Espacio pseudoeuclidiano

En matemáticas y física teórica , un espacio pseudoeuclidiano de firma $(k, nk)$ es un espacio n real de dimensión finita junto con una forma cuadrática no degenerada $q$ . Tal forma cuadrática puede, dada una elección adecuada de base $($ $e$ $1$ $, \dots,$ $e$ $n$ $)$ , aplicarse a un vector $x$ $=$ $x$ $1$ $e$ $1$ $+ \dots +$ $x$ $n$ $e$ $n$ , dando lo que se llama cuadrado escalar de la vectorx . $$ ^[1]^{: 3} $q(x)=\left(x_{1}^{2}+\dots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\ puntos +x_{n}^{2}\right)$

Para espacios euclidianos , $k = n$ , lo que implica que la forma cuadrática es definida positiva . ^[2] Cuando $0 < k < n$ , entonces $q$ es una forma cuadrática isotrópica . Tenga en cuenta que si $1 \leq i \leq k < j \leq n$ , entonces $q (e i + e j) = 0$ , de modo que $e i + e j$ es un vector nulo . En un espacio pseudoeuclidiano con $k < n$ , a diferencia de un espacio euclidiano, existen vectores con cuadrado escalar negativo .

Al igual que con el término espacio euclidiano , el término espacio pseudoeuclidiano puede usarse para referirse a un espacio afín o a un espacio vectorial dependiendo del autor, refiriéndose a este último alternativamente como espacio vectorial pseudoeuclidiano ^[3] (ver distinción punto-vector ).

Geometría

La geometría de un espacio pseudoeuclidiano es consistente a pesar de que algunas propiedades del espacio euclidiano no se aplican, en particular que no es un espacio métrico como se explica a continuación. La estructura afín no cambia y, por tanto, también los conceptos de línea , plano y, en general, de subespacio afín ( plano ), así como segmentos de línea .

Cuadrados escalares positivos, cero y negativos

$n = 3$ , $k$ es 1 o 2 dependiendo de la elección del signo de $q$

Un vector nulo es un vector cuya forma cuadrática es cero. A diferencia de un espacio euclidiano, dicho vector puede ser distinto de cero, en cuyo caso es autoortogonal. Si la forma cuadrática es indefinida, un espacio pseudoeuclidiano tiene un cono lineal de vectores nulos dado por ${x | q (x) = 0 }$ . Cuando el espacio pseudoeuclidiano proporciona un modelo para el espacio-tiempo (ver más abajo), el cono nulo se llama cono de luz del origen.

El cono nulo separa dos conjuntos abiertos , ^[4] respectivamente para los cuales $q (x) > 0$ y $q (x) < 0$ . Si $k \geq 2$ , entonces el conjunto de vectores para los cuales $q (x) > 0$ es conexo . Si $k = 1$ , entonces consta de dos partes disjuntas, una con $x 1 > 0$ y otra con $x 1 < 0$ . De manera similar, si $n - k \geq 2$ , entonces el conjunto de vectores para los cuales $q (x) < 0$ es conexo. Si $n - k = 1$ , entonces consta de dos partes disjuntas, una con $x n > 0$ y otra con $x n < 0$ .

Intervalo

La forma cuadrática $q$ corresponde al cuadrado de un vector en el caso euclidiano. Para definir la norma vectorial (y la distancia) de manera invariante , hay que obtener raíces cuadradas de cuadrados escalares, lo que conduce a distancias posiblemente imaginarias ; ver raíz cuadrada de números negativos . Pero incluso para un triángulo con cuadrados escalares positivos en los tres lados (cuyas raíces cuadradas son reales y positivas), la desigualdad del triángulo no se cumple en general.

Por tanto , en la geometría pseudoeuclidiana se evitan los términos norma y distancia , que pueden sustituirse por cuadrado escalar e intervalo , respectivamente.

Sin embargo, para una curva cuyos vectores tangentes tienen todos cuadrados escalares del mismo signo, la longitud del arco está definida. Tiene aplicaciones importantes: véase hora adecuada , por ejemplo.

