Polilogaritmo

Función matemática especial

En matemáticas , el polilogaritmo (también conocido como función de Jonquière , por Alfred Jonquière) es una función especial Li _s ( z ) de orden s y argumento z . Sólo para valores especiales de s el polilogaritmo se reduce a una función elemental como el logaritmo natural o una función racional . En estadística cuántica , la función polilogaritmo aparece como la forma cerrada de las integrales de la distribución de Fermi-Dirac y de la distribución de Bose-Einstein , y también se conoce como integral de Fermi-Dirac o integral de Bose-Einstein . En electrodinámica cuántica , los polilogaritmos de orden entero positivo surgen en el cálculo de procesos representados por diagramas de Feynman de orden superior .

La función polilogaritmo es equivalente a la función zeta de Hurwitz (cualquiera de las funciones puede expresarse en términos de la otra) y ambas funciones son casos especiales de la trascendente de Lerch . Los polilogaritmos no deben confundirse con funciones polilogarítmicas , ni con la integral logarítmica desplazada Li( z ) , que tiene la misma notación sin el subíndice.

• Diferentes funciones polilogarítmicas en el plano complejo.
• 
  Li  _–3 ( z )
• 
  Li  _–2 ( z )
• 
  Li  _–1 ( z )
• 
  Li ₀ ( z )
• 
  Li ₁ ( z )
• 
  Li ₂ ( z )
• 
  Li ₃ ( z )

La función polilogaritmo está definida por una serie de potencias en z , que también es una serie de Dirichlet en s :

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}=z+{z^{2} \over 2^{s}}+{z^{3} \over 3^{s}}+\cdots }$$

Esta definición es válida para orden complejo arbitrario s y para todos los argumentos complejos z con | z | < 1 ; se puede ampliar a | z | ≥ 1 por el proceso de continuación analítica . (Aquí el denominador k ^s se entiende como exp( s ln k ) ). El caso especial s = 1 involucra el logaritmo natural ordinario , Li ₁ ( z ) = −ln(1− z ) , mientras que los casos especiales s = 2 y s = 3 se llaman dilogaritmo (también conocido como función de Spence) y trilogaritmo respectivamente. El nombre de la función proviene del hecho de que también puede definirse como la integral repetida de sí misma:

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(t)}{t}}dt}$$

sfunción racional

Propiedades

En el caso de que el orden sea un número entero, estará representado por (o cuando sea negativo). A menudo es conveniente definir dónde está la rama principal del logaritmo complejo de modo que también se suponga que toda exponenciación es univaluada: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=n}$ ${\displaystyle s=-n}$ ${\displaystyle \mu =\ln(z)}$ ${\displaystyle \ln(z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ln} (z)}$ ${\displaystyle -\pi <\operatorname {Im} (\mu )\leq \pi .}$ ${\displaystyle z^{s}=\exp(s\ln(z)).}$

Dependiendo del orden , el polilogaritmo puede tener varios valores. Se considera que la rama principal de está dada por la definición de serie anterior y se considera continua excepto en el eje real positivo, donde se hace un corte de manera que el eje se coloque en el semiplano inferior de . En términos de , esto equivale a . La discontinuidad del polilogaritmo en función de a veces puede resultar confusa. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\pi <\arg(-\mu )\leq \pi }$ ${\displaystyle \mu }$

Para un argumento real , el polilogaritmo de orden real es real si , y su parte imaginaria es (Wood 1992, §3): ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle z<1}$ ${\displaystyle z\geq 1}$

$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{s}(z)\right)=-{{\pi \mu ^{s-1}} \over {\Gamma (s)}}.}$$

Cruzando el corte, si ε es un número real positivo infinitamente pequeño, entonces:

$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{s}(z+i\epsilon )\right)={{\pi \mu ^{s-1}} \over {\Gamma (s)}}.}$$

Ambos pueden concluirse a partir de la expansión en serie (ver más abajo) de Li _s ( e ^µ ) alrededor de µ = 0.

Las derivadas del polilogaritmo se derivan de la serie de potencias definitoria:

$${\displaystyle z{\frac {\partial \operatorname {Li} _{s}(z)}{\partial z}}=\operatorname {Li} _{s-1}(z)}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })}{\partial \mu }}=\operatorname {Li} _{s-1}(e^{\mu }).}$$

La relación cuadrática se ve en la definición de la serie y está relacionada con la fórmula de duplicación (ver también Clunie (1954), Schrödinger (1952)):

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-z)+\operatorname {Li} _{s}(z)=2^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{2}).}$$

La función de Kummer obedece a una fórmula de duplicación muy similar. Este es un caso especial de la fórmula de multiplicación , para cualquier entero positivo p :

$${\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}\operatorname {Li} _{s}(ze^{2\pi im/p})=p^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{p}),}$$

lo cual se puede demostrar utilizando la definición de serie del polilogaritmo y la ortogonalidad de los términos exponenciales (ver, por ejemplo, transformada discreta de Fourier ).

Otra propiedad importante, la fórmula de inversión, involucra la función zeta de Hurwitz o los polinomios de Bernoulli y se encuentra en relación con otras funciones a continuación.

