Integral matemática
En matemáticas , la integral completa de Fermi-Dirac , llamada así en honor a Enrico Fermi y Paul Dirac , para un índice j está definida por
![{\displaystyle F_{j}(x)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{j}}{e ^{tx}+1}}\,dt,\qquad (j>-1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esto es igual
![{\displaystyle -\operatorname {Li} _ {j+1}(-e^{x}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
¿Dónde está el polilogaritmo ?![{\displaystyle \operatorname {Li} _ {s}(z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Su derivada es
![{\displaystyle {\frac {dF_{j}(x)}{dx}}=F_{j-1}(x),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y esta relación derivada se utiliza para definir la integral de Fermi-Dirac para índices no positivos j . En la literatura aparece una notación diferente para , por ejemplo, algunos autores omiten el factor . La definición utilizada aquí coincide con la del NIST DLMF.![{\displaystyle F_{j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 1/\Gamma (j+1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Valores especiales
La forma cerrada de la función existe para j = 0:
![{\displaystyle F_{0}(x)=\ln(1+\exp(x)).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para x = 0 , el resultado se reduce a
![{\displaystyle F_{j}(0)=\eta (j+1),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
¿Dónde está la función Dirichlet eta ?![{\displaystyle\eta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. "3.411.3.". En Zwillinger, Daniel; Moll, Víctor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Prensa académica, Inc. pág. 355.ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276. ISBN 978-0-12-384933-5 .
- RBDingle (1957). Integrales de Fermi-Dirac . Appl.Sci.Res. B6. págs. 225-239.
enlaces externos
- Biblioteca científica GNU - Manual de referencia
- Calculadora integral de Fermi-Dirac para iPhone/iPad
- Notas sobre las integrales de Fermi-Dirac
- Sección de la Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas del NIST
- npplus: paquete de Python que proporciona (entre otros) integrales e inversas de Fermi-Dirac para varios órdenes comunes.
- Wolfram's MathWorld: Definición dada por Wolfram's MathWorld.