Rotaciones y esferas

El grupo de rotaciones de dicho espacio es el grupo ortogonal indefinido $O($ $q$ $)$ , también denotado como $O($ $k$ $,$ $n$ $-$ $k$ $)$ sin una referencia a una forma cuadrática particular. ^[5] Tales "rotaciones" preservan la forma $q$ y, por lo tanto, el cuadrado escalar de cada vector, incluido si es positivo, cero o negativo.

Mientras que el espacio euclidiano tiene una esfera unitaria , el espacio pseudoeuclidiano tiene hipersuperficies ${x | q (x) = 1 }$ y ${x | q (x) = -1 }$ . Tal hipersuperficie, llamada cuasiesfera , es preservada por el grupo ortogonal indefinido apropiado.

Forma bilineal simétrica

La forma cuadrática $q$ da lugar a una forma bilineal simétrica definida de la siguiente manera:

\langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{2}}[q(x+y)-q(x)-q(y)]=\left(x_{1}y_{1}+\ldots +x_{k}y_{k}\right)-\left(x_{k+1}y_{k+1}+\ldots +x_{n}y_{n}\right).

La forma cuadrática se puede expresar en términos de la forma bilineal: $q (x) = ⟨ x, x ⟩$ .

Cuando $⟨ x, y ⟩ = 0$ , entonces xey $son$ $vectores$ ortogonales del espacio pseudoeuclidiano .

Esta forma bilineal a menudo se denomina producto escalar y, a veces, como "producto interno" o "producto escalar", pero no define un espacio de producto interno y no tiene las propiedades del producto escalar de los vectores euclidianos.

Si $x$ e $y$ son ortogonales y $q (x) q (y) < 0$ , entonces $x$ es hiperbólico-ortogonal a $y$ .

La base estándar del espacio $n$ real es ortogonal . No hay bases orto normales en un espacio pseudoeuclidiano para el cual la forma bilineal sea indefinida, porque no puede usarse para definir una norma vectorial .

Subespacios y ortogonalidad

Para un subespacio (de dimensión positiva) ^[6] $U$ de un espacio pseudoeuclidiano, cuando la forma cuadrática $q$ está restringida a $U$ , son posibles los siguientes tres casos:

$q | U$ es definida positiva o negativa . Entonces, $U$ es esencialmente euclidiana (hasta el signo de $q$ ).
$q | U$ es indefinido, pero no degenerado. Entonces, $U$ es en sí misma pseudoeuclidiana. Sólo es posible si $tenue U \geq 2$ ; Si $tenue U = 2$ , lo que significa que $U$ es un plano , entonces se llama plano hiperbólico .
$q | U$ es degenerado.

Una de las propiedades más discordantes (para una intuición euclidiana) de los vectores y pisos pseudoeuclidianos es su ortogonalidad . Cuando dos vectores euclidianos distintos de cero son ortogonales, no son colineales . Las intersecciones de cualquier subespacio lineal euclidiano con su complemento ortogonal es el subespacio {0} . Pero la definición de la subsección anterior implica inmediatamente que cualquier vector $ν$ de cuadrado escalar cero es ortogonal a sí mismo. Por tanto, la recta isotrópica $N = ⟨ ν ⟩$ generada por un vector nulo ν es un subconjunto de su complemento ortogonal $N ⊥$ .

La definición formal del complemento ortogonal de un subespacio vectorial en un espacio pseudoeuclidiano da un resultado perfectamente definido, que satisface la igualdad $dim U + dim U ⊥ = n$ debido a la no degeneración de la forma cuadrática. es solo la condicion

U \cap U ⊥ = {0}

o, equivalentemente,

U + U ⊥ =

todo el espacio,

que puede romperse si el subespacio $U$ contiene una dirección nula. ^[7] Si bien los subespacios forman una red , como en cualquier espacio vectorial, esta operación $⊥ no es una$ ortocomplementación , a diferencia de los espacios producto internos .