Valores particulares

Para casos particulares, el polilogaritmo se puede expresar en términos de otras funciones (ver más abajo). Por tanto, también se pueden encontrar valores particulares para el polilogaritmo como valores particulares de estas otras funciones.

1. Para valores enteros del orden del polilogaritmo, las siguientes expresiones explícitas se obtienen mediante la aplicación repetida de z ·∂/∂ z a Li ₁ ( z ):
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)}$$
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)={z \over 1-z}}$$
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)={z \over (1-z)^{2}}}$$
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)={z(1+z) \over (1-z)^{3}}}$$
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)={z(1+4z+z^{2}) \over (1-z)^{4}}}$$
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-4}(z)={z(1+z)(1+10z+z^{2}) \over (1-z)^{5}}.}$$
   En consecuencia, el polilogaritmo se reduce a una proporción de polinomios en z y, por lo tanto, es una función racional de z , para todos los órdenes de enteros no positivos. El caso general se puede expresar como una suma finita:
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=\left(z{\partial \over \partial z}\right)^{n}{z \over {1-z}}=\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\left({z \over {1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=0,1,2,\ldots ),}$$
   donde S ( n , k ) son los números de Stirling de segunda especie . Las fórmulas equivalentes aplicables a órdenes de números enteros negativos son (Wood 1992, § 6):
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=(-1)^{n+1}\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\left({{-1} \over {1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$
   y:
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)={1 \over (1-z)^{n+1}}\sum _{k=0}^{n-1}\left\langle {n \atop k}\right\rangle z^{n-k}\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$
   ¿ Dónde están los números eulerianos ? Todas las raíces de Li _{− n} ( z ) son distintas y reales; incluyen z = 0, mientras que el resto es negativo y está centrado alrededor de z = −1 en una escala logarítmica. A medida que n se vuelve grande, la evaluación numérica de estas expresiones racionales sufre cada vez más cancelación (Wood 1992, § 6); Sin embargo, se puede obtener una precisión total calculando Li _{− n} ( z ) a través de la relación general con la función zeta de Hurwitz (ver más abajo). ${\displaystyle \scriptstyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle }$
2. Algunas expresiones particulares para valores semienteros del argumento z son:
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}({\tfrac {1}{2}})=\ln 2}$$
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\ln 2)^{2}}$$
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{3}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\zeta (3),}$$
   donde ζ es la función zeta de Riemann . No se conocen fórmulas de este tipo para órdenes enteros superiores (Lewin 1991, p. 2), pero una tiene, por ejemplo (Borwein, Borwein y Girgensohn 1995):
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{4}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{360}}\pi ^{4}-{\tfrac {1}{24}}(\ln 2)^{4}+{\tfrac {1}{24}}\pi ^{2}(\ln 2)^{2}-{\tfrac {1}{2}}\zeta ({\bar {3}},{\bar {1}}),}$$
   que implica la doble suma alterna
   $${\displaystyle \zeta ({\bar {3}},{\bar {1}})=\sum _{m>n>0}(-1)^{m+n}m^{-3}n^{-1}.}$$
   En general, se tiene para órdenes de números enteros n ≥ 2 (Broadhurst 1996, p. 9):
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}({\tfrac {1}{2}})=-\zeta ({\bar {1}},{\bar {1}},\left\{1\right\}^{n-2}),}$$
   donde ζ ( s ₁ ,…, s _k ) es la función zeta múltiple ; Por ejemplo:
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{5}({\tfrac {1}{2}})=-\zeta ({\bar {1}},{\bar {1}},1,1,1).}$$
3. Como consecuencia directa de la definición de la serie, los valores del polilogaritmo en la p -ésima raíz compleja de la unidad están dados por la suma de Fourier :
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi im/p})=p^{-s}\sum _{k=1}^{p}e^{2\pi imk/p}\zeta (s,{\tfrac {k}{p}})\qquad (m=1,2,\dots ,p-1),}$$
   donde ζ es la función zeta de Hurwitz . Para Re( s ) > 1, donde Li _s (1) es finito, la relación también se cumple con m = 0 o m = p . Si bien esta fórmula no es tan simple como la que implica la relación más general con la función zeta de Hurwitz enumerada en relación con otras funciones a continuación, tiene la ventaja de aplicarse también a valores enteros no negativos de s . Como es habitual, la relación se puede invertir para expresar ζ( s , ^m ⁄ _p ) para cualquier m = 1,…, p como una suma de Fourier de Li _s (exp(2 πi ^k ⁄ _p )) sobre k = 1,… , pag .

