Rotaciones y reflexiones en dos dimensiones.

En geometría euclidiana , las rotaciones y reflexiones bidimensionales son dos tipos de isometrías planas euclidianas que están relacionadas entre sí.

Proceso

Se puede formar una rotación en el plano componiendo un par de reflexiones. Primero refleja un punto $P$ hacia su imagen $P'$ al otro lado de la línea $L 1$ . Luego refleja $P'$ hacia su imagen $P''$ en el otro lado de la línea $L 2$ . Si las líneas $L 1$ y $L 2$ forman un ángulo $θ$ entre sí, entonces los puntos $P$ y $P''$ formarán un ángulo $2 θ$ alrededor del punto $O$ , la intersección de $L 1$ y $L 2$ . Es decir, el ángulo $∠ POP''$ medirá $2 θ$ .

Un par de rotaciones sobre el mismo punto $O$ equivaldrán a otra rotación sobre el punto $O.$ En cambio, la composición de una reflexión y una rotación, o de una rotación y una reflexión (composición no es conmutativa ), será equivalente a una reflexión.

expresión matemática

Las afirmaciones anteriores se pueden expresar de forma más matemática. Denotemos una rotación alrededor del origen $O$ en un ángulo $θ$ como $Rot(θ)$ . Sea una reflexión sobre una línea $L$ que pasa por el origen y que forma un ángulo $θ$ con el eje $x$ , se denota como $Ref(θ)$ . Dejemos que estas rotaciones y reflexiones operen en todos los puntos del plano, y que estos puntos estén representados por vectores de posición . Entonces una rotación se puede representar como una matriz , $\operatorname {Rot} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},$

y también para una reflexión, $\operatorname {Ref} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{bmatrix}}.$

Con estas definiciones de rotación y reflexión de coordenadas, se mantienen las siguientes cuatro identidades : ${\begin{aligned}\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Rot} (\phi )&=\operatorname {Rot} (\theta +\phi ),\\[4pt]\operatorname {Ref} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&=\operatorname {Rot} (2\theta -2\phi ),\\[2pt]\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&=\operatorname {Ref} (\phi +{\tfrac {1}{2}}\theta ),\\[2pt]\operatorname {Ref} (\phi )\,\operatorname {Rot} (\theta )&=\operatorname {Ref} (\phi -{\tfrac {1}{2}}\theta ).\end{aligned}}$

Prueba

Estas ecuaciones se pueden demostrar mediante la sencilla multiplicación de matrices y la aplicación de identidades trigonométricas , específicamente las identidades de suma y diferencia.

El conjunto de todas las reflexiones en líneas que pasan por el origen y las rotaciones alrededor del origen, junto con la operación de composición de reflexiones y rotaciones, forma un grupo . El grupo tiene una identidad: $Rot(0)$ . Cada rotación $Rot(φ)$ tiene una $Rot(- φ)$ inversa . Cada reflexión $Ref(θ)$ es su propia inversa. La composición tiene cierre y es asociativa, ya que la multiplicación de matrices es asociativa.

Observe que tanto $Ref(θ)$ como $Rot(θ)$ se han representado con matrices ortogonales . Todas estas matrices tienen un determinante cuyo valor absoluto es la unidad. Las matrices de rotación tienen un determinante de +1 y las matrices de reflexión tienen un determinante de −1.

El conjunto de todas las matrices bidimensionales ortogonales junto con la multiplicación de matrices forman el grupo ortogonal : $O (2)$ .

La siguiente tabla ofrece ejemplos de matriz de rotación y reflexión:

Rotación de ejes

En matemáticas , una rotación de ejes en dos dimensiones es un mapeo de un sistema de coordenadas cartesiano xy a un sistema de coordenadas cartesiano x′y′ en el que el origen se mantiene fijo y los ejes x′ e y′ se obtienen girando el Ejes x e y en sentido antihorario a través de un ángulo . Un punto P tiene coordenadas ( x , y ) con respecto al sistema original y coordenadas ( x′ , y′ ) con respecto al nuevo sistema. ^[1] En el nuevo sistema de coordenadas, el punto P parecerá haber sido girado en la dirección opuesta, es decir, en el sentido de las agujas del reloj en el ángulo . De manera similar se define una rotación de ejes en más de dos dimensiones. ^[2]^[3] Una rotación de ejes es una aplicación lineal ^[4]^[5] y una transformación rígida .

\theta

\theta

Ver también

Referencias

^ Protter y Morrey (1970, pág.320)
^ Antón (1987, pág.231)
^ Carga y ferias (1993, pág. 532)
^ Antón (1987, pág.247)
^ Beauregard y Fraleigh (1973, pág.266)

Fuentes

Anton, Howard (1987), Álgebra lineal elemental (5ª ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
Carga, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Análisis numérico (5ª ed.), Boston: Prindle, Weber y Schmidt, ISBN 0-534-93219-3
Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), Cálculo universitario con geometría analítica (2ª ed.), Lectura: Addison-Wesley , LCCN 76087042