Para un subespacio $N$ compuesto enteramente de vectores nulos (lo que significa que el cuadrado escalar $q$ , restringido a $N$ , es igual a $0$ ), siempre se cumple:

N \subset N ⊥

o, equivalentemente,

N \cap N ⊥ = N

Tal subespacio puede tener hasta dimensiones $mínimas (k, n - k)$ . ^[8]

Para un subespacio $k$ euclidiano (positivo) , su complemento ortogonal es un subespacio "euclidiano" negativo $(n - k)$ dimensional, y viceversa. Generalmente, para un $(d + + d - + d 0)$ -subespacio dimensional $U$ que consta de dimensiones $d +$ positivas y $d -$ negativas (ver la ley de inercia de Sylvester para mayor claridad), su "complemento" ortogonal $U ⊥$ tiene $(k - d + - d 0)$ dimensiones positivas y $(n - k - d - - d 0)$ negativas, mientras que el resto $d 0$ son degeneradas y forman la intersección $U \cap U ⊥$ .

Ley del paralelogramo y teorema de Pitágoras

La ley del paralelogramo toma la forma

q(x)+q(y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)+q(x-y)).

Usando el cuadrado de la suma identidad, para un triángulo arbitrario se puede expresar el cuadrado escalar del tercer lado a partir de cuadrados escalares de dos lados y su producto de forma bilineal:

q(x+y)=q(x)+q(y)+2\langle x,y\rangle .

Esto demuestra que, para vectores ortogonales, se cumple un análogo pseudoeuclidiano del teorema de Pitágoras :

\langle x,y\rangle =0\Rightarrow q(x)+q(y)=q(x+y).

Ángulo

En general, valor absoluto $| ⟨ x, y ⟩ |$ de la forma bilineal en dos vectores puede ser mayor que $\sqrt | q (x) q (y) |$ , igual o menor. Esto causa problemas similares con la definición de ángulo (consulte Producto escalar § Definición geométrica ) como apareció anteriormente para las distancias.

Si $k = 1$ (solo un término positivo en $q$ ), entonces para vectores de cuadrado escalar positivo: $|\langle x,y\rangle |\geq {\sqrt {q(x)q(y)}}\,,$

lo que permite la definición del ángulo hiperbólico , un análogo del ángulo entre estos vectores a través del coseno hiperbólico inverso : ^[9] $\operatorname {arcosh} {\frac {|\langle x,y\rangle |}{\sqrt {q(x)q(y)}}}\,.$

Corresponde a la distancia en un espacio hiperbólico $(n - 1)$ dimensional . Esto se conoce como rapidez en el contexto de la teoría de la relatividad que se analiza a continuación. A diferencia del ángulo euclidiano, toma valores de $[0, +\infty)$ e iguales a 0 para vectores antiparalelos .

No existe una definición razonable del ángulo entre un vector nulo y otro vector (ya sea nulo o no nulo).

Álgebra y cálculo tensorial

Al igual que los espacios euclidianos, todo espacio vectorial pseudoeuclidiano genera un álgebra de Clifford . A diferencia de las propiedades anteriores, donde el reemplazo de $q$ por $- q$ cambió los números pero no la geometría , la inversión de signos de la forma cuadrática da como resultado un álgebra de Clifford distinta, por lo que, por ejemplo, $Cl 1,2 (R)$ y $Cl 2,1 (R)$ son no isomórfico.

Al igual que en cualquier espacio vectorial, existen tensores pseudoeuclidianos . Al igual que en una estructura euclidiana, existen operadores de subida y bajada de índices pero, a diferencia del caso de los tensores euclidianos , no hay bases en las que estas operaciones no cambien los valores de los componentes. Si existe un vector $v β$ , el vector covariante correspondiente es:

v_{\alpha }=q_{\alpha \beta }v^{\beta }\,,

y con la forma estándar

q_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}I_{k\times k}&0\\0&-I_{(n-k)\times (n-k)}\end{pmatrix}}

los primeros $k$ componentes de $v α$ son numéricamente iguales que los de $v β$ , pero el resto $n - k$ tienen signos opuestos .

La correspondencia entre tensores contravariantes y covariantes hace que un cálculo tensorial en variedades pseudo-riemannianas sea una generalización de uno en variedades riemannianas.

Ejemplos

Un espacio pseudoeuclidiano muy importante es el espacio de Minkowski , que es el escenario matemático en el que se formula la teoría de la relatividad especial . Para el espacio de Minkowski, $n = 4$ y $k = 3$ ^[10] de modo que

q(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2},

La geometría asociada a esta pseudométrica fue investigada por Poincaré . ^[11]^[12] Su grupo de rotación es el grupo de Lorentz . El grupo de Poincaré incluye también traducciones y desempeña el mismo papel que los grupos euclidianos de espacios euclidianos ordinarios.