Relación con otras funciones

• Para z = 1 , el polilogaritmo se reduce a la función zeta de Riemann
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(1)=\zeta (s)\qquad (\operatorname {Re} (s)>1).}$$
• El polilogaritmo está relacionado con la función Dirichlet eta y la función Dirichlet beta :
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-1)=-\eta (s),}$$
  donde η ( s ) es la función eta de Dirichlet. Para argumentos puramente imaginarios, tenemos:
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(\pm i)=-2^{-s}\eta (s)\pm i\beta (s),}$$
  donde β ( s ) es la función beta de Dirichlet.
• El polilogaritmo está relacionado con la integral completa de Fermi-Dirac como:
  $${\displaystyle F_{s}(\mu )=-\operatorname {Li} _{s+1}(-e^{\mu }).}$$
• El polilogaritmo está relacionado con la integral completa de Bose - Einstein como:
  $${\displaystyle G_{s}(\mu )=\operatorname {Li} _{s+1}(e^{\mu }).}$$
• El polilogaritmo es un caso especial de función polilogaritmo incompleta.
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\operatorname {Li} _{s}(0,z).}$$
• El polilogaritmo es un caso especial de la trascendente de Lerch (Erdélyi et al. 1981, § 1.11-14)
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=z\Phi (z,s,1).}$$
• El polilogaritmo está relacionado con la función zeta de Hurwitz por:
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\Gamma (1-s) \over (2\pi )^{1-s}}\left[i^{1-s}\zeta \left(1-s,{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)+i^{s-1}~\zeta \left(1-s,{\frac {1}{2}}-{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)\right],}$$
  relación que, sin embargo, queda invalidada en un entero positivo s por los polos de la función gamma Γ(1 − s ) , y en s = 0 por un polo de ambas funciones zeta; se proporciona una derivación de esta fórmula en las representaciones en serie que aparecen a continuación. Con un poco de ayuda de una ecuación funcional para la función zeta de Hurwitz, el polilogaritmo también está relacionado con esa función a través de (Jonquière 1889):
  $${\displaystyle i^{-s}\operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi ix})+i^{s}\operatorname {Li} _{s}(e^{-2\pi ix})={\frac {(2\pi )^{s}}{\Gamma (s)}}\zeta (1-s,x),}$$
  cuya relación es válida para 0 ≤ Re( x ) < 1 si Im( x ) ≥ 0 , y para 0 < Re( x ) ≤ 1 si Im( x ) < 0 . De manera equivalente, para todos los complejos s y para los complejos z ∉ (0, 1] , la fórmula de inversión dice
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}\operatorname {Li} _{s}(1/z)={\frac {(2\pi i)^{s}}{\Gamma (s)}}~\zeta \left(1-s,~{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right),}$$
  y para todo complejo s y para complejo z ∉ (1, ∞)
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}\operatorname {Li} _{s}(1/z)={(2\pi i)^{s} \over \Gamma (s)}~\zeta \left(1-s,~{\frac {1}{2}}-{\ln(-1/z) \over {2\pi i}}\right).}$$
  Para z ∉ (0, ∞) , se tiene ln(− z ) = −ln(− ¹ ⁄ _z ) y ambas expresiones concuerdan. Estas relaciones proporcionan la continuación analítica del polilogaritmo más allá del círculo de convergencia. z | = 1 de la serie de potencias definitoria. (La ecuación correspondiente de Jonquière (1889, eq. 5) y Erdélyi et al. (1981, § 1.11-16) no es correcta si se supone que las ramas principales del polilogaritmo y el logaritmo se utilizan simultáneamente). Véase la siguiente Elemento para una fórmula simplificada cuando s es un número entero.
• Para órdenes de polilogaritmos enteros positivos s , la función zeta de Hurwitz ζ(1− s , x ) se reduce a polinomios de Bernoulli , ζ(1− n , x ) = −B _n ( x )/ n , y la fórmula de inversión de Jonquière para n = 1 , 2, 3,… se convierte en:
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{2\pi ix})+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(e^{-2\pi ix})=-{(2\pi i)^{n} \over n!}B_{n}(x),}$$
