer orden, la matriz de rotación Δ R se representa como:

${\displaystyle \Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =I+A\,\Delta \theta .}$

Una rotación finita que pasa por el ángulo θ alrededor de este eje puede verse como una sucesión de pequeñas rotaciones alrededor del mismo eje. Aproximando Δ θ como θ / N , donde N es un número grande, una rotación de θ alrededor del eje se puede representar como:

${\displaystyle R=\left(I+{\frac {A\theta }{N}}\right)^{N}\approx e^{A\theta }.}$

Se puede ver que el teorema de Euler establece esencialmente que todas las rotaciones pueden representarse de esta forma. El producto Aθ es el "generador" de la rotación particular, siendo el vector ( x , y , z ) asociado a la matriz A. Esto muestra que la matriz de rotación y el formato eje-ángulo están relacionados por la función exponencial.

Se puede derivar una expresión simple para el generador G. Se comienza con un plano arbitrario ^[3] definido por un par de vectores unitarios perpendiculares a y b . En este plano se puede elegir un vector arbitrario x con perpendicular y . Luego se resuelve para y en términos de x y al sustituir en una expresión una rotación en un plano se obtiene la matriz de rotación R , que incluye el generador G = ba ^T − ab ^T.

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos \left(\alpha \right)+b\sin \left(\alpha \right)\\y&=-a\sin \left(\alpha \right)+b\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\alpha \right)&=a^{\mathrm {T} }x\\\sin \left(\alpha \right)&=b^{\mathrm {T} }x\\y&=-ab^{\mathrm {T} }x+ba^{\mathrm {T} }x=\left(ba^{\mathrm {T} }-ab^{\mathrm {T} }\right)x\\\\x'&=x\cos \left(\beta \right)+y\sin \left(\beta \right)\\&=\left[I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{\mathrm {T} }-ab^{\mathrm {T} }\right)\sin \left(\beta \right)\right]x\\\\R&=I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{\mathrm {T} }-ab^{\mathrm {T} }\right)\sin \left(\beta \right)\\&=I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\\\\G&=ba^{\mathrm {T} }-ab^{\mathrm {T} }\\\end{aligned}}}$

Para incluir vectores fuera del plano en la rotación es necesario modificar la expresión anterior para R incluyendo dos operadores de proyección que particionen el espacio. Esta matriz de rotación modificada se puede reescribir como una función exponencial .

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{ab}&=-G^{2}\\R&=I-P_{ab}+\left[I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\right]P_{ab}=e^{G\beta }\\\end{aligned}}}$

El análisis suele ser más fácil en términos de estos generadores que de la matriz de rotación completa. El análisis en términos de generadores se conoce como álgebra de Lie del grupo de rotación.

mapa exponencial

Conectar el álgebra de Lie con el grupo de Lie es el mapa exponencial , que se define usando la serie exponencial matricial estándar para e ^{A [4]} Para cualquier matriz simétrica sesgada A , exp( A ) es siempre una matriz de rotación. ^[a]

Un ejemplo práctico importante es el caso 3 × 3 . En el grupo de rotación SO(3) , se muestra que se puede identificar cada A ∈ entonces (3) con un vector de Euler ω = θ u , donde u = ( x , y , z ) es un vector de magnitud unitaria.

Por las propiedades de la identificación su (2) ≅ R ³ , u está en el espacio nulo de A . Por lo tanto, u queda invariante por exp( A ) y, por tanto, es un eje de rotación.

Usando la fórmula de rotación de Rodrigues en forma matricial con θ = θ ⁄ 2 + θ ⁄ 2 , junto con las fórmulas estándar de doble ángulo, se obtiene,

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)&{}=\exp(\theta ({\boldsymbol {u\cdot L}}))=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{smallmatrix}}\right]\right)={\boldsymbol {I}}+2\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}~{\boldsymbol {u\cdot L}}+2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}~({\boldsymbol {u\cdot L}})^{2},\end{aligned}}}$

Esta es la matriz para una rotación alrededor del eje u por el ángulo θ en forma de medio ángulo. Para obtener detalles completos, consulte el mapa exponencial SO(3) .