Otro espacio pseudoeuclidiano es el plano $z = x + yj$ que consta de números complejos divididos , equipado con la forma cuadrática

\lVert z\rVert =zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}.

Este es el caso más simple de un espacio pseudoeuclidiano indefinido ( $n = 2$ , $k = 1$ ) y el único en el que el cono nulo disecciona el espacio restante en cuatro conjuntos abiertos. El grupo $SO + (1, 1)$ consta de las llamadas rotaciones hiperbólicas .

Ver también

Notas a pie de página

^ Élie Cartan (1981), La teoría de Spinors , Publicaciones de Dover , ISBN 0-486-64070-1
^ Los espacios euclidianos se consideran espacios pseudoeuclidianos; véase, por ejemplo, Rafal Ablamowicz; P. Lounesto (2013), Álgebras de Clifford y estructuras de espinor , Springer Science & Business Media , p. 32.
^ Rafal Ablamowicz; P. Lounesto (2013), Álgebras de Clifford y estructuras de espinor , Springer Science & Business Media , pág. 32[1]
^ Se supone la topología estándar en $R n .$
^ Lo que es el "grupo de rotaciones" depende de la definición exacta de una rotación. Los grupos "O" contienen rotaciones inadecuadas . Las transformaciones que conservan la orientación forman el grupo $SO(q)$ , o $SO(k, n - k)$ , pero tampoco son conexas si tanto $k$ como $n - k$ son positivos. El grupo $SO + (q)$ , que conserva la orientación en partes cuadradas escalares positivas y negativas por separado, es un análogo (conectado) del grupo de rotaciones euclidianas $SO (n)$ . De hecho, todos estos grupos son grupos de dimensiones de Lie $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/2⁠ norte ( norte − 1 )$ .
^ Se supone un subespacio lineal , pero las mismas conclusiones son válidas para un plano afín con la única complicación de que la forma cuadrática siempre se define en vectores, no en puntos.
^ En realidad, $U \cap U ⊥$ no es cero sólo si la forma cuadrática $q$ restringida a $U$ es degenerada.
^ Thomas E. Cecil (1992) Geometría de esfera de mentira , página 24, Universitext Springer ISBN 0-387-97747-3
^ Tenga en cuenta que $cos (i arcosh s) = s$ , por lo que para $s > 0$ estos pueden entenderse como ángulos imaginarios.
^ Otra representación bien establecida usa $k = 1$ e índices de coordenadas a partir de $0$ (de ahí $q (x) = x 02 - x 12 - x 22 - x 32$ ), pero son equivalentes hasta el signo de $q$ . Ver Convención de signos § Firma métrica .
^ H. Poincaré (1906) Sobre la dinámica del electrón, Rediconti del Circolo Matematico di Palermo
^ BA Rosenfeld (1988) Una historia de la geometría no euclidiana , página 266, Estudios de historia de las matemáticas y las ciencias físicas n.° 12, Springer ISBN 0-387-96458-4

Referencias

Cartan, Élie (1981) [1938], La teoría de Spinors, Nueva York: Dover Publications , pág. 3, ISBN 978-0-486-64070-9, señor 0631850
Werner Greub (1963) Álgebra lineal , segunda edición, §12.4 Espacios pseudoeuclidianos, págs. 237–49, Springer-Verlag.
Walter Noll (1964) "Geometría euclidiana y cronometría minkowskiana", American Mathematical Monthly 71:129–44.
Novikov, SP; Fomenko, AT; [traducido del ruso por M. Tsaplina] (1990). Elementos básicos de geometría diferencial y topología . Dordrecht; Boston: Editores académicos de Kluwer. ISBN 0-7923-1009-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Székeres, Peter (2004). Un curso de física matemática moderna: grupos, espacio de Hilbert y geometría diferencial . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-82960-7.
Shafarevich, IR ; AO Remizov (2012). Álgebra lineal y geometría. Saltador . ISBN 978-3-642-30993-9.

Enlaces externos

DD Sokolov (creador), Espacio pseudoeuclidiano, Enciclopedia de Matemáticas