  donde nuevamente 0 ≤ Re( x ) < 1 si Im( x ) ≥ 0, y 0 < Re( x ) ≤ 1 si Im( x ) < 0. Al restringir el argumento del polilogaritmo al círculo unitario, Im( x ) = 0, el lado izquierdo de esta fórmula se simplifica a 2 Re(Li _n ( e ^{2 πix} )) si n es par, y a 2 i Im(Li _n ( e ^{2 πix} )) si n es impar. Por otra parte, para órdenes de enteros negativos, la divergencia de Γ( s ) implica para todo z que (Erdélyi et al. 1981, § 1.11-17):
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{-n}(1/z)=0\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$
  De manera más general, se tiene para n = 0, ±1, ±2, ±3,… :
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(1/z)&=-{\frac {(2\pi i)^{n}}{n!}}B_{n}\left({\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)&(z\not \in ]0;1]),\\\operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(1/z)&=-{\frac {(2\pi i)^{n}}{n!}}B_{n}\left({\frac {1}{2}}-{\ln(-1/z) \over {2\pi i}}\right)&(z\not \in ~]1;\infty [),\end{aligned}}}$$
  donde ambas expresiones concuerdan para z ∉ (0, ∞) . (La ecuación correspondiente de Jonquière (1889, eq. 1) y Erdélyi et al. (1981, § 1.11-18) tampoco es correcta.)
• El polilogaritmo con μ imaginaria pura puede expresarse en términos de las funciones de Clausen Ci _s (θ) y Si _s (θ), y viceversa (Lewin 1958, Ch. VII § 1.4; Abramowitz & Stegun 1972, § 27.8):
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\pm i\theta })=Ci_{s}(\theta )\pm iSi_{s}(\theta ).}$$
• La integral tangente inversa Ti _s ( z ) (Lewin 1958, Capítulo VII § 1.2) se puede expresar en términos de polilogaritmos:
  $${\displaystyle \operatorname {Ti} _{s}(z)={1 \over 2i}\left[\operatorname {Li} _{s}(iz)-\operatorname {Li} _{s}(-iz)\right].}$$
  La relación en particular implica:
  $${\displaystyle \operatorname {Ti} _{0}(z)={z \over 1+z^{2}},\quad \operatorname {Ti} _{1}(z)=\arctan z,\quad \operatorname {Ti} _{2}(z)=\int _{0}^{z}{\arctan t \over t}dt,\quad \ldots ~\quad \operatorname {Ti} _{n+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Ti} _{n}(t)}{t}}dt,}$$
  lo que explica el nombre de la función.
• La función chi de Legendre χ _s ( z ) (Lewin 1958, Ch. VII § 1.1; Boersma & Dempsey 1992) se puede expresar en términos de polilogaritmos:
  $${\displaystyle \chi _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{s}(z)-\operatorname {Li} _{s}(-z)\right].}$$
• El polilogaritmo de orden entero se puede expresar como una función hipergeométrica generalizada :
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{n}(z)&=z_{n+1}F_{n}(1,1,\dots ,1;2,2,\dots ,2;z)&(n=0,1,2,\ldots ),\\\operatorname {Li} _{-n}(z)&=z_{n}F_{n-1}(2,2,\dots ,2;1,1,\dots ,1;z)&(n=1,2,3,\ldots )~.\end{aligned}}}$$
• En términos de funciones zeta incompletas o " funciones Debye " (Abramowitz y Stegun 1972, § 27.1):
  $${\displaystyle Z_{n}(z)={1 \over (n-1)!}\int _{z}^{\infty }{t^{n-1} \over e^{t}-1}dt\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$
  el polilogaritmo Li _n ( z ) para un entero positivo n puede expresarse como la suma finita (Wood 1992, §16):
  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{\mu })=\sum _{k=0}^{n-1}Z_{n-k}(-\mu ){\mu ^{k} \over k!}\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$
  Una expresión notablemente similar relaciona las "funciones de Debye" Z _n ( z ) con el polilogaritmo:
  $${\displaystyle Z_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n-1}\operatorname {Li} _{n-k}(e^{-z}){z^{k} \over k!}\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$
• Usando la serie de Lambert , si es la función totient de Jordan , entonces ${\displaystyle J_{s}(n)}$
  $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}J_{-s}(n)}{1-z^{n}}}=\operatorname {Li} _{s}(z).}$$

Representaciones integrales

Cualquiera de las siguientes representaciones integrales proporciona la continuación analítica del polilogaritmo más allá del círculo de convergencia | z | = 1 de la serie de potencias definitoria.

1. El polilogaritmo se puede expresar en términos de la integral de la distribución de Bose-Einstein :
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z-1}dt.}$$
   Esto converge para Re( s ) > 0 y todos los z excepto z real y ≥ 1. El polilogaritmo en este contexto a veces se denomina integral de Bose, pero más comúnmente como integral de Bose-Einstein (Dingle 1957a, Dingle, Arndt & Roy 1957). ^{[nota 1]} De manera similar, el polilogaritmo se puede expresar en términos de la integral de la distribución de Fermi-Dirac :
   $${\displaystyle -\operatorname {Li} _{s}(-z)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z+1}dt.}$$
   Esto converge para Re( s ) > 0 y todo z excepto z real y ≤ −1. El polilogaritmo en este contexto a veces se denomina integral de Fermi o integral de Fermi-Dirac (GSL 2010, Dingle 1957b). Estas representaciones se verifican fácilmente mediante la expansión de Taylor del integrando con respecto a z y la integración por términos. Los artículos de Dingle contienen investigaciones detalladas de ambos tipos de integrales. El polilogaritmo también está relacionado con la integral de la distribución de Maxwell-Boltzmann :
   $${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(z)}{z}}={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1}e^{-t}}dt=1.}$$
   Esto también da el comportamiento asintótico del polilogaritmo en la vecindad del origen.
2. Se aplica una representación integral complementaria a Re( s ) < 0 y a todos los z excepto a z real y ≥ 0:
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\int _{0}^{\infty }{t^{-s}\sin[s\pi /2-t\ln(-z)] \over \sinh(\pi t)}dt.}$$
   Esta integral se deriva de la relación general del polilogaritmo con la función zeta de Hurwitz (ver arriba) y una representación integral familiar de esta última.
3. El polilogaritmo puede representarse de manera bastante general mediante una integral de contorno de Hankel (Whittaker & Watson 1927, § 12.22, § 13.13), que extiende la representación de Bose-Einstein a órdenes negativos s . Mientras el polo t = μ del integrando no se encuentre en el eje real no negativo, y s ≠ 1, 2, 3,…, tenemos:
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{{\Gamma (1-s)} \over {2\pi i}}\oint _{H}{{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu }-1}}dt}$$
   donde H representa el contorno de Hankel. El integrando tiene un corte a lo largo del eje real de cero a infinito, perteneciendo el eje al semiplano inferior de t . La integración comienza en +∞ en el semiplano superior (Im( t ) > 0), rodea el origen sin encerrar ninguno de los polos t = µ + 2 kπi y termina en +∞ en el semiplano inferior (Im( t ) < 0). Para el caso en el que µ es real y no negativo, simplemente podemos restar la contribución del polo t = µ adjunto:
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{{\Gamma (1-s)} \over {2\pi i}}\oint _{H}{{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu }}-1}dt-2\pi iR}$$
   donde R es el residuo del polo:
   $${\displaystyle R={i \over 2\pi }\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}.}$$
4. Cuando se aplica la fórmula de Abel-Plana a la serie definitoria del polilogaritmo, se obtiene una representación integral de tipo Hermite que es válida para todos los complejos z y para todos los complejos s :
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+{\Gamma (1-s,-\ln z) \over (-\ln z)^{1-s}}+2z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-t\ln z)}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi t}-1)}}dt}$$
   donde Γ es la función gamma incompleta superior . Todo (pero no parte) de ln( z ) en esta expresión se puede reemplazar por −ln( ¹ ⁄ _z ). Una representación relacionada que también es válida para todos los complejos s ,
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[s\arctan t-t\ln(-z)]}{(1+t^{2})^{s/2}\sinh(\pi t)}}dt,}$$
   evita el uso de la función gamma incompleta, pero esta integral falla para z en el eje real positivo si Re( s ) ≤ 0. Esta expresión se encuentra escribiendo 2 ^s Li _s (− z ) / (− z ) = Φ( z ² , s , ¹ ⁄ ₂ ) − z Φ( z ² , s , 1), donde Φ es la trascendente de Lerch , y aplicando la fórmula de Abel-Plana a la primera serie Φ y una fórmula complementaria que involucra 1 / ( e ^{2 πt} + 1) en lugar de 1 / ( e ^{2 πt} − 1) a la segunda serie Φ.
5. Podemos expresar una integral para el polilogaritmo integrando la serie geométrica ordinaria terminológicamente para as (Borwein, Borwein & Girgensohn 1994, §2, ecuación 4) ${\displaystyle s\in \mathbb {N} }$ harv error: no target: CITEREFBorweinBorweinGirgensohn1994 (help)
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)={\frac {z\cdot (-1)^{s}}{s!}}\int _{0}^{1}{\frac {\log ^{s}(t)}{1-tz}}dt.}$$