Observe que para ángulos infinitesimales los términos de segundo orden se pueden ignorar y permanecen exp( A ) = I + A

Relación con matrices simétricas sesgadas

Las matrices simétricas sesgadas sobre el campo de números reales forman el espacio tangente al grupo ortogonal real en la matriz identidad; formalmente, el álgebra especial de Lie ortogonal . En este sentido, entonces, las matrices simétricas sesgadas pueden considerarse rotaciones infinitesimales . ${\displaystyle O(n)}$

Otra forma de decir esto es que el espacio de matrices simétricas sesgadas forma el álgebra de Lie del grupo de Lie. El soporte de Lie en este espacio viene dado por el conmutador : ${\displaystyle o(n)}$ ${\displaystyle O(n).}$

${\displaystyle [A,B]=AB-BA.\,}$

Es fácil comprobar que el conmutador de dos matrices asimétricas es nuevamente simétrico asimétrico:

${\displaystyle {\begin{aligned}{[}A,B{]}^{\textsf {T}}&=B^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}-A^{\textsf {T}}B^{\textsf {T}}\\&=(-B)(-A)-(-A)(-B)=BA-AB=-[A,B]\,.\end{aligned}}}$

La matriz exponencial de una matriz sesgada es entonces una matriz ortogonal : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}.}$

La imagen del mapa exponencial de un álgebra de Lie siempre se encuentra en el componente conexo del grupo de Lie que contiene el elemento identidad. En el caso del grupo de Lie, este componente conectado es el grupo ortogonal especial que consta de todas las matrices ortogonales con determinante 1. Por lo tanto, tendrá determinante +1. Además, dado que el mapa exponencial de un grupo de Lie compacto conectado es siempre sobreyectivo, resulta que cada matriz ortogonal con determinante unitario puede escribirse como exponencial de alguna matriz simétrica sesgada. En el importante caso particular de la dimensión, la representación exponencial de una matriz ortogonal se reduce a la conocida forma polar de un número complejo de módulo unitario. De hecho, si una matriz ortogonal especial tiene la forma ${\displaystyle O(n),}$ ${\displaystyle SO(n),}$ ${\displaystyle R=\exp(A)}$ ${\displaystyle n=2,}$ ${\displaystyle n=2,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&-b\\b&\,a\end{bmatrix}},}$

con . Por lo tanto, poniendo y se puede escribir ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$ ${\displaystyle a=\cos \theta }$ ${\displaystyle b=\sin \theta ,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\,\cos \,\theta \end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&\,0\end{bmatrix}}\right),}$

que corresponde exactamente a la forma polar de un número complejo de módulo unitario. ${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}$

La representación exponencial de una matriz ortogonal de orden también se puede obtener a partir del hecho de que en dimensión cualquier matriz ortogonal especial se puede escribir como donde es ortogonal y S es una matriz diagonal de bloques con bloques de orden 2, más uno de orden 1 si es extraño; dado que cada bloque de orden 2 es también una matriz ortogonal, admite una forma exponencial. En consecuencia, la matriz  S se escribe como exponencial de una matriz de bloques simétrica sesgada de la forma anterior, de modo que exponencial de la matriz simétrica sesgada. A la inversa, la sobreyectividad del mapa exponencial, junto con la diagonalización de bloques mencionada anteriormente para sesgos- matrices simétricas, implica la diagonalización de bloques para matrices ortogonales. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R=QSQ^{\textsf {T}},}$ ${\displaystyle Q}$ ${\textstyle \lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle S=\exp(\Sigma ),}$ ${\displaystyle R=Q\exp(\Sigma )Q^{\textsf {T}}=\exp(Q\Sigma Q^{\textsf {T}}),}$ ${\displaystyle Q\Sigma Q^{\textsf {T}}.}$

Ver también

• Generadores de rotaciones
• Rotaciones infinitesimales
• Tensor de rotación infinitesimal
• Transformación infinitesimal
• Grupo de rotación SO(3)#Rotaciones infinitesimales

Notas

1. Tenga en cuenta que este mapa exponencial de matrices simétricas sesgadas a matrices de rotación es bastante diferente de la transformada de Cayley analizada anteriormente, y difiere del tercer orden. Por el contrario, una matriz simétrica sesgada A que especifica una matriz de rotación a través del mapa de Cayley especifica la misma matriz de rotación a través del mapa exp(2 artanh A ) . ${\displaystyle e^{2A}-{\frac {I+A}{I-A}}=-{\frac {2}{3}}A^{3}+\mathrm {O} (A^{4})~.}$
   

Referencias

1. (Goldstein, Poole y Safko 2002, §4.8)
2. (Goldstein, Poole y Safko 2002, §4.8)
3. en el espacio euclidiano
4. (Wedderburn 1934, §8.02)

Fuentes

• Goldstein, Herbert ; Poole, Charles P.; Safko, John L. (2002), Mecánica clásica (tercera ed.), Addison Wesley , ISBN 978-0-201-65702-9
• Wedderburn, Joseph HM (1934), Conferencias sobre matrices, AMS , ISBN 978-0-8218-3204-2