Representaciones en serie

1. Como se señaló anteriormente en las representaciones integrales, la representación integral de Bose-Einstein del polilogaritmo se puede extender a órdenes negativos s mediante la integración de contorno de Hankel :
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{\Gamma (1-s) \over 2\pi i}\oint _{H}{(-t)^{s-1} \over e^{t-\mu }-1}dt,}$$
   donde H es el contorno de Hankel, s ≠ 1, 2, 3,…, y el polo t = μ del integrando no se encuentra en el eje real no negativo. El contorno se puede modificar para que encierre los polos del integrando en t − µ = 2 kπi , y la integral se puede evaluar como la suma de los residuos (Wood 1992, § 12, 13; Gradshteyn & Ryzhik 1980, § 9.553 ): harvnb error: no target: CITEREFGradshteynRyzhik1980 (help)
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }(2k\pi i-\mu )^{s-1}.}$$
   Esto será válido para Re( s ) < 0 y todos los μ excepto donde e ^μ = 1. Para 0 < Im( µ ) ≤ 2 π la suma se puede dividir como:
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)\left[(-2\pi i)^{s-1}\sum _{k=0}^{\infty }\left(k+{\mu \over {2\pi i}}\right)^{s-1}+(2\pi i)^{s-1}\sum _{k=0}^{\infty }\left(k+1-{\mu \over {2\pi i}}\right)^{s-1}\right],}$$
   donde las dos series ahora pueden identificarse con la función zeta de Hurwitz :
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })={\Gamma (1-s) \over (2\pi )^{1-s}}\left[i^{1-s}~\zeta \left(1-s,~{\mu \over {2\pi i}}\right)+i^{s-1}~\zeta \left(1-s,~1-{\mu \over {2\pi i}}\right)\right]\qquad (0<\operatorname {Im} (\mu )\leq 2\pi ).}$$
   Esta relación, que ya se ha dado en relación con otras funciones anteriores, es válida para todos los complejos s ≠ 0, 1, 2, 3,… y se derivó por primera vez en (Jonquière 1889, eq. 6).
2. Para representar el polilogaritmo como una serie de potencias alrededor de µ = 0, escribimos la serie derivada de la integral de contorno de Hankel como:
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}+\Gamma (1-s)\sum _{h=1}^{\infty }\left[(-2h\pi i-\mu )^{s-1}+(2h\pi i-\mu )^{s-1}\right].}$$
   Cuando las potencias binomiales en la suma se expanden aproximadamente µ = 0 y se invierte el orden de la suma, la suma sobre h se puede expresar en forma cerrada:
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}+\sum _{k=0}^{\infty }{\zeta (s-k) \over k!}\mu ^{k}.}$$
   Este resultado es válido para | µ | < 2 π y, gracias a la continuación analítica proporcionada por las funciones zeta , para todo s ≠ 1, 2, 3,…. Si el orden es un entero positivo, s = n , tanto el término con k = n − 1 como la función gamma se vuelven infinitos, aunque su suma no. Se obtiene (Wood 1992, § 9; Gradshteyn & Ryzhik 1980, § 9.554 ): harvnb error: no target: CITEREFGradshteynRyzhik1980 (help)
   $${\displaystyle \lim _{s\to k+1}\left[{\zeta (s-k) \over k!}\mu ^{k}+\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\right]={\mu ^{k} \over k!}\left[\sum _{h=1}^{k}{1 \over h}-\ln(-\mu )\right],}$$
   donde la suma sobre h desaparece si k = 0. Entonces, para órdenes de enteros positivos y para | µ | < 2 π tenemos la serie:
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{\mu })={\mu ^{n-1} \over (n-1)!}\left[H_{n-1}-\ln(-\mu )\right]+\sum _{k=0,k\neq n-1}^{\infty }{\zeta (n-k) \over k!}\mu ^{k},}$$
   donde H _n denota el n ésimo número armónico :
   $${\displaystyle H_{n}=\sum _{h=1}^{n}{1 \over h},\qquad H_{0}=0.}$$
   Los términos del problema ahora contienen −ln(− μ ) que, cuando se multiplica por μ ^{n −1} , tenderá a cero cuando μ → 0, excepto para n = 1. Esto refleja el hecho de que Li _s ( z ) exhibe un verdadero logarítmico . singularidad en s = 1 y z = 1 ya que:
   $${\displaystyle \lim _{\mu \to 0}\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}=0\qquad (\operatorname {Re} (s)>1).}$$
   Para s cercano, pero no igual, a un entero positivo, se puede esperar que los términos divergentes en la expansión alrededor de µ = 0 causen dificultades computacionales (Wood 1992, § 9). La correspondiente expansión de Erdélyi (Erdélyi et al. 1981, § 1.11-15) en potencias de ln( z ) no es correcta si se supone que las ramas principales del polilogaritmo y el logaritmo se usan simultáneamente, ya que ln( ¹ ⁄ _z ) es no uniformemente igual a −ln( z ). Para valores enteros no positivos de s , la función zeta ζ( s − k ) en la expansión alrededor de µ = 0 se reduce a números de Bernoulli : ζ(− n − k ) = −B _{1+ n + k} / (1 + n + k ). La evaluación numérica de Li _{− n} ( z ) mediante esta serie no sufre los efectos de cancelación que exhiben las expresiones racionales finitas dadas bajo valores particulares anteriores para n grande .
3. Por uso de la identidad
   $${\displaystyle 1={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{s-1}dt\qquad (\operatorname {Re} (s)>0),}$$
   la representación integral de Bose-Einstein del polilogaritmo (ver arriba) se puede expresar en la forma:
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+{z \over 2\Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{s-1}\coth {t-\ln z \over 2}dt\qquad (\operatorname {Re} (s)>0).}$$
   Reemplazando la cotangente hiperbólica con una serie bilateral,
   $${\displaystyle \coth {t-\ln z \over 2}=2\sum _{k=-\infty }^{\infty }{1 \over 2k\pi i+t-\ln z},}$$
   luego invirtiendo el orden de integral y suma, y ​​finalmente identificando los sumandos con una representación integral de la función gamma incompleta superior , se obtiene:
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\Gamma (1-s,2k\pi i-\ln z) \over (2k\pi i-\ln z)^{1-s}}.}$$
   Tanto para la serie bilateral de este resultado como para la cotangente hiperbólica, las sumas parciales simétricas de − k _max a k _max convergen incondicionalmente como k _max → ∞. Siempre que la suma se realice simétricamente, esta serie para Li _s ( z ) es válida tanto para todos los complejos s como para todos los complejos z .
4. Introduciendo una expresión explícita para los números de Stirling de segunda clase en la suma finita del polilogaritmo de orden entero no positivo (ver arriba), se puede escribir:
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=\sum _{k=0}^{n}\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+1}{k \choose j}(j+1)^{n}\qquad (n=0,1,2,\ldots ).}$$
   La serie infinita obtenida simplemente extendiendo la suma externa a ∞ (Guillera & Sondow 2008, Teorema 2.1):
   $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}~\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+1}{k \choose j}(j+1)^{-s},}$$
   resulta converger al polilogaritmo para todos los complejos s y para los complejos z con Re( z ) < ¹ ⁄ ₂ , como se puede verificar para | ^{− z} ⁄ _{(1− z )} | < ¹ ⁄ ₂ invirtiendo el orden de suma y usando:
   $${\displaystyle \sum _{k=j}^{\infty }{k \choose j}\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}=\left[\left({-z \over 1-z}\right)^{-1}-1\right]^{-j-1}=(-z)^{j+1}.}$$
   Los coeficientes internos de estas series se pueden expresar mediante fórmulas relacionadas con los números de Stirling que involucran números armónicos generalizados . Por ejemplo, consulte generar transformaciones de funciones para encontrar pruebas (referencias a pruebas) de las siguientes identidades:
   $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\operatorname {Li} _{3}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}.\end{aligned}}}$$
   Para los otros argumentos con Re( z ) < ¹ ⁄ ₂ el resultado sigue por continuación analítica . Este procedimiento equivale a aplicar la transformación de Euler a la serie en z que define el polilogaritmo.

Expansiones asintóticas

Para | z | ≫ 1, el polilogaritmo se puede expandir en series asintóticas en términos de ln(− z ):

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\pm i\pi \over \Gamma (s)}[\ln(-z)\pm i\pi ]^{s-1}-\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(2\pi )^{2k}{B_{2k} \over (2k)!}{[\ln(-z)\pm i\pi ]^{s-2k} \over \Gamma (s+1-2k)},}$$

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(1-2^{1-2k})(2\pi )^{2k}{B_{2k} \over (2k)!}{[\ln(-z)]^{s-2k} \over \Gamma (s+1-2k)},}$$

donde B _{2 k} son los números de Bernoulli . Ambas versiones son válidas para todos los s y para cualquier arg ( z ). Como es habitual, la suma debe finalizar cuando los términos comiencen a crecer en magnitud. Para los enteros negativos s , las expansiones desaparecen por completo; para los enteros no negativos s , se rompen después de un número finito de términos. Wood (1992, § 11) describe un método para obtener estas series a partir de la representación integral de Bose-Einstein (su ecuación 11.2 para Li _s ( e ^µ ) requiere −2 π < Im( µ ) ≤ 0).

Comportamiento limitante

Los siguientes límites resultan de las diversas representaciones del polilogaritmo (Wood 1992, § 22):

$${\displaystyle \lim _{|z|\to 0}\operatorname {Li} _{s}(z)=z}$$

$${\displaystyle \lim _{|\mu |\to 0}\operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\qquad (\operatorname {Re} (s)<1)}$$

$${\displaystyle \lim _{\operatorname {Re} (\mu )\to \infty }\operatorname {Li} _{s}(\pm e^{\mu })=-{\mu ^{s} \over \Gamma (s+1)}\qquad (s\neq -1,-2,-3,\ldots )}$$

$${\displaystyle \lim _{\operatorname {Re} (\mu )\to \infty }\operatorname {Li} _{-n}(e^{\mu })=-(-1)^{n}e^{-\mu }\qquad (n=1,2,3,\ldots )}$$

$${\displaystyle \lim _{\operatorname {Re} (s)\to \infty }\operatorname {Li} _{s}(z)=z}$$

$${\displaystyle \lim _{\operatorname {Re} (s)\to -\infty }\operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\qquad (-\pi <\operatorname {Im} (\mu )<\pi )}$$

$${\displaystyle \lim _{\operatorname {Re} (s)\to -\infty }\operatorname {Li} _{s}(-e^{\mu })=\Gamma (1-s)\left[(-\mu -i\pi )^{s-1}+(-\mu +i\pi )^{s-1}\right]\qquad (\operatorname {Im} (\mu )=0)}$$

El primer límite de Wood para Re( µ ) → ∞ ha sido corregido de acuerdo con su ecuación 11.3. El límite para Re( s ) → −∞ se deriva de la relación general del polilogaritmo con la función zeta de Hurwitz (ver arriba).

dilogaritmo

El dilogaritmo es el polilogaritmo de orden s = 2. Una expresión integral alternativa del dilogaritmo para un argumento complejo arbitrario z es (Abramowitz y Stegun 1972, § 27.7):

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\ln(1-t) \over t}dt=-\int _{0}^{1}{\ln(1-zt) \over t}dt.}$$

Una fuente de confusión es que algunos sistemas de álgebra informática definen el dilogaritmo como dilog( z ) = Li ₂ (1− z ).

En el caso de z real ≥ 1, la primera expresión integral del dilogaritmo se puede escribir como

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)={\frac {\pi ^{2}}{6}}-\int _{1}^{z}{\ln(t-1) \over t}dt-i\pi \ln z}$$

de donde expandiendo ln( t −1) e integrando término por término obtenemos

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)={\frac {\pi ^{2}}{3}}-{\frac {1}{2}}(\ln z)^{2}-\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over k^{2}z^{k}}-i\pi \ln z\qquad (z\geq 1).}$$

La identidad de Abel para el dilogaritmo viene dada por (Abel 1881)

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {x}{1-y}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {y}{1-x}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {xy}{(1-x)(1-y)}}\right)=\operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}(y)+\ln(1-x)\ln(1-y)}$$

$${\displaystyle (\operatorname {Re} (x)\leq {\tfrac {1}{2}}\wedge \operatorname {Re} (y)\leq {\tfrac {1}{2}}\vee \operatorname {Im} (x)>0\wedge \operatorname {Im} (y)>0\vee \operatorname {Im} (x)<0\wedge \operatorname {Im} (y)<0\vee \ldots ).}$$

Se ve inmediatamente que esto es válido para x = 0 o y = 0, y para argumentos generales se verifica fácilmente mediante la diferenciación ∂/∂ x ∂/∂ y . Para y = 1− x la identidad se reduce a la fórmula de reflexión de Euler

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(x\right)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-x\right)={\frac {1}{6}}\pi ^{2}-\ln(x)\ln(1-x),}$$

₂¹₆ π ^{2 y} x

En términos de las nuevas variables u = x /(1− y ), v = y /(1− x ), la identidad de Abel es

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(u)+\operatorname {Li} _{2}(v)-\operatorname {Li} _{2}(uv)=\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {u-uv}{1-uv}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {v-uv}{1-uv}}\right)+\ln \left({\frac {1-u}{1-uv}}\right)\ln \left({\frac {1-v}{1-uv}}\right),}$$

identidad del pentágono

De la identidad de Abel para x = y = 1− z y la relación cuadrática tenemos la identidad de Landen

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{2}}(\ln z)^{2}\qquad (z\not \in ~]-\infty ;0]),}$$

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1/z)=-{\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}[\ln(-z)]^{2}\qquad (z\not \in [0;1[),}$$

y para real z ≥ 1 también

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1/z)={\tfrac {1}{3}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\ln z)^{2}-i\pi \ln z.}$$

En la siguiente tabla se recopilan evaluaciones de forma cerrada conocidas del dilogaritmo en argumentos especiales. Los argumentos de la primera columna están relacionados por reflexión x ↔ 1− x o inversión x ↔ ¹ ⁄ _x con x = 0 o x = −1; Los argumentos de la tercera columna están todos interrelacionados mediante estas operaciones.

Maximon (2003) analiza las referencias de los siglos XVII al XIX. La fórmula de reflexión ya fue publicada por Landen en 1760, antes de su aparición en un libro de Euler de 1768 (Maximon 2003, § 10); Spence ya publicó un equivalente a la identidad de Abel en 1809, antes de que Abel escribiera su manuscrito en 1826 (Zagier 1989, § 2). La designación función bilogarítmica fue introducida por Carl Johan Danielsson Hill (profesor en Lund, Suecia) en 1828 (Maximon 2003, § 10). Don Zagier  (1989) ha señalado que el dilogaritmo es la única función matemática que posee sentido del humor.

Aquí se denota la proporción áurea . ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}$

Escaleras de polilogaritmo

Leonard Lewin descubrió una generalización amplia y notable de una serie de relaciones clásicas en el polilogaritmo para valores especiales. Ahora se denominan escaleras de polilogaritmos . Definir como el recíproco de la proporción áurea . Entonces dos ejemplos simples de escaleras de dilogaritmos son ${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)}$

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\rho ^{6})=4\operatorname {Li} _{2}(\rho ^{3})+3\operatorname {Li} _{2}(\rho ^{2})-6\operatorname {Li} _{2}(\rho )+{\tfrac {7}{30}}\pi ^{2}}$$

dado por Coxeter  (1935) y

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\rho )={\tfrac {1}{10}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\rho }$$

dado por Landen . Las escaleras de polilogaritmos ocurren de forma natural y profunda en la teoría K y la geometría algebraica . Las escaleras de polilogaritmos proporcionan la base para cálculos rápidos de varias constantes matemáticas mediante el algoritmo BBP (Bailey, Borwein y Plouffe 1997).

Monodromía

El polilogaritmo tiene dos puntos de ramificación ; uno en z = 1 y otro en z = 0. El segundo punto de bifurcación, en z = 0, no es visible en la hoja principal del polilogaritmo; se vuelve visible sólo cuando la función continúa analíticamente en sus otras hojas. El grupo de monodromía del polilogaritmo consta de clases de homotopía de bucles que se enrollan alrededor de los dos puntos de ramificación. Denotando estos dos por m ₀ y m ₁ , el grupo de monodromía tiene la presentación grupal

$${\displaystyle \langle m_{0},m_{1}\vert w=m_{0}m_{1}m_{0}^{-1}m_{1}^{-1},wm_{1}=m_{1}w\rangle .}$$

Para el caso especial del dilogaritmo, también se tiene que wm ₀ = m ₀ w , y el grupo monodromía se convierte en el grupo de Heisenberg (identificando m ₀ , m ₁ y w con x , y , z ) (Vepstas 2008).

Notas

1. La integral de Bose es el resultado de la multiplicación entre la función Gamma y la función Zeta. Se puede comenzar con la ecuación de la integral de Bose y luego usar la ecuación en serie.
   $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{e^{x}-1}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{s}{\frac {1}{e^{x}-1}}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{e^{x}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{e^{x}}}}}dx\quad \wedge \quad {\frac {1}{1-r}}=\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}}$$
   $${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{e^{x}}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}}}\right)^{N}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{e^{x}}}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-nx}dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-nx}e^{-x}dx}$$
   En segundo lugar, reagrupe las expresiones.
   $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-(N+1)x}dx\quad \wedge \quad u=(N+1)x,du=(N+1)dx\Rightarrow dx={\frac {du}{N+1}}}$$
   $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\left({\frac {u}{N+1}}\right)^{s}e^{-u}{\frac {du}{N+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(N+1)^{s+1}}}u^{s}e^{-u}du}$$
   $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(N+1)^{s+1}}}\left(\int _{0}^{\infty }u^{s}e^{-u}du\right)=\left(\int _{0}^{\infty }u^{s}e^{-u}du\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(N+1)^{s+1}}}\right)=}$$
   $${\displaystyle \left(\int _{0}^{\infty }u^{(s+1)-1}e^{-u}du\right)\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s+1}}}\right)=\Gamma (s+1)\zeta (s+1).}$$

Referencias

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enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Polilogaritmo". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Dilogaritmo". MundoMatemático .
• Algoritmos en teoría analítica de números proporciona una implementación de precisión arbitraria, basada en GMP y con licencia